考点01 向量概念4大题型（专项训练）高一数学苏教版必修第二册

考点01 向量概念 考点一：向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量． 2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 知识点诠释： （1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． （2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． （3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 考点二：向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 考点三：向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）． 知识点诠释： （1）向量的模． （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量． 知识点诠释： （1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 知识点诠释： 在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 考点四：向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）． 规定：与任一向量共线． 知识点诠释： 1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别． 2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系． 3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 题型一：向量的基本概念 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 混淆向量与数量；忽略零向量方向任意性；误将共线向量当作相等向量；忽视向量运算中模与方向的双重属性。 1．（2025·高一·甘肃天水·月考）下列各量中是向量的是（   ） A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度 2．（2025·高一·安徽阜阳·期中）下列说法中正确的是（    ） A．时间能称为向量 B．所有单位向量都是相等向量 C．模为0的向量与任一非零向量平行 D．若，则 3．（2025·高一·陕西·期中）以下说法中，正确的是（   ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．零向量的长度为0，没有方向 C．单位向量都是共线向量 D．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 4．（2025·高一·河北承德·月考）以下说法中正确的是（    ） A．两个具有公共起点的向量，一定是共线向量 B．两个向量不能比较大小，它们的模也不能比较大小 C．单位向量都是共线向量 D．向量与向量的长度相等 5．（2025·高一·天津宝坻·月考）下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 题型二：向量的表示方法 作向量的方法：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． 混淆向量符号与模的书写；坐标表示时搞错起点终点；向量几何表示漏标方向。 1．在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 2．在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 3．按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出以下向量.（图中每个小正方形的边长均为1） (1)正北方向，且模为2的向量； (2)长度为，方向为北偏西45°的向量； (3)向量的负向量. 4．在如图所示的网格图中，每个小方格的边长为1个单位长度，请你用直尺和圆规画出下列向量．    (1)； (2)，使； (3)，使； (4)，使． 5．（2025·高一·安徽淮北·月考）在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． 题型三：利用向量相等或共线进行证明 相等向量与共线向量的探求方法 （1）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． （2）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． 忽略相等向量需大小、方向均相同；共线向量证明漏验非零条件，混淆共线与相等。 1．在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，如图所示． (1)写出与向量平行的向量； (2)求证：． 2．如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点. (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：. 3．已知点，，，分别是平面四边形的边，，，的中点，求证：． 4．在四边形中，已知，求证：四边形为平行四边形． 5．如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：. 题型四：向量知识在实际问题中的简单应用 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向. 建模时混淆向量与标量；忽视方向对结果的影响；运算时忽略实际情境的限制条件。 1．（2025·高一·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 2．如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)作出，，，； (2)求的模． 3．已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 4．小明从学校的教学楼出发，向北走了到达图书馆，后从图书馆向南偏东方向走了到食堂就餐，用餐后又从食堂向西走了来到操场运动．请用向量表示小明每次的位移以及从开始到最后的位移． 5．画图表示小船的下列位移（用的比例尺）： (1)由A地向东北方向航行15km到达B地； (2)由A地向北偏西30°方向航行20km到达C地； (3)由C地向正南方向航行20km到达D地． 1．（2025·高一·黑龙江牡丹江·期末）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 2．（2025·高一·湖南衡阳·月考）已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是（   ） A． B．且 C． D． 3．（2025·高一·湖北武汉·期末）下列说法中正确的是（   ） A．两个单位向量一定相等 B．物理学中的重力是向量 C．若，，则 D．长度相等的两个向量必相等 4．（2025·高一·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 5．（2025·高一·广西河池·期末）下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 6．（2025·高一·上海长宁·月考）下列有关向量的说法正确的是（   ） A．向量又称有向线段 B．平行向量一定相等 C．平行向量一定共线 D．平面直角坐标系xOy中的x轴，y轴均为向量 7．若从平行四边形ABCD的四个顶点中任取两个作为向量的起点和终点，可得到两两互不相等的向量的个数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 8．（2025·高一·北京通州·期中）已知平面向量，，则“或”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（多选题）（2025·高一·福建福州·期中）下列说法错误的是（ ） A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 10．（多选题）（2025·高一·广东东莞·月考）下列说法不正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 11．（多选题）（2025·高一·甘肃张掖·期中）下列能使成立的充分条件是（   ） A． B． C．与方向相反 D．或 12．（2025·高一·上海浦东新·期中）下列关于向量的命题，序号正确的是 . ①零向量平行于任意向量； ②对于非零向量，若，则； ③对于非零向量，若，则； ④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合. 13．（2025·高一·新疆喀什·月考）在四边形中，有，则四边形的形状为 . 14．（2025·高一·贵州黔南·月考）某人在平面上从A点出发向西行走了到达点，然后改变方向，向西偏北方向行走了到达点，最后又改变方向，向东行走了到达点，则 . 15．已知线段被n（）等分，等分点为，，，…，.从这个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？ (2)求互不相等的非零向量总数，用n表示. 16．若向量，满足，，求的最大值及最小值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 向量概念 考点一：向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量． 2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 知识点诠释： （1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． （2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． （3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 考点二：向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 考点三：向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）． 知识点诠释： （1）向量的模． （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量． 知识点诠释： （1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 知识点诠释： 在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 考点四：向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）． 规定：与任一向量共线． 知识点诠释： 1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别． 2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系． 3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 题型一：向量的基本概念 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 混淆向量与数量；忽略零向量方向任意性；误将共线向量当作相等向量；忽视向量运算中模与方向的双重属性。 1．（2025·高一·甘肃天水·月考）下列各量中是向量的是（   ） A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度 【答案】C 【解析】因为时间、路程、温度只有大小没有方向，故是数量，加速度既有大小，又有方向，故是向量. 故选：C. 2．（2025·高一·安徽阜阳·期中）下列说法中正确的是（    ） A．时间能称为向量 B．所有单位向量都是相等向量 C．模为0的向量与任一非零向量平行 D．若，则 【答案】C 【解析】时间只有大小，没有方向，不是向量，故A错误； 所有单位向量的模都为，但方向不一定相同，所以不一定是相等向量，故B错误； 模为0的向量是零向量，零向量与任何一个非零向量平行，故C正确； 相等向量要求大小和方向都相同，故D错误． 故选：C． 3．（2025·高一·陕西·期中）以下说法中，正确的是（   ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．零向量的长度为0，没有方向 C．单位向量都是共线向量 D．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 【答案】D 【解析】对于A，如果两个向量的起点，终点不在同一直线上，它们不是共线向量，故A错； 对于B，零向量的长度（大小）为0，方向是任意的，B错， 对于C，单位向量可以垂直，它们不一定是共线向量，C错； 对于D，向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小， 而它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，D正确； 故选：D． 4．（2025·高一·河北承德·月考）以下说法中正确的是（    ） A．两个具有公共起点的向量，一定是共线向量 B．两个向量不能比较大小，它们的模也不能比较大小 C．单位向量都是共线向量 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【解析】共起点不代表共线，向量的方向是由起点和终点共同决定的，故A错误； 向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小，而它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，故B错误； 单位向量指的是模长为1的向量，方向有无数种情况，故C错误； 向量与向量的长度相等，故D正确. 故选：D. 5．（2025·高一·天津宝坻·月考）下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C 【解析】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 题型二：向量的表示方法 作向量的方法：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． 混淆向量符号与模的书写；坐标表示时搞错起点终点；向量几何表示漏标方向。 1．在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【解析】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． 2．在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【解析】（1）因为，点A在点O的正西方向，故向量如图所示． （2）因为，点B在点O的北偏西方向，故向量如图所示． （3）向量如图所示，． 3．按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出以下向量.（图中每个小正方形的边长均为1） (1)正北方向，且模为2的向量； (2)长度为，方向为北偏西45°的向量； (3)向量的负向量. 【解析】（1）根据平面向量的方向和模长，画出，如下： （2）根据平面向量的方向和模长，画出，如下： （3）根据相反向量的定义，画出，如下： 4．在如图所示的网格图中，每个小方格的边长为1个单位长度，请你用直尺和圆规画出下列向量．    (1)； (2)，使； (3)，使； (4)，使． 【解析】（1） （2）答案不唯一，向量的终点在以为圆心2为半径的圆弧上即可. （3）答案不唯一，向量只要和向量同向等长即可. （4）答案不唯一，向量只要和向量平行即可. 5．（2025·高一·安徽淮北·月考）在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． 【解析】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下： （2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下： （3）   . 题型三：利用向量相等或共线进行证明 相等向量与共线向量的探求方法 （1）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． （2）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． 忽略相等向量需大小、方向均相同；共线向量证明漏验非零条件，混淆共线与相等。 1．在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，如图所示． (1)写出与向量平行的向量； (2)求证：． 【解析】（1）与向量平行的向量有，，． （2）在平行四边形ABCD中，，， 因为E，F分别是CD，AB的中点， 所以且， 所以四边形BFDE是平行四边形， 故． 2．如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点. (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：. 【解析】（1）因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，， 所以四边形为平行四边形，所以. 所以与向量共线的向量为：，，. （2）证明：在平行四边形中，，. 因为，分别是，的中点， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 故. 3．已知点，，，分别是平面四边形的边，，，的中点，求证：． 【解析】证明：如图，连接AC， 因为，分别是，的中点，所以为的中位线， 所以，且， 同理，因为，分别是，的中点，所以，且， 所以，且， 因为向量与方向相同，所以. 4．在四边形中，已知，求证：四边形为平行四边形． 【解析】证明：在四边形ABCD中， ， 所以，且 所以四边形为平行四边形． 5．如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：. 【解析】因为，所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以且. 又与的方向相同，所以. 同理可证，四边形是平行四边形，所以. 因为，，所以， 又与的方向相同，所以 题型四：向量知识在实际问题中的简单应用 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向. 建模时混淆向量与标量；忽视方向对结果的影响；运算时忽略实际情境的限制条件。 1．（2025·高一·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 【解析】（1）作出向量，如图： （2）依题意，，向量相当于从点A出发向东走15米，再向正北走10米， 所以（米）. 2．如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)作出，，，； (2)求的模． 【解析】（1）根据题意可知，点在坐标系中的坐标为． 因为点在点的正北方，点在点的正西方， 所以，． 又，，所以， 即两点在坐标系中的坐标分别为，． 作出，，，如图所示． （2）由两点间距离公式得， 则． 3．已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 【解析】（1）由题意，作出向量，，，，如图所示． （2）依题意知，为正三角形，所以． 又因为，， 所以为等腰直角三角形，则，， 所以地在地的东南方向，距地． 4．小明从学校的教学楼出发，向北走了到达图书馆，后从图书馆向南偏东方向走了到食堂就餐，用餐后又从食堂向西走了来到操场运动．请用向量表示小明每次的位移以及从开始到最后的位移． 【解析】如图所示， 向量表示从教学楼到图书馆的位移； 向量表示从图书馆到食堂的位移； 向量表示从食堂到操场的位移； 向量表示从开始到最后的位移． 5．画图表示小船的下列位移（用的比例尺）： (1)由A地向东北方向航行15km到达B地； (2)由A地向北偏西30°方向航行20km到达C地； (3)由C地向正南方向航行20km到达D地． 【解析】（1）根据的比例尺，即图上，作图如下， （2）根据的比例尺，即图上，作图如下， （3）根据的比例尺，即图上，作图如下， 1．（2025·高一·黑龙江牡丹江·期末）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 【答案】D 【解析】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合， 若两个共线向量中含有零向量时，零向量所在直线不确定，故B错误； 对于C，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此C不正确； 对于D，向量的模指的是向量的长度，是一个非负实数，因此D正确. 故选：D. 2．（2025·高一·湖南衡阳·月考）已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【解析】对于A，方向相反，但模长未必相等，则未必成立，A错误； 对于B，方向相反，，但模长未必相等，B错误； 对于C，方向相反，但模长未必相等，则未必成立，C错误； 对于D，表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 方向相反，，则，D正确. 故选：D. 3．（2025·高一·湖北武汉·期末）下列说法中正确的是（   ） A．两个单位向量一定相等 B．物理学中的重力是向量 C．若，，则 D．长度相等的两个向量必相等 【答案】B 【解析】A选项，两个单位向量方向不同时，不相等，A错误； B选项，物理学中的重力既有大小，又有方向，是向量，B正确； C选项，若，则满足，，但不一定平行，C错误； D选项，长度相等，但方向不同的两个向量不相等，D错误. 故选：B 4．（2025·高一·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【解析】对A，由，不能得到方向相同，所以未必成立，故A错误； 对B：零向量的方向是任意的，故B错误； 对C：根据相等向量的概念，C正确； 对D：共线向量是指方向相同或相反的向量，故D错误. 故选：C 5．（2025·高一·广西河池·期末）下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 【答案】D 【解析】对于A, 零向量的长度为0，且方向是任意的，故A正确， 对于B，规定零向量与任意向量共线，故B正确， 对于C，相等向量的模长和方向都相同，故相等向量一定是共线向量，但共线向量是方向相同或者相反的两个向量，模长不一定相等，故共线向量不一定相等，C正确， 对于D，当为零向量时，此时不一定能得到，故D错误， 故选：D 6．（2025·高一·上海长宁·月考）下列有关向量的说法正确的是（   ） A．向量又称有向线段 B．平行向量一定相等 C．平行向量一定共线 D．平面直角坐标系xOy中的x轴，y轴均为向量 【答案】C 【解析】向量可以用有向线段来表示，但向量与有向线段是不同的概念.有向线段有起点、方向和长度，而向量只有大小和方向，没有固定的起点.所以不能说向量又称有向线段，选项错误. 平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行.而相等向量不仅要求方向相同，还要求大小相等.所以平行向量不一定相等，选项错误. 平行向量也叫共线向量，这是向量的基本概念.所以平行向量一定共线，选项正确. 向量是既有大小又有方向的量，而平面直角坐标系xOy中的轴、轴是具有方向的直线，它们没有大小，不满足向量的定义，所以轴、轴不是向量，选项错误. 故选：C. 7．若从平行四边形ABCD的四个顶点中任取两个作为向量的起点和终点，可得到两两互不相等的向量的个数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解析】如图，两两互不相等的向量有，共8个. 故选:B. 8．（2025·高一·北京通州·期中）已知平面向量，，则“或”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若或，则，反过来，若，两个向量的方向不确定，不能推出或， 所以“或”是“”的充分不必要条件. 故选：A 9．（多选题）（2025·高一·福建福州·期中）下列说法错误的是（ ） A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 【答案】BD 【解析】对于A，由向量的定义知，加速度是向量，故A正确； 对于B，两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故B错误； 对于C，由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故C正确； 对于D，向量可以用有向线段表示，但两者不同，故D错误． 故选：BD． 10．（多选题）（2025·高一·广东东莞·月考）下列说法不正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】ABD 【解析】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可知C正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数0只有大小没有方向，故D错误. 故选：ABD. 11．（多选题）（2025·高一·甘肃张掖·期中）下列能使成立的充分条件是（   ） A． B． C．与方向相反 D．或 【答案】ACD 【解析】对于A中，由，可得，所以A符合题意； 对于B中，由时，向量与的方向不一定相同或相反，所以与不一定共线，所以B不符合题意； 对于C中，由与方向相反，则向量与共线，所以，所以C符合题意； 对于D中，由或，得到或，即向量与至少有一个为， 根据与任意向量共线，可得，所以D符合题意. 故选：ACD. 12．（2025·高一·上海浦东新·期中）下列关于向量的命题，序号正确的是 . ①零向量平行于任意向量； ②对于非零向量，若，则； ③对于非零向量，若，则； ④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合. 【答案】①③ 【解析】因为零向量与任一向量平行，所以①正确； 对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量， 故不一定等于，故②错误； 对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确； 对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合. 故选：①③ 13．（2025·高一·新疆喀什·月考）在四边形中，有，则四边形的形状为 . 【答案】平行四边形 【解析】由得，，且， ∴四边形为平行四边形. 故答案为：平行四边形. 14．（2025·高一·贵州黔南·月考）某人在平面上从A点出发向西行走了到达点，然后改变方向，向西偏北方向行走了到达点，最后又改变方向，向东行走了到达点，则 . 【答案】120 【解析】某人从点A出发，经过点，到达点，最后停在点，易知，，又在四边形中，，所以四边形为平行四边形， 所以. 故答案为：120 15．已知线段被n（）等分，等分点为，，，…，.从这个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？ (2)求互不相等的非零向量总数，用n表示. 【解析】（1）当时，则等分点有，，，共3个，则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点时， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， 模长为时，互不相等的非零向量有2个:， 总共有8个． （2）由（1）知， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， ....依次类推， 当模长为时，有2个， 总共有个． 16．若向量，满足，，求的最大值及最小值. 【解析】因为，， 所以，当且仅当向量，方向相同时取得等号； ，当且仅当向量，方向相反时取得等号. 所以的最大值是18，最小值是6. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $