专题02 解三角形中线、角平分线、垂线的问题（专项训练）高一数学苏教版必修第二册

专题02解三角形中线、角平分线、垂线的问题 目录 A题型建模・专项突破 题型01求三角形中线的问题 题型02利用中线求解其他参数 题型03求三角形角平分线的问题 题型04利用角平分线求解其他参数 题型05求三角形垂线的问题 题型06利用垂线求解其他参数 题型07在几何图中利用正余弦定理计算 B综合攻坚・能力跃升 题型01求三角形中线的问题 1．设的内角、、的对边分别为、、，已知、 (1)求角的大小； (2)若，且，求边上中线的长． 2．在中，三个内角所对的边分别为，已知，且. (1)求角B ; (2)若的周长为，D为BC的中点.求中线AD的长度. 3．已知的内角的对边分别为，，． (1)设，求的解析式； (2)求面积的取值范围； (3)求顶点的轨迹； (4)求边上的中线长的取值范围； (5)求角的平分线长的取值范围． 4．在锐角中，设角的对边依次为，满足. (1)求的大小； (2)若，求边上的中线的取值范围. 题型02利用中线求解其他参数 5．在中，角、、的对边分别为，，，向量，，且. (1)求角的值； (2)若，是边上的中线，，求的面积. 6．在中，角，，所对的边分别是，，，且． (1)求； (2)若边上的中线为，，，求的值． 7．已知的面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为__________. 8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)如图，的角平分线交于点D，且，， （i）求的长度； （ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值． 题型03求三角形角平分线的问题 9．在中，角，，的对边分别为，，.已知，，. (1)分别求出角，边的长度； (2)求的角平分线长度. 10．已知分别为的三个内角的对边，若为的内角平分线，且，，． (1)求的大小； (2)求角平分线的长度： (3)求的面积． 11．在中，设角所对的边分别为，已知且. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线的长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 12．在中，角的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，，的角平分线交于，求. 题型04利用角平分线求解其他参数 13．在中，内角的对边分别为，且的面积为． (1)若是的角平分线，，求的周长； (2)若，求的最小值． 14．已知的角的对边是且. (1)求； (2)若为的中线，为的角平分线，求. 15．在中，角的对边分别为，满足，点是上的一动点，且. (1)求角的大小； (2)若为边上的高，且，求的面积； (3)若为的角平分线，求的最小值. 16．如图，在中，内角，，所对的边分别为，，，且，． (1)求； (2)若，，求的面积； (3)已知的角平分线交于，且，求． 题型05求三角形垂线的问题 17．在中，角的对边分别是，且，且． (1)求角的大小； (2)D为AC过上的一点，，且_____，求的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）． ①BD是角B的平分线； ②D为线段AC的中点． (3)若为锐角三角形，求AC边上的高取值范围． 18．在中，角的对边为，，，，且. (1)求； (2)若的周长为，求边上的高. 19．（多选）在中，，过点A作BC的垂线，垂足为H，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 20．记斜三角形的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)过点作的垂线，与的延长线相交于点，若，且，求. 题型06利用垂线求解其他参数 21．在中，，边上的高等于，则（   ） A． B． C． D． 22．在中，角的对边分别为.已知. (1)求的值； (2)点是边上的一动点（包括端点）. ①若为边上的高，且，求的周长； ②若，求的面积. 23．在中，，且，则__________；若点满足，且在上的高为，则的面积为__________. 24．已知的内角所对的边分别为，记边上的高为，若为锐角，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型07在几何图中利用正余弦定理计算 25．圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 26．已知平面四边形如图所示，其中，，. (1)若，，求的面积； (2)求的取值范围. 27．如图，在四边形中，O为对角线的交点，，，，且．    (1)求的长. (2)设若且，求的长． 28．某艺术园区有一块场地如下图所示，该园区规划在三块区域，，建设办公楼，已知，，，设（单位：百米）. (1)请用表示； (2)当取何值时，的面积最大，并求最大值. 29．如图，在中，角，，的对边分别为，，，且，，为内一点，． (1)求角的大小； (2)若，求； (3)若，求 1．已知三边的中线、、的长分别为、、，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．已知面积为1，边上的中线为，边上的中线为，且，则边的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 4．的内角的对边分别为，若边上的高为，则（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，在平面四边形中，，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 6．（多选）已知中，，则下列结论正确的有（    ） A．平分 B．的面积的最大值为3 C．内角可以为 D． 7．（多选）在中，，，分别是角，，的对边．若，，且，边上的高为，则（    ） A． B．是钝角 C． D． 8．（多选）在中，若的角平分线交AC于点D，则下列说法正确的是（   ） A． B．的外接圆周长为 C． D． 9．（多选）在中，，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．边上的高为 B． C．边上的中线为 D． 10．已知面积为1，边AC，AB上的中线为BD，CE，且，则边AB长度的最小值为_______. 11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. (1)求； (2)若BC边上的中线，求面积的最大值. 12．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 13．在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02解三角形中线、角平分线、垂线的问题 目录 A题型建模・专项突破 题型01求三角形中线的问题 题型02利用中线求解其他参数 题型03求三角形角平分线的问题 题型04利用角平分线求解其他参数 题型05求三角形垂线的问题 题型06利用垂线求解其他参数 题型07在几何图中利用正余弦定理计算 B综合攻坚・能力跃升 题型01求三角形中线的问题 1．设的内角、、的对边分别为、、，已知、 (1)求角的大小； (2)若，且，求边上中线的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出，即可求解； （2）利用余弦定理得出，利用中线向量可得出，利用平面向量数量积的运算性质即可求解 【详解】（1）在中，由及正弦定理得: ， 即， 因为，则，即， 可得，故． （2）在中，由余弦定理可得， 所以， 因为为边上的中线，所以， 所以． ，故 2．在中，三个内角所对的边分别为，已知，且. (1)求角B ; (2)若的周长为，D为BC的中点.求中线AD的长度. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由向量平行的坐标表示得，应用正弦边角关系、三角恒等变换整理化简得，进而求角； （2）由题设、，应用向量数量积的运算律、余弦定理得、，进而求边长，代入即可得. 【详解】（1）由题设，可得， 由正弦边角关系知， 所以， 即， 所以，而，故， 由，则； （2）由题设，则， 又，则， 所以， 由，，则，可得， 综上，，所以，即. 3．已知的内角的对边分别为，，． (1)设，求的解析式； (2)求面积的取值范围； (3)求顶点的轨迹； (4)求边上的中线长的取值范围； (5)求角的平分线长的取值范围． 【答案】(1)，． (2)． (3)顶点的轨迹是以为公共弦、的两圆的优弧组成的“8”字型图案（不含两点） (4)． (5) 【分析】（1）由已知根据射影定理求得，得，再由正弦定理求得，进而利用三角形面积公式结合三角恒等变形即可求得的解析式； （2）利用三角函数的性质求（1）中函数的值域即可； （3）由所对的角为定角，结合正弦定理求得外接圆的半径为，可知顶点的轨迹； （4）由余弦定理结合基本不等式求解即可得中线长的取值范围； （5）解法1：结合圆的性质，运用运动观点和极端原理可求得边上的中线长的取值范围； 解法2：设，，，，在中，由正弦定理得 ，再令，通过换元转化得到，，即可求得角平分线长的取值范围； 解法3：根据角平分线的性质及余弦定理，结合基本不等式即可求得角平分线长的取值范围. 【详解】（1）由得， 又由射影定理得，所以， 所以， 因为，∴, 由正弦定理，得，即， 所以， 所以， 即 ，． （2）因为，， 由，，得． （3）由（1）知，，又，∴的外接圆的直径. 所以顶点的轨迹是以为公共弦、的两圆的优弧组成的“8”字型图案（不含两点）， 如图中实线所示．    （4）一方面，设是的中点，设中线， 在中，由余弦定理得 ①；② 由①②得，，即.    在中，由余弦定理得， 又，当且仅当时取等号. ∴，则， ∴，所以. 另一方面，由，∴，即． 综上得． （5）解法1：如图，设角的平分线的长为，由圆和角平分线的性质，运用运动观点和极端原理，即得． 解法2：正弦定理法 如图，设，，，，则． 由得， 进而得 令，∵，∴， . 则，， 所以．    解法3：余弦定理法 由角平分线的性质得． 在中，由余弦定理得，， 从而， ，， ，所以． 在中，由余弦定理得， 即，所以， 所以．又，所以． 综上，． 4．在锐角中，设角的对边依次为，满足. (1)求的大小； (2)若，求边上的中线的取值范围. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）利用正弦定理、和角公式与辅助角公式化简计算即得； （2）利用线段中点的向量表达式化简得到，由正弦定理化简得到，结合锐角得到角的范围，利用正弦函数的图象即可求得答案. 【详解】（1）由题设知. 由正弦定理,可得.① 又，则. 将上式代入①式得 即， 即. 又，，故， 则，即. 又，则，则，解得. （2）因为为的中点，所以， 两边平方得. 在中，由余弦定理得，因， 即， 所以. 在中，由正弦定理得，即得，， 所以 . 因为锐角三角形，则且，解得， 则，故，故， 则， 故中线的取值范围是. 题型02利用中线求解其他参数 5．在中，角、、的对边分别为，，，向量，，且. (1)求角的值； (2)若，是边上的中线，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解， （2）利用向量法结合中线长公式求出边的值，再利用三角形面积公式求解 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以，由正弦定理得，即， 且，则，可得， 因为，所以， （2）由题意得，则， 即有，且，解得：，所以， 故的面积为. 6．在中，角，，所对的边分别是，，，且． (1)求； (2)若边上的中线为，，，求的值． 【答案】(1)； (2)10. 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解即得. （2）由（1）的结论，结合数量积的运算律可得，再由已知求出即得. 【详解】（1）在中，由及余弦定理，得， 而，所以. （2）由为边上的中线，得，两边平方得， 即，而，则 因此，所以. 7．已知的面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用线段长度的关系，设其中一条线段，就可以表示相关线段，再引入，利用面积关系找到一个等式，然后由余弦定理求边，最后转化为角的函数来求最值即可. 【详解】    取，根据已知条件可知为的重心， 由，设，，则，， 由，又因为， 所以， 再由余弦定理可知， 令，则， 即 因为，所以， 即， 因为，所以的最小值为， 故答案为： 8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)如图，的角平分线交于点D，且，， （i）求的长度； （ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出即可得解. （2）（i）根据角平分线性质和三角形面积的分割关系列出等式，求解BD的长度. （ii）易知为向量的夹角，利用中线向量运算得，结合角平分线定理利用向量线性运算得，然后利用平面向量的夹角公式求解余弦值即可. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即， 由余弦定理得，而，所以. （2）（i）已知的角平分线交于点D，则， 又在中，，即， 即，解得. （ii）因为为的中线， 所以， 又，则， 因为，为的角平分线， 在中，因为，得到①， 在中，因为，得到②， 又，由①②得到， 所以， 因为 ， 所以， 即的余弦值为. 题型03求三角形角平分线的问题 9．在中，角，，的对边分别为，，.已知，，. (1)分别求出角，边的长度； (2)求的角平分线长度. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由正弦定理化边为角求出；由余弦定理列出方程求得. （2）由（1）中信息，利用三角形面积公式列式求出. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则，由，所以； 由余弦定理及得，， 整理得，而，解得，所以. （2）由（1）知，，，而平分， 由，得， 因此，所以. 10．已知分别为的三个内角的对边，若为的内角平分线，且，，． (1)求的大小； (2)求角平分线的长度： (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将正弦函数化为相应的边，再利用余弦定理即可求解； （2）由为的内角平分线，即可求出，再根据三角形内角和求出角，在中，由正弦定理即可求解； （3）利用正弦定理求出的长，再利用面积公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，即， 所以， 因为， 所以； （2）因为，为的内角平分线， 所以， 因为，， 所以， 在中，由正弦定理得， ，即， 解得，， 所以角平分线的长度为； （3）由(2)知，， 在中，由正弦定理得， ，即， 解得，， 在中，由正弦定理得， ，即， 解得， 所以， 所以的面积为. 11．在中，设角所对的边分别为，已知且. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线的长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解； （2）先利用余弦定理求出，再利用等面积法，即可求解； （3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将的范围转化为的范围，再结合锐角三角形以及角，求得角的范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 又由余弦定理得，， 故. （2） 由余弦定理可知，，代入， 可得，解得. 设， ，即， 解得，因此. （3）由余弦定理得，， 即. ，两边平方得. 由正弦定理可知，，故， 因此 ， 又因为是锐角三角形，故，解得， 故，，， 即，则. 12．在中，角的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，，的角平分线交于，求. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用和差角的余弦公式将变形，再结合角的范围即可求出角； （2）解法一：等面积法. 根据，利用三角形面积公式列出等式，即可求出；解法二，在中，先由余弦定理求出，再由正弦定理求出角及角，进而得到，从而推出是等腰三角形，即可求出. 【详解】（1）由，得， 所以， 因为，所以， 所以，即. （2）解法一：等面积法. 因为，，由（1）知， 所以， ， ， 因为， 即， 所以解得. 解法二： 在中，因为，，由（1）知， 由余弦定理，解得， 由正弦定理可得， 所以，即或（舍），所以. 又，所以是等腰三角形， 所以. 题型04利用角平分线求解其他参数 13．在中，内角的对边分别为，且的面积为． (1)若是的角平分线，，求的周长； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)19． (2)． 【分析】（1）由三角形面积公式及余弦定理化简求出，再由角平分线的性质及面积公式得出，再由余弦定理求出即可； （2）利用向量数量积的运算可得，再由正弦定理及三角恒等变换化简可得，利用三角函数最值即可得解. 【详解】（1）在中，由三角形的面积公式可得， 所以，所以， 因为，所以． 因为是的角平分线，所以， 所以，所以， 由余弦定理可知：， 所以， 所以，整理得， 解得或（舍去）， 所以，所以的周长为19． （2）由题意知， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以当，即时，的最大值为1，此时有最小值， 所以的最小值为． 14．已知的角的对边是且. (1)求； (2)若为的中线，为的角平分线，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理可得，进而由正弦定理结合三角恒等变换可得，进而可得，进而求得，可求结论；法二：利用余弦定理可得，结合已知可得，可得结论； （2）不妨设，则，利用余弦定理可得，可求得，利用角平分线定理可求得，可求结论.法二：不妨设，则，利用余弦定理可得，可求得，利用面积法求得，可得结论. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得，又， 所以，所以， 所以，由正弦定理可得， 所以，所以， 所以. 因为，，所以, 所以或（舍去），所以. 又因为，所以， 因为，， ， 故. 法二：由余弦定理得，所以， 与联立得，，解得，故. （2）不妨设，则， 在中，， 在中，， 所以，，所以. 由，为的角平分线，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 法二：不妨设，则， 在中，， 在中，， 所以，，所以. 由，得， 所以，所以，得， 所以. 15．在中，角的对边分别为，满足，点是上的一动点，且. (1)求角的大小； (2)若为边上的高，且，求的面积； (3)若为的角平分线，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，由正弦定理得，结合，化简可求得，从而可求得； （2）由和可求得，由余弦定理得，进而可得的面积； （3）由可得，利用基本不等式可得，利用条件和正弦定理化简，然后基本不等式求解即可． 【详解】（1）由，由正弦定理得， ， ， ， ， . （2）因为，即， 又，所以， 由余弦定理得， 化简可得，解得， 所以的面积. （3）因为为的角平分线，且， 因为， 所以， 所以，又，可得， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以 ， 当且仅当且，即时取等号， 又当时，，符合题意， 故的最小值为12. 16．如图，在中，内角，，所对的边分别为，，，且，． (1)求； (2)若，，求的面积； (3)已知的角平分线交于，且，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用正弦定理计算结合角的范围求角； （2）应用正弦定理结合面积公式计算求解； （3）应用正弦定理结合角平分线性质，两角差的正弦公式计算求值. 【详解】（1）由题得， 由正弦定理得， ，，又， ，． （2），，， 又，，， ，，，，． 所以的面积为． （3）设，则，因为，所以． 在中，由正弦定理可得． 在中，由正弦定理可得．所以， 所以，． 所以 ． 题型05求三角形垂线的问题 17．在中，角的对边分别是，且，且． (1)求角的大小； (2)D为AC过上的一点，，且_____，求的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）． ①BD是角B的平分线； ②D为线段AC的中点． (3)若为锐角三角形，求AC边上的高取值范围． 【答案】(1)； (2)选①②，答案均为； (3) 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，又，所以； （2）若选①，利用三角形面积公式和得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积； 若选②：由题设，平方得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积； （3）由正弦定理和三角恒等变换得到，为锐角三角形，求出，从而得到，设边上的高为，由三角形面积公式求出. 【详解】（1）在中，， 结合正弦定理可得：． 由得， ， ∴， ∴， ， 又，，又，所以； （2）若选①：由平分得：， ，即． 在中，由余弦定理得，则， 联立，得，解得， ； 若选②：由题设， 则， 即，所以，   在中，由余弦定理得，则， 联立，得， ． （3）由正弦定理得，故， 故 ， 由于为锐角三角形，故，故， 因此，， 因此， 设边上的高为，， 所以. 18．在中，角的对边为，，，，且. (1)求； (2)若的周长为，求边上的高. 【答案】(1)； (2)1. 【分析】（1）由余弦定理可以求出，再由三角函数的性质求解； （2）在中，过点作，设，将的周长表示出来即可求解． 【详解】（1）因为，所以， 又因为， 所以， 所以， 得， 得，又因为，所以． （2）在中，过点作， 所以， 设，则在中，， 则在中，， 所以的周长为 所以， 记边上的高为， 所以． 19．（多选）在中，，过点A作BC的垂线，垂足为H，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【分析】利用余弦定理计算可判断A项；利用等面积可判断B项；先判断，在直角三角形中，利用射影定理求出之长，即可判断C项；结合图形，通过向量线性运算将用表示即可判断D项. 【详解】对于A，由余弦定理，,即，故A正确； 对于B，由题意，的面积为，可得，故B正确； 对于C，由可知，在中，， 则由与相似，可得,则,故有，故C错误； 对于D，由C项已得，由图知，,故D正确. 故选：ABD. 20．记斜三角形的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)过点作的垂线，与的延长线相交于点，若，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理的边角互化结合正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果； （2）由余弦定理可得，在直角三角形中可得，再由两角互补其余弦值互为相反数，即可得到，再结合勾股定理，即可得到结果. 【详解】（1）由正弦定理的边角互化可得， 且， 即， 即， 即， 其中为斜三角形，所以，即， 则，即，所以. （2） 因为， 在中，由余弦定理可得， 又，，所以， 且，所以， 即，解得，所以， 则. 题型06利用垂线求解其他参数 21．在中，，边上的高等于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合勾股定理求出，再利用余弦定理求出，再由三角形面积公式，可得. 【详解】∵在中，，边上的高等于， ∴， 由余弦定理得：， 故， ∴. 故选：C 22．在中，角的对边分别为.已知. (1)求的值； (2)点是边上的一动点（包括端点）. ①若为边上的高，且，求的周长； ②若，求的面积. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由正弦定理边化角，进而利用三角恒等变换可求得，可求得； （2）①由三角形的面积可得，可求，进而由余弦定理可求得，可求周长；②由已知可得，利用向量的数量积，以及在，中，结合余弦定理可求得，进而可求得三角形的面积. 【详解】（1）由， 根据正弦定理可得，由， 则， 可得， 由，即， 则，即，根据，解得； （2）①因为，即，又，所以， 由余弦定理得， 化简可得，解得， 所以的周长为； ②由，知，，， 则有，即， 化简得，在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得，由， 则，则，化简得， 则，即，则（负值舍去）， 所以. 23．在中，，且，则__________；若点满足，且在上的高为，则的面积为__________. 【答案】 / / 【分析】利用辅助角公式化简得出，结合角的取值范围可得出角的值，进而可得出的值；分析可知为等边三角形，设其边长为，由得出，利用平面向量数量积的运算性质得出，结合三角形的面积公式可求出的值，由此可得出的面积. 【详解】因为，可得， 因为，则，所以，则，故， 所以为等边三角形，故，设其边长为， 因为，即，可得， 所以，故， 由题意可知，解得， 故. 故答案为：；. 24．已知的内角所对的边分别为，记边上的高为，若为锐角，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理求得，由余弦定理得到，由面积公式得到，联立二式，利用均值不等式得到答案. 【详解】因为，由正弦定理得， 又，则，因为为锐角，所以， 由余弦定理可知． 由等面积法可知，即，即． 将代入，则 ，当且仅当时取等号， 则的最大值为． 故选：B. 题型07在几何图中利用正余弦定理计算 25．圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出. 【详解】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，， 即圣.索菲亚教堂的高度约为. 故答案为：D. 26．已知平面四边形如图所示，其中，，. (1)若，，求的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由余弦定理可求； (2)利用正弦定理及几何关系，将表示为某个角度的关系，分析角度的取值范围，得到结果. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得： ，所以, 所以或，因为，所以 所以. 即的面积为. （2）设， 在中，，所以， 由正弦定理：，即， 所以， 在中，,, 由正弦定理，所以， 所以， 所以，化简得， 所以， 因为，所以 ， 在中， , 所以，即， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以，所以， 所以的取值范围为，即. 所以的取值范围为. 27．如图，在四边形中，O为对角线的交点，，，，且．    (1)求的长. (2)设若且，求的长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）在 与 中，根据余弦定理结合题设条件列式求解即得的长； （2）由+=，得到，代入求得；在 与 中，由正弦定理得，得到，进而得的长. 【详解】（1）设,,，， 在 与 中，，且， 由余弦定理得， 所以， 化简，得，即. （2）+=， ∴， 在中，， ∴，， 由，得， 即，， 解得或（舍去）， 所以，则， , 在 与 中，由正弦定理得，, 结合（1），则，即 ，所以. 28．某艺术园区有一块场地如下图所示，该园区规划在三块区域，，建设办公楼，已知，，，设（单位：百米）. (1)请用表示； (2)当取何值时，的面积最大，并求最大值. 【答案】(1) (2)，最大值为. 【分析】（1）利用勾股定理求出即可； （2）先表示出三角形的面积，然后利用基本不等式求出最值即可. 【详解】（1）因为，， 所以 在中，， 所以， 整理. （2）由（1）得的面积为 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以当时，的面积最大，最大值为. 29．如图，在中，角，，的对边分别为，，，且，，为内一点，． (1)求角的大小； (2)若，求； (3)若，求 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首选由，得：，将角化边可得：，将其代入中并利用余弦定理可求得角，进而求解角； （2）首先设，在中，由正弦定理得，然后根据同角三角函数的基本关系求角的正切值； （3）首先，在中，由余弦定理得：即得：，然后解方程求得的值，进而求得. 【详解】（1）因为，所以， 即. 又因为，所以 由余弦定理， 所以，又，所以. （2）在中，因为， 所以，，设，易知,故， 在中，由正弦定理得， 化简得， 所以，即. （3）设， 在中，由余弦定理得： 即，所以， 由，得：， 解得：或， 若，得：，由，则，所以 若，得：，由，则，所以. 1．已知三边的中线、、的长分别为、、，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设、、交于点，则为的重心，求出、、的长，结合平面向量数量积的定义、运算性质可求出的值，进而可得出的值，利用三角形的面积公式结合可得答案. 【详解】设、、交于点，则为的重心，    根据重心的性质可得，，， 则由，， 得， 则，解得， 则， 所以. 故选：C. 2．已知面积为1，边上的中线为，边上的中线为，且，则边的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，，由三角形面积公式得到，再由余弦定理得到，令，得到，再利用正弦函数的性质，即可求解. 【详解】设，易知为的重心， 又，结合重心性质可得：， 同时， 设，， 则， 则， 所以， 由余弦定理可得：， 令，整理得到， 又，其中，得到， 也即，当且仅当时取得等号，又，则， 所以， 故选：B. 3．在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用向量性质得，平方后求得，再由余弦定理求得，由角平分线定理求得，然后由余弦定理求得后在中计算出． 【详解】是边中点，则， 所以， 即，解得， ， 是的平分线，则，， ， 在中，， 故选：B． 4．的内角的对边分别为，若边上的高为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形的余弦定理求解即可 【详解】如图： 设边上的高为．因为，所以， 所以． 由勾股定理可得， 由余弦定理可得． 故选：D 5．如图所示，在平面四边形中，，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，由余弦定理求得，从而求得，设，由正弦定理求得，然后在中，用余弦定理求解． 【详解】在中，由余弦定理得， 即，则， 又，，所以， 设，由正弦定理得，即， 从而， 在中，由余弦定理得：， 即，则． 故选：A． 6．（多选）已知中，，则下列结论正确的有（    ） A．平分 B．的面积的最大值为3 C．内角可以为 D． 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理边化角结合几何法来证明角平分线，利用余弦定理来求角的余弦值，从而可利用基本不等式来求得最小值，从而可得角最大值，再利用面积公式可得函数求出最小值，最后利用余弦定理可证明，从而可判断各选项. 【详解】在中，设角所对的边分别为， 则由正弦定理得 , 又因为，所以， 过点作平行于交延长线于点， 根据平行可得，即， 所以，又因为，所以， 即，根据平行可知， 所以，即平分，故A正确； 由余弦定理得：， 因为，所以，故C错误； 由三角形面积公式可得： 取等号条件为，此时满足三角形的两边之和大于第三边，即，故B正确； 再由余弦定理得： 所以，故D正确； 故选：ABD. 7．（多选）在中，，，分别是角，，的对边．若，，且，边上的高为，则（    ） A． B．是钝角 C． D． 【答案】ACD 【分析】先由求出，借助正弦定理判断选项A；利用余弦定理列方程求解边长判断选项C；通过余弦定理计算的符号判断选项B；结合三角形面积公式的两种表达形式求出BC边上的高，判断选项D. 【详解】，则为锐角，所以，. 由正弦定理得，故选项A正确. 由余弦定理，代入、， 得，整理得. 解得，舍去负根得，故选项C正确. ， 由余弦定理， 故角为锐角，选项B错误. 三角形面积. 边上的高为，则， 得，故选项D正确. 故选：ACD 8．（多选）在中，若的角平分线交AC于点D，则下列说法正确的是（   ） A． B．的外接圆周长为 C． D． 【答案】ABD 【分析】应用余弦定理计算求解判断A，应用正弦定理计算求出外接圆半径判断B，应用二倍角余弦公式计算求解判断C，根据向量数量积公式计算求解判断D. 【详解】在中，由余弦定理可得，所以，故A正确； 又，可得，所以的外接圆直径，所以的外接圆周长为，故B正确； 因为BD为的角平分线，所以，所以，所以， 在中，，故C错误； 又因为，所以，故D正确． 故选:ABD． 9．（多选）在中，，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．边上的高为 B． C．边上的中线为 D． 【答案】ABC 【分析】根据投影向量的定义可得，结合已知有，进而得，应用余弦定理、向量数量积的定义及其运算律依次判断各项的正误. 【详解】由题设，则，即， 又且，则，故， 又，则，故， ，，则，B对， 边上的高为，A对， ，D错， 边上的中线为，C对. 故选：ABC 10．已知面积为1，边AC，AB上的中线为BD，CE，且，则边AB长度的最小值为_______. 【答案】 【分析】利用线段长度的关系，设其中一条线段，就可以表示相关线段，再引入，利用面积关系找到一个等式，然后由余弦定理求边，最后转化为角的函数来求最值即可. 【详解】 取，依题意，为的重心， 由，设，， 则，， ， 又， 则，即，由余弦定理知 ， 令， 则，解得， 而，则，因此，解得，， 所以的最小值为. 故答案为： 11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. (1)求； (2)若BC边上的中线，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用正弦定理得到，再利用余弦定理即可求出答案； （2）在中根据余弦定理得，利用基本不等式求出，即可求出答案. 【详解】（1）由正弦定理，且， 可得， 即，所以， 又，故. （2）在中，由余弦定理得， 化简得， 因为（当且仅当时取等号）， 所以，解得， 所以（当且仅当时等号成立）， 所以面积的最大值为. 12．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求出，然后可得角； （2）根据给定条件，利用三角形面积公式建立方程求解； （3）利用正弦定理，结合角的范围求出的范围，然后由面积公式可得. 【详解】（1），， ，， 由余弦定理得， 又，； （2）由的角平分线将的面积分为两部分， 则，， 于是， 即，解得， 所以的长为； （3）由三角形面积公式得， 由正弦定理得 ， 三角形为锐角三角形，，得，， ，，，. 13．在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化简得到，再由，两式相除求得，即可求解； （2）根据题意，利用，求得，结合余弦定理，即可求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理得，所以， 因为，两式相除得，所以， 又因为，可得，所以. （2）因为，所以， 又因为平分，可得， 因为，且，， 所以， 即，解得， 在中，由余弦定理得 ，所以. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $