重难点01 平面向量的最值（范围）问题5考点（期中真题汇编，广东专用）高一数学下学期人教A版

重难点01平面向量的最值（范围）问题 5大高频考点概览 考点01 坐标法求数量积最值（范围）问题 考点02 基底法求数量积最值（范围）问题 考点03 公式法求数量积最值（范围）问题 考点04 模长的最值（范围）问题 考点05 系数的最值（范围）问题 地 城 考点01 坐标法求数量积最值（范围）问题 1．(24-25高一下·广东江门新会华侨中学·期中)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D．      2．(24-25高一下·广东深圳第七高级中学·期中)已知矩形的长，宽.点在线段上运动（不与两点重合），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·广东广州第二中学·期中)（多选）如图，直线，点A是，之间的一个定点，点A到，的距离分别为1和2．点B是直线上一个动点，过点A作，交直线于点C，点G满足，则（   ） A． B．面积的最小值是 C． D．存在最小值 4．(24-25高一下·广东广州黄埔区·期中)已知，，．若点P是所在平面内一点，且，则的最大值为______． 5．(24-25高一下·广东深圳福田某校·期中)德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为______． 地 城 考点02 基底法求数量积最值（范围）问题 1．(24-25高一下·广东深圳福田区红岭中学·期中)如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·广东普宁国贤学校等校·期中)在中，，，，为的三等分点（靠近C点）.则的值是______；设点是线段上的动点，则的最小值为______. 3．(24-25高一下·广东广州第二中学·期中)在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，． (1)若，AE与BF交于点N，，求的值； (2)求的最小值． 4．(24-25高一下·广东阳江第三中学·期中)如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知且 ，. (1)求b边的长度； (2)求的余弦值； (3)设点，分别为边上的动点，线段交于G，且的面积为面积的，求的最小值. 5．(24-25高一下·广东深圳外国语学校（集团）龙华高中部·期中)如图，扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动， 且总有， 设，.   (1)若，用，表示，； (2)求的取值范围. 地 城 考点03 公式法求数量积最值（范围）问题 1．(21-22高一下·广东汕头潮阳林百欣中学·期中)已知在三角形中，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高一下·广东湛江吴川第一中学·期中)（多选）已知锐角三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c =2．则下列结论正确的是（    ） A．的面积最大值为2 B．的取值范围为 C． D．的取值范围为 3．(24-25高一下·广东汕头澄海中学·期中)在中，，，，则的取值范围是__________． 4．(24-25高一下·广东汕头潮阳实验学校·期中)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则________.的取值范围为________. 5．(24-25高一下·广东佛山华南师范大学附属中学南海实验高级中学·期中)如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，，______；的最大值为______． 地 城 考点04 模长的最值（范围）问题 1．(24-25高一下·广东深圳高级中学·期中)已知平面向量，，，在上的投影向量为，，则取最小值时的值为（     ） A． B． C． D．1 2．(23-24高一下·广东广州华南师范大学附属中学·期中)已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 3．(24-25高一下·广东肇庆肇庆鼎湖中学·期中)已知向量，满足，，且，的夹角为，则的最小值是______. 4．(23-24高一下·广东深圳名校联考·期中)设，向量，，且，则____________；当时，的取值范围为____________． 5．(23-24高一下·广东东莞东莞实验中学·期中)已知向量，，，且向量与共线． (1)证明：； (2)求与夹角的大小； (3)求最小值． 地 城 考点05 系数的最值（范围）问题 1．(24-25高一下·广东清远三校联盟·期中)如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 2．(24-25高一下·广东深圳南头中学·期中)如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为 A．4 B． C． D．6 3．(23-24高一下·广东普宁部分学校·期中)如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（    ）   A．1 B．2 C．4 D． 4．(23-24高一下·广东深圳南山外国语学校（集团）高级中学·期中)如图所示，为等边三角形，，为的内心，点在以为圆心，为半径的圆上运动. (1)求出的值. (2)求的范围. (3)若，当最大时，求的值. 5．(24-25高一下·广东广州广东实验中学越秀学校·期中)如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点. (1)若，当k为何值时，与垂直？ (2)若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求 最小值. (3)若的最小值为1，求的值. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点01平面向量的最值（范围）问题 5大高频考点概览 考点01 坐标法求数量积最值（范围）问题 考点02 基底法求数量积最值（范围）问题 考点03 公式法求数量积最值（范围）问题 考点04 模长的最值（范围）问题 考点05 系数的最值（范围）问题 地 城 考点01 坐标法求数量积最值（范围）问题 1．(24-25高一下·广东江门新会华侨中学·期中)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D．      【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，用向量的数量积坐标运算即可求解. 【详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则 过作的垂线，垂足为， 正八边形中，边长为4，所以， 所以，所以，所以， 设，则，所以， 因为是正八边形内的动点（含边界）， 所以的范围为， 所以， 故选：A. 2．(24-25高一下·广东深圳第七高级中学·期中)已知矩形的长，宽.点在线段上运动（不与两点重合），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，点在线段上，设，建立空间直角坐标系，根据点坐标，表示出，根据，求出答案. 【详解】由题意得，点在线段上，设， 且.以为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示， 则，则， 由， 故， 所以， 由于，所以. 故选：A. 3．(24-25高一下·广东广州第二中学·期中)（多选）如图，直线，点A是，之间的一个定点，点A到，的距离分别为1和2．点B是直线上一个动点，过点A作，交直线于点C，点G满足，则（   ） A． B．面积的最小值是 C． D．存在最小值 【答案】ABC 【分析】根据直角坐标系，设出，，，根据及，即可找到三个点的坐标关系，分别写出，，即可判断A；取中点为，连接，根据，可得三点共线，且为靠近的三等分点，即可找到面积与面积之间比例关系，进而建立面积等式，根据基本不等式即可判断B；求出，再根据基本不等式可判断C；写出进行化简，根据的范围即可得到的最值情况判断D. 【详解】设中点为，连接， 以为原点，方向分别为轴建立如图所示的直角坐标系， 则，，设，，，，且， 所以，，因为，所以， 即，故，即， 所以，，， 因为， 所以，即， 因为，故，A正确； 因为，所以，即， 所以三点共线，且为靠近的三等分点， 所以 ， 当且仅当，即时取等，故B正确； 因为， 所以 ， 当且仅当，即时取等，故，C正确； 因为， 所以 ， 因为且，所以， 记，由函数和在上递增， 可知在上单调递增，没有最值，即没有最值，故D错误. 故选：ABC 4．(24-25高一下·广东广州黄埔区·期中)已知，，．若点P是所在平面内一点，且，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】以为原点，建立直角坐标系，首先求出点坐标，再利用向量的数量积的坐标运算，以及基本不等式计算可得. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设 则，可得，， 所以，即，故，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 即的最大值为． 故答案为：． 5．(24-25高一下·广东深圳福田某校·期中)德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，则为单位圆上一点，利用任意角的三角函数定义，设点的坐标，用向量的坐标运算求解即可. 【详解】 由已知，弧是以为圆心，为半径的圆的一部分， 以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，则由已知，，， 由任意角的三角函数的定义，设，， 则，，， ∴， ∴ 令，，则， 当时，， ， ， ∴存在，使，即， ∴当时，的最小值为. 故答案为：. 地 城 考点02 基底法求数量积最值（范围）问题 1．(24-25高一下·广东深圳福田区红岭中学·期中)如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，利用即可求解. 【详解】取的中点，连接，如图所示， 所以的取值范围是，即， 又由，所以. 故选：B. 2．(24-25高一下·广东普宁国贤学校等校·期中)在中，，，，为的三等分点（靠近C点）.则的值是______；设点是线段上的动点，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据定比分点以及向量线性运算，利用数量积的运算律计算可得；设，利用向量数量积的运算律并结合二次函数性质即可求得的最小值. 【详解】因为D为BC的三等分点（靠近C点），所以， 可得， 所以 ； 设， 所以， 可得 ； 可知当时，的最小值为. 故答案为：；； 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用平面向量的共线定理设出，再由向量的线性运算以及运算律计算可得结果. 3．(24-25高一下·广东广州第二中学·期中)在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，． (1)若，AE与BF交于点N，，求的值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，以，为基底表示，结合平面向量基本定理列方程求，，由此可得，再求，，由此可得结论； （2）以，为基底表示，，再根据数量积运算律和数量积的定义求，结合二次函数性质求其最小值. 【详解】（1）当时，，即为的中点， 因为三点共线， 设，则 ， 因为三点共线， 设，则， 又不共线， 根据平面向量基本定理得解得 所以，又，则 所以. （2）因为，， 所以 ， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为. 4．(24-25高一下·广东阳江第三中学·期中)如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知且 ，. (1)求b边的长度； (2)求的余弦值； (3)设点，分别为边上的动点，线段交于G，且的面积为面积的，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理的“角化边”把已知条件中的等式进行转化，再运用余弦定理得出和的关系式，进而求出的长度即可； （2）根据向量的运算性质和两向量的夹角公式求出； （3）首先设，，（），根据三点共线公式得到， 再根据面积的倍数关系求出，因此求出的表达式后，可以根据函数值域的求解方法解决取值范围即可． 【详解】（1）∵， 由正弦定理： ， 由余弦定理：， ∵c=1， ∴ （2）因为D为中点，所以，设的夹角为， ∴， 又， ∴，即， 解得或， 又，所以； （3）设，，（） ， 根据三点共线公式，得 （，为∠BAC） ， 所以， 所以的最小值为 5．(24-25高一下·广东深圳外国语学校（集团）龙华高中部·期中)如图，扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动， 且总有， 设，.   (1)若，用，表示，； (2)求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由,结合向量的线性运算及平面向量基本定理,即可用,表示,. （2）设,则,即可表示出.结合向量数量积的运算及,即可结合二次函数性质求得的取值范围. 【详解】（1）由题知，均为等边三角形，所以四边形为菱形.    所以， 因为，，所以， 所以， . （2）因为扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ， 所以， 设，则，. 所以， ， 所以 ， 因为， 所以当是，上式取得最小值为；当或时，上式取得最大值为. 所以的取值范围. 地 城 考点03 公式法求数量积最值（范围）问题 1．(21-22高一下·广东汕头潮阳林百欣中学·期中)已知在三角形中，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系得到的取值范围，再利用余弦定理表示出，最后根据平面向量数量积的定义计算可得； 【详解】解：因为，，所以，即，解得，由余弦定理，所以 ，因为，所以，所以，即； 故选：A 2．(23-24高一下·广东湛江吴川第一中学·期中)（多选）已知锐角三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c =2．则下列结论正确的是（    ） A．的面积最大值为2 B．的取值范围为 C． D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】A选项，由余弦定理和基本不等式求出面积的最大值；B选项，由正弦定理得到，结合平面向量数量积公式得到，根据为锐角三角形得到，从而得到的取值范围；C选项，由正弦定理和正弦和角公式可得；D选项，变形得到，由，求出答案. 【详解】A选项，由余弦定理得，即， 所以，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 此时为锐角三角形，满足要求， 故，解得，故，A错误； B选项，由正弦定理得， 所以， ， 因为为锐角三角形，所以，， 解得， 则，，，B正确； C选项，， 由正弦定理得，C正确； D选项，， 由C选项可知，所以， 故，D正确. 故选：BCD 3．(24-25高一下·广东汕头澄海中学·期中)在中，，，，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用正弦定理和向量数量积的定义得，再根据的范围和正切函数的值域即可求出其范围． 【详解】根据正弦定理得，即， ， ， ， ，所以， ， 即的取值范围． 故答案为：． 4．(24-25高一下·广东汕头潮阳实验学校·期中)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则________.的取值范围为________. 【答案】 【分析】由同角三角函数的关系可得，再由两角和差正切公式可得的值；由正弦定理得到，，再由余弦定理得到，结合向量数量积公式化简得到，换元后得到，从而得到，得到，由函数单调性得到答案. 【详解】锐角中，，所以， ，. 由正弦定理得，故，， 由余弦定理得，即，， ， 故 令，则， 因为，， 所以 ， 其中锐角φ的终边经过点，故，， 因为为锐角三角形，所以，故， 注意到：，， 所以，所以，因为所以， 从而，因为， 故在上单调递减，其中，， 所以的取值范围是 故答案为：；. 5．(24-25高一下·广东佛山华南师范大学附属中学南海实验高级中学·期中)如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，，______；的最大值为______． 【答案】 2 2 【分析】根据向量的线性运算结合模长即可求得第一空答案；设，作，交的延长线于E，求出，继而求出，结合数量积的几何意义，即可求得答案. 【详解】由题意可知O为的中点，且， 则； 设，作，交的延长线于E， 在中， 故，则， ，又，故， 则， 故， 当时，取到最大值2， 故答案为：2；2 地 城 考点04 模长的最值（范围）问题 1．(24-25高一下·广东深圳高级中学·期中)已知平面向量，，，在上的投影向量为，，则取最小值时的值为（     ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义求出，再利用向量数量积的运算律求解. 【详解】因为在上的投影向量为，所以，则， 所以， 当且仅当即时，取最小值. 故选：A. 2．(23-24高一下·广东广州华南师范大学附属中学·期中)已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知由向量垂直可得的模，再由不等式恒成立，结合图象可得，从而可得，接下来方法一，直接对进行平方化简，由二次函数最值可解；方法二，由三点共线基本定理，结合三角形面积公式和余弦定理可解. 【详解】和相互垂直， 则，则， 结合图象，， 则 ， 因为恒成立，则， 即，则， 法（一）： 对称轴时： ，即 法（二）：，因为， 所以向量的终点共线（起点重合）， 则的面积， ，所以. 故选:．    【点睛】关键点点睛：数形结合发现，，则 ，因为恒成立，则. 3．(24-25高一下·广东肇庆肇庆鼎湖中学·期中)已知向量，满足，，且，的夹角为，则的最小值是______. 【答案】 【分析】根据数量积的定义和运算律可得，结合二次函数分析求解. 【详解】由题意可知：， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 4．(23-24高一下·广东深圳名校联考·期中)设，向量，，且，则____________；当时，的取值范围为____________． 【答案】 【分析】根据向量垂直列方程求得，进而可得空1答案；利用平方的方法，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】空1：因为，所以，即，得； 空2：由题知，又， 所以当时，取得最小值，最小值为12， 当时，取得最大值，最大值为28， 故的取值范围为． 故答案为：；. 5．(23-24高一下·广东东莞东莞实验中学·期中)已知向量，，，且向量与共线． (1)证明：； (2)求与夹角的大小； (3)求最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3). 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示求出，再利用向量垂直的坐标表示推理得证. （2）由（1）中信息，利用向量夹角公式求出夹角. （3）利用坐标计算模建立函数关系，进而求出最小值. 【详解】（1）向量，，由向量与共线，得，解得，， 因此，所以. （2）由（1）知，，则，，而， ，因此， 而，则，所以与的夹角为. （3）由（2）知，，则， 因此， 当且仅当时取等号，所以最小值为. 地 城 考点05 系数的最值（范围）问题 1．(24-25高一下·广东清远三校联盟·期中)如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】利用重心的性质结合平面向量共线定理得到，最后利用‘1’的代换结合基本不等式求解最值即可. 【详解】∵是的重心，， 又 ，结合题意知， 因为三点共线, 当且仅当即时取等号，的最小值为，故A正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是找到利用平面向量共线定理得到，然后利用基本不等式得到所要求的最值即可． 2．(24-25高一下·广东深圳南头中学·期中)如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为 A．4 B． C． D．6 【答案】C 【详解】，又，，又三点共线，，即得，易知， ，当且仅当，即时，取等号，故选C. 【易错点晴】本题主要考查平面向量基本定理的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 3．(23-24高一下·广东普宁部分学校·期中)如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（    ）   A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】计算得，再利用三点共线结论得系数和为1，即，再利用基本不等式求出最值即可. 【详解】因为是的中点，且， 所以. 因为三点共线，所以， 即，所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：A. 4．(23-24高一下·广东深圳南山外国语学校（集团）高级中学·期中)如图所示，为等边三角形，，为的内心，点在以为圆心，为半径的圆上运动. (1)求出的值. (2)求的范围. (3)若，当最大时，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）以为原点，为轴建立平面直角坐标系如图所示，依题意点在圆上，设，即可表示，，，根据平面向量模的坐标表示及同角三角函数的基本关系计算可得； （2）由（1）知，根据正弦函数的性质计算可得； （3）根据平面向量线性运算的坐标表示得到，再根据同角三角函数的基本关系，得到，又，两边同除，令，，将原式化为，再根据求出的取值范围，即可得解； 【详解】（1）以为原点，为轴建立平面直角坐标系如图所示． 由正弦定理得外接圆半径，则，进而可得，． 因为点在以为圆心，为半径的圆上运动，故设， 则，，， 所以 ． （2）由（1）知， 又因为，所以， 即. （3）因为 ， 所以， 代入整理得，， 显然，两边同时除以， 得， 令，，则， 即， 所以，即， 解得，所以（即）的最大值为． 此时，所以， 所以，，所以. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是建立平面直角坐标系，将问题转化为三角函数及不等式问题. 5．(24-25高一下·广东广州广东实验中学越秀学校·期中)如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点. (1)若，当k为何值时，与垂直？ (2)若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求 最小值. (3)若的最小值为1，求的值. 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）由余弦定理可得，再由向量垂直和数量积的关系即可求出结果； （2）由向量的线性运算和共线的条件得到，即可得到，再用基本不等式计算； （3）由向量的数量积的定义得到，再由模长的计算得到，结合二次函数的性质解出即可. 【详解】（1）因为 ， 所以由余弦定理得，即，所以. 若与垂直，则， 所以，所以， 解得，即时，与垂直； （2）因为为的重心，所以， 又因为，所以， 由于三点共线，所以存在实数使得，所以 化简为，所以，所以. 显然，则， 当且仅当时，即时，取最值. 则的最小值为2. （3）设与的夹角为，在中，， 所以， 又 ， 所以当时，有最小值，所以，解得， 即取最小值1时，． 【点睛】知识点点睛：本题考查了余弦定理解三角形,向量垂直和数量积的关系,向量的线性运算和共线的条件，基本不等式计算最值，二次函数的性质.综合性特别强，转化能力要求高，属于难题 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $