专题02 向量的数量积问题（专项训练）高一数学苏教版必修第二册

专题02向量的数量积问题 目录 A题型建模・专项突破 题型01向量数量积的定义 题型02向量的模长问题 题型03向量中投影（数量）向量的问题 题型04向量中夹角的计算 题型05向量中钝角、锐角的问题 题型06向量垂直的相关问题 题型07向量的数量积最值或范围 题型08向量数量积的几何应用 B综合攻坚・能力跃升 题型01向量数量积的定义 1．如图所示，每个小菱形的边长均为1，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 2．在平行四边形中，，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．已知，向量与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 4．（多选）下面给出的关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知的外接圆圆心为O，，则________. 题型02向量的模长问题 6．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知平面向量与非零向量满足，，，则________. 8．已知向量满足，且，则___________ 9．平面向量满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型03向量中投影（数量）向量的问题 10．已知向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（   ） A． B．1 C． D．3 11．已知向量，，则向量在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 12．（多选）如图所示，已知正八边形，其中，则下面选项正确的是（   ） A． B． C． D．在方向上的投影数量为 13．若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则__________. 14．在等腰三角形中，，，为的中点． (1)求在上的投影向量的长度； (2)求在上的投影向量的长度． 题型04向量中夹角的计算 15．已知向量，且，则向量夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 16．若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 17．已知向量，，，设向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 18．（多选）已知向量，，，设，所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 19．已知向量是两个单位向量，则“”是“为锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型05向量中钝角、锐角的问题 20．若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 22．已知，与的夹角为，若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围____________. 23．已知平面直角坐标系中，，，． (1)若A，B，P三点共线，求实数t的值． (2)若，求实数t的值． (3)若是锐角，求实数t的取值范围． 题型06向量垂直的相关问题 24．（多选）已知向量，若与垂直，则（   ） A．1 B． C． D．2 25．已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 26．（多选）已知非零向量，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．向量与向量垂直 27．已知与垂直，与垂直，则______________. 28．已知． (1)若，求； (2)若，的夹角为，求； (3)若，求与的夹角为． 题型07向量的数量积最值或范围 29．向量，，满足，，，．当最小时，（    ） A． B． C． D． 30．已知梯形中，，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 31．如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 32．在平面直角坐标系中，，，，则的最大值为（   ） A．5 B． C． D． 33．（多选），（）且，下列说法正确的是（   ） A．的最小值是4 B．在上投影向量为 C．的范围 D． 34．已知向量，，，与的夹角为，则_____________，当的值最小时，实数的值为______________. 35．（多选）在平面直角坐标系中，设且为单位向量，满足，，则下列结论正确的有（    ） A． B．在上的投影向量为 C．向量与的夹角正切值最大为 D．若向量与垂直，则 36．在中，点在边上，，，，． (1)求的模； (2)求向量与夹角的余弦值； (3)若点在边上，求的范围． 题型08向量数量积的几何应用 37．在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 38．已知向量满足，则的最小值为__________． 39．某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为______. 40．如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 41．已知三个点． (1)求证：； (2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值． 42．已知在中，为中点，，，.    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 1．已知均为单位向量，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）下列命题中，正确的是（   ） A．若，则或 B．若共线，则 C．若且，则 D．若向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则 3．（多选）若角顶点在坐标原点O，始边与x轴的正半轴重合，点P在的终边上，点，且，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）设是两个非零向量、的夹角，若对任意实数，的最小值为，则下列结论中正确的是（    ） A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定 C．若，则 D．若，则 5．已知向量在上的投影向量的坐标为，则为_________． 6．已知向量是单位向量，向量在上的投影向量为，向量在上的投影向量为，则的最小值为__________． 7．已知，均为单位向量，且，则，的夹角为__________. 8．已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 9．已知． (1)求 (2)求． 10．已知，，与的夹角为，求使与的夹角为锐角的实数的取值范围． 11．（1）已知单位向量与夹角为，且，求与的夹角. （2）已知，求与夹角的余弦值. 12．设与均为单位向量. (1)若，求向量与的夹角； (2)若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值. 13．设向量，满足，，且. (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值. 14．如图，在梯形中，，，，，在线段上．    (1)若，用向量，表示，； (2)若AE与BD交于点F，，，，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02向量的数量积问题 目录 A题型建模・专项突破 题型01向量数量积的定义 题型02向量的模长问题 题型03向量中投影（数量）向量的问题 题型04向量中夹角的计算 题型05向量中钝角、锐角的问题 题型06向量垂直的相关问题 题型07向量的数量积最值或范围 题型08向量数量积的几何应用 B综合攻坚・能力跃升 题型01向量数量积的定义 1．如图所示，每个小菱形的边长均为1，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，，，因为每个小菱形的边长均为1， 向量与的夹角为，所以， 则． 2．在平行四边形中，，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据线性运算及数量积的定义计算求解. 【详解】因为， 在平行四边形中，，， 所以. 3．已知，向量与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用及数量积的运算律即可求出. 【详解】由题意可得，， 解得或（舍）. 故选：B 4．（多选）下面给出的关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据平面向量的数量积的概念及运算对各个选项逐一分析即可求解. 【详解】零向量与任意向量的数量积为0，故A正确； 由平面向量的交换律可知，，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC 5．已知的外接圆圆心为O，，则________. 【答案】 【分析】由图结合数量积几何意义可得答案. 【详解】 . 如图，过点O作于点E，于点F. 根据数量积的几何定义，得 . 题型02向量的模长问题 6．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的坐标表示的模长公式即可求解. 【详解】, 所以. 故选：D 7．已知平面向量与非零向量满足，，，则________. 【答案】2 【分析】将两边平方，结合向量的数量积公式，解得关于的方程，即可求解. 【详解】， 即，解得或， 因为是非零向量，则. 8．已知向量满足，且，则___________ 【答案】 【分析】根据向量的模长公式计算即可得解. 【详解】因为，所以.又因为， 所以. 所以. 故答案为： 9．平面向量满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合向量的模长公式和运算法则即可求解. 【详解】由可得， 又，所以，所以 所以. 故选：D. 题型03向量中投影（数量）向量的问题 10．已知向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】（方法一）利用向量在方向上的投影向量的公式求解； （方法二）由向量在方向上的投影向量为得到，利用向量垂直的坐标公式求解. 【详解】（方法一）由题意，， ， 向量在方向上的投影向量为， ，，， ，，． （方法二）由题意，向量在方向上的投影向量为， ，，，，，． 故选：D. 11．已知向量，，则向量在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量的投影向量公式进行求解． 【详解】向量在方向上的投影向量为． 故选：B 12．（多选）如图所示，已知正八边形，其中，则下面选项正确的是（   ） A． B． C． D．在方向上的投影数量为 【答案】BC 【分析】求得，可判断A；利用向量的数量积的定义求得判断B；求得的模，结合图形可判断C；利用投影向量的概念计算可判断D. 【详解】对于A，由正八边形，所以， 所以，又，故A错误； 对于B，，的夹角为，所以，故B正确； 对于C，， 所以，， 利用向量的加法法则，结合题图可知，的方向与的方向相反， 所以，故C正确； 对于D，在方向上的投影数量为， 因为，所以，故D错误． 故选：BC． 13．若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则__________. 【答案】4 【分析】由求得，计算即可得出的结果. 【详解】∵向量在向量上的投影向量为， ∴， ∴，，则， ∴. 故答案为：4 14．在等腰三角形中，，，为的中点． (1)求在上的投影向量的长度； (2)求在上的投影向量的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在等腰三角形中，根据已知条件求出与的夹角，然后利用投影的定义求解即可. （2）在等腰三角形中，利用等腰三角形的性质及已知条件求出，根据投影的定义求解即可. 【详解】（1）连接, 因为为等腰三角形，且为的中点， 所以． 又因为，， 所以． 由图可知与的夹角为的补角， 所以向量与的夹角为150°． 则在上的投影向量的长度为． （2）结合（1）可知，在上的投影向量的长度为． 题型04向量中夹角的计算 15．已知向量，且，则向量夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，根据模长平方公式： ， ， 再由，移项得， 两边平方：， 代入展开式： ， 整理得：，因为模长非负，故， 再次对两边平方得： ， 展开化简得：，即，得， 结合 ，舍去负值，得. 故选:C 16．若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件，根据数量积定义求，再利用向量夹角公式和数量积的性质求结论. 【详解】因为是夹角为的两个单位向量， 所以，， 设为的夹角， ， 故选：A. 17．已知向量，，，设向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的数量积求夹角的余弦值即可. 【详解】因为，即， 又，，向量与的夹角为， 所以，解得. 故选：D. 18．（多选）已知向量，，，设，所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由两边平方，将条件代入可得，再由可得，再求出，从而可对各个选项作出判断，得到答案. 【详解】向量，， 由，可得， 即，解得，所以A正确； ，所以， 又，所以，所以C正确，D不正确； ，则，故B正确. 故选：ABC. 19．已知向量是两个单位向量，则“”是“为锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由得，所以为0或锐角，结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】因为为单位向量，所以两边平方得， 所以，而，所以为0或锐角， 所以“”是“为锐角”的必要不充分条件． 故选：B. 题型05向量中钝角、锐角的问题 20．若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的夹角为钝角以及向量的数量积公式，可得且不共线，由此建立关于的不等式组，解之即可得到本题的答案. 【详解】由题意，向量,与的夹角为钝角, ∴，与不共线即， ∴且, ∴实数的取值范围是. 故选：C. 21．已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 【答案】且 【分析】由两向量的夹角为锐角得两向量的数量积大于0且两向量不共线求解即可． 【详解】因， 由，解得， 若与的夹角为锐角， 则，且与不共线， 由，即，解得， 由与不共线，可得， 故实数的取值范围为且. 故答案为：且. 22．已知，与的夹角为，若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围____________. 【答案】 【分析】利用向量数量积定义计算可得，再根据两向量与的夹角为钝角可得其数量积小于零，且它们不反向，解不等式即可求得结果. 【详解】依题意可得， 若向量与的夹角是钝角，可得且向量与不反向， 所以，解得； 当两向量方向相反时可得，且，解得； 因此可得或； 即实数的取值范围为. 故答案为： 23．已知平面直角坐标系中，，，． (1)若A，B，P三点共线，求实数t的值． (2)若，求实数t的值． (3)若是锐角，求实数t的取值范围． 【答案】(1)-2 (2) (3)，且． 【分析】（1）由A，B，P三点共线得到，利用向量平行的坐标公式求解； （2）利用向量垂直的坐标公式求解； （3）由是锐角得到且，不共线，由利用向量的数量积求解，由，不共线利用向量共线的坐标公式求解. 【详解】（1），B，P三点共线，． ，，，． （2），，． （3）若是锐角，则，且，不共线． ，，， 且，解得，且． 题型06向量垂直的相关问题 24．（多选）已知向量，若与垂直，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】BC 【分析】利用向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，且与垂直， 所以． 故选：BC 25．已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直的计算公式和向量数量积的定义求出，结合两向量夹角的范围即可求得答案. 【详解】由可得， 解得，因，则. 故选：C. 26．（多选）已知非零向量，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．向量与向量垂直 【答案】ABD 【分析】A数乘向量为零向量可得；B根据数量积的运算律判断；C根据数量积的运算律可得或；D求证. 【详解】对于A，因为为非零向量，若，则，故，故A正确； 对于B，因，则， 故，故B正确； 对于C，若，则，则或，故C错误； 对于D，， 则，故D正确． 答案：ABD 27．已知与垂直，与垂直，则______________. 【答案】 【分析】根据向量垂直的充要条件建立向量方程组，先推得，再回代入方程，利用向量数量积的定义式即可求得结果. 【详解】由与垂直，可得，①， 又由与垂直，可得，②， 由可得：，即， 将其代入①，可得，解得， 因，故. 故答案为：. 28．已知． (1)若，求； (2)若，的夹角为，求； (3)若，求与的夹角为． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】(1)根据向量平行得到夹角，根据向量数量积的公式即可得； (2)根据向量模的求法及数量积计算可得； (3)根据向量垂直性质，及数量积可得夹角余弦值，进一步得到夹角. 【详解】（1）若，则与的夹角为0或． 所以或． （2）因为 ， 所以． （3）若，则，即， 所以， 即，所以， 又，所以． 题型07向量的数量积最值或范围 29．向量，，满足，，，．当最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，，再利用向量数量积的坐标运算得到的值以及的关系式，利用基本不等式求的最小值，即可求出的值，进而求解. 【详解】因为，不妨设，，， 又，，， 则，所以，即， 而， 当且仅当，即时，等号成立． 此时，． 当时，，； 当时，，． 综上所述，. 故选：D． 30．已知梯形中，，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，应用向量的夹角公式计算最后结合值域求解． 【详解】以的中点为原点，如图所示建立平面直角坐标系，则 ，， 设，则，， ， 令，则， ，可得. 故选：D． 31．如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【详解】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 故选：D． 32．在平面直角坐标系中，，，，则的最大值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意建立坐标系后，画出图形，通过平面向量基本定理分析，可设点E为AB的四等分点（靠近点A），通过计算得出，通过计算可知为定值，故知点E在以O为圆心，以为半径的圆上，所以当点E在CO的延长线与圆的交点时，最长，即取最大值. 【详解】由已知，，， 在中，由余弦定理得 ，即向量与的夹角为. 取，所以， 所以. 同理可知，， 所以， 所以点E在以O为圆心，以为半径的圆上. 如图所示，所以点E在CO的延长线与圆的交点位置时，最大，此时， 易知，所以，即的最大值为. . 33．（多选），（）且，下列说法正确的是（   ） A．的最小值是4 B．在上投影向量为 C．的范围 D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示，再利用基本不等式求解判断AD；求出投影向量判断B；求出模的范围判断C. 【详解】由，得，而，， 则，即，又，则， 对于A，， 当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，在上投影向量，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 34．已知向量，，，与的夹角为，则_____________，当的值最小时，实数的值为______________. 【答案】 【分析】根据数量积的运算公式得到的值，再由，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】，； ， 由二次函数性质，当时取得最小值， 故答案为：；. 35．（多选）在平面直角坐标系中，设且为单位向量，满足，，则下列结论正确的有（    ） A． B．在上的投影向量为 C．向量与的夹角正切值最大为 D．若向量与垂直，则 【答案】ABD 【分析】选项A中，根据单位向量的定义判断即可；选项B中，根据投影向量的定义，判断即可；选项C中，根据题意，判断与夹角的取值范围，即可判断是否正确； 选项D中，设，，，根据题意得出，利用基本不等式求解即可. 【详解】对于A，因为是单位向量，所以，选项A正确； 对于B，，且，所以，选项B正确； 对于C，因为， ， 设与的夹角为，则， 由,,，所以， 所以，没有最大值，即无最大值，选项C错误； 对于D，设，，，则，，则,， 又因为，,，由与垂直，则，即，所以,， 所以，当且仅当时取“”， 所以，选项D正确． 故选：ABD． 36．在中，点在边上，，，，． (1)求的模； (2)求向量与夹角的余弦值； (3)若点在边上，求的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知可得，两边平方可求； （2）求得，利用向量的夹角公式可求向量与夹角的余弦值； （3）设边的中点为，连接，，利用余弦定可得，进而可得结论. 【详解】（1）由，可得，所以， 可得， 所以； （2）， 又， 所以； （3）设边的中点为，连接， ， 由余弦定理可得， 到的距离为，所以， 所以. 题型08向量数量积的几何应用 37．在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【详解】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A 38．已知向量满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】解法一：延长到，使得，连接，证明，再根据向量不等式得，再利用向量数量积运算律求出后者的值即可；解法二：求出，再合理将向量坐标化，转化为几何意义求解最值即可. 【详解】解法一：如图，设，延长到，使得，连接， 则， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以的最小值为． 解法二：因为， 所以，，，则， 则可设，则， 所以， 该式的几何意义是轴上一点到点的距离之和， ，当点为线段与轴交点时取等号． 故答案为：. 39．某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为______. 【答案】 【分析】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模即可求解. 【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为， 则，，且， 设，由船需要准确到达正北方向的点，得， 则，解得， 而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为. 40．如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，进而，利用数量积的坐标运算求解即可； （2）将转化为，利用平面向量夹角的坐标运算公式求解即可； （3）设，求得的坐标，利用数量积的坐标运算得，然后利用平方非负求解即可. 【详解】（1）以D为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，    由，可得， 由可得，所以， 则； （2）由图可得； （3）设，则， 所以 ， 当时取“=”号， 所以得最小值为. 41．已知三个点． (1)求证：； (2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2)，正切值为. 【分析】（1）应用向量数量积的坐标运算求得，即可证； （2）设C点坐标为，结合的坐标表示求得，再应用向量夹角的坐标运算求与夹角的余弦值，进而求其正弦值. 【详解】（1）由，则， 又，即，则. （2），四边形为矩形，． 设C点坐标为，则， ，解得，故点坐标为， 由于，故， 又，设与的夹角为，则，                ， 所以矩形的两条对角线所成的锐角的正切值为． 42．已知在中，为中点，，，.    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)点为线段的中点 【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值； （2）将向量用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质计算的值，即可证得结论成立； （3）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）因为，则，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . （2）因为为的中点，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 又因为、均为非零向量，故，即. （3）因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，，解得，此时，点为线段的中点. 1．已知均为单位向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件求出的值，再利用模长公式即可求出. 【详解】，， 又均为单位向量，，即， ， . 故选：C. 2．（多选）下列命题中，正确的是（   ） A．若，则或 B．若共线，则 C．若且，则 D．若向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则 【答案】BD 【分析】对AB根据向量的数量积的定义判断；对C根据对A的分析可判断，对D根据向量的数量积的几何意义判断. 【详解】对于A：若且，，则，所以A错误； 对于B：若共线，则或，所以，所以B正确； 对于C：若且，则，由A选项的分析可知不一定有，故C不正确； 对于D，且在上的投影向量为单位向量，不妨设在菱形中， 为的中点，则，所以在向量上的投影向量为，如图： 即在上的投影向量为，所以，所以D正确. 故选：BD 3．（多选）若角顶点在坐标原点O，始边与x轴的正半轴重合，点P在的终边上，点，且，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意，求得，结合向量的夹角公式，求得夹角的余弦值为，分类讨论，即可求解. 【详解】点P在的终边上，且，可设，， 又，可得，则， 则， 当时，；当时，. 综上，与夹角的余弦值为或. 故选：AC. 4．（多选）设是两个非零向量、的夹角，若对任意实数，的最小值为，则下列结论中正确的是（    ） A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】设，结合二次函数的基本性质化简得出，逐项判断即可. 【详解】设，则恒成立， 当时，取得最小值， 此时， 化简得， 所以当确定，唯一确定，A对； 当确定时，的值不一定只有一个，B错； 当时，，解得，C对； 当时，因为，所以，故或，D错. 故选：AC. 5．已知向量在上的投影向量的坐标为，则为_________． 【答案】58 【分析】根据投影向量的定义进行计算即可. 【详解】因为在上的投影向量为， 所以，所以， 故答案为：58 6．已知向量是单位向量，向量在上的投影向量为，向量在上的投影向量为，则的最小值为__________． 【答案】1 【分析】根据平面向量减法的几何意义，结合投影向量的定义进行求解即可. 【详解】令，过作的垂线，在上任取一点，则，过作的垂线，在上任取一点，则，则． 故答案为：1 7．已知，均为单位向量，且，则，的夹角为__________. 【答案】 【分析】根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为，均为单位向量，且， 所以， 所以， 所以， 所以,的夹角余弦值为，所以,的夹角为. 故答案为：. 8．已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【分析】根据向量垂直求出的值，再通过投影向量计算公式求出对应的投影向量. 【详解】本题考查投影向量，考查数学运算的核心素养. 由，得，解得，所以， 则向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 9．已知． (1)求 (2)求． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用数量积的定义求出，再利用数量积的运算律求解即得. （2）由（1）的信息，利用数量积的运算律及向量夹角公式求解. 【详解】（1）由，得， 所以. （2）由（1）得， 因此， 而，所以. 10．已知，，与的夹角为，求使与的夹角为锐角的实数的取值范围． 【答案】 【分析】计算出的值，由题意可知，可求出的范围；再考虑与同向时，结合平面向量共线的充要条件以及平面向量的基本定理求出的值.综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，，与的夹角为，则， 所以， 令可得，解得． 当与同向时，设． 由已知、不共线，可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 11．（1）已知单位向量与夹角为，且，求与的夹角. （2）已知，求与夹角的余弦值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由平面向量数量积的定义求出，再利用数量积的运算律及向量夹角公式列式计算. （2）根据给定条件，利用数量积的运算律求出，再利用向量夹角公式求解. 【详解】（1）由单位向量与夹角为，得， 则， 又，， 所以，而，因此， 所以与的夹角为. （2）由，得，而，则， 因此， 所以与夹角的余弦值为. 12．设与均为单位向量. (1)若，求向量与的夹角； (2)若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积的定义及运算性质，利用向量的夹角公式求解； （2）根据向量的模可得，利用重要不等式求解． 【详解】（1）因为与均为单位向量，， 所以， 又， 所以， 又，所以． （2）因为，与的夹角为与均为单位向量， 所以， 即，所以， 解得，所以， 当且仅当时等号成立，即的最大值为 13．设向量，满足，，且. (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据条件求，再利用求向量的夹角. （2）根据列式求的值. 【详解】（1）因为， 所以. 所以，又， 所以，即向量，的夹角为. （2）因为，所以， 所以， 所以或. 14．如图，在梯形中，，，，，在线段上．    (1)若，用向量，表示，； (2)若AE与BD交于点F，，，，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据图形关系及平面向量线性运算法则计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律及定义得到方程，求出，再判断即可. 【详解】（1）依题意， ． （2）因为， 所以， 所以． 因为，所以， 所以，即，解得或． 连接交于，因为，所以，所以， 则． 因为在线段上，所以，故．    1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $