专题01 正弦定理与余弦定理（专项训练）高一数学苏教版必修第二册

专题01正弦定理与余弦定理 目录 A题型建模・专项突破 题型01余弦定理的应用 题型02正弦定理的应用 题型03正余弦定理边角互化的问题 题型04三角形面积的应用 题型05三角形解的个数问题 题型06判断三角形的形状 题型07测量距离、角度、高度问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01余弦定理的应用 1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用余弦定理求出角的余弦值，即可确定角. 【详解】由余弦定理，可得， 又因为，故. 故选：C. 2．在中，已知，，，则__________． 【答案】 【分析】根据正弦定理及二倍角公式可得 【详解】因为，所以， 又因为，， 所以由正弦定理可得， 即，则， 又因为，所以，解得， 故答案为： 3．在中，内角的对边分别为，若，则__________． 【答案】2 【分析】根据余弦定理列出关于的方程，然后解方程得到的值. 【详解】在中，由余弦定理得， 得， 整理得，解得或（舍去）. 所以. 故答案：2 4．在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由大边对大角及余弦定理求最大内角. 【详解】因为三条边中最大，所以最大的内角为， 由余弦定理得， 由，所以. 故选：C 题型02正弦定理的应用 5．在中，已知，，，则________． 【答案】 【分析】根据题目条件，利用正弦定理求出的值，再结合角的范围，即可得解. 【详解】已知，，， 所以由正弦定理可得，解得. 因为，所以. 故答案为： 6．在中，已知，，，则的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由正弦定理结合三角形大边对大角性质即可求解. 【详解】由正弦定理得，即， 解得，又为三角形内角，所以或， 又因为，所以，又，所以． 故选：A． 7．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则______． 【答案】 【分析】先由条件求出角，再由正弦定理即可解得的值. 【详解】因为，且，，所以， 由正弦定理可得，即， 即，解得， 故答案为：. 8．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理可求解. 【详解】由正弦定理可得． 故选：C 题型03正余弦定理边角互化的问题 9．记的内角，，的对边分别为，，，若，则________． 【答案】 【分析】根据，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求得. 【详解】因为，由正弦定理得 ， 所以， 因为， 所以. 故答案为： 10．记的内角的对边分别为，若，则____. 【答案】 【分析】由余弦定理可得，代入条件中化简可得，然后由正弦定理可得，此时条件转化为，最后利用基本不等式的性质和辅助角公式即可求解. 【详解】由余弦定理得，又， 所以，即； 由正弦定理，得，所以， 即，即； 因为，所以①，当且仅当时取等号； 又，所以，所以②， 当，即时，等号成立； 由①②知，即，此时； 所以. 故答案为：. 11．已知的内角 的对边分别为 .若，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理边化角，再利用和差角的正弦公式及二倍角的正弦公式求解. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 即，则， 而，于是，即， 又，因此，， 所以. 故选：C 12．在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 故选：A 13．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理角化边求出，然后利用基本不等式求出的范围，最后根据面积公式即可求解. 【详解】因为， 所以，整理得， 则，解得. 因为，所以，取等条件为， 则的面积. 故选：A 14．在中，满足，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】根据题意结合余弦定理可得，即可得结果. 【详解】因为，即， 所以，且，所以. 故选：A 题型04三角形面积的应用 15．在中，，则其外接圆的半径为___________． 【答案】/ 【分析】由三角形面积公式求得，从而判断出三角形是等边三角形，再结合正弦定理得外接圆半径. 【详解】由题意，，所以是等边三角形，则， 所以其外接圆的半径为， 故答案为：. 16．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可得，再利用正弦定理可得，根据正弦和角公式得，再利用面积公式求解即可． 【详解】，，， ， ， ， ． 故选：D． 17．已知的面积为2，其外接圆半径为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一：由三角形面积、正弦定理及条件中的等式，结合基本不等式求得，即可求得； 方法二：由三角形面积、余弦定理、正弦定理及条件中的等式得到的方程，解得. 【详解】方法一：由条件知， 而由正弦定理得， 而， 此时必有，. 方法二：由条件知， 由余弦定理和正弦定理有 ， 于是，由得. 故选：D. 18．（多选）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B．为锐角三角形 C．的面积为 D．外接圆的面积为 【答案】ACD 【分析】对AB，利用余弦定理求解判断；对C，由三角形面积公式计算判断；对D，由正弦定理求出外接圆的半径得解. 【详解】对于A，由余弦定理知，因为，所以，故A正确； 对于B，由余弦定理知，所以，为钝角三角形，故B错误； 对于C，的面积，故C正确； 对于D，因为，所以外接圆的半径， 所以外接圆的面积为，故D正确. 故选：ACD. 题型05三角形解的个数问题 19．已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________. 【答案】 【分析】利用正弦定理，代入，，可得.根据满足条件的三角形有两解，结合正弦函数的性质得到关于的不等式，从而得到边长a的取值范围. 【详解】由正弦定理，得. 若满足条件，的三角形有两解，则，且，所以. 所以，所以. 故答案为：. 20．在中，角所对的边分别为已知，，若存在且唯一确定，则的范围是________． 【答案】或. 【分析】根据题意，结合正弦定理，分类讨论，即可求解. 【详解】由中，，，要使得存在且唯一确定， 当时，如图（1）所示，则满足； 当时，如图（2）所示，则满足. 故答案为：或.    21．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（   ）． A．，，，无解 B．，，，有一解 C．，，，有两解 D．，，，有两解 【答案】A 【分析】利用正弦定理，逐一对各个选项进行分析判断，即可得到结果. 【详解】对于A，由正弦定理，可得， 三角形无解，故A正确； 对于B，因为，且，由大边对大角可知角不存在， 故三角形无解，故B错误； 对于C，由正弦定理可得，此时， 三角形有一解，故C错误； 对于D，由正弦定理可得，三角形无解， 故D错误； 故选：A 22．在中，，，，若满足要求的三角形有且只有一个，则的取值范围为___________. 【答案】 【分析】根据题意设边上的高为，要使只有一个三角形满足，可得或，即可求解. 【详解】设边上的高为，则，又， 要使满足要求的三角形有且只有一个，则有或， 即的取值范围为. 故答案为：. 题型06判断三角形的形状 23．（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若，，且有两解，则b的取值范围是 【答案】BCD 【分析】利用余弦函数的单调性判断A；由余弦定理化简得即可判断B；由三角形内角和，结合即可判断C；由可求得b的范围，判断D. 【详解】对于A，因为函数在上单调递减，且，所以，错误； 对于B，若即，则，所以，则为等腰三角形，正确； 对于C，由，而， 若中有一个为钝角，不妨为钝角，则、为锐角， 所以，，，不满足，故舍去； 若中有一个为直角，不妨为直角，则、为锐角， 所以，，，不满足，故舍去； 所以均为锐角，则为锐角三角形，正确； 对于D，如图， 因为有两解，所以，又，， 所以，即，正确. 故选：BCD. 24．已知的内角，，满足，则下列说法错误的是（    ） A． B．是直角三角形 C． D．是钝角三角形 【答案】B 【分析】利用二倍角公式化简得，又由三角恒等变换得，即可判断A，进而得，结合即可判断BD， 再由余弦定理即可判断C. 【详解】由题意有：， 所以， 所以，即，故A正确； 由，所以或，而，即， 由，又， 又因为，所以，即，所以是钝角三角形，故D正确，B错误； 又，所以，故C正确； 故选：B. 25．在中的角的对应边分别为，且，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 【答案】A 【分析】将式子中的余弦转化为边的表达式并化简，得到边的等量关系，进而判断三角形形状. 【详解】将用余弦定理展开， 得. 由题设，故. 故选：A 26．（多选）对于，有如下命题，其中正确的有（   ） A．若，则为等腰或直角三角形 B．若，则为钝角三角形 C．，则面积为 D．，则或 【答案】ABD 【分析】对A，由内角范围及诱导公式求解判断；对BCD，由正弦定理和余弦定理逐项判断. 【详解】对于A：由得或， 解得或，所以为等腰或直角三角形，A正确； 对于B：由，可得， 即，由正弦定理可得， 由余弦定理得，所以为钝角，为钝角三角形，B正确； 对于C：由余弦定理，，即， 化简得，解得或， 若，则； 若，则.所以C错误； 对于D：根据余弦定理，即， 所以，又，所以或，D正确. 故选：ABD. 题型07测量距离、角度、高度问题 27．某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧两地相距50米，河对岸有两地，测得米，. (1)求的值； (2)若测量后发现，求两地的距离. 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）先利用三角函数的二倍角公式求出，然后求出，进而根据正弦定理求出结果即可. （2）先根据余弦定理求出，然后根据余弦定理求出，最后根据余弦定理求出结果. 【详解】（1）因为，所以. 所以，所以. 在中，根据正弦定理，，即， 解得. （2）在中，根据余弦定理，， 化简得，由于，所以解得米. 因为，在中，根据余弦定理， 化简得，解得米. 在中，根据余弦定理， 化简得，解得米. 28．猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件先求出中的两边，再利用余弦定理求即可. 【详解】由题意，可得， 且，在中，可得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得： 所以． 故选：D． 29．紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为__________米（精确到整数位）（）. 【答案】389 【分析】设，求出，最后在中利用余弦定理可得. 【详解】由题意可知，， 设，在中，，所以， 同理在中，， 在中，由余弦定理得， 即， 所以. 故紫峰大厦主体的高度约为米. 故答案为： 30．年月日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为单位：，三角高度测量法是珠峰高程测量方法之一．下图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影满足，由点测得点的仰角为，与的差为；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，，求出各角，在和中，利用正弦定理得到方程，求出，，，从而得到答案. 【详解】过点作垂线，交于点，过点作垂线，交于点， 如图所示， 在中，，则， 由正弦定理得，即， 由点测得点的仰角为，故， 与的差为，故， 在中，， 由正弦定理得，即， 其中 ， ， 所以，解得， 故， ， 又， 故 m， 又，解得， 由点测得点的仰角为，故， 在中，，则， 可得、两点到水平面的高度差m． 故选：B 31．如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【分析】先过点A作于点，由勾股定理求出和，再由余弦定理求出，由，即可求出答案． 【详解】如图，过点A作于点， 由题可知，，，， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 因为， 所以． 故选：B 32．如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由求得的值. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以； 故选：C 1．在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】由已知条件，利用余弦定理角化边即可得到关系式. 【详解】因为，由余弦定理知， 所以， 整理得， 即的形状是直角三角形. 故选：B. 2．已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 【答案】A 【分析】根据余弦定理计算直接得出结果. 【详解】由， 得， 即， 所以， 又，所以. 故选：A 3．在，若，且，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】利用正弦定理以及两角差的正弦公式逆用可得，再由可得，可得出结论. 【详解】因为，由正弦定理可得，则， ．所以， 又因为，所以， 又，可得，故的形状是等腰直角三角形. 故选：C 4．在中，，且，则的最小边长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】由正弦定理将角的正弦比转化为边长比，判断为直角三角形，根据面积公式建立关于比例系数的方程，解得比例系数，从而求得最小边. 【详解】由以及正弦定理可得，故， ，又，解得（舍）， 又因为最小的边长为，故. 故选：B 5．（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为锐角三角形 C．在锐角三角形中，不等式恒成立 D．若，，且该三角形有两解，则b的范围是 【答案】ACD 【分析】对于A，根据正弦定理边化角即可判断；对于B，余弦定理可得，则角为锐角, 不能得到为锐角三角形；对于C，应用正弦单调性判断；对于D：由题意得到即可求解． 【详解】对于A，因为， 所以由正弦定理得， 又A，B 为的内角，，则，即，故A正确； 对于B，由余弦定理可得，则角为锐角，不能得到为锐角三角形，故B错误； 对于C，因为是锐角三角形，所以，所以， 又，所以， 又因为在单调递增，所以，C正确； 对于D，因为，，且该三角形有两解， 所以，即，故D正确． 故选：ACD 6．（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于以下命题，其中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，，，则满足条件的三角形有两个 D．若角A，B都是锐角，则 【答案】AC 【分析】由正弦定理可判断A，利用正弦定理边角互化后结合余弦定理可以判断出B，对于选项C，根据条件，利用判断三角形解的个数的方法即可求解，令，，可判断D， 【详解】对于选项A，在中，若，则，由正弦定理得，故选项A正确. 对于选项B，若，由正弦定理可得，则，则角为锐角，但不确定角，是否为锐角，故选项B不正确. 对于选项C，由于，故三角形有两解，故选项C正确. 对于选项D，当，时，，故选项D不正确. 故选：AC. 7．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】根据题意，利用三角形面积相等，推得，再利用“乘1”法和基本不等式即可求得的最小值. 【详解】 如图，因，则可得， 即，化简得， 因，则， 当且仅当时，即时，取等号， 故的最小值为. 故答案为：. 8．在中，内角所对的边分别为，已知，，的周长为，则的面积为__________. 【答案】 【分析】利用余弦定理结合三角形周长列出关于的方程组，求解后利用三角形面积公式计算即得. 【详解】由余弦定理，，可得①. 的周长为，即②. 由①②，解得，，故的面积为. 故答案为：. 9．已知的内角，，的对边分别为，，，，，则_________. 【答案】或2 【分析】由余弦定理得，解方程即可得解. 【详解】由余弦定理有，所以， 解得或2. 故答案为：或2. 10．已知在中，，则_____． 【答案】 【分析】分别算出的值，代入原式求解即可 【详解】设， 则， 同理可得． 又 由，， 可得，即 于是． 所以 故答案为： 11．在中，角所对的边分别为．已知，，． (1)求的值； (2)求的面积； (3)求的值． 【答案】(1) (2)22 (3) 【分析】（1）利用余弦定理计算即得； （2）利用三角形面积公式计算即可； （3）先由余弦定理求出，进而求得，利用差角的正弦公式计算即可. 【详解】（1）由余弦定理，， 故； （2）因 ，则角为锐角，， 则的面积为； （3）由余弦定理，， 则角是锐角，故， 于是，. 12．在中，. (1)求； (2)若，，求边以及的面积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据正弦定理及两角差的余弦公式计算即可. （2）根据余弦定理及三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 又，所以， 因为，所以. 即， 所以，又，所以. 因为，所以. （2）由余弦定理可得，即， 整理得，解得或（舍去）. 所以. 13．在中，，. (1)请你给出一个值，使该三角形有唯一解； (2)请你给出一个值，使该三角形两解. (3)请你给出一个值，使该三角形无解. 【答案】(1)(答案不唯一，满足即可) (2)(答案不唯一，满足即可) (3)(答案不唯一，满足即可) 【分析】（1）由正弦定理求得，再结合的取值范围或值，使该三角形有唯一解. （2）由（1）知，结合正弦的意义可得的取值范围，使该三角形两解. （3）由（1）知，结合正弦的意义可得的取值范围，使该三角形无解. 【详解】（1）在中，，， 由正弦定理，可得， 因为，可得. （1）当时，，即，此时由唯一的解； 当时，可得，此时有唯一的解， 所以时，由唯一的解. （2）由（1）知， 当时，由且，此时可能为锐角，也可能为钝角， 即角有两解，即当时，此时有两解. （3）由（1）知， 当时，此时，此时无解，即当时，此时无解. 14．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)若此三角形有两个解，求b的取值范围； (2)若，求； (3)若，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形解的个数，代入公式，即可求解； （2）首先由正弦定理，将角转化为边，再结合余弦定理，即可求解； （3）首先正弦定理角化边得，再根据余弦定理变形求，最后代入面积公式，即可求解. 【详解】（1）由，得 （2）由正弦定理可得，， 则，，由， 可得，即. 由余弦定理可得，， 即，即，解得， 联立，解得. （3）因为，由正弦定理的边角互化可得，， 由余弦定理可得，，即， 所以，解得， 则. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01正弦定理与余弦定理 目录 A题型建模・专项突破 题型01余弦定理的应用 题型02正弦定理的应用 题型03正余弦定理边角互化的问题 题型04三角形面积的应用 题型05三角形解的个数问题 题型06判断三角形的形状 题型07测量距离、角度、高度问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01余弦定理的应用 1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 2．在中，已知，，，则__________． 3．在中，内角的对边分别为，若，则__________． 4．在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 题型02正弦定理的应用 5．在中，已知，，，则________． 6．在中，已知，，，则的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 7．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则______． 8．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 题型03正余弦定理边角互化的问题 9．记的内角，，的对边分别为，，，若，则________． 10．记的内角的对边分别为，若，则____. 11．已知的内角 的对边分别为 .若，，则 （    ） A． B． C． D． 12．在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 13．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 14．在中，满足，则（    ） A． B．或 C． D．或 题型04三角形面积的应用 15．在中，，则其外接圆的半径为___________． 16．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 17．已知的面积为2，其外接圆半径为，，则（   ） A． B． C． D． 18．（多选）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B．为锐角三角形 C．的面积为 D．外接圆的面积为 题型05三角形解的个数问题 19．已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________. 20．在中，角所对的边分别为已知，，若存在且唯一确定，则的范围是________． 21．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（   ）． A．，，，无解 B．，，，有一解 C．，，，有两解 D．，，，有两解 22．在中，，，，若满足要求的三角形有且只有一个，则的取值范围为___________. 题型06判断三角形的形状 23．（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若，，且有两解，则b的取值范围是 24．已知的内角，，满足，则下列说法错误的是（    ） A． B．是直角三角形 C． D．是钝角三角形 25．在中的角的对应边分别为，且，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 26．（多选）对于，有如下命题，其中正确的有（   ） A．若，则为等腰或直角三角形 B．若，则为钝角三角形 C．，则面积为 D．，则或 题型07测量距离、角度、高度问题 27．某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧两地相距50米，河对岸有两地，测得米，. (1)求的值； (2)若测量后发现，求两地的距离. 28．猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（   ） A． B． C． D． 29．紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为__________米（精确到整数位）（）. 30．年月日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为单位：，三角高度测量法是珠峰高程测量方法之一．下图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影满足，由点测得点的仰角为，与的差为；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为（     ）． A． B． C． D． 31．如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 32．如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 1．在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 2．已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 3．在，若，且，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 4．在中，，且，则的最小边长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 5．（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为锐角三角形 C．在锐角三角形中，不等式恒成立 D．若，，且该三角形有两解，则b的范围是 6．（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于以下命题，其中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，，，则满足条件的三角形有两个 D．若角A，B都是锐角，则 7．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为_________． 8．在中，内角所对的边分别为，已知，，的周长为，则的面积为__________. 9．已知的内角，，的对边分别为，，，，，则_________. 10．已知在中，，则_____． 11．在中，角所对的边分别为．已知，，． (1)求的值； (2)求的面积； (3)求的值． 12．在中，. (1)求； (2)若，，求边以及的面积. 13．在中，，. (1)请你给出一个值，使该三角形有唯一解； (2)请你给出一个值，使该三角形两解. (3)请你给出一个值，使该三角形无解. 14．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)若此三角形有两个解，求b的取值范围； (2)若，求； (3)若，求的面积. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $