17.2 平行四边形的判定 课件2025-2026学年 华东师大版数学八年级下册

第17章 平行四边形 17.2 平行四边形的判定 1 知识回顾 问题导入 获取新知 例题讲解 随堂演练 课堂小结 第17章 平行四边形 17.2 第1课时 从边判定平行四边形 2 1.回顾：平行四边形的性质 平行四边形的对边平行 平行四边形的对边相等 平行四边形的对角相等 平行四边形的对角线互相平分 2.思考：平行四边形的性质的逆命题 对边平行的四边形是平行四边形 对边相等的四边形是平行四边形 对角相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 猜想：这些逆命题可否成为平行四边形的判定方法？ 知识回顾 一装潢店要招聘店员，老板出了这样一道考题：“一顾客要一块平行四边形的玻璃，你利用工具度量哪些数据可说明这块玻璃符合顾客要求.” 你能说出他这样回答的理由吗？ 度量哪些数据？ 情景导入 量一量两组对边的长度是否相等 创设数学问题情境,产生认知冲突,快速吸引学生注意,立刻置学生于情境中的问题里,让学生从真实的生活中发现数学,激发学习兴趣,引导学生树立科学的人生观和价值观. 4 作一个两组对边分别相等的四边形. 知识点 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 1 获取新知 (1)任取两点B，D； (2)分别以点B和点D为圆心、任意长为半径，分别在线段BD的两侧作弧； (3)再分别以点D和点B为圆心、适当长为半径作弧，与前面所作的弧分别交于点A和点C； (4)顺次连接各点. D B A C 四边形ABCD即为所求.该四边形为平行四边形吗？ 这里并没有引用教材“思考”中写逆命题并判断真假的方式来得出判定定理，给出给出了形象的动画演示，这样子更容易加深学生理解力，方便记忆. 5 在△ABC和△CDA中, ∴△ABC≌△CDA(SSS), B D C A 证明:连接AC,如图所示. ∴∠BAC=∠DCA,∠BCA=∠DAC, ∴AB∥CD,AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 6 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵AB=CD， AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. 几何语言： 平行四边形的判定定理1 B D C A 归纳总结 7 例1 如图, AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD, 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：在Rt△ABC和Rt△CDA中， ∵AC=CA,AB=CD, ∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL). ∴BC=DA. 又∵AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形． 例题讲解 作一个有一组对边平行且相等的四边形. 知识点 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 2 一组对边相等 平行四边形 这组对边相等 + = 获取新知 9 1. 任意画两条平行线m、n； 2. 在直线m、n上分别截取AB、CD，使AB = CD; 3. 分别连结点B、C和点A、D，即得到一组对边平相等的四边形ABCD. 步骤： m n A B C D 10 观察你所画的图形，它是平行四边形吗？ 是平行四边形 你能证明吗？ m n A B C D 11 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD且AB∥CD.求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：连结AC. ∵AB∥CD， ∴∠1=∠2. 在△ABC和△CDA中, AB=CD， AC=CA， ∠1=∠2， ∴△ABC≌△CDA， ∴BC=DA . 又∵AB= CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. A B C D 2 1 你还有其它证明方法吗？ 12 Administrator (A) - 还可以根据平行四边形的定义进行证明. 几何语言： ∵AB CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 平行四边形的判定定理2 B D C A 归纳总结 与边有关的判定平行四边形的方法： 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. Administrator (A) - 用定义发判定平行四边形往往被忽略，因此这里特别强调一下啊！ 例2 如图，在▱ABCD中，点E，F分别在对边BC和DA上，且AF＝CE.求证：四边形AECF是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC //AD(平行四边形的对边平行）． 即AF∥CE . 又∵ AF =CE， ∴四边形AECF是平行四边形． 你还有其它证明方法吗？ 例题讲解 Administrator (A) - 由学生探索其他证明方法，并比较各种方法的优劣，最终使学生明白：当所要证明的结论有多种方法证明时，可根据题目条件选择较简洁的证明方法. 1.下列条件中,能判定四边形ABCD是平行四边形的是 (　　) A.AB=CD,AD=BC B.AB=AD,CD=BC C.AB=BC=CD D.AB=AD,∠B=∠D A 随堂演练 2.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,过点A作AE⊥BD交BD于点E,过点C作CF⊥BD交BD于点F,且AE=CF. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:∵AE⊥BD,CF⊥BD, ∴∠AEB=∠CFD=90°. 在Rt△ABE和Rt△CDF中, ∴Rt△ABE≌Rt△CDF, ∴∠ABE=∠CDF,∴AB∥CD. ∵AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. AB=CD, AE=CF, 3.如图，已知E，F，G，H分别是▱ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形． 证明：在平行四边形ABCD中， ∠A=∠C，AD=BC, 又∵BF=DH， ∴AH=CF. 又∵AE=CG， ∴△AEH≌△CGF（SAS）， ∴EH=GF. 同理得△BEF≌△DGH（SAS）， ∴GH=EF， ∴四边形EFGH是平行四边形． 全品初中 从边判定平行四边形 定义 判定定理2 两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 课堂小结 判定定理1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 知识回顾 获取新知 例题讲解 随堂演练 课堂小结 第17章 平行四边形 17.2 第2课时 从对角线和角判定平行四边形 20 1.我们学过的平行四边形的判定方法有哪些呢？ （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形; （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形; （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 知识回顾 全品初中 2.平行四边形的对角线有什么性质？ 平行四边形的对角线互相平分. 思考：这个逆命题是否成立？ 3.上面这条性质的逆命题是什么？ 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 全品初中 作一个两条对角线互相平分的四边形. 作法： 1.任意作两条相交直线m，n，记交点为O； 2.以点O为中心，分别在直线m，n上截取OB与OD、OA与OC，使OB=OD，OA=OC； 3.顺次连结所得的四点，即得到一个两条对角线互相平分的四边形ABCD. O m n B D A C 猜想：四边形ABCD是一个平行四边形. 获取新知 全品初中 已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵OA=OC，OB=OD,∠AOB=∠COD， ∴△ AOB≌△COD. ∴AB=CD. 同理 AD=BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 你还有其它证明方法吗？ 24 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 几何语言： 在四边形ABCD中， ∵AO=CO,BO=DO, ∴四边形ABCD是平行四边形. B O D A C 平行四边形的判定定理3 归纳总结 本节课的重点，也是难点。 25 与边有关的判定平行四边形的方法： 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 4.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 例1 如图，在 ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF. 求证：四边形BFDE是平行四边形. 分析：连结BD，交于AC点O，由四边形从ABCD是平行四边形，可得OB=OD. 如果能证明OE=OF，就可以根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得到四边形BFDE是平行四边形. 例题讲解 O B D A C E F ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AO=CO,BO=DO. ∵AE=CF ， ∴ AO-AE=CO-CF, 即EO=FO. 又∵BO=DO， ∴四边形BFDE是平行四边形. 证明：连结BD，交于AC点O， 你还有其它证明方法吗？ O B D A C E F Administrator (A) - 此题可让学生选择不同的方法加以证明，一来让学生体会如何根据条件选择合适的判定方法，二来感受证明方法的多样性. 例2 如图，在▱ABCD中，点F、H分别在边AB、CD上， 且BF=DH. 求证：AC和HF互相平分. 分析： 因为AC和HF是四边形AFCH的对角线，所以要证明AC和HF互相平分，只需证明四边形AFCH是平行四边形． A H C D B F 证明：分别连结AH、CF. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. 又∵BF=DH， ∴AB-BF=CD-DH， 即AF＝CH， ∴四边形AFCH是平行四边形． ∴AC和HF互相平分． A H C D B F 例3 已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 且∠A=∠C，∠B=∠D， ∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°， ∴2∠A+2∠B=360°， 即∠A+∠B=180°， ∴ AD∥BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 同理得 AB∥CD， 证明： B D A C 从例3的证明过程可知： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. B D A C 此结论仅可做为一个补充结论使用，不能直接应用于证明当中. 32 Administrator (A) - 新教材当中将此结论作为一道例题呈现的，教学中不必强化此结论，只需要让学生了解即可. 随堂演练 1.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　） A．OA=OC，OB=OD B．AB=CD，AO=CO C．AB=CD，AD=BC D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD B O D A C B B' 2.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O. 如果AC=8cm,BD=10cm,那么当AO=_____cm, BO=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形. B O D A C 4 5 3.如图，在四边形ABCD中，如果∠A：∠B：∠ C：∠D =1：2：1：2 ,那么四边形ABCD是_____________. 平行四边形 4. 如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N. 求证：四边形BMDN是平行四边形． O 证明：连结BD交AC于O． ∵BM⊥AC于M，DN⊥AC于N， ∴∠AND=∠CMB=90°． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD，OA=OC，AD=BC，AD∥BC， ∴∠DAN=∠BCM, ∴△ADN≌△CBM，∴AN=CM， ∴OA-AN=OC-CM，即ON=OM, ∴四边形BMDN是平行四边形． 全品初中 课堂小结 从对角线判定平行四边形 判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 结论 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 第17章 平行四边形 17.2 第3课时 平行四边形的性质与判定的综合应用 知识回顾 例题讲解 随堂演练 课堂小结 37 关于平行四边形你知道多少？ 它的判定方法有哪些？ 1.两组对边分别平行 2.两组对边分别相等 3.两组对角分别相等 4.两条对角线互相平分 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4.对角线互相平分的四边形是平行四边形 它有哪些主要性质？ 知识回顾 38 A B C D E F 例1 四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证:四边形ABCD 是平行四边形. 证明：∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形， ∴AD EF，EF BC. ∴AD BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 例题讲解 类型 综合利用性质与判定证明平行四边形 1 例2 如图，G，H是▱ABCD的对角线AC上的两点，且AG=CH， E、F分别是边AB、CD的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形． 证明：连结EF交AC于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB CD． ∵E、F分别为AB、CD的中点，∴AE=CF， 又∵AB∥CD，∴∠EAO=∠FCO． 在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCO，∠AOE=∠COF，AE=CF， ∴△AOE≌△COF， ∴OE=OF， OA=OC． ∴四边形EHFG为平行四边形． O B D A C H G E F 又∵AG=CH， ∴ OG=OH， 类型 利用性质与判定探究线段、角的关系 2 1.对于边，从位置（比如平行、垂直等）和大小（比如相等或倍半关系等）两方面探究邻边或对边的关系； 2.对于角，以邻角和对角两方面为主，探究其大小关系（比如相等、互补等）或具体度数； 3.对于对角线，则探究两条对角线之间的位置和大小关系，以及它们与边、角之间的关系. 例3 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E，连结DE. (1)求证：△ABD≌△CAE； (2) 线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请说明理由． (1)证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC. ∵AE∥BC，CE⊥AE，∴AD=EC. 又∵AB＝CA， ∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)． (2)解：DE∥AB且DE＝AB.理由如下： ∵Rt△ABD≌Rt△CAE，∴AE＝BD. 又∵AE∥BD， ∴四边形ABDE是平行四边形． ∴DE∥AB且DE＝AB. 例4 如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝18 cm，CD＝15 cm，AD＝10 cm，AB＝12 cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2 cm/s的速度由A向D运动，点Q以3 cm/s的速度由C向B运动． (1)几秒后，四边形ABQP为平行四边形？ 并求出此时四边形ABQP的周长； (2)几秒后，四边形PDCQ为平行四边形？ 并求出此时四边形PDCQ的周长． 类型 利用平行四边形的性质和判定探究动点问题 3 化动为静，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”建立方程求解. 解：(1)设x s后，四边形ABQP为平行四边形， 由题意易得2x＝18－3x，解得x＝3.6， 即3.6 s后，四边形ABQP为平行四边形， 此时四边形ABQP的周长是 （3.6×2＋12）×2＝38.4(cm)． (2)设y s后，四边形PDCQ为平行四边形． 由题意易得10－2y＝3y，解得y＝2， 即2 s后，四边形PDCQ为平行四边形， 此时四边形PDCQ的周长是（3×2＋15）×2＝42(cm)． 全品初中 2.如图，▱ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的点，要使四边形BEDF为平行四边形，需添加一个条件: ______________________________________________. AE=FC或∠ABE=∠CDF或BE∥DF（答案不唯一） 1.如图，在▱ABCD中，∠A＝70°，将▱ABCD折叠，使点D，C分别落在点F，E处(点F，E都在AB所在的直线上)，折痕为MN， 则∠AMF等于( ) A．70° B．40° C．30° D．20° B 随堂演练 3.如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点． (1)求证：四边形EBFD为平行四边形； (2)对角线AC分别与DE，BF交于点M，N，求证： △ABN≌△CDM. (1)∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，EB∥DF. 又∵E，F分别是AB，CD的中点， ∴EB＝DF. ∴四边形EBFD为平行四边形． 证明： (2)∵四边形EBFD为平行四边形， ∴∠ABN＝∠CDM. ∵AB∥CD，∴∠BAN＝∠DCM. 又∵AB＝CD，∴△ABN≌△CDM. 4. 已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点． 求证：四边形EHFG是平行四边形． 证明：如图所示， ∵点O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点， ∴OA=OC，OB=OD． ∵G，H分别为OA，OC的中点， ∴OA=2OG ，OC=2OH， 又∵AB∥CD，∴∠1=∠2． ∴OG=OH． 在△OEB和△OFD中，∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4， ∴△OEB≌△OFD， ∴OE=OF． ∴四边形EHFG为平行四边形． 平行四边形的性质 判定 得出 四边形是平行四边形 课堂小结 第17章 平行四边形 17.2 第4课时 三角形中位线 问题导入 例题讲解 随堂演练 课堂小结 50 问题导入 如果将▱ABCD的边AD延长一倍至点F， A B C D F E 连接BF，与DC相交于点E， 那么BE于EF有什么关系呢？ 你能证明吗？ 51 如图，已知▱ABCD，延长AD至点F，试DF=DA，连接BF，交DC于点E.求证：EF=EB. 例题讲解 A B C D F E 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DA CB. ∴∠FDE=∠BCE，∠DFE=∠CBE， 又∵DA=DF， ∴DF=CB， 在ΔDFE与ΔCBE中， ∵∠FDE=∠BCE，DF=CB， ∠DFE=∠CBE， ∴ΔDFE≌ΔCBE. ∴EF=EB. 探究新知 A B C D F E 中点 中点 一个三角形有几条中位线？ 定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线. F A B C D E 对于任意三角形的中位线，具有哪些性质呢？ 例 如图，在ΔABC中，点D，E分别是边AB和AC的中点. 求证：DE//BC，DE=BC. 证明：过点C作CF//AB，且与DE的延长线交于点F. ∵CF//AB， ∴∠ADE=∠CFE，∠DAE=∠FCE,且AE=CE， ∴ΔADE≌ΔCFE（AAS）. 则AD=CF，DE=EF. ∵CF=AD，且点D为AB中点， ∴CF=BD，且CF//BD， ∴四边形BDFC为平行四边形. ∵四边形BDFC为平行四边形， ∴DE//BC，且DE=DF=. F 小结 中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. 已知：如图，在ΔABC中，AD=DB，BF=FC，AE=EC. 求证：AF与DE相互平分. 例题讲解 A B C D E F 证明：如图，连接DF、EF. ∵AD=DB，BF=FC， ∴DF//AC（三角形的中位线平行于第三边）. 同理可得，EF//BA. ∴四边形ADFE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）. ∴AF与DE互相平分. A B C D E F 合作探究 A B C D E F 三角形的三条中线与三条中位线的对比 三角形的三条中线 三角形的三条中位线 A B C D E F 合作探究 三角形的三条中线与三条中位线的对比 三角形的三条中线 三角形的三条中位线 区别 定义 三角形顶点与对边中点的连线 三角形两边中点的连线 性质 将对边平分，将面积平分 与第三边平行，等于第三边的一半 联系 均与边的中点有关 2.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，如果AC⊥BD且HF=8，则EG=____． 1.如图，为测量池塘边A，B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是C，D，且CD=12m，则A，B两点之间的距离是（   ） A．6m B．12m C．18m D．24m 随堂演练 D 8 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，N是BC边上一点，M为AB边上的动点，D，E分别为CN，MN的中点．求DE的最小值． 解：如图，连接CM． ∵D，E分别为CN，MN的中点， ∴DE=CM． 当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值． ∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8， ∴AB==10． ∵S△ABC=AC⋅BC=AB⋅CM， ∴CM=， ∴DE=CM=． 故DE的最小值是． 课堂小结 中位线的概念 中位线定理 中位线 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线. 中三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. $