精品解析：广东汕头某校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

第二学期高一期中考数学测试卷 一、单选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 2. 设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（ ） A. B. 或 C. D. 3. 在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 4. 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 5. 某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)(　　) A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（　　） A. 三点确定一个平面 B. 三条平行直线确定一个平面 C. 梯形的四个顶点确定一个平面 D. 两两相交的三条直线确定一个平面 7. 设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 8. 已知奇函数是定义在上的减函数，且，若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，满分18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．） 9. 若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是 A. 的虚部为 B. C. 为纯虚数 D. 的共轭复数为 10. （多选）已知函数，则（ ） A. 为的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 函数的一个零点为 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 命题的否定是“，” B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”的必要不充分条件是“” D. 函数的最小值为4 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，将正确答案填在答卷相应的位置上） 12. 如图为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点的坐标为，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点到轴的距离为________． 13. 已知正四面体的表面积为，此四面体的内切球的表面积为，则＝______． 14. 已知，，若，，则的最大值为______. 四、解答题（5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 设复数z＝log2（m2－3m－3）＋ilog2（m－2）（m∈R），对应的向量为. （1）若的终点Z在虚轴上，求实数m的值及||； （2）若的终点Z在第二象限内，求m的取值范围． 16. 如图，某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面．制作时需要将圆锥的顶点剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为． （1）求这种“笼具”的体积； （2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元? 17. 如图，在平面四边形中，，，． （1）若面积是2，求； （2）若，求． 18. 设函数，其中.已知. （Ⅰ）求； （Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值. 19. 已知函数，其中，且恒过定点. （1）求的值； （2）若函数有两个不同的零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二学期高一期中考数学测试卷 一、单选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由得，所以，因为，所以，故选D. 【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算 【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理. 2. 设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相等向量的定义，结合单位向量的定义逐一判断即可. 【详解】两个向量模相等，但是方向也可能不同，所以选项AB不正确； 题中没有明确向量模的大小关系，所以选项C不正确； 因为分别是的单位向量，所以， 故选：D 3. 在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得 ， 所以，故选A. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 4. 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由图中最小值求出，从而可得最大值． 【详解】由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5. ∴ymax＝k＋3＝8. 故选：C 【点睛】本题考查（）的性质，的最大值为，最小值为． 5. 某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪个棱剪开，剪开的相邻面在展开在图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻，又相同的图案是盒子相对的面，展开后绝不能相邻．故选A. 6. 下列说法正确的是（　　） A. 三点确定一个平面 B. 三条平行直线确定一个平面 C. 梯形的四个顶点确定一个平面 D. 两两相交的三条直线确定一个平面 【答案】C 【解析】 【分析】对于AC：根据平行的基本事实以及推论分析判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：不在同一条直线上三点确定一个平面，故A错误； 对于选项B：三条平行直线不一定能确定一个平面， 例如三棱柱的三条侧棱所在的直线，这三条直线就不共面，故B错误； 对于选项C：因为梯形有两边是平行的，且两条平行直线是共面直线， 所以梯形的四个顶点确定一个平面，故C正确； 对于选项D：两两相交的三条直线不一定能确定一个平面， 例如三棱锥的三条侧棱所在直线，这三条直线就不共面，故D错误. 7. 设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果. 【详解】因为， 所以由正弦定理可得， ， 所以，所以是直角三角形. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 8. 已知奇函数是定义在上的减函数，且，若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数性质计算判断A；由单调性得，分析判断B；根据给定条件，结合奇函数性质、单调性计算判断CD. 【详解】由是上的奇函数，得，又，因此，A错误； 由是上的减函数，得，即，因此，不一定有，B错误； 由，是上的奇函数，得，C错误； 由，是上的奇函数，得， 又是上的减函数，则，即，因此，D正确. 故选：D 二、多选题（共3小题，每小题6分，满分18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．） 9. 若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是 A. 的虚部为 B. C. 为纯虚数 D. 的共轭复数为 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可. 【详解】因为， 对于A：的虚部为，正确； 对于B：模长，正确； 对于C：因为，故为纯虚数，正确； 对于D：的共轭复数为，错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题. 10. （多选）已知函数，则（ ） A. 为的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 函数的一个零点为 【答案】AD 【解析】 【分析】本题考查的形如的函数的性质，包裹周期、对称性、单调性以及函数零点等. 【详解】函数的最小正周期，故A正确； 当时，，由余弦函数图象的对称性知，B错误； 函数在上单调递减，在上单调递增，故C错误； ，，故D正确. 故选：AD． 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 命题的否定是“，” B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”的必要不充分条件是“” D. 函数的最小值为4 【答案】BC 【解析】 【分析】根据含有一个量词的否定，充分不必要条件，必要不充分条件及基本不等式依次判断各选项即可. 【详解】对于A.命题的否定是“，”，故A错误； 对于B. 等价于，解得或故“”是“”的充分不必要条件，B正确； 对于C.由可知，则即反之,不成立，所以“” 是“”的必要不充分条件，C正确； 对于D.当且仅当，即取等号，显然等号无法取得，故最小值不是4，设，则 在上为减函数，当时，取最小值5，故D错误； 故选：BC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，将正确答案填在答卷相应的位置上） 12. 如图为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点的坐标为，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点到轴的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】画出直观图，由图计算到轴的距离即可. 【详解】画出直观图， 对应，且，，故顶点到轴的距离为． 故答案为： 13. 已知正四面体的表面积为，此四面体的内切球的表面积为，则＝______． 【答案】 【解析】 【分析】设四面体的棱长为，求出正四面体的高，可得其体积，设正四面体的内切球半径为利用等体积法可得则,从而得到内切球的半径即可求解. 【详解】设四面体的棱长为，则底面三角形的高为，且底面中心将底面三角形的高分为两段， 所以底面中心到顶点的距离为可得正四面体的高为， 所以正四面体的体积 设正四面体的内切球半径为则， 所以内切球表面积，又正四面体的表面积， 所以 14. 已知，，若，，则的最大值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据指数与对数的关系，可得，所以，又利用基本不等式可求得，从而可得答案． 【详解】因为，若， 所以， 所以， 所以； 又，所以，所以，当且仅当时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立. 故答案为：4. 【点睛】本题考查对数的概念，考查基本不等式的应用，属于基础题． 四、解答题（5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 设复数z＝log2（m2－3m－3）＋ilog2（m－2）（m∈R），对应的向量为. （1）若的终点Z在虚轴上，求实数m的值及||； （2）若的终点Z在第二象限内，求m的取值范围． 【答案】（1）m＝4，| （2） . 【解析】 【分析】(1)显然是复数z的实部为0，即可求解； (2)z的实部为负数，虚部为正数即可. 【小问1详解】 因为 的终点z在虚轴上，所以复数z的实部为0， 则有log2（m2－3m－3）＝0，所以m2－3m－3＝1， 所以m＝4或m＝－1； 因为 ，所以m＝4， 此时z＝i，, ； 【小问2详解】 因为 的终点Z在第二象限内，则有 ，解得 ， 所以 16. 如图，某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面．制作时需要将圆锥的顶点剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为． （1）求这种“笼具”的体积； （2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出圆柱的体积和圆锥的体积，相减后得到答案； （2）先求出这种笼具的表面积，从而得到总造价. 【小问1详解】 设圆柱的半径为，体积为，圆锥的体积为， 则由得，， 所以， 设圆锥的高为，其中母线长，则由勾股定理得， ， 故这种“笼具”的体积为； 【小问2详解】 圆柱的侧面积为，圆柱的上底面面积为，圆锥的侧面积为， 所以“笼具”的表面积为， 故造50个“笼具”，总造价为（元）. 17. 如图，在平面四边形中，，，． （1）若面积是2，求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由结合余弦定理化简即可求解； （2）设，在中利用正弦定理可得，在中利用正弦定理可得，求出即可求解. 【小问1详解】 ， 所以， 由余弦定理可得， 所以； 【小问2详解】 ，则，， 在中，即，所以， 在中，，即，所以， 所以，解得， 又，，解得，所以. 18. 设函数，其中.已知. （Ⅰ）求； （Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值. 【答案】(Ⅰ) . (Ⅱ) . 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到 由题设知及可得. （Ⅱ）由（Ⅰ）得 从而. 根据得到，进一步求最小值. 试题解析：（Ⅰ）因为， 所以 由题设知， 所以，. 故，，又， 所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）得 所以. 因为， 所以， 当， 即时，取得最小值. 【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等. 19. 已知函数，其中，且恒过定点. （1）求的值； （2）若函数有两个不同的零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意代入可得，运算求解即可； （2）根据单调性分析可得，，，可得，令，，结合函数单调性求值域. 【小问1详解】 因为恒过定点， 则，解得. 【小问2详解】 由在上单调递减，在上单调递减，且函数图象在处不连续， 则，，，且， 则，，可得， 令，， 对任意，且，则，， 可得，即， 则，即， 可知在内单调递减，则，当趋近于时，趋近于， 即，所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $