专项提升09：三角形和多边形的内角和（4大考点）（考点梳理+方法点拨+重难点讲解+巩固提升训练）数学人教版四年级下册

人教版四年级数学下册第五单元：三角形 专项提升09：三角形和多边形的内角和 （考点梳理+方法点拨+重难点讲解+巩固提升训练） 考点01：三角形的内角和 考点02：四边形的内角和 考点03：多边形的内角和 考点04：剪角问题 考点01：三角形的内角和 （1）三角形的内角和是180°。 （2）验证方法 ①拼角法：把三角形的3个内角剪下来，拼成一个平角（180 °）。 ②折角法：把三角形的3个内角折在一起，拼成一个平角。 （3）已知两个角的度数，求第三个角：第三个角=180°－己知两角之和。 （4）直角三角形中，两个锐角之和是90°；等边三角形每个角都是60°。 考点02：四边形的内角和 四边形的内角和是360°。 考点03：多边形的内角和 从n边形的一个顶点出发，可以作（n−3）条对角线，将n边形分成（n−2）个三角形。因为每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和公式为（n−2）×180°。 考点04：剪角问题 沿直线剪去一个角： （1）情况一：当沿着三角形的一个角的顶点和这个角对边上的一点（非顶点）连线剪去一个角时，原三角形变成了一个四边形。此时，新图形的内角和为 360°。因为剪去一个角后增加了一个角，形成了四边形，而四边形内角和是 360°。 （2）情况二：当沿着三角形相邻两条边的中点连线剪去一个角时，得到的是一个小三角形和一个梯形。小三角形的内角和依然是180°，梯形的内角和是360°。 考点01：三角形的内角和 【典型例题】乐乐用一副三角尺玩拼角游戏。他拼出一个如图的图形，∠1＝（ ）°。 【变式训练1】下面每组中的三个角，不可能是同一个三角形的三个角的是（     ）。 A．15°、79°、86° B．120°、35°、25° C．60°、60°、60° D．27°、103°、70° 【变式训练2】已知一个等腰三角形的一个内角是72°，则另外两个内角分别是多少度？ 考点02：四边形的内角和 【典型例题】如图1，把正方形剪成一个特殊的三角形。 （1）图中∠1＝（ ），∠2＝（ ）。 （2）如果正方形的边长是5厘米，那么三角形的周长是（ ）厘米。 （3）如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去∠1（如图2），在剩下的四边形中：∠3＋∠4＝（ ），∠5＋∠6＝（ ）。 【变式训练1】如图，已知等腰梯形中∠1＝45°，那么∠2＝（ ）。 【变式训练2】如图把一张长方形纸折起了一个角。已知∠1＝20°，那么∠2＝（ ）°。 考点03：多边形的内角和 【典型例题】如图：一辆小汽车沿正五边形跑道跑一圈，每次转向后，车的方向转过（ ）度。 【变式训练1】九边形的内角和是（     ）。 A．1260° B．360° C．840° 【变式训练2】计算一个五边形的内角和时，我们可以把它分成3个三角形（如图），它的内角和就是180°×3＝540°。像这样，计算八边形内角和也可以把它分成几个三角形，那么八边形的内角和是（     ）。 A．900° B．1080° C．1260° 考点04：剪角问题 【典型例题】如图，在三角形ABC中，∠C＝（ ）°；现在沿图中虚线剪下右边的小三角形，剩下部分图形的内角和是（ ）°。 【变式训练1】丽丽将一张直角三角形纸片剪去一个直角后得到一个四边形（如图），∠3＋∠4＝（ ）°。 【变式训练2】如图所示：将一个直角三角形的一个角折起来，∠1的度数是（     ）。 A．30° B．40° C．50° D．60° 一、选择题 1．在一个等腰三角形中，已知一个内角是40°，另外两个内角分别（     ）。 A．都是70°或40°和100° B．是100° C．70°和100° D．140° 2．如图，一个正方形被剪了一个角，剩下的这个图形的内角和是（    ）。 A．270° B．540° C．360° D．720 3．把两个三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和是（     ）。 A．360° B．180° C．90° D．120° 4．把下图的三角形沿虚线剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是（     ）。 A．360° B．180° C．120° D．90° 5．下面的三角形都被信封遮住了一个角，图（     ）是锐角三角形。 A． B． C． D． 二、填空题 6．选一选，填一填。（填序号） 内角和是180°          内角和是360°         内角和是540°        内角和是720° 7．一个等腰三角形，它的一个角是30°，那么它的另两个角可能是（ ）°和（ ）°，也可能是（ ）°和（ ）°。 8． （1）要组成一个锐角三角形，应选择的三个角的度数为________________________。 （2）要组成一个钝角三角形，应选择的三个角的度数为________________________。 （3）要组成一个直角三角形，应选择的三个角的度数为________________________。 9．在三角形ABC中，∠A＝48°，∠C＝63°，∠B＝（ ）°。按角分，这是一个（ ）三角形。 10．三角形ABD和等腰三角形ADC组成一个直角三角形（如图）。已知∠1＝60°，那么∠2＝（ ）°，∠3＝（ ）°。 11．一个三角形，一个内角是28°，另一个内角是52°，按角分，这是一个（ ）三角形；一个等腰三角形的顶角度数是一个底角的4倍，这个等腰三角形的一个底角是（ ）°。 12．一个三角形的两个角分别是36°和45°，这个三角形是（ ）三角形。 13．如图所示，∠1＝（ ），∠2＝（ ），这个三角形，按角分是（ ）三角形，按边分（ ）三角形。 14．一个西瓜味的三角形冰棒被咬了一个角（如图），已知其他两个角都是75°，则被咬掉的角是（ ）°。按角分，原来的冰棒形状是一个（ ）三角形。 15．如下图，∠A＝（ ）°，这个三角形按角分是（ ）三角形。 16．一个三角形的一个内角是80°，是另一个内角度数的2倍，那么第三个内角的度数是（ ）。 17．如图，图中共有（ ）个锐角三角形，（ ）个钝角三角形；∠1＝（ ）°。 18．如图所示∠3＋∠4＝∠5＝59°，∠1＝15°，∠2＝145°，那么∠4＝（ ）°。 19．一个直角三角形，其中一个锐角比另一个锐角小20°，这两个锐角分别是（ ）°和（ ）°。 20．如图三角形，已知∠1＝65°，则∠2＝（ ）°；沿图中虚线剪下一个小三角形后，剩余部分的内角和是（ ）°。 21．如图：一副三角板叠放在一起，＝（ ）°，＝（ ）°。 22．将一张等边三角形的彩纸对折后得到直角三角形，这个直角三角形的∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 三、解答题 23．在一个直角三角形中，其中的一个锐角是54度，求另一个锐角的度数是多少度？ 24．课堂上我们用多种方法研究出了三角形的内角和，利用这个知识可以解决角度数的问题，比如下图中：求。∠3的度数。两位同学用了不同的方法解答： 聪聪的方法： 180°－165°＝15° ∠3＝180°－90°－15°＝75° 乐乐的方法： 180°－165°＝15° ∠3＝90°－15°＝75° （1）我看懂了（     ）的方法。（填“聪聪”或“乐乐”） （2）我是这样理解的： 25．如图，三角形ABC是等腰三角形，∠A、∠B是它的两个底角。求∠B的度数。 26．同学们在讨论多边形内角和的问题，他们用多种方法计算出了四边形的内角和。 （1）请在方法正确的名字旁边的□里打“√” （2）选择你喜欢的方法，研究六边形的内角和，先在下图中画一画，再列式计算。 27．如图1，∠1、∠2、∠3、∠4是四边形的四个内角。现将四边形的四条边分别延长，形成了∠5、∠6、∠7、∠8四个角，这四个角叫四边形的外角，如图2。 （1）图1中∠1、∠2、∠3、∠4四个内角的和是（     ）°。 （2）不测量，你能推理得出∠5、∠6、∠7、∠8这四个外角的和是几度吗？请写出你的思考过程。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版四年级数学下册第五单元：三角形 专项提升09：三角形和多边形的内角和 （考点梳理+方法点拨+重难点讲解+巩固提升训练） 考点01：三角形的内角和 考点02：四边形的内角和 考点03：多边形的内角和 考点04：剪角问题 考点01：三角形的内角和 （1）三角形的内角和是180°。 （2）验证方法 ①拼角法：把三角形的3个内角剪下来，拼成一个平角（180 °）。 ②折角法：把三角形的3个内角折在一起，拼成一个平角。 （3）已知两个角的度数，求第三个角：第三个角=180°－己知两角之和。 （4）直角三角形中，两个锐角之和是90°；等边三角形每个角都是60°。 考点02：四边形的内角和 四边形的内角和是360°。 考点03：多边形的内角和 从n边形的一个顶点出发，可以作（n−3）条对角线，将n边形分成（n−2）个三角形。因为每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和公式为（n−2）×180°。 考点04：剪角问题 沿直线剪去一个角： （1）情况一：当沿着三角形的一个角的顶点和这个角对边上的一点（非顶点）连线剪去一个角时，原三角形变成了一个四边形。此时，新图形的内角和为 360°。因为剪去一个角后增加了一个角，形成了四边形，而四边形内角和是 360°。 （2）情况二：当沿着三角形相邻两条边的中点连线剪去一个角时，得到的是一个小三角形和一个梯形。小三角形的内角和依然是180°，梯形的内角和是360°。 考点01：三角形的内角和 【典型例题】乐乐用一副三角尺玩拼角游戏。他拼出一个如图的图形，∠1＝（ ）°。 【答案】105 【分析】有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。三角形的内角和为180°。由题意得，在左边的直角三角形中，一个角是直角，另一个角的度数为45°，直接用180°减去90°再减去45°即可算出∠2的度数。在右边的直角三角形中，一个角是直角，另一个角的度数为60°，直接用180°减去90°再减去60°即可算出∠3的度数。∠1，∠2和∠3是三角形的三个内角，直接用180°减去∠2和∠3的度数即可算出∠1的度数。 【详解】∠2＝180°－90°－45° ＝90°－45° ＝45° ∠3＝180°－90°－60° ＝90°－60° ＝30° ∠1＝180°－∠2－∠3 ＝180°－45°－30° ＝135°－30° ＝105° 所以，∠1＝105°。 【变式训练1】下面每组中的三个角，不可能是同一个三角形的三个角的是（     ）。 A．15°、79°、86° B．120°、35°、25° C．60°、60°、60° D．27°、103°、70° 【答案】D 【分析】根据三角形的内角和是180°，逐项判断即可。 【详解】A. 15°＋79°＋86° ＝94°＋86° ＝180° 因为这三个角相加等于180°，所以这三个角可能是同一个三角形的三个角； B． 120°＋35°＋25° ＝120°＋60° ＝180° 因为这三个角相加等于180°，所以这三个角可能是同一个三角形的三个角； C． 60°＋60°＋60° ＝60°×3 ＝180° 因为这三个角相加等于180°，所以，这三个角可能是同一个三角形的三个角； D． 27°＋103°＋70° ＝130°＋70° ＝200° 200°≠180° 因为这三个角相加不等于180°，所以，这三个角不可能是同一个三角形的三个角； 所以，D选项中的三个角，不可能是同一个三角形的三个角。 故答案为：D 【变式训练2】已知一个等腰三角形的一个内角是72°，则另外两个内角分别是多少度？ 【答案】另外两个内角分别是，（，）。 【分析】等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角是72°，需要分两种情况讨论：这个内角是顶角或这个内角是底角。 【详解】情况一：当72°是顶角时。 底角的度数为： 所以另外两个内角是54°，54°。 情况二：当72°是底角时，另一个底角也是72°。 顶角的度数为： 所以另外两个内角是36°，72°。 答：另外两个内角分别是54°，54°或36°，72°。 考点02：四边形的内角和 【典型例题】如图1，把正方形剪成一个特殊的三角形。 （1）图中∠1＝（ ），∠2＝（ ）。 （2）如果正方形的边长是5厘米，那么三角形的周长是（ ）厘米。 （3）如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去∠1（如图2），在剩下的四边形中：∠3＋∠4＝（ ），∠5＋∠6＝（ ）。 【答案】（1） 60 30 （2）15 （3） 120 240 【分析】（1）斜折上去的那条边就是正方形下面那条边，因为是对折，所以得到的三角形三边相等，等边三角形三个角都是60°，而2个∠2＝∠1，所以∠2是∠1度数的一半；据此解答。 （2）因为正方形的边长等于三角形边长，而三角形为等边三角形，三角形的周长为三边之和；据此解答。 （3）等边三角形三个角都是60°，所以∠3＋∠4＝60°＋60°＝120°四边形的内角和为360°，所以∠5＋∠6＝360°－60°－60°＝240°；据此解答。 【详解】（1）因为∠1为等边三角形的一个角，所以∠1＝60°； 60°÷2＝30°，所以∠2＝30°，。 （2）5＋5＋5＝15（厘米），那么得到的三角形的周长是15厘米。 （3）∠3＋∠4＝60°＋60°＝120°； ∠5＋∠6＝360°－60°－60°＝240° 【变式训练1】如图，已知等腰梯形中∠1＝45°，那么∠2＝（ ）。 【答案】135° 【分析】等腰梯形是一个四边形，一个四边形的内角和是360°，等腰梯形的两底角相等，用360°减去2个45°，求出的差再除以2，即可求出∠2的度数。 【详解】360°－2×45° ＝360°－90° ＝270° 270°÷2＝135° 所以∠2＝135°。 【变式训练2】如图把一张长方形纸折起了一个角。已知∠1＝20°，那么∠2＝（ ）°。 【答案】35 【分析】∠1等于20°，可以算出∠CAB，由直角三角形可求出∠2。 【详解】（90°－20°）÷2 ＝70°÷2 ＝35° ∠CAB＝35°＋20° ＝55° ∠2＝90°－55° ＝35° 考点03：多边形的内角和 【典型例题】如图：一辆小汽车沿正五边形跑道跑一圈，每次转向后，车的方向转过（ ）度。 【答案】72 【分析】如下图，小汽车每次转向转过的角度就是正五边形的一个外角，多边形的内角和＝180°×（边数－2），把数据代入先求出正五边形的内角和，由于正五边形的5个内角都相等，所以正五边形的内角和除以5即等于一个内角的度数，180°减去一个内角的度数即等于一个外角的度数，也就是车每次转向转过的度数，据此即可解答。 【详解】180°×（5－2） ＝180°×3 ＝540° 540°÷5＝108° 180°－108°＝72° 一辆小汽车沿正五边形跑道跑一圈，每次转向后，车的方向转过72度。 【变式训练1】九边形的内角和是（     ）。 A．1260° B．360° C．840° 【答案】A 【分析】三角形的内角和为180°，将九边形分成几个三角形，再乘180°即可求出九边形的内角和，据此选择即可。 【详解】如图： 一共分成了7个三角形，7×180°＝1260° 九边形的内角和是1260°。 故答案为：A 【变式训练2】计算一个五边形的内角和时，我们可以把它分成3个三角形（如图），它的内角和就是180°×3＝540°。像这样，计算八边形内角和也可以把它分成几个三角形，那么八边形的内角和是（     ）。 A．900° B．1080° C．1260° 【答案】B 【分析】三角形内角和是180°，计算多边形的内角和时，可以将多边形分成几个三角形组成，然后用三角形的个数乘180°，即可求出这个多边形的内角和，据此选择即可。 【详解】如图： 180°×6＝1080° 八边形的内角和是1080°。 故答案为：B 考点04：剪角问题 【典型例题】如图，在三角形ABC中，∠C＝（ ）°；现在沿图中虚线剪下右边的小三角形，剩下部分图形的内角和是（ ）°。 【答案】 30 360 【分析】三角形的内角和是180°，用180°减去30°再减去120°就是∠C的度数。沿图中虚线剪下右边的小三角形，剩下部分是一个四边形。而四边形的内角和＝（边数－2）×180°。据此解答。 【详解】180°－30°－120° ＝150°－120° ＝30° （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 所以，∠C＝30°；现在沿图中虚线剪下右边的小三角形，剩下部分图形的内角和是360°。 【变式训练1】丽丽将一张直角三角形纸片剪去一个直角后得到一个四边形（如图），∠3＋∠4＝（ ）°。 【答案】270 【分析】根据题意，先根据三角形的内角和是180°，求出原直角三角形中除直角外另外两个角∠1＋∠2度数和，再根据四边形内角和是360°，求出∠3＋∠4的度数。 【详解】根据分析可知： ∠1＋∠2＝180°－90°＝90° ∠3＋∠4＝360°－（∠1＋∠2）＝360°－90°＝270° 丽丽将一张直角三角形纸片剪去一个直角后得到一个四边形，∠3＋∠4＝270°。 【变式训练2】如图所示：将一个直角三角形的一个角折起来，∠1的度数是（     ）。 A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】D 【分析】根据平角是180°，三角形的内角和是180°，如图可知∠BAD＝180°，∠1＝∠BAD－∠BAC，由对折可知，∠BFA＝∠CFA，∠BFA＋∠CFA＝180°，所以∠BFA的大小是180°÷2＝90°，∠B＝180°－∠BDE－∠DEB，∠BAC＝（180°－∠BFA－∠B）×2，由此即可算出∠1的大小。 【详解】 180°－90°－60°＝30° 180°÷2＝90° 180°－30°－90° ＝150°－90° ＝60° 180°－（60°×2） ＝180°－120° ＝60° 即∠1的度数是60°。 故答案为：D 一、选择题 1．在一个等腰三角形中，已知一个内角是40°，另外两个内角分别（     ）。 A．都是70°或40°和100° B．是100° C．70°和100° D．140° 【答案】A 【分析】等腰三角形的两个底角相等，如果这个内角是底角，则还有一个内角也是40°，再根据三角形内角和为180°，可算出顶角度数；如果这个内角是顶角，也可根据三角形内角和为180°，用（180°－40°）÷2算出另外两个底角的度数。 【详解】如果这个内角是底角 180°－40°－40° ＝140°－40° ＝100° 另外两个内角分别为40°和100°。 如果这个内角是顶角 （180°－40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70° 所以另外两个内角分别为70°和70°。 故答案为：A 2．如图，一个正方形被剪了一个角，剩下的这个图形的内角和是（    ）。 A．270° B．540° C．360° D．720 【答案】B 【分析】三角形的内角和为180°。一个多边形可以分成几个三角形，它的内角和就等于180°乘上可以分成三角形的个数。据此解答。 【详解】由题意得，一个正方形被减去了一个角，剩下的图形是一个五边形。这个五边形可以分成三个三角形（如下图）。 180°×3＝540°，即剩下的这个图形的内角和是540°。 故答案为：B 3．把两个三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和是（     ）。 A．360° B．180° C．90° D．120° 【答案】B 【分析】三角形的内角和为180°。三角形的内角和与三角形的类型、大小无关。据此解答。 【详解】把两个三角形拼成一个大三角形，大三角形的内角和是180°。 故答案为：B 4．把下图的三角形沿虚线剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是（     ）。 A．360° B．180° C．120° D．90° 【答案】B 【分析】任意三角形的内角和都是180°，据此解答即可。 【详解】把下图的三角形沿虚线剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是180°。 故答案为：B 5．下面的三角形都被信封遮住了一个角，图（     ）是锐角三角形。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形内角和是180°，求未知角，就用180°减去已知的两个角即可，如果三个角都是锐角，则是锐角三角形，如果有一个角是直角，则是直角三角形，如果有一个角是钝角，则是钝角三角形，据此解题。 【详解】A．180°－20°－60° ＝160°－60° ＝100° 所以是钝角三角形； B．180°－50°－40° ＝130°－40° ＝90° 所以是直角三角形； C．180°－35°－35° ＝145°－35° ＝110° 所以是钝角三角形； D．180°－80°－30° ＝100°－30° ＝70° 所以是锐角三角形。 下面的三角形都被信封遮住了一个角，图是锐角三角形。 故答案为：D 二、填空题 6．选一选，填一填。（填序号） 内角和是180°          内角和是360°         内角和是540°        内角和是720° 【答案】①④；②③；⑥⑦；⑤⑧ 【分析】多边形内角和公式为（边数-2）×180°。三角形有3条边，内角和为；四边形有4条边，内角和为；五边形有5条边，内角和为；六边形有6条边，内角和为。根据题目中给出的图形序号对应的边数分类填写即可。 【详解】三角形（内角和180°）：①④ 四边形（内角和360°）：②③ 五边形（内角和540°）：⑥⑦ 六边形（内角和720°）：⑤⑧ 7．一个等腰三角形，它的一个角是30°，那么它的另两个角可能是（ ）°和（ ）°，也可能是（ ）°和（ ）°。 【答案】 30 120 75 75 【分析】等腰三角形的两腰相等，两个底角相等，三角形的内角和是180°，当30°为底角时，则另一个角也是30°，而用180°减去另外两个角的度数之和，就是顶角的度数；当30°为顶角时，用180°减去30°后，再除以2，就是两个底角的度数，依此解答。 【详解】当30°为底角时： 当30°为顶角时： 一个等腰三角形，它的一个角是30°，那么它的另两个角可能是30°和120°，也可能是75°和75°。 8． （1）要组成一个锐角三角形，应选择的三个角的度数为________________________。 （2）要组成一个钝角三角形，应选择的三个角的度数为________________________。 （3）要组成一个直角三角形，应选择的三个角的度数为________________________。 【答案】（1） （2） （3） 【分析】三角形按角分类的依据： 锐角三角形：三个角均为锐角（小于90°），且内角和为180°； 钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°），其余两个角为锐角，内角和为180°； 直角三角形：有一个角是直角（等于90°），其余两个角为锐角，内角和为180°。 【详解】（1）选择三个锐角，且和为180°： 锐角三角形三个角的度数为：45°、70°、65° （2）选择一个钝角＋两个锐角，和为180°： 钝角三角形三个角的度数为100°、15°、65°（答案不唯一） （3）选择一个直角＋两个锐角，和为180°： 直角三角形的三个角的度数为：90°、30°、60° 9．在三角形ABC中，∠A＝48°，∠C＝63°，∠B＝（ ）°。按角分，这是一个（ ）三角形。 【答案】 69 锐角 【分析】三角形内角和为180°，用内角和减去已知的∠A和∠C的度数，可求出∠B；再根据三个角的大小判断三角形类型（三个角均为锐角则是锐角三角形）。 【详解】求∠B的度数： 判断三角形类型： ∠A＝48°、∠B＝69°、∠C＝63°，三个角均小于90°，因此这是一个锐角三角形。 在三角形ABC中，∠A＝48°，∠C＝63°，∠B＝69°。按角分，这是一个锐角三角形。 10．三角形ABD和等腰三角形ADC组成一个直角三角形（如图）。已知∠1＝60°，那么∠2＝（ ）°，∠3＝（ ）°。 【答案】 30 60 【分析】根据三角形的内角和等于180°、等腰三角形的两个底角相等、平角＝180°解答此题即可，∠1和等腰三角形ADC的顶角组成一个平角，顶角＝180°－∠1，用180°减去顶角再除以2求出∠2，在直角三角形中，∠3＝180°－90°－∠2，据此解答。 【详解】180°－60°＝120° （180°－120°）÷2 ＝60°÷2 ＝30° 180°－90°－30° ＝90°－30° ＝60° 所以∠2＝30°，∠3＝60°。 11．一个三角形，一个内角是28°，另一个内角是52°，按角分，这是一个（ ）三角形；一个等腰三角形的顶角度数是一个底角的4倍，这个等腰三角形的一个底角是（ ）°。 【答案】 钝角 30 【分析】有一个角大于90度的三角形的钝角三角形，三角形的内角和为180度；等腰三角形中两个底角相等，因此假设底角的度数为1份，则顶角的度数为4份，一共是（1＋1＋4）份，那么可用180°除以总份数，即可计算出底角的度数。 【详解】 所以这个三角形是钝角三角形。 一个三角形，一个内角是28°，另一个内角是52°，按角分，这是一个钝角三角形；一个等腰三角形的顶角度数是一个底角的4倍，这个等腰三角形的一个底角是30°。 12．一个三角形的两个角分别是36°和45°，这个三角形是（ ）三角形。 【答案】钝角 【分析】根据三角形内角和为180°可算出第三个角的度数，再根据三角形按角的分类确定这个三角形的类型。 三角形按角分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 【详解】180°－36°－45° ＝144°－45° ＝99° 90°＜99°＜180° 99°为钝角，所以这个三角形是（钝角）三角形。 13．如图所示，∠1＝（ ），∠2＝（ ），这个三角形，按角分是（ ）三角形，按边分（ ）三角形。 【答案】 30° 60° 钝角 等腰 【分析】（1）三角形的内角和是180°，用180°减去已知的两个角的度数，就是∠1的度数。 （2）∠2和120°的角构成了一个平角，用180°减去120°即可求出∠2的度数。 （3）三角形按角分，可分为三种：三个角都是锐角的三角形，叫锐角三角形；有一个角是直角的三角形，叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形。 （4）三角形按边分，有三条边相等的是等边三角形，有两条边相等的是等腰三角形。 【详解】（1）∠1＝180°－120°－30°＝30° （2）∠2＝180°－120°＝60° （3）在这个三角形中，最大的角是120°，是钝角，所以这是一个钝角三角形。 （4）在这个三角形中，有两个角都是30°，这两个角相等，也就是有两条边相等，所以这个三角形是等腰三角形。 14．一个西瓜味的三角形冰棒被咬了一个角（如图），已知其他两个角都是75°，则被咬掉的角是（ ）°。按角分，原来的冰棒形状是一个（ ）三角形。 【答案】 30 锐角 【分析】三角形的内角和是180°，因为两个角都是75°，用180°减75°，再减75°，即可求出被咬掉的那个角的度数。三角形中最大的角属于什么角这个三角形就是什么三角形，此题中3个内角都小于90°，是锐角，所以这是一个锐角三角形。 【详解】180°－75°－75° ＝105°－75° ＝30° 一个西瓜味的三角形冰棒被咬了一个角（如图），已知其他两个角都是75°，则被咬掉的角是30°。按角分，原来的冰棒形状是一个锐角三角形。 15．如下图，∠A＝（ ）°，这个三角形按角分是（ ）三角形。 【答案】 80 锐角 【分析】三角形按角来分，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。三角形的内角和为180°。由题意得，∠ABC和135°的角组成了一个平角，可以先用180°减去135°算出∠ABC的度数，接着再用180°减去∠ABC和∠C的度数即可算出∠A的度数。 【详解】∠ABC＝180°－135°＝45° ∠A＝180°－∠ABC－∠ACB ＝180°－45°－55° ＝135°－55° ＝80°，即三个角都是锐角，所以这个三角形是锐角三角形。 故∠A＝80°，这个三角形按角分是锐角三角形。 16．一个三角形的一个内角是80°，是另一个内角度数的2倍，那么第三个内角的度数是（ ）。 【答案】60°/60度 【分析】用一个内角的度数除以2，就是另一个内角的度数。三角形的内角和是180°，用180°减去一个内角度数，再减去另一个内角度数，就是第三个内角的度数。 【详解】80°÷2＝40° 180°－80°－40° ＝100°－40° ＝60° 那么第三个内角的度数是60°（60度） 17．如图，图中共有（ ）个锐角三角形，（ ）个钝角三角形；∠1＝（ ）°。 【答案】 4 4 37 【分析】三角形按角来分，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形；由图可知，原图中的锐角三角形如下图： 由图可知，一共有4个锐角三角形。 由图可知，一共有4个钝角三角形；由图可知，∠2和65°的角合起来是一个平角，直接用180°减去65°先算出∠2的度数。∠2、∠1和28°的角是一个三角形的三个内角，三角形的内角和为180°，直接用180°减去∠2的度数再减去28°即可算出∠1的度数。 【详解】∠2＝180°－65°＝115° ∠1＝180°－∠2－28° ＝180°－115°－28° ＝65°－28° ＝37° 图中共有4个锐角三角形，4个钝角三角形；∠1＝37°。 18．如图所示∠3＋∠4＝∠5＝59°，∠1＝15°，∠2＝145°，那么∠4＝（ ）°。 【答案】39 【分析】观察图形可知，∠1、∠2、∠3位于同一个三角形内，∠1、∠2度数已知，先根据“三角形的内角和是180°”算出∠3的度数；再根据题目所给的信息“∠3＋∠4＝59°”计算出∠4的度数，据此解答。 【详解】∠3＝180°－15°－145°＝20° ∠4＝59°－20°＝39° ∠3＋∠4＝∠5＝59°，∠1＝15°，∠2＝145°，那么∠4＝39° 19．一个直角三角形，其中一个锐角比另一个锐角小20°，这两个锐角分别是（ ）°和（ ）°。 【答案】 35 55 【分析】直角三角形中有一个角是直角，三角形的内角和等于180°，先用180°减去90°，求出另外两个锐角的和，再减去20°即可得到最小锐角度数的2倍，然后除以2即可求出这个最小锐角的度数，再用这个锐角度数加上20°即可求出另一个锐角的度数。 【详解】180°－90°＝90° （90°－20°）÷2 ＝70°÷2 ＝35° 35°＋20°＝55° 则这两个锐角的度数分别是35°、55°。 20．如图三角形，已知∠1＝65°，则∠2＝（ ）°；沿图中虚线剪下一个小三角形后，剩余部分的内角和是（ ）°。 【答案】 25 360 【分析】三角形的内角和是180°，因此用180°减另外两个角的度数之和，即可得到∠2的度数；沿虚线剪下一个小三角形，则剩余部分的图形是一个四边形，多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°，依此解答。 【详解】180°－（90°＋65°） ＝180°－155° ＝25° （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° ∠2＝25°；沿虚线剪下一个小三角形，则剩余部分的图形内角和是360°。 21．如图：一副三角板叠放在一起，＝（ ）°，＝（ ）°。 【答案】 15 120 【分析】根据对三角板的了解，其中一个三角板的度数分别是60°、30°、90°，另一个三角板的度数分别是45°、45°、90°，∠1是45°和30°角的夹角，用45°－30°即可求出∠1的度数；四边形可以分成两个三角形，三角形内角和为180°，180°×2＝360°，所以四边形的内角和是360°，∠2和60°的角还有两个直角组成一个平行四边形，用360°减去两个90°再减去一个60°，即可求出∠2的度数。 【详解】∠1＝45°－30°＝15° ∠2＝360°－90°－90°－60° ＝270°－90°－60° ＝180°－60° ＝120° 如图：一副三角板叠放在一起，∠1＝15°，∠2＝120°。 22．将一张等边三角形的彩纸对折后得到直角三角形，这个直角三角形的∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【答案】 30 60 【分析】三角形的内角和是180°，等边三角形的三个角相等，都是60°，对折成一个直角三角形后，其中有一个锐角∠2还是60°，另一个锐角∠1等于180°－90°－60°，据此即可解答。 【详解】180°－90°－60° ＝90°－60° ＝30° 将一张等边三角形的彩纸，对折后得到直角三角形，这个直角三角形的∠1＝30°，∠2＝60°。 三、解答题 23．在一个直角三角形中，其中的一个锐角是54度，求另一个锐角的度数是多少度？ 【答案】36度 【分析】三角形内角和为180度，直角三角形中有一个角为直角是90度，已知一个锐角度数，求另一个锐角，可以用三角形内角和减去已知的两个角的度数，即可解答。 【详解】180－90－54 ＝90－54 ＝36（度） 答：另一个锐角的度数是36度。 24．课堂上我们用多种方法研究出了三角形的内角和，利用这个知识可以解决角度数的问题，比如下图中：求。∠3的度数。两位同学用了不同的方法解答： 聪聪的方法： 180°－165°＝15° ∠3＝180°－90°－15°＝75° 乐乐的方法： 180°－165°＝15° ∠3＝90°－15°＝75° （1）我看懂了（     ）的方法。（填“聪聪”或“乐乐”） （2）我是这样理解的： 【答案】（1）聪聪 （2）见详解 【分析】（1）根据自己的理解，选择合适人即可。 （2）若选聪聪：观察图可以发现，∠1和165°组成平角，用180°减去165°，求出∠1，三角形的内角和为180°，三角形为直角三角形，有一个角为90°，用180°依次减去90°和∠1，即可求出∠3。 若选乐乐：观察图可以发现，∠1和165°组成平角，用180°减去165°，求出∠1，三角形的内角和为180°，三角形为直角三角形，其中两个锐角的度数和为90°，用90°减去∠1，即可求出∠3。 【详解】（1）由分析可知，我看懂了聪聪的方法。 （2）这样理解：∠1和165°组成平角，用180°减去165°，求出∠1，三角形的内角和为180°，三角形为直角三角形，有一个角为90°，用180°依次减去90°和∠1，即可求出∠3。（答案不唯一） 25．如图，三角形ABC是等腰三角形，∠A、∠B是它的两个底角。求∠B的度数。 【答案】67° 【分析】因为图中与∠ACB组成平角的角是134°，根据平角的定义，平角为180°，所以∠ACB＝180°－134°＝46°。已知三角形ABC是等腰三角形，∠A、∠B是两个底角，根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，所以∠A＝∠B。又因为三角形内角和为180°，所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，所以求∠B的度数可列式为（180°－∠ACB）÷2，据此解答即可。 【详解】∠ACB＝180°－134°＝46° 因为∠A＝∠B，∠A＋∠B＋∠ACB＝180° 所以∠B的度数为： （180°－∠ACB）÷2 ＝（180°－46°）÷2 ＝134°÷2 ＝67° 答：∠B的度数为67°。 26．同学们在讨论多边形内角和的问题，他们用多种方法计算出了四边形的内角和。 （1）请在方法正确的名字旁边的□里打“√” （2）选择你喜欢的方法，研究六边形的内角和，先在下图中画一画，再列式计算。 【答案】（1）见详解 （2）图见详解；180°×6－360°＝720° 【分析】（1）三角形的内角和是180°。小东把这个四边形分成了2个三角形，则四边形的内角和就是2个三角形的内角和；小新把这个四边形分成了4个三角形，则四边形的内角和就是4个三角形的内角和减去一个周角360°；小郑把这个四边形分成了3个三角形，则四边形的内角和就是3个三角形的内角和减去一个平角180°。 （2）可以将六边形分成6个三角形，则六边形的内角和就是6个三角形的内角和减去一个周角360°。 【详解】（1）小东：180°＋180°＝360° 小新：180°×4－360°＝720°－360°＝360° 小郑：180°×3－180°＝540°－180°＝360° 因此，小东、小新和小郑的方法都正确。 （2） 180°×6－360° ＝1080°－360° ＝720° 因此，六边形的内角和是720°。 27．如图1，∠1、∠2、∠3、∠4是四边形的四个内角。现将四边形的四条边分别延长，形成了∠5、∠6、∠7、∠8四个角，这四个角叫四边形的外角，如图2。 （1）图1中∠1、∠2、∠3、∠4四个内角的和是（     ）°。 （2）不测量，你能推理得出∠5、∠6、∠7、∠8这四个外角的和是几度吗？请写出你的思考过程。 【答案】（1）360 （2）360°；见详解 【分析】（1）如图，可以将四边形分成两个三角形。三角形的内角和是180°，用180°乘2就是四边形的内角和。 （2）∠1与∠5成一个平角，即∠1＋∠5＝180°，同理∠2＋∠6＝180°，∠3＋∠7＝180°，∠4＋∠8＝180°。由此可知∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝180°×4＝720°，又因为∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，所以用720°减去360°解答即可。 【详解】（1）180°×2＝360° 所以，图1中∠1、∠2、∠3、∠4四个内角的和是360° （2）因为∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°，∠3＋∠7＝180°，∠4＋∠8＝180°。 所以，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝180°×4＝720°。 又因为∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360° 所以∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝720°－360°＝360° 答：这四个外角的和是360°。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $