专题03 平面向量数量积的应用（压轴题专项训练）高一数学苏教版必修第二册

专题03 平面向量数量积的应用 （八类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、数量积的定义及运算律 类型二、平面几何图形中的向量的数量积的计算 类型三、利用数量积求向量模长及其最值 类型四、利用数量积求向量的夹角及其应用 类型五、利用数量积求投影向量及其应用 类型六、利用向量数量积判断平面图形形状 类型七、向量数量积的最值与范围 类型八、平面向量数量积与其他章节的融合 压轴专练 类型一、数量积的定义及运算律 向量数量积的定义： （1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积（或内积）． （2）记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0． 向量数量积的运算律： （1）；（交换律） （3）；（数乘结合律） （3）；（分配律） （4）平面向量数量积运算的常用公式： 【技巧方法】 向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．（注：两向量的夹角要共起点且夹角的范围为） (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．　 例1．已知向量与的夹角为,且,若,且,,则实数的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积定义及运算律运算即可. 【解析】， ∵，∴，即， ∴，∴， ∴ 故选：D． 变式1-1．已知为中边上一点且满足，则（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查基底运算知识点，需用分别表示出和，进行数量积运算即可. 【解析】由得，故 ， 所以 ， 故选：B． 变式1-2． 已知中，，若所在平面内一点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将化简得出点的位置，再以为基底表示，利用数量积计算即可. 【解析】取线段中点，则，则，则为线段的中点， ， 则， 则 . 故选：C. 变式1-3．已知向量，，且． （1）若向量与互相垂直，求的值． （2）若向量与互相平行，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可． （2）根据向量平行及平面向量基本定理列式求解. 【解析】（1），， ，，即，得， 若向量与互相垂直，则， 即得， ，解得或. （2）由，所以，所以不共线， 由向量与互相平行， 可知存在实数，使得， ，解得， 当时，；当时，. 或. 类型二、平面几何图形中的向量的数量积的计算 平面几何图形中的向量的数量积的计算： 在平面几何图形中将所求的向量用一组已知模长和夹角的基底向量线性表示，然后利用数量积的运算律计算。 【技巧方法】 选择合适的基底，利用向量的共线定理以及平面向量基本定理来表示目标向量，然后借助向量数量积公式求解。 例2．如图，在平行四边形中，，，，，，是平行四边形所在平面内一点，且．若，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】B 【分析】根据平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和运算法则，即可求解. 【解析】 如图，取的中点，则． 因为，所以，，三点共线． 连接并取的中点，连接，则． 因为，，，，所以． 又，所以，． 当时，最小，且最小值为，所以的最小值为． 故选：B. 变式2-1．已知中，是内一点，且满足为的中点，是直线上异于的任意一点，则（  ） A. 3 B. 6 C. 4 D. 9 【答案】C 【分析】由题意可得为的外心，则可得，再借助向量的线性运算法则与数量积公式计算即可得. 【解析】由，故为的外心， 又有为的中点，故， 由是直线上异于的任意一点，则， 则 . 故选：C. 变式2-2．（多选）如图，在中，关于的值，以下说法正确的是（  ） A．当半径为定值，弦越长，的值就越大 B．当弦长度为定值，半径越大，的值就越大 C．的值与弦的长度无关 D．的值与半径的大小无关 【答案】AD 【分析】由圆中的垂径定理结合数量积的计算即可得，结合选项即可求解答案. 【解析】设的半径为，的长度为，取的中点，连接，则 在中， ∴ 只与弦的长度有关，且弦越长，的值越大，与半径无关. 故选:AD. 变式2-3．如图，在平面四边形中，，，，且，则___________，若是线段上的一个动点，则的取值范围是___________. 【答案】 ①. 4 ②. 【分析】根据题意求出，，再根据平面向量数量积的定义可得；设，将和化为、、表示，利用定义求出关于的二次函数，根据二次函数知识可求得结果. 【解析】因为，，所以为正三角形，所以，， 因为，所以， 因为，所以，所以. 因为是线段上的一个动点，所以可设， 所以 ， 因为，所以时，取得最小值，当时，取得最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：4； 变式2-4．已知平行四边形中，，，，点是线段的中点．    (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据条件结合数量积的运算得到，再利用线性运算得到，即可求解； （2）根据（1）和条件得到，，由垂直关系得到，从而得到关于的方程，即可求解. 【解析】（1）在平行四边形中，，，， 所以， 因为点是线段的中点， 所以， 则， 故的值为. （2）由（1）知：，， 则，， 又因为， 则， 即， 即，解得：， 故的值为. 类型三、利用数量积求向量模长及其最值 【技巧方法】 求向量模的一般思路及常用公式： (1)求向量模的常见思路 (2)常用公式 ①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2； ②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.　　　　 例3．如图，梯形，，，，为中点，． (1)当时，用向量表示的向量； (2)若为大于零的常数），求的最小值，并指出相应的实数的值． 【答案】(1)；(2)； 【分析】（1）结合图形，先证得四边形是平行四边形，从而利用向量的线性运算即可得解. （2）结合（1）中的结论，得到关于的表达式，进而利用向量的数量积运算求模得到关于的二次表达式，从而可求得的最小值及相应的值. 【解析】（1）过作交于，如图， 因为，所以，， 则四边形是平行四边形，故，即是的中点， 所以， 当时，， 所以． . （2）因为，所以， 所以， 因为，，， 所以， 所以当，即时，取得最小值． 所以的最小值为，此时． 变式3-1．已知两两不共线的三个平面向量满足：，使得，则（ ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求得，得到两两的夹角相等，且为，结合向量数量积的运算律，即可求解. 【解析】设，因为， 则， 又因为向量夹角的范围为，所以两两的夹角相等，且为， 所以. 故选：B. 变式3-2．（多选）已知两个不相等非零向量，两组向量和均由3个和2个排列而成，记，表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则与无关； B. 若，则与无关； C. 若，则； D. 若，，则的夹角为. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意确定可能有三种情况，比较大小，确定，利用，可得，判断A; 若，设,求得，判断B;若，则化简，判断C, 若，，利用数量积定义求得，判断D. 【解析】因为两组向量和均由3个和2个排列而成， 故可能有三种情况; ;②;③, ， ， 故； 若，则,则与无关,故A正确； 若，设，则，则与有关，B错误； 若，则，故C正确； 若，，则， 故，由于，故，故D错误； 故选：AC 变式3-3．已知为坐标原点，为单位向量，且，．若，存在最小值，则正数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，由向量数量积的运算律以及模长公式可得，再由二次函数的图像性质，即可得到结果. 【解析】因为， 所以． 又，， 所以 ． 令． 由，可知为二次函数，其图像开口向上， 要使，存在最小值，只需其图像的对称轴即可，解得． 则正数的取值范围是. 故答案为： 变式3-4．已知单位向量的夹角为. 若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将，代入求解即可. 【解析】由已知，， ， . 故答案为： 变式3-5．在中，为钝角，，点为所在平面内一点，满足，，线段交线段于点. （1）若，求； （2）设，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由，根据垂直向量数量积为，展开得到，同理，所以是三角形外心.再利用圆周角与圆心角关系得.通过，结合夹角余弦值列出方程求出. （2）设，通过向量运算得到，两边平方建立等式，经过变形和换元等操作求即的最值. 【解析】（1）因为， 同理所以为外心，， 因为，，所以. （2）设，，，， 两边同时平方得，，， 令，， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 类型四、利用数量积求向量的夹角及其应用 【技巧方法】 求向量a，b的夹角θ的思路： (1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值． (2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值． 例4．（1） 已知平面直角坐标系中，向量，，若与的夹角为锐角.则实数的取值范围为___________． 【答案】且 【分析】根据题意得，且与不同向共线，再利用平面向量数量积的坐标公式以及向量共线列式即可得解. 【解析】因为，， 所以， 因为与的夹角为锐角，所以，且与不同向共线， 由，得，则； 由与共线，得，则， 此时与同向共线，故； 综上，且. 故答案为：且 （2）已知平面向量，满足，.若对一切实数，恒成立，则与的夹角大小为_____________. 【答案】 【分析】设与的夹角为，由，可得，将不等式展开，可得到关于的一元二次不等式，进而可知，从而可求得，进而求出. 【解析】设与的夹角为，由，得， 整理得， 由，，可得对一切实数恒成立， 所以，即， 又因为，所以，即. 又，所以，即与的夹角为. 故答案为：  变式4-1．已知单位向量，互相垂直，若存在实数，使得与的夹角为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量数量积的运算律和定义，列等式，即可求解. 【解析】因为 ， ，， 又与的夹角为， 所以，即， 解得：. 故选：D. 变式4-2．如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为已知在仿射坐标系下，，则__________. 【答案】 分析】应用向量夹角公式计算即可求解. 【解析】由题意，在仿射坐标系下，， 可得，， 所以， ， . 则. 故答案为：. 变式4-3．若平面向量满足，则夹角的最小值是_______． 【答案】 【分析】由题意可设，，，借助数量积公式可得，，，再借助夹角公式与基本不等式计算即可得. 【解析】设，，， 则，，即， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 又，则. 故答案为：. 变式4-4．已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为_____________ 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的运算可得出，求出的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求得的最大值． 【解析】因为单位向量，的夹角为， 则， 所以， 又， 所以， 当取最大值时，必有， 则， 又，，则，所以， 所以， 故的最大值为. 故答案为：． 类型五、利用数量积求投影向量及其应用 投影与投影向量： （1）设，是两个非零向量，，，考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． （2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． （3） 几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积． 【技巧方法】 解决向量投影问题应注意以下三点 (1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定． (2)向量a在b方向上的投影向量·. (3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ. 例5．（1）设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（  ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的定义结合已知求得，再由与垂直，得，结合数量积得运算律即可得解. 【解析】解：因为在方向上的投影向量为， 所以， 所以， 因为与垂直， 所以， 即，解得. 故选：B. 变式5-1．若向量，向量在方向上的投影向量为，则m值可能为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算公式，结合数量积与模长的坐标表示，可得答案. 【解析】向量在方向上的投影向量为， 所以，解得或， 故选：C. 变式5-2．已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据判断出，，三点共线，再结合外心的性质得到的形状，最后根据投影向量的定义求出的值. 【解析】已知，将其变形可得，即. 根据向量共线定理，可知与共线，所以，，三点共线. 因为点为的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点，且，，三点共线， 所以为外接圆的直径，那么，即是直角三角形. 根据投影向量的定义求的值，， 可得，即， 又因为，所以，因为，所以. 的值为. 故选：D. 变式5-3．已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据可判断四边形的形状，由外接圆可进一步判断其形状及角度，从而根据投影向量的概念求解. 【解析】由知，即， 又三点构成，所以，所以四边形是平行四边形，如图： 又的外接圆圆心为，所以， 所以平行四边形是菱形，且，即与的夹角为， 设菱形的边长为. 则在上的投影向量为. 故选：D. 类型六、利用向量数量积判断平面图形形状 利用向量数量积定义及运算律进行判别平面图形形状 【技巧方法】 常见结论： （1）即可得为等腰三角形； （2）平面四边形满足，，即可得平行四边形为菱形； 例6．，是所在平面上的两点，满足和，则的形状是（  ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】对化简可得，对化简变形可得，从而可判断出三角形的形状. 【解析】由题知，所以，即． 因为，所以，即， 所以． 又因为，所以， 所以，即， 两边同时平方并展开化简可得，即，所以． 综上可知，的形状是等腰直角三角形． 故选：A． 变式6-1．若平面四边形满足，在方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（  ） A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】首先根据向量相等判断四边形为平行四边形，再根据投影为零得到对角线互相垂直，即可判断； 【解析】解：因为，所以，所以平面四边形为平行四边形， 又，在方向上的数量投影是0，即，即，所以平行四边形为菱形； 故选：C 变式6-2．在中，，，则的形状为（  ） A. 等腰直角三角形 B. 三边均不相等的三角形 C. 等边三角形 D. 等腰（非直角）三角形 【答案】A 【分析】由数量积的运算律得到，即可得到，再由数量积的定义求出，即可判断. 【解析】因为，即，即， 所以，即，则， 又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 所以，又，所以， 所以， 所以是等腰直角三角形． 故选：A 变式6-3．（多选）下列命题正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 已知向量满足条件，则等边三角形 C. 在中，若，则为直角三角形 D. 在中，若，则为等腰三角形 【答案】BCD 【分析】由向量数量积的定义即可判断A；设，由及向量数量积的运算律得出，，，即可判断B；由向量数量积的定义及运算律即可判断C；由平面向量的线性运算及数量积的几何含义即可判断D． 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，设 由得，， 所以，即， 所以， 又，所以， 同理可得，， 所以为等边三角形，故B正确； 对于C，由，得， 展开整理得，即，故C正确； 对于D，设，则射线是的平分线， 又，所以， 所以为等腰三角形，故D正确； 故选：BCD． 类型七、向量数量积的最值与范围 向量数量积的性质： 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）cos θ＝； （5） 【技巧方法】 1.直接利用数量积公式求最值，两平面向量的数量积大小根据两个向量模长、夹角大小来确定，若模长固定，则可根据夹角大小来确定。 2.利用极化恒等式来求数量积的最值。 （1）平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：. （2）极化恒等式 3.利用投影法求数量积的最值：根据数量积公式，如其中有一边为固定的长度，则直接根据（可看做是AC在AB边上的投影数量）来决定数量积的范围。 例7．如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（  ）    A． B． C．6 D．10 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解. 【解析】根据题意可得，， 所以， 又因为， 所以,， 设,则， 所以， ， 所以 ， 令， 当单调递增，单调递减， 当，取最大值为. 故选：D 变式7-1．如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用转化法，将转化为或，进而求得的最小值. 【解析】解法一： 连接，则 ， 当时，最小，即， 结合，得的最小值为． 解法二（极化恒等式法）： 依题意，为线段的中点， 则 , 由于，，所以的最小值为． 故选:D 变式7-2．设都是单位向量，且，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出，再根据数量积的运算律得到，最后结合数量积定义计算可得. 【解析】因为，， 则， 所以 ， 当与方向相同时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 变式7-3．北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（图②）．已知这个正六边形的边长为1，且是其内部一点（包含边界），则的最大值是______． 【答案】3 【分析】根据正六边形的性质建立合适的平面直角坐标系，将向量用坐标表示出来，再通过向量数量积的坐标运算公式进行计算，最后根据点的位置确定数量积的最大值. 【解析】因为正六边形的边长为，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 根据正六边形的性质可知：，，. 根据向量坐标运算，可得. 因为是正六边形内部一点（包含边界），设，那么. 所以. 由正六边形的性质可知，点在正六边形内部（包含边界），的最大值在点处取得，此时.代入，可得的最大值为. 故答案为：3. 变式7-4．已知正方形边长为，是正方形的外接圆的一条动弦，，为正方形边上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据题意，正方形外接圆的半径，取弦的中点，求得，再由，得到,进而求得的最大值. 【解析】如图所示，因为正方形边长为，可得圆的半径为， 又因为是正方形的外接圆的一条动弦，且， 取弦的中点，可得， 则， 所以, 因为，即在以为圆心，半径为的圆上， 当点在正方形边与圆的交点上时，此时， 所以，即的最大值为. 故答案为：. 类型八、平面向量数量积与其他章节的融合 平面向量数量积常与函数、三角函数、方程、基本不等式等其他知识结合 例8．已知向量，，，向量满足，且． （1）已知，且，求的值； （2）若在上为增函数，求取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示即可求解. （2）根据向量模的求法可得，再由二次函数的单调区间可得，设，根据向量数量积的坐标表示可得，解不等式即可. 【解析】（1）由，有，； （2） 由在上为增函数，则对称轴，即， 设，则， 又，且，则 ，解得，， 于是， 即，， 即， 又，故． 变式8-1．已知单位圆上不同的三点A，B，C，则的最小值为________. 【答案】## 【分析】建立平面直角坐标系，设，表达出，结合，求出最小值. 【解析】以圆心为坐标原点，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 设，且，， 则， 则 ， 故当时，取得最小值， 由于，则当时，取得最小值， 此时，或，， 故的最小值为. 故答案为： 变式8-2．已知两个非零平面向量，满足：对任意恒有，则：①若，则 ；②若，的夹角为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】①由题设得对恒成立，利用即可求. ②由题设有，则在恒成立，利用可得，进而应用向量数量积的运算律可得，即可求最小值. 【解析】由题意，，则恒成立， ①时，对恒成立， ∴，可得. ②由，的夹角为，则， 又在恒成立， ∴， ∴，则， 当时，的最小值为. 故答案为：， 变式8-3．已知向量，. （1）若，求； （2）若，函数 ； （ⅰ）求的值域. （ⅱ）当取最小值时，求与垂直的单位向量的坐标. 注： 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）或 【分析】（1）根据向量共线可得，结合三角恒等变换分析求解； （2）根据数量积结合三角恒等变换整理可得.（ⅰ）换元设，可知，结合二次函数求值域；（ⅱ）结合（ⅰ）可知，设，结合向量的坐标运算分析求解. 【解析】（1）因为，，且∥， 则， 即 整理得，所以. （2）因为，则，， 可得 设， 因为，则， 可得，， （ⅰ）设， 因为的图象开口向上，对称轴为， 由二次函数性质可得：， 所以的值域为； （ⅱ）当取最小值时，即，此时， 设，由题意可得，解得 或， 所以或. 变式8-4．在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC= （1）试用，表示； （2）若，求∠ARB的余弦值 （3）若H在BC上，且RH⊥BC设，若，求的范围. 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）由，三点共线结合平面向量基本定理可得答案；（2）由（1）及题目条件，结合两向量夹角余弦公式可得答案.（3）设，结合及（1）可得，即可得答案. 【解析】（1）因P,R,C共线，则存在使， 则，整理得. 由共线，则存在使， 则，整理得. 根据平面向量基本定理，有， 则. （2）由（1），，， 则，，. 则； （3）由（1）知，则. 由共线，设. 又. 则 . 因，则，则. 1.已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先求出向量，夹角的余弦值，然后利用求解投影向量的方法求解即可. 【解析】因为，所以， 又，，所以，得到， 所以， 设与的夹角为，则， 所以在上的投影向量为：， 故选：D. 2. 已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由向量模与夹角的公式得，进而结合向量的夹角范围求解即可. 【解析】因为是单位向量，且的夹角为， 所以， 又， 所以， 又，所以，所以. 故选：C. 3.在直角梯形中，，点分别为，的中点，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】C 【分析】先建立平面直角坐标系，求出各点坐标，进而得到向量与的坐标，最后根据向量数量积的坐标运算公式求解. 【解析】以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴的正方向建立平面直角坐标系. 已知，则；因为，，，所以， 又因为，可得，即， 解得（舍去，因为在直角梯形中），所以，. 因为点为的中点，所以；点为的中点，可得，即.  所以，.  可得：.  故选：C. 4.已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，确定的形状，再利用投影向量的意义求解作答 【解析】因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量， 由，可得的角平分线与垂直， 所以为等腰三角形，且， 又，得，所以， 又，所以, 所以为等边三角形， 所以向量在向量上的投影向量为， 故选：B. 5.在中，，则（ ） A. 9 B. C. 6 D. 【答案】A 【分析】由得出点是的三等分点，再用分别表示出，即可计算出． 【解析】因为，所以点是的三等分点， 所以，则， 又， 所以， 故选：A． 6.（多选）在等腰直角三角形中，，，则下列命题正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据向量的线性运算法则，可判定A正确；由，可判定B不正确； ，可判定C不正确；由，，结合数量积的运算公式，可判定D正确. 【解析】如图所示，等腰直角中，，， 对于A中，由， 所以A正确； 对于B中，由，所以B不正确； 对于C中，由， 所以，所以C不正确； 对于D中，由， 所以，所以D正确. 故选：AD.    7.（多选）向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（  ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 【答案】BC 【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C,由夹角公式可判断B，根据投影向量的求法即可判断D. 【解析】，, ,解得,故A错误 ,， 由于，与的夹角为，故B正确, ,故C正确 在上的投影向量为，故D错误, 故选：BC 8.（多选） 武汉十一中举行了春季运动会，运动会上有同学报名了实心球项目，其中实心球项目的比赛场地是一个扇形．类似一把折扇，经过数学组老师的实地测量，得到比赛场地的平面图如图2的扇形AOB，其中，，点F在弧AB上，且，点E在弧CD上运动，则下列结论正确的有（ ） A. B. ，则 C. 在方向上的投影向量为 D. 的最大值是 【答案】BCD 【分析】根据已知条件，建立以为坐标原点的平面直角坐标系，求出相关点的坐标由点坐标写出向量坐标，利用向量运算的坐标运算即可求解. 【解析】依题意，以为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系，如图所示 因为， 所以， 设， 对于A， ，故A错误； 对于B，由，得， 即，解得，所以，故B正确； 对于C，，所以在方向上的投影向量为 ，故C正确； 对于D， ， 因，所以， 当，即时，取得最大值, 所以的最大值是.故D正确. 故选：BCD. 9.已知向量，，若，则__________ 【答案】 【分析】先根据两向量平行的坐标关系求出的值，再将所求式子转化为关于的表达式，最后代入的值进行计算. 【解析】已知，，且. 可得：，即..  ，将其变形为. 分子分母同时除以（因为，若，则，此时，，两向量不平行）， 得到.  将代入可得：  ，则. 故答案为： 10.已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为____________-- 【答案】 【分析】根据投影向量公式可得，再根据向量夹角公式求解即可. 【解析】在上的投影向量为，即， 所以，则， 因为，所以. 故答案为： 11.在中，，，是外接圆的圆心，在线段上，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设的中点分别为，连接，根据外心的性质可得，，结合三点共线设，进而运算求解即可. 【解析】设的中点分别为，连接，则， 可得， 同理可得， 因为在线段上，设， 则 ， 所以的取值范围是. 故答案为： 12.设，定义在上的函数与轴交于点，若对函数图像上任意一点（异于点），都存在另一点在函数图像上，使得且，则实数 . 【答案】 【分析】根据题意求出点，设，然后结合图像和已知条件可得，整理化简可得，根据条件即可求解. 【解析】由题意可知函数与轴的交点为， 则，设，由图像可知，位于点的两侧， 又因为且，且的纵横坐标均大于零， 不妨假设点在点的左侧，所以，设，则， 由可得， 消可得，， 整理可得， 解得，则点在曲线上， 又因为点在曲线上， 所以，消可得，， 化简可得，由于异于点，所以， 则有，即 所以，因为，解得， 故答案为：. 13.在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． （1）当时，求的值； （2）求向量的夹角； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）先根据向量的线性运算表示出和；再根据向量的数量积运算律即可求解. （2）先根据向量的线性运算表示出；再根据向量的数量积运算得出即可解答. （3）先根据表示出；再根据向量的数量积运算得出；最后根据即可求解. 【解析】（1）当时， 依题意知，，，. 则， . 因为， ， . 所以. 因此. 因为， ，， 所以，， 所以. （2）由（1）知. 因为，， 所以； . 则. 因为，， ， 所以， 故向量的夹角为. （3）由（2）可知： ， . 则. 因为，， ， 所以 , 由题意知，， 所以的取值范围是， ∴的取值范围是． 14.在等腰梯形中，为线段中点，与交于点. （1）求的值； （2）求的余弦值； （3）求与的面积之比. 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）利用基底表示即可； （2）先用模长公式求出和，再利用向量的夹角公式求解； （3）设，再利用基底表示，再利用三点共线得出系数和为1，即可求出，进而求出，将面积之比转化为线段之比即可. 【解析】（1）取线段的中点，连接， 因，则四边形为边长为2的菱形， 又，则为等边三角形. 则 （2） ， 所以. （3）设，因为为线段的中点，所以 因为三点共线，所以即 因为，所以， 又因为，所以 因为，所以 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面向量数量积的应用 （八类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、数量积的定义及运算律 类型二、平面几何图形中的向量的数量积的计算 类型三、利用数量积求向量模长及其最值 类型四、利用数量积求向量的夹角及其应用 类型五、利用数量积求投影向量及其应用 类型六、利用向量数量积判断平面图形形状 类型七、向量数量积的最值与范围 类型八、平面向量数量积与其他章节的融合 压轴专练 类型一、数量积的定义及运算律 向量数量积的定义： （1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积（或内积）． （2）记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0． 向量数量积的运算律： （1）；（交换律） （3）；（数乘结合律） （3）；（分配律） （4）平面向量数量积运算的常用公式： 【技巧方法】 向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．（注：两向量的夹角要共起点且夹角的范围为） (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．　 例1．已知向量与的夹角为,且,若,且,,则实数的值为（  ） A． B． C． D． 变式1-1．已知为中边上一点且满足，则（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1-2． 已知中，，若所在平面内一点满足，则（ ） A. B. C. D. 变式1-3．已知向量，，且． （1）若向量与互相垂直，求的值． （2）若向量与互相平行，求的值． 类型二、平面几何图形中的向量的数量积的计算 平面几何图形中的向量的数量积的计算： 在平面几何图形中将所求的向量用一组已知模长和夹角的基底向量线性表示，然后利用数量积的运算律计算。 【技巧方法】 选择合适的基底，利用向量的共线定理以及平面向量基本定理来表示目标向量，然后借助向量数量积公式求解。 例2．如图，在平行四边形中，，，，，，是平行四边形所在平面内一点，且．若，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 变式2-1．已知中，是内一点，且满足为的中点，是直线上异于的任意一点，则（  ） A. 3 B. 6 C. 4 D. 9 变式2-2．（多选）如图，在中，关于的值，以下说法正确的是（  ） A．当半径为定值，弦越长，的值就越大 B．当弦长度为定值，半径越大，的值就越大 C．的值与弦的长度无关 D．的值与半径的大小无关 变式2-3．如图，在平面四边形中，，，，且，则___________，若是线段上的一个动点，则的取值范围是___________. 变式2-4．已知平行四边形中，，，，点是线段的中点．    (1)求的值； (2)若，且，求的值． 类型三、利用数量积求向量模长及其最值 【技巧方法】 求向量模的一般思路及常用公式： (1)求向量模的常见思路 (2)常用公式 ①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2； ②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.　　　　 例3．如图，梯形，，，，为中点，． (1)当时，用向量表示的向量； (2)若为大于零的常数），求的最小值，并指出相应的实数的值． 变式3-1．已知两两不共线的三个平面向量满足：，使得，则（ ） A．3 B． C． D． 变式3-2．（多选）已知两个不相等非零向量，两组向量和均由3个和2个排列而成，记，表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则与无关； B. 若，则与无关； C. 若，则； D. 若，，则的夹角为. 变式3-3．已知为坐标原点，为单位向量，且，．若，存在最小值，则正数的取值范围是 . 变式3-4．已知单位向量的夹角为. 若，则的取值范围是 . 变式3-5．在中，为钝角，，点为所在平面内一点，满足，，线段交线段于点. （1）若，求； （2）设，求的最小值. 类型四、利用数量积求向量的夹角及其应用 【技巧方法】 求向量a，b的夹角θ的思路： (1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值． (2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值． 例4．（1） 已知平面直角坐标系中，向量，，若与的夹角为锐角.则实数的取值范围为___________． （2）已知平面向量，满足，.若对一切实数，恒成立，则与的夹角大小为_____________. 变式4-1．已知单位向量，互相垂直，若存在实数，使得与的夹角为，则（  ） A． B． C． D． 变式4-2．如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为已知在仿射坐标系下，，则__________. 变式4-3．若平面向量满足，则夹角的最小值是_______． 变式4-4．已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为_____________ 类型五、利用数量积求投影向量及其应用 投影与投影向量： （1）设，是两个非零向量，，，考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． （2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． （3） 几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积． 【技巧方法】 解决向量投影问题应注意以下三点 (1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定． (2)向量a在b方向上的投影向量·. (3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ. 例5．（1）设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（  ） A．2 B． C． D． 变式5-1．若向量，向量在方向上的投影向量为，则m值可能为（ ） A. B. C. 2 D. 变式5-2．已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 变式5-3．已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 类型六、利用向量数量积判断平面图形形状 利用向量数量积定义及运算律进行判别平面图形形状。 【技巧方法】 常见结论： （1）即可得为等腰三角形； （2）平面四边形满足，，即可得平行四边形为菱形； 例6．，是所在平面上的两点，满足和，则的形状是（  ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形 变式6-1．若平面四边形满足，在方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（  ） A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 变式6-2．在中，，，则的形状为（  ） A. 等腰直角三角形 B. 三边均不相等的三角形 C. 等边三角形 D. 等腰（非直角）三角形 变式6-3．（多选）下列命题正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 已知向量满足条件，则等边三角形 C. 在中，若，则为直角三角形 D. 在中，若，则为等腰三角形 类型七、向量数量积的最值与范围 向量数量积的性质： 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）cos θ＝； （5） 【技巧方法】 1.直接利用数量积公式求最值，两平面向量的数量积大小根据两个向量模长、夹角大小来确定，若模长固定，则可根据夹角大小来确定。 2.利用极化恒等式来求数量积的最值。 （1）平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：. （2）极化恒等式 3.利用投影法求数量积的最值：根据数量积公式，如其中有一边为固定的长度，则直接根据（可看做是AC在AB边上的投影数量）来决定数量积的范围。 例7．如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（  ）    A． B． C．6 D．10 变式7-1．如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 变式7-2．设都是单位向量，且，则的最小值为______． 变式7-3．北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（图②）．已知这个正六边形的边长为1，且是其内部一点（包含边界），则的最大值是______． 变式7-4．已知正方形边长为，是正方形的外接圆的一条动弦，，为正方形边上的动点，则的最大值为 . 类型八、平面向量数量积与其他章节的融合 平面向量数量积常与函数、三角函数、方程、基本不等式等其他知识结合 例8．已知向量，，，向量满足，且． （1）已知，且，求的值； （2）若在上为增函数，求取值范围． 变式8-1．已知单位圆上不同的三点A，B，C，则的最小值为________. 变式8-2．已知两个非零平面向量，满足：对任意恒有，则：①若，则 ；②若，的夹角为，则的最小值为 ． 变式8-3．已知向量，. （1）若，求； （2）若，函数 ； （ⅰ）求的值域. （ⅱ）当取最小值时，求与垂直的单位向量的坐标. 注： 变式8-4．在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC= （1）试用，表示； （2）若，求∠ARB的余弦值 （3）若H在BC上，且RH⊥BC设，若，求的范围. 1.已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 2. 已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3.在直角梯形中，，点分别为，的中点，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 4.已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 5.在中，，则（ ） A. 9 B. C. 6 D. 6.（多选）在等腰直角三角形中，，，则下列命题正确的是（  ） A． B． C． D． 7.（多选）向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（  ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 8.（多选） 武汉十一中举行了春季运动会，运动会上有同学报名了实心球项目，其中实心球项目的比赛场地是一个扇形．类似一把折扇，经过数学组老师的实地测量，得到比赛场地的平面图如图2的扇形AOB，其中，，点F在弧AB上，且，点E在弧CD上运动，则下列结论正确的有（ ） A. B. ，则 C. 在方向上的投影向量为 D. 的最大值是 9.已知向量，，若，则__________ 10.已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为____________-- 11.在中，，，是外接圆的圆心，在线段上，则的取值范围是 . 12.设，定义在上的函数与轴交于点，若对函数图像上任意一点（异于点），都存在另一点在函数图像上，使得且，则实数 . 13.在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． （1）当时，求的值； （2）求向量的夹角； （3）求的取值范围． 14.在等腰梯形中，为线段中点，与交于点. （1）求的值； （2）求的余弦值； （3）求与的面积之比. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $