专题03 解三角形中最值与范围的问题（专项训练）高一数学苏教版必修第二册

专题03解三角形中最值与范围的问题 目录 A题型建模・专项突破 题型01解三角形中边长的最值或范围问题 题型02解三角形中周长的最值或范围问题 题型03解三角形中面积的最值或范围问题 题型04解三角形中角的最值或范围问题 题型05正余弦定理与三角函数结合的问题 题型06正余弦定理与向量结合的问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01解三角形中边长的最值或范围问题 1．在锐角中，角，，的对边分别为，，，角，边长，则边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数 . (1)若函数的最小正周期为，求在的值域； (2)若，且在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，锐角满足 ，，求的最小值. 3．在锐角中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求边长的取值范围. 4．在锐角中，内角所对的边分别为且，则_______，边长c的取值范围为_______． 题型02解三角形中周长的最值或范围问题 5．已知平面四边形中，，，. (1)若，求的长； (2)设，记四边形的周长，求的最大值. 6．在中，内角所对应的边分别是，且． (1)求； (2)若，求的周长最大值． 7．在锐角中，，， (1)求角A； (2)求的周长l的范围. 8．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（    ） A． B． C． D． 题型03解三角形中面积的最值或范围问题 9．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．且． (1)若D为AB边上靠近点A的三等分点，，求面积的最大值； (2)求的取值范围． 10．已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 11．如图，在平面四边形中，． (1)证明：； (2)已知，的外接圆半径为1，求面积的最大值． 12．已知. (1)若将函数的图象向左平移得到函数的图象，求函数的解析式，并求出函数的零点； (2)在中，角的对边分别为.若，，求面积的最大值. 题型04解三角形中角的最值或范围问题 13．（多选）在锐角中，角所对的边分别为c，且．则下列说法正确的是（   ） A．A＝2B B． C．的取值范围是 D．的范围为 14．在锐角三角形中，分别为角所对的边，. (1)证明：. (2)求的范围. 15．在中，角所对的边分别为，为其外心，且满足. (1)证明：； (2)求角的最大值. 16．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知的面积 (1)若，求b的值； (2)求内角C取得最大值时的面积. 题型05正余弦定理与三角函数结合的问题 17．记的内角的对边分别为，已知. (1)求的最大值； (2)若，求. 18．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)若在上单调递增，求c的取值范围； (2)若，，求的最大值． 19．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)在锐角中，角的对边分别为，若，求周长的取值范围． 20．已知函数． (1)化简并求的最小正周期； (2)已知在的值域为，求m的取值范围； (3)在锐角三角形ABC中，，，求的范围． 题型06正余弦定理与向量结合的问题 21．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数， (1)求角A的大小； (2)在中，，求的取值范围. 22．已知向量，，函数 (1)求的单调递增区间； (2)在三角形中，角，，所对的边分别为，，.并且满足.若，求的值. 23．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记，． (1)若，，求向量夹角的余弦值； (2)若向量共线． ①求证：角为直角； ②求的取值范围． 24．已知向量，函数.(注： 表示向量、的夹角) (1)求函数； (2)若锐角的三内角的对边分别是，且， (i) 求； (ii) 求的取值范围. 1．锐角中，角A、B、C所对的边长a、b、c，若，则的范围（   ） A． B． C． D． 2．古希腊数学家海伦提出了一个计算三角形面积的公式：若三角形三边长分别为，，，则其面积，其中.现有一个三角形的边长满足，，则该三角形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．在中，已知，，则周长最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 4．在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形 5．（多选）在中，，的重心为，外心为，则下列命题正确的是（   ） A． B． C．若向量在方向上的投影向量为，则 D．若为锐角三角形，则 6．（多选）下列命题中， p是q的充要条件的有（   ） A．设是的三条边，，为直角三角形， B．设是的三条边，，为钝角三角形， C．设是的三条边，，为锐角三角形， D．两个三角形全等，两个三角形面积相等 7．（多选）如图，在边长为的等边三角形ABC中，D为边中点，E为上动点，则 的可能值有（    ） A． B． C． D．3 8．的内角的对边分别为，已知的周长，则的最大值为__________. 9．在中，为边上一点，，，，若使的个数有且仅有两个，则线段长度的范围为________． 10．记的内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，求周长的范围. 11．在中，角所对的边分别为，且满足. (1)已知为线段上一点，且满足，若，求的长； (2)若为锐角三角形，求面积的范围. 12．在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若，且边的中线的长为，求的面积； (3)若是锐角三角形，求的范围． 13．在中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点． (1)求角的大小； (2)若是的角平分线，的周长为19，求的长度； (3)若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03解三角形中最值与范围的问题 目录 A题型建模・专项突破 题型01解三角形中边长的最值或范围问题 题型02解三角形中周长的最值或范围问题 题型03解三角形中面积的最值或范围问题 题型04解三角形中角的最值或范围问题 题型05正余弦定理与三角函数结合的问题 题型06正余弦定理与向量结合的问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01解三角形中边长的最值或范围问题 1．在锐角中，角，，的对边分别为，，，角，边长，则边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由为锐角三角形，可得，再利用正弦定理，即可得解． 【详解】因为为锐角三角形，角， 所以，解得，所以， 由正弦定理知，， 所以 故选：A． 2．已知函数 . (1)若函数的最小正周期为，求在的值域； (2)若，且在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，锐角满足 ，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数的最小正周期求出的值，即可得到解析式，再由诱导公式及两角差的正弦公式化简，由的范围求出的范围，最后由正弦函数的性质计算可得； （2）首先求出解析式，由求出，根据数量积的定义求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最小值. 【详解】（1）因为函数的最小正周期为，所以，解得， 所以， 则 ， 由，则，所以， 则，即在的值域为； （2）当时，， 所以，所以， 因为，所以，则，解得； 因为，所以， 由余弦定理， 得，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 3．在锐角中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求边长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式对原式进行化简，得到，再利用三角形内角的性质求解角度即可. （2）先利用正弦定理求出，再利用锐角三角形的性质求出，最后结合正弦函数的性质求解取值范围即可. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 则， 得到， 因为，所以， 化简得，而，则解得. （2）由正弦定理得，则， 因为为锐角，所以，， 解得，结合可得， 得到，则，故. 4．在锐角中，内角所对的边分别为且，则_______，边长c的取值范围为_______． 【答案】 【分析】利用余弦定理得到，求出，由正弦定理得到，根据为锐角三角形，得到，求出，得到答案. 【详解】，，故， 所以， 又为锐角三角形，，故， 由正弦定理得，即， 所以， 为锐角三角形，， ，解得， 又，所以， 所以，，， 所以. 故答案为：， 题型02解三角形中周长的最值或范围问题 5．已知平面四边形中，，，. (1)若，求的长； (2)设，记四边形的周长，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，在中，由余弦定理可解； （2）在中，由正弦定理可得，再利用两角和与差的正弦公式可得最大值. 【详解】（1） 连接， 因为，，， 所以为正三角形，， 在中，由余弦定理可得， 代入数值可得，解得. （2）在中，由正弦定理可得， 所以， 所以四边形的周长 ， 所以当时，的最大值为. 6．在中，内角所对应的边分别是，且． (1)求； (2)若，求的周长最大值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）法一根据条件，利用倍角公式和诱导公式得，再利用射影公式：，可得，即可求解；法二，利用正弦定理边化角，即可求解； （2）结合（1）中结果，利用余弦定理得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）方法1：由，得， 可得到， 根据射影公式得，则，即， 因，所以． 方法2：由法一知， 由正弦定理得，即． 因为，所以，故． 又，所以． （2）因为（1）知，由余弦定理得， 即． 由基本不等式，代入上式， 所以，即，得到（取得等号）， 又，故的周长的最大值是6． 7．在锐角中，，， (1)求角A； (2)求的周长l的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理把边转化为角，结合诱导公式，即可求出，即可求解; （2）利用正弦定理把边转化为角，结合角的范围，即可求解. 【详解】（1）∵， ， 所以， 所以， 因为，所以， ，所以. （2）， 所以, 所以，， 所以 , 因为是锐角三角形，且， 所以，解得， 所以，所以， 所以. 8．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理对已知式化简变形可求得，再利用正弦定理表示出，，从而可得，求出的取范围，可求得范围． 【详解】因为 所以由正弦定理得，， 所以， 因为，所以． 因为，所以，， 所以 ． 因为，所以，． 故． 故选：C． 题型03解三角形中面积的最值或范围问题 9．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．且． (1)若D为AB边上靠近点A的三等分点，，求面积的最大值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角公式以及正弦定理可把题中第一个条件转化为，根据余弦定理可将题中第二个条件化简为，根据向量的线性表示以及模长公式，即可余弦定理得，进而根据二次方程的判别式求解，即可根据面积公式求解， （2）根据（1）结果结合余弦定理可得，求出的范围后可求的取值范围. 【详解】（1）由可得，即, 故，则, 由正弦定理可得， 由可得, 由于D为AB边上靠近点A的三等分点，，故, 平方可得, 故， 由余弦定理可得，故， 则， 将代入上式可得， 由于该关于的一元二次方程有解，故，故， 由于,当且仅当取到等号. 故三角形面积的最大值为， （2）由（1）可得，故， 而，故， 而，故， 故，故，故， 因此，综上可得. 10．已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据正弦定理和辅助角公式求出，再由已知条件结合正弦定理求得； （2）先根据正弦定理求出的关系式，然后根据的范围求出的范围，最后利用三角形面积公式即可求得其面积的范围. 【详解】（1）在锐角中，由正弦定理得， 又， ∵， 所以， 则， 在锐角中，， ，即. ， （2）由（1）得， 由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为． 11．如图，在平面四边形中，． (1)证明：； (2)已知，的外接圆半径为1，求面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用正弦定理和角的关系可证结论； （2）利用正弦定理、余弦定理以及根与系数关系即可得，再利用三角形面积公式得到面积表达式，再求出的范围即可得到最值. 【详解】（1）证明：设， 因为，所以， 在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 所以. （2）因为的外接圆半径为1， 由正弦定理，得， 在中，由余弦定理得， 即，① 在中，同理可得，② 由①②可知，是关于的方程的两根， 所以． 的面积为. 由，得到， 又因为，所以， 所以 即面积的最大值为. 12．已知. (1)若将函数的图象向左平移得到函数的图象，求函数的解析式，并求出函数的零点； (2)在中，角的对边分别为.若，，求面积的最大值. 【答案】(1)，的零点为 (2) 【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式将化简，再根据三角函数的变换规则求出的解析式，从而求出其零点； （2）首先求出角，再由余弦定理及基本不等式求出的最大值，最后由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为 ， 将函数图象向左平移得到， 令，解得， 所以函数的零点为. （2）因为，所以， 又，所以，所以，所以， 又，由余弦定理， 即，所以，当且仅当时取等号，即， 所以， 即当且仅当时，的面积取得最大值为. 题型04解三角形中角的最值或范围问题 13．（多选）在锐角中，角所对的边分别为c，且．则下列说法正确的是（   ） A．A＝2B B． C．的取值范围是 D．的范围为 【答案】ACD 【分析】先利用正弦定理从条件中求出，得到选项A正确.选项B利用为锐角三角形求解；选项C先用二倍角公式化简，再结合角的范围求解；选项D先对式子化简，再结合的范围即可求解. 【详解】在中，由正弦定理可将式子化为 ， 把代入整理得， ， 解得或，即或(舍去). 所以. 选项A正确. 选项B：因为为锐角三角形，，所以. 由解得，故选项B错误. 选项C：， 因为，所以，， 即的取值范围.故选项C正确， 选项D： . 因为，所以， . 所以，D正确， 故选：ACD. 14．在锐角三角形中，分别为角所对的边，. (1)证明：. (2)求的范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）因为，由正弦定理得，化简得，则可得； （2）在锐角三角形中，由，可得的范围为，则，将化简得，设，利用换元法令，利用导数可得函数在上单调递增，即可得到，即为的范围 【详解】（1）因为在锐角中，， 由正弦定理得， 则， 所以， 则，所以或（舍去）， 所以. （2）因为是锐角三角形，又，所以， 所以的范围为，则， 又 则 ， 设， 令， 则，， 所以，在上单调递增， 所以，即， 则，即， 所以的取值范围是. 15．在中，角所对的边分别为，为其外心，且满足. (1)证明：； (2)求角的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，由三角形外心的性质和向量的加减法法则即可得到，同理取的中点，连接，即可得到，最后结合题意完成证明； （2）根据余弦定理，结合可得，再利用基本不等式得到，最后由余弦函数在上的单调性求解即可. 【详解】（1）如图所示，取的中点，连接， 由为的外心可知， 则， 因为为的中点，，且， 所以， 同理，取的中点，连接， 由为的外心可知， 则， 因为为的中点，，且， 所以， 依题意，，因此， 即，.    （2）根据余弦定理，结合可得：， 由基本不等式，，当且仅当时取得， 因为，且在上单调递减， 所以，即的最大值为. 16．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知的面积 (1)若，求b的值； (2)求内角C取得最大值时的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式与条件得到，再利用余弦定理求得，从而得解； （2）利用余弦定理与基本不等式求得内角C取得最大值时的值，再利用三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）依题意，得，则， 又， 所以，从而， 所以. （2）在中有， 当且仅当，即时取等号，则， 又，所以，故当内角C取得最大值时，取得最小值， 此时，，，则， 所以. 题型05正余弦定理与三角函数结合的问题 17．记的内角的对边分别为，已知. (1)求的最大值； (2)若，求. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，得到，代入原式，求得，即，由余弦定理，得到，利用基本不等式，求得，即可求解； （2）由（1）知，当，求得，令，得到方程，求得或，即或，结合，结合正弦定理，即可求解. 【详解】（1）因为， 由， 可得，所以， 可得，可得， 又由余弦定理得，可得， 所以，当且仅当时，等号成立， 又因为，可得，所以的最大值为. （2）由（1）知， 当，可得， 又由，可得， 可得，令，可得，即， 解得或，即或， 又由，可得， 当时， 可得， 整理得，所以； 当时， 可得， 整理得，所以. 综上可得，的值为或. 18．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)若在上单调递增，求c的取值范围； (2)若，，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简为的形式，再根据正弦函数的单调性可求出的取值范围， （2）利用小问1的结论，代入计算，根据的范围求出，利用余弦定理，结合基本不等式可以得到的最大值. 【详解】（1）． 当时，，因为在上单调递增， 所以，所以， 可得c的取值范围为． （2），，，， 是三角形内角，，所以，得， 由余弦定理：； 即 ，可得，，当且仅当时等号成立，取得最大值． 19．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)在锐角中，角的对边分别为，若，求周长的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由的图象，求得，得到，得到，再由，即，求得，即可函数的解析式及对称中心； （2）由，求得，由正弦定理得，得到，化简得到的周长为，结合为锐角三角形，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象，可得， 可得，所以，所以， 又由，即， 解得，即， 因为，所以， 所以函数的解析式为； 令，可得， 所以的对称中心为. （2）解：因为，可得，即， 因为，可得，所以，所以， 又因为，由正弦定理可得，则， 所以的周长为 因为，可得， 所以， 因为为锐角三角形，可得，可得，可得， 则，可得， 所以的周长为. 20．已知函数． (1)化简并求的最小正周期； (2)已知在的值域为，求m的取值范围； (3)在锐角三角形ABC中，，，求的范围． 【答案】(1)；最小正周期为 (2) (3) 【分析】（1）根据二倍角公式和两角和差公式，以及辅助角公式，即可化简函数解析式，并求周期； （2）根据（1）的结果，利用代入法求的取值范围，再结合函数的值域，即可求解； （3）根据（1）的结果求角，再结合正弦定理，利用三角函数表示边，转化为三角函数求值域问题. 【详解】（1）， ， 函数的最小正周期； （2）当，， 因为函数的值域是，所以，解得：， 所以得到取值范围是； （3），得， 因为，则，所以，得， 又，，所以，， 因为为锐角三角形，且，所以， 所以， 因为，所以的范围是， 所以的取值范围是. 题型06正余弦定理与向量结合的问题 21．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数， (1)求角A的大小； (2)在中，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式即可得到角的值. （2）先利用数量积公式得到的解析式，进而得到边的值.利用正弦定理将边换成角，然后利用三角函数知识求解的取值范围. 【详解】（1）由已知，可以得到 再利用面积公式可以得到， 由余弦定理知，所以有 即. 因为，所以. （2）由数量积公式可知 由二倍角公式和辅助角公式可得. 所以. 由正弦定理可得， 所以,，因为,所以， 所以 ， 因为，所以. 所以， 所以的取值范围为. 22．已知向量，，函数 (1)求的单调递增区间； (2)在三角形中，角，，所对的边分别为，，.并且满足.若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）由，利用正弦定理，求得，得到，再由，求得，得到，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由向量，， 可得函数， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）解：因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以，即， 因为，所以， 由（1）知， 因为，可得， 即，即，所以， 又因为，则 因为，则 . 23．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记，． (1)若，，求向量夹角的余弦值； (2)若向量共线． ①求证：角为直角； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)① 证明见解析；② 【分析】（1）根据向量的夹角公式即可求解； （2）①首先根据向量共线得出，再利用二倍角公式，弦化切即可证明；②由正弦定理边化角得到，然后令，把问题转化为二次函数值域问题即可求解. 【详解】（1）若，，则，， 则，所以向量夹角的余弦值为 . （2）①若向量共线，则，即， 可得，则， 因为，则，可知，， 可得，即，可得， 又，则，可得，则． ②由①可知： ，． 令，因为，则，， 可得，且， 则， 令，在区间内单调递增，且，， 可得，即的取值范围为． 24．已知向量，函数.(注： 表示向量、的夹角) (1)求函数； (2)若锐角的三内角的对边分别是，且， (i) 求； (ii) 求的取值范围. 【答案】(1)； (2)(i)；(ii) . 【分析】（1）由向量夹角的坐标表示及和角正弦公式化简求； （2）（i）由已知得，结合角的范围求其大小即可；（ii）由（i）及题设可得，结合锐角三角形内角性质，正弦边角关系、三角恒等变换得，且，最后由正弦型函数性质求范围. 【详解】（1）已知向量 ， ， ， （2）(i) 由（1）知及，得 ， 所以，解得 ， 又，得， (ii) ，则， 又在锐角中 ，解得 ， 所以，则有，即. 所以的取值范围是. 1．锐角中，角A、B、C所对的边长a、b、c，若，则的范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由锐角三角形先求得，进而根据正弦定理边角互化求解即可. 【详解】因为锐角中， 所以， 即，解得， 所以， 因为，所以， 所以，即的范围为 故选：B 2．古希腊数学家海伦提出了一个计算三角形面积的公式：若三角形三边长分别为，，，则其面积，其中.现有一个三角形的边长满足，，则该三角形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形面积公式，结合基本不等式求解最值即可. 【详解】由题意可知，，，， 则， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为16， 所以三角形面积的最大值. 故选：A. 3．在中，已知，，则周长最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理角化边，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】在中，由及正弦定理， 得，整理得，而， 因此，解得，当且仅当时取等号， 所以当时，周长取得最大值6. 故选：B 4．在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】由向量，共线可得，利用正弦定理结合倍角公式分析可得，同理可得，即可判断结果. 【详解】因为向量，共线， 则，由正弦定理可得：， 则， 因为，则，可知，，，均不为， 可得，则，即； 同理由向量，共线可得：； 综上所述：. 所以的形状为等边三角形. 故选：A 5．（多选）在中，，的重心为，外心为，则下列命题正确的是（   ） A． B． C．若向量在方向上的投影向量为，则 D．若为锐角三角形，则 【答案】BD 【分析】对于A，由正弦定理推论可判断选项正误；对于B，由可判断选项正误；对于C，由题可得点A在以O为圆心的优弧BC上，据此可判断选项正误；对于D，由题可得，然后由正弦定理边角互化结合题意可判断选项正误. 【详解】对于A，由正弦定理推论，，故A错误； 对于B，，因的重心为， 则，从而，故B正确； 对于C，由题可得点A，在以O为圆心的优弧BC上，因，由圆周角圆心角关系可得为等边三角形，过A做BC垂线，垂足为D，则在方向上的投影向量为，如图当与圆O相切时，取最小值，最大值. 如图，取BC中点为E，连接OE，易得BD， ，则，，从而，故C错误； 对于D，由数量积定义及余弦定理， ， 由正弦定理边角互化， 又，结合为锐角三角形，则. 则， 由和差化积公式，， 因，则， 则， 从而， 则，故D正确. 故选：BD 6．（多选）下列命题中， p是q的充要条件的有（   ） A．设是的三条边，，为直角三角形， B．设是的三条边，，为钝角三角形， C．设是的三条边，，为锐角三角形， D．两个三角形全等，两个三角形面积相等 【答案】ABC 【分析】利用余弦定理及充要条件的定义推理判断ABC；利用充要条件定义判断D. 【详解】对于ABC，是的三条边，且，则边所对角为最大角，由余弦定理得， 为直角三角形，A是； 为钝角三角形，B是； 为锐角三角形，C是； 对于D，面积相等的两个三角形不一定全等，p不是q的充要条件，D不是. 故选：ABC 7．（多选）如图，在边长为的等边三角形ABC中，D为边中点，E为上动点，则 的可能值有（    ） A． B． C． D．3 【答案】AB 【分析】设，则，根据余弦定理求得，则，再根据函数单调性得到范围即可. 【详解】设，则， ， ， ， 又，当，即时取等， 所以， 则， 所以. 故选：AB. 8．的内角的对边分别为，已知的周长，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据数量积的定义可得，结合余弦定理和周长可得，即可根据基本不等式求解. 【详解】，故， 又余弦定理可得， 因此， 由于，故， 故， 当且仅当时，等号成立， 结合，故，因此最大值为， 故答案为： 9．在中，为边上一点，，，，若使的个数有且仅有两个，则线段长度的范围为________． 【答案】 【分析】利用余弦定理求得的长度，进而求得到的距离为,数形结合可得的取值范围. 【详解】由余弦定理可知：， 又，，，代入整理得：, 即，∵，∴， ∴到的距离为， 要使的个数有且仅有两个，如图所示 ∴. 故答案为： 10．记的内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，求周长的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将边化角后计算即可得； （2）借助正弦定理可用角表示出周长，再利用三角恒等变换公式化简计算即可得. 【详解】（1）由，则， 由，则，则，则， 由，则； （2），则、， 则周长为 ， 由，则，则，则， 则， 即周长的范围为. 11．在中，角所对的边分别为，且满足. (1)已知为线段上一点，且满足，若，求的长； (2)若为锐角三角形，求面积的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦边角关系可得，进而有，应用余弦定理可得，结合已知为等边三角形，则，根据余弦定理求，即可求的长； （2）由锐角三角形及正弦定理可得且，再应用三角形面积公式及正切函数性质求范围即可. 【详解】（1）由题设，则，故， 又，则，又，则为等边三角形，故，    由，则， 所以（负值舍），故. （2）由题意，则，又，则， 所以， 由，而， 所以. 12．在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若，且边的中线的长为，求的面积； (3)若是锐角三角形，求的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得得解； （2）根据余弦定理可得，利用向量的中线公式及数量积的运算，可得，再利用面积公式，即可求解； （3）根据正弦定理边角化以及三角恒等变换可得，再根据角的范围，结合三角函数的性质即可求解． 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 所以， 得到，即， 又，，所以， 又因为，可得. （2）因为，且， 所以由，可得，解得， 由题意， 两边平方，可得， 因为，所以，解得或（舍）， 则的面积为. （3）因为 ， 由题知，，解得， 因为， 所以，可得， 可得， 所以． 13．在中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点． (1)求角的大小； (2)若是的角平分线，的周长为19，求的长度； (3)若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由向量运算可得，然后由正弦定理边角互化可得答案； （2）由题及余弦定理可得，然后由（1）结合可得答案； （3）解法一：设，，然后在，中利用正弦定理可得 ，然后由三角函数性质可得答案；解法二：由题，又可得，然后由正弦定理边角互化可得，据此可得答案. 【详解】（1）且 ，即. . 又，则，结合，； （2）而 为角的角平分线 . 即，；    （3）设，则； 设，则. 在中即 在中 即， 则. 又，而 ， 由和差化积公式可得. 则. ，； 解法二：， ， . ． . ， .    1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $