专题11 一元一次不等式组的解法及应用的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11一元一次不等式组的解法及应用的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、求一元一次不等式组的解集 类型二、求一元一次不等式组的整数解 类型三、解一元一次不等式组中错解复原问题 类型四、由一元一次不等式组的解集求参数 类型五、一元一次不等式组和方程组结合的问题 类型六、用一元一次不等式组解决实际问题 压轴专练 典例详解 类型一、求一元一次不等式组的解集 方法总结 1.分别求解：先求出不等式组中每个不等式的解集。 2.找公共部分：将各解集在数轴上表示，找出所有解集的公共部分，即为不等式组的解集。 解题技巧 1.数轴直观法：画出数轴，分别标出各解集的范围，公共部分一目了然，避免口诀记错。 2. 口诀辅助：熟记“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，但需结合数轴验 证。 3(x-1<x+1 5x-3 例1.(2026福建泉州一模)解不等式组 3 2>x-3,并将解集用数轴表示出来. 【变式1-1】(25-26七年级下·全国·课后作业)解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来. xx>-1 (1)23 2(x-3)-3x-2)>-6 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [6+2x<7+x (2)3x-2≤-8 5x-1<x-5 (3)x+4>7 【变式1-2】(25-26七年级下·全国课后作业)解下列不等式组： [x+3<0 4x+1)>5x (1)3(x-1≤2x-1 (2)2(x+1>3x [2(x+2)<1+x Lx+1<x (③)13x+2>2x (4)2x-4>3x+3 【变式1-3】(25-26七年级下·全国课后作业)解下列不等式组： [x-8<0 [4x+3≥7 (1)5.x-6>4 (2)11-6x>-1 「-3x≥6 [2(x-2<1+x (3)2+5x>-18 (4)3x+5≥2x + x+6<2x-2 25 (5) (6) 2x-1>x-1 5 2 方类型二、求一元一次不等式组的整数解 方法总结 1.先求范围：准确求解不等式组，得到未知数的取值范围（公共解集）。 2.再取整数：在公共解集范围内，找出所有满足条件的整数。 解题技巧 1.数轴标整：在数轴上标出解集后，直接圈出范围内的整数点，直观且不易遗漏。 2.端点判断：注意端点是否包含（≥或≤含等号，>或<不含），决定该端点整数是否可取。 2(x-2)≤4x-3 例2.(2025·甘肃武威一模)不等式组2x-5<1-x的整数解一· 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-3x-2)≤8 22x 1 【变式2-1】(25-26九年级上辽宁沈阳·开学考试)不等式组 5 的最大整数解是 2x-6≤0 【变式2-2】(24-25七年级下·河北保定·期末)求不等式组 4x-1 x<2所有整数解的和 3-3s4 3 【变式2-3】(25-26九年级上·重庆潼南·月考)解不等式组 5x-1≥3(x-2),并求出该不等式组的整数解。 类型三、解一元一次不等式组中错解复原问题 方法总结 1.错解定位：分别检查每个不等式的求解过程，找出系数化1漏变号、移项忘变号等具体错误点。 2.公共部分复核：将正确的不等式解集在数轴上表示，重新确定公共部分，对比错误解集找出失误。 解题技巧 1.分步检验：先单独验证每个不等式的解集是否正确，再验证公共部分取法是否正确。 2.代入验证：取错误解集中一个数值代入原不等式组，若不符合某个不等式，则说明该不等式求解有 误。 21+x)>-1① 例3.(24-25八年级下·河南郑州·月考)以下是圆圆解不等式组1-x>2② 的解答过程： 解：由①，得2+x>-l,第一步 x>-3.第二步 由②，得-x>1,第三步 ∴.x>-1.第四步 故原不等式组的解集为x>-1.第五步 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出错误的步骤和错误原因，并写出正确的解答过程 【变式3-1】(24-25七年级下·河南洛阳·期中)(1)下面是乐乐同学解不等式的过程，请认真阅读并完成 相应任务. 解不等式： x+5-1≤3x+2 2 3 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解 3x+5)-6≤2(3x+2) …第一步 3x+15-6≤6x+4.…第二步 3x-6x≤4+6-15.…第三步 -3x≤-5.…第四步 .5 x≤3…第五步 任务一： ①以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的： ②第步出现错误，这一步错误的原因是 任务二：请写出该不等式的正确解集为 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一 条建议： x-3(x-2≥4 (2)解不等式组 x+1>x-3，并将其解集在数轴上表示出来。 5 6 4 54321012345 x-2<2x ① 【变式3-2】(24-25七年级下·广西南宁·期末)以下是乐乐解不等式组 2x+2<x+1 32 ②的部分过程： 解不等式①得x-2x<2. 第一步 x<-2 第二步 2(2x+2)≤3x+1 解不等式②得， 第三步 4x+4≤3x+1 第四步 4x-3x≤1-4. 第五步 x≤-3 第六步 -4-3-2-101234 ()填空：乐乐的这部分解题步骤中存在一或若干步错误，他所有错误步骤是 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来. 【变式3-3】(24-25七年级下·湖北随州·期末)请观察框内解不等式的过程，回答下列问题： 2x-13x-2-1 解不等式3 2 解： 22x-1>33x-2)-6第一步 4x-2>9x-6-6第二步 4x-9x>6-6+2第三步 -5x>-10第四步 x>2第五步 (1)第 步出现错误，错误的原因是： (2)该不等式的正确解集为： 在下面的数轴上表示这个解集： 01234 2x-1、3x-2-1 (3)直接写出不等式组 3 2的解集. 2x+3≥x+2 类型四、由一元一次不等式组的解集求参数 方法总结 1.解表参数：将不等式组的解集用含参数的代数式表示（如x>a、x≤b)。 2.对比定参：根据己知解集或解集特征（如无解、整数解个数），建立关于参数的不等式（组）求 解。 解题技巧 1.数轴分析：在数轴上标出已知解集范围，反向推断参数所在位置，直观建立不等关系。 2.端点取舍：涉及“≥”“≤”时，需单独讨论端点能否取等，通过代入验证确定。 2x-1<11 例4.(25-26八年级上·浙江杭州·期中)关于x的不等式组x+1<a的解为x<6,则a的取值范围为 2x+2≥3x-1 【变式4-1】(25-26九年级上·黑龙江七台河·期中)关于x的不等式组2a-3x≤1有4个整数解，则a 5/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的取值范围是一· [2x-1≥3 【变式4-2】(2025·黑龙江佳木斯·模拟预测)若关于x的一元一次不等式组x+a<5无解，则a的取值 范围是一· x-a<0 【变式4-3】(25-26八年级上·重庆南川期中)若数使关于的不等式组3 的解集为 x-2>3x-2) x<2 则a的取值范围为一· 类型五、一元一次不等式组和方程组结合的问题 方法总结 1. 解表参数：先将方程组用参数表示解。 2.转化为不等式组：根据解的范围（如x〉0，y〈0）或整数解条件，建立关于参数的不等式组求 解。 解题技巧 1.代入消参：将解表达式直接代入不等关系，转化为只含参数的不等式。 2. 数轴定范围：解出参数范围后，结合数轴和实际问题（如整数k)筛选最终值。 (2x-y=3m 例5.(2026八年级全国·专题练习)若关于x,y的二元一次方程组x-2y=6的解满足不等式组 9 x+y< 2则的取值范围为一· x-y>-1 m x+2y=3k-1 【变式5-1】(2025八年级上·全国专题练习)若关于x,y的方程组2x+y=7的解满足0<x+y<4, 则k的取值范围是 [3x+y=1+a 【变式5-2】(24-25七年级下·广西贵港·期中)若关于x,y的二元一次方程组x+3y=3的解中x是非 负数，y的值不大于-1，则a的取值范围为一· 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+y=-7-m 【变式5-3】(25-26八年级上浙江金华·月考)已知方程组x-y=1+3m的解满足x为非正数，y为负数. (1)求m的取值范围： 2m+1)x-2m<1 (2)在(1)的条件下，若不等式 的解为x>1.求整数m的值. 类型六、用一元一次不等式组解决实际问题 方法总结 1.建模列组：设未知数，抓“不少于、不超过、至少”等关键词，将实际问题转化为两个或多个一元一次 不等式组成的不等式组。 2.解验作答：求不等式组的解集，结合实际意义（人数、件数为非负整数等）确定最终方案并作答。 解题技巧 1.逐句转化：将题目中的每一句不等关系独立转化为不等式，确保不遗漏条件。 2.方案筛选：若求具体方案（如租车、购物的几种方式），需在解集范围内枚举所有可能情况并逐组检 验可行性。 例6.(25-26八年级上·浙江湖州·期中)中秋节前，某超市第一次购进A,B两种月饼礼盒共100个，上市 一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元.如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） A礼盒 150 220 B礼盒 100 140 (I)根据上表，求该超市第一次购进A,B礼盒各多少个： (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A,B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变.由 于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼 盒的售价也比第一次的售价提高10%、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比 第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进 货方案？ 【变式6-1】(24-25七年级下·云南普洱·期末)近年来，机器人技术在各个领域的应用和影响日益显著， 它们已经从科幻电影逐渐走入我们的日常生活.某公司计划采购A,B两种机器人进行销售，已知每个B 种机器人比每个A种机器人贵5万元，采购5个A种机器人和6个B种机器人共用690万元. (1)采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过3100万元再次采购第二批A,B两种机器人共50个，且A种机器人 7/12 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的数量不超过B种机器人数量的3倍.该公司最多可以采购B种机器人多少个？ 【变式6-2】(25-26八年级上·广西南宁·月考)近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源 汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为 3m和2m.已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共蓄要1山万元：新建2个地上充电桩和1个地下 充电桩共需要1万元. ()该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种 建造方案？并列出所有方案； )现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过m,在(2)的前提下， 若仅有1种方案可供选择，直接写出a的取值范围， 压轴专练 一、单选题 1.(25-26九年级下·广西南宁开学考试)若点P1-2a,a)在第二象限，那么a的取值范围是(). 1 1 A.a> 2 B.a<2 C.a>0 D.0<a<2 3x<5x+4 2.(25-26八年级下·全国课后作业)不等式组x-3(x-2)≥8的解集在数轴上表示正确的是() A.43-212 B.4-3-2-012→ 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.4-012 D.43012 [1+x≤a 3.(25-26八年级下·陕西西安·开学考试)若不等式组x+32≥1有解，则实数a的取值范围是() A.a>-30 B.a≤-36 C.a>-36 D.a2-30 4.(24-25七年级下·广西百色·期末)某工厂试制新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保 证盈利1000元以上的情况下，售出的产品数量x的范围是() A.850<x≤2000 B.850≤x<2000 C.850<x<2000 D.850≤x≤2000 5.(25-26八年级下·重庆·开学考试)按照如下程序，输入x的值并计算规定从“输入一个数x”到“判断 结果是否大于70”为一次程序操作.若输入正整数x,程序操作了两次后停止，且所有符合条件的x的最大 值为m,最小值为n,则m+n的值为() 是 输入 ×3 -2 >70 输出 否 A.33 B.32 C.31 D.30 a-2b(a≥b) 6.(25-26八年级上·浙江嘉兴月考)定义新运算F:Fa,b)= b-2a(a<b)·若关于正数.的不等式组 F(-1,x≤m 恰有三个整数解，则的取值范围() m A.6≤m<7 B.8≤m<9 C.10≤m<11 D.11≤m<12 二、填空题 2x+3≥-5 7。(2026河南信阳一模)不等式组x-5<1的整数解的和为 9/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26八年级上·浙江杭州·期中) Pa+2,2a-5)在第四象限，则a的取值范围是 3x-5>x-1 9.(24-25七年级下·四川资阳·期末)已知关于x的不等式组2x+2<a+x+2有5个整数解，则a的取值 范围是 {x-a<0 10.(25-26八年级上重庆南川期中)若数使关于的不等式组了3 的解集为，则的 x-2>3(x-2 x<2 a 取值范围为 3x>2x-1 11.(2025四川绵阳·二模)不等式组2x+3≤5的整数解均满足不等式组5 a6<x≤a,则a的取值范围 是 7x+10<5(x+4 12.(25-26八年级下·重庆·月考)若关于x的一元一次不等式组 r≥+a 3 至少有2个整数解，且 m+2n=4 关于m,n的二元一次方程组m+an=l2的解为自然数，则所有满足条件的整数a的个数为 三、解答题 5x+2>3(x-1)① 13.(25-26七年级下·全国·周测)解不等式组 3x-1_2x+1≤②并把它的解集在数轴上表示出来，并写 236 出所有的整数解。 4-x>21-x) 14.(2026九年级下·重庆·专题练习)解不等式组： ,2≤-1+7-x,并求出它的所有整数解之和。 3 4 x+1<7-3 1 15.(25-26七年级下·全国课后作业)(1)解不等式组 3r-2≥x+x-4并写出它的所有整数解。 3 34 10/12 专题11 一元一次不等式组的解法及应用的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、求一元一次不等式组的解集 类型二、求一元一次不等式组的整数解 类型三、解一元一次不等式组中错解复原问题 类型四、由一元一次不等式组的解集求参数 类型五、一元一次不等式组和方程组结合的问题 类型六、用一元一次不等式组解决实际问题 压轴专练 类型一、求一元一次不等式组的解集 方法总结 1. 分别求解：先求出不等式组中每个不等式的解集。 2. 找公共部分：将各解集在数轴上表示，找出所有解集的公共部分，即为不等式组的解集。 解题技巧 1. 数轴直观法：画出数轴，分别标出各解集的范围，公共部分一目了然，避免口诀记错。 2. 口诀辅助：熟记“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，但需结合数轴验证。 例1．（2026·福建泉州·一模）解不等式组，并将解集用数轴表示出来． 【答案】，见解析 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， 把解集用数轴表示出来，如图： 【变式1-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1) (2) (3) 【答案】(1)．数轴见解析 (2)．数轴见解析 (3)无解．数轴见解析 【分析】（1）（2）（3）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 在数轴上表示两个不等式的解集，如图①所示， ∴这个不等式组的解集为． （2）解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 在数轴上表示两个不等式的解集，如图②所示， ∴这个不等式组的解集为． （3）解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 在数轴上表示两个不等式的解集，如图③所示， ∴这个不等式组无解． 【变式1-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)无解 (4)无解 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． （1）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分，即可得到不等式组的解集即可； （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分，即可得到不等式组的解集即可； （3）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分，即可得到不等式组的解集即可； （4）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分，即可得到不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组解集为； （2）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组解集为； （3）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组无解； （4）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组无解． 【变式1-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组， （1）先分别求出两个不等式的解集，取解集的公共部分即可求出不等式组的解集． （2）先分别求出两个不等式的解集，取解集的公共部分即可求出不等式组的解集． （3）先分别求出两个不等式的解集，取解集的公共部分即可求出不等式组的解集． （4）先分别求出两个不等式的解集，取解集的公共部分即可求出不等式组的解集． （5）先分别求出两个不等式的解集，取解集的公共部分即可求出不等式组的解集． （6）先分别求出两个不等式的解集，取解集的公共部分即可求出不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集是； （2）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集是； （3）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集是； （4）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集是； （5）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集是； （6）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集是． 类型二、求一元一次不等式组的整数解 方法总结 1. 先求范围：准确求解不等式组，得到未知数的取值范围（公共解集）。 2. 再取整数：在公共解集范围内，找出所有满足条件的整数。 解题技巧 1. 数轴标整：在数轴上标出解集后，直接圈出范围内的整数点，直观且不易遗漏。 2. 端点判断：注意端点是否包含（≥或≤含等号，>或<不含），决定该端点整数是否可取。 例2．（2025·甘肃武威·一模）不等式组的整数解 ． 【答案】0，1 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及整数解的确定，解题的关键是正确求解每个一元一次不等式的解集，再通过找两个解集的公共部分得到不等式组的解集，进而找出整数解． 先解第一个不等式，通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出其解集；再解第二个不等式，同样通过移项、合并同类项、系数化为1求出其解集；然后找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集；最后在该解集中筛选出所有整数，得到不等式组的整数解． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 解， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 则不等式组的解集为， 其中的整数为0、1． 故答案为：0，1． 【变式2-1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）不等式组的最大整数解是 【答案】2 【分析】本题考查了求不等式组的整数解．先求出不等式组中每个不等式的解集，然后根据“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小无解”的原则求出其公共解集，最后求其最大整数解即可． 【详解】解：， 解得：， 解得：， 则不等式组的解集是：． 则最大整数解是2． 故答案为：2． 【变式2-2】（24-25七年级下·河北保定·期末）求不等式组所有整数解的和 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查求不等式组的整数解，掌握解不等式组的方法是解题的关键．根据不等式的性质分别求出两个不等式的解集，再确定不等式组解集，结合解集取整数，再求和即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组解集是， ∴不等式组整数解是， ∴， 故答案为：6． 【变式2-3】（25-26九年级上·重庆潼南·月考）解不等式组，并求出该不等式组的整数解． 【答案】，整数解为，，0，1，2 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及整数解的确定，确定不等式组的解集是解题关键． 分步骤求解每个不等式，再确定公共解集，最后找出整数解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴该不等式的整数解为，，0，1，2． 答：，整数解为，，0，1，2． 类型三、解一元一次不等式组中错解复原问题 方法总结 1. 错解定位：分别检查每个不等式的求解过程，找出系数化1漏变号、移项忘变号等具体错误点。 2. 公共部分复核：将正确的不等式解集在数轴上表示，重新确定公共部分，对比错误解集找出失误。 解题技巧 1. 分步检验：先单独验证每个不等式的解集是否正确，再验证公共部分取法是否正确。 2. 代入验证：取错误解集中一个数值代入原不等式组，若不符合某个不等式，则说明该不等式求解有误。 例3．（24-25八年级下·河南郑州·月考）以下是圆圆解不等式组的解答过程： 解：由①，得，第一步 ∴．第二步 由②，得，第三步 ∴．第四步 故原不等式组的解集为．第五步 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出错误的步骤和错误原因，并写出正确的解答过程． 【答案】圆圆的解答过程有错误，第一步，去括号时未知数x没有乘以2；第四步，不等式两边同时除以时，不等号的方向没有改变．正确过程见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：圆圆的解答过程有错误， 第一步，去括号时未知数x没有乘以2； 第四步，不等式两边同时除以时，不等号的方向没有改变． 正确过程如下：由①得， 所以， 所以， 由②得， 所以， 所以不等式组的解集为． 【变式3-1】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）（1）下面是乐乐同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解不等式：． 解：．……第一步 ．……第二步 ．……第三步 ．……第四步 ．……第五步 任务一： ①以上解题过程中，第一步是依据_______进行变形的； ②第______步出现错误，这一步错误的原因是_______； 任务二：请写出该不等式的正确解集为_______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议； （2）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）①不等式的性质2，②五，不等式的两边都除以，不等号的方向没有改变；；解不等式移项时，注意变号；（2），数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法，解一元一次不等式组及在数轴上表示出不等式组的解集． （1）任务一：①②根据不等式的基本性质即可求解； 任务二：先去分母、去括号、移项，合并同类项，再系数化为即可求解； 任务三：解不等式去分母时，注意不要漏乘不含分母的项；移项时，注意变号；去括号时要注意，括号前若是负号，括号内各项要变号等． （2）先分别解出两个不等式，再确定不等式组的解集，最后在数轴上表示即可． 【详解】（1）解：任务一：①不等式的性质2； ②五，不等式的两边都除以，不等号的方向没有改变； 任务二：； 任务三：解不等式移项时，注意变号（答案不唯一）； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 将解集在数轴上表示出来如图所示． ． 【变式3-2】（24-25七年级下·广西南宁·期末）以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得．     第一步 ．           第二步 解不等式②得，．     第三步 ．          第四步 ．          第五步 ．                       第六步 ……     (1)填空：乐乐的这部分解题步骤中存在一或若干步错误，他所有错误步骤是___________； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)第二步，第三步 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式的性质，不等式解集的取值方法是解题的关键． （1）根据不等式的性质判断即可； （2）根据不等式的性质分别解出的解集，根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”的方法即可求解，再在数轴表示出来即可． 【详解】（1）解：乐乐的解答过程所有错误步骤是第二步，第三步； （2）解不等式①得， ， 解不等式②得，， ，     ，        ， 则不等式组的解集为， 数轴上表示为： 【变式3-3】（24-25七年级下·湖北随州·期末）请观察框内解不等式的过程，回答下列问题： 解不等式 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)第______步出现错误，错误的原因是______； (2)该不等式的正确解集为：______， 在下面的数轴上表示这个解集； (3)直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)五，不等式两边除以时，不等号的方向没改变 (2)，画图见解析 (3) 【分析】本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，理解题意，正确求解是解答的关键． （1）根据不等式的性质判断求解即可； （2）根据不等式的性质可得解集，再画图即可； （3）先分别求解两个不等式的解集，再确定解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：∵第五步中，不等式两边都除以，不等式的方向没有改变， ∴第五步出现错误；错误原因是：不等式的方向没有改变； （2）解：该不等式的正确解集为； 在数轴上表示其解集如下： ； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：. 类型四、由一元一次不等式组的解集求参数 方法总结 1. 解表参数：将不等式组的解集用含参数的代数式表示（如 x > a、x≤b）。 2. 对比定参：根据已知解集或解集特征（如无解、整数解个数），建立关于参数的不等式（组）求解。 解题技巧 1. 数轴分析：在数轴上标出已知解集范围，反向推断参数所在位置，直观建立不等关系。 2. 端点取舍：涉及“≥”“≤”时，需单独讨论端点能否取等，通过代入验证确定。 例4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是掌握一元一次不等式组的解法． 先分别解不等式组中的每个不等式，再根据不等式组的解集确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式4-1】（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，先解不等式组，得到解集，再根据有个整数解的条件，确定参数的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为 不等式组有4个整数解，且 整数解为，，，， ， 解得， 故答案为：． 【变式4-2】（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，依据口诀“大大小小找不到”结合不等式组的解集可得的范围，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：由得：， 由得：， ∵一元一次不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式4-3】（25-26八年级上·重庆南川·期中）若数使关于的不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集求参数的取值范围，先分别解不等式组中的两个不等式，再根据解集为确定的取值范围即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵数使关于的不等式组的解集为， ∴， 故答案为：． 类型五、一元一次不等式组和方程组结合的问题 方法总结 1. 解表参数：先将方程组用参数表示解。 2. 转化为不等式组：根据解的范围（如x > 0，y < 0）或整数解条件，建立关于参数的不等式组求解。 解题技巧 1. 代入消参：将解表达式直接代入不等关系，转化为只含参数的不等式。 2. 数轴定范围：解出参数范围后，结合数轴和实际问题（如整数k）筛选最终值。 例5．（2026八年级·全国·专题练习）若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，用表示出和是解本题的关键． 方程组两方程相加减表示出与，代入不等式组计算即可求出的范围． 【详解】解： 得：，即， 得：， ∵关于，的二元一次方程组的解满足不等式组， ∴ 解得：， 故答案为：． 【变式5-1】（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方程组中的两个方程相加可得，则，再根据可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：， 由①②得：，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25七年级下·广西贵港·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解中x是非负数，y的值不大于，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组等知识点，掌握不等式组的解法成为解题的关键． 先解二元一次方程组得，然后根据x是非负数，y的值不大于列出关于a的不等式组求解即可． 【详解】解：解二元一次方程组得， ∵x是非负数，y的值不大于， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质可得，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； ∵方程组的解满足为非正数，为负数， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴不等式的两边同时除以时，不等号的方向发生了改变， ∴， ∴， ∴， 又∵m为整数， ∴． 类型六、用一元一次不等式组解决实际问题 方法总结 1. 建模列组：设未知数，抓“不少于、不超过、至少”等关键词，将实际问题转化为两个或多个一元一次不等式组成的不等式组。 2. 解验作答：求不等式组的解集，结合实际意义（人数、件数为非负整数等）确定最终方案并作答。 解题技巧 1. 逐句转化：将题目中的每一句不等关系独立转化为不等式，确保不遗漏条件。 2. 方案筛选：若求具体方案（如租车、购物的几种方式），需在解集范围内枚举所有可能情况并逐组检验可行性。 例6．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） A礼盒 150 220 B礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 【答案】(1)第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个 (2)该超市有8种进货方案 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该超市第一次购进x个A礼盒，则购进个B礼盒，根据该超市第一次购进的A，B两种礼盒全部售出后共获利4600元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即该超市第一次购进A礼盒的数量），再将其代入中，即可求出该超市第一次购进B礼盒的数量； （2）根据“第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出该超市共有8种进货方案． 【详解】（1）解：设A种礼盒x个，则B种礼盒个，由题意得： 解得， 则 答：第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个； （2）解：由题意得 解得， ∴该超市有8种进货方案． 【变式6-1】（24-25七年级下·云南普洱·期末）近年来，机器人技术在各个领域的应用和影响日益显著，它们已经从科幻电影逐渐走入我们的日常生活．某公司计划采购A，B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比每个A种机器人贵5万元，采购5个A种机器人和6个B种机器人共用690万元． (1)采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过3100万元再次采购第二批A，B两种机器人共50个，且种机器人的数量不超过种机器人数量的3倍．该公司最多可以采购种机器人多少个？ 【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，采购一个B种机器人需65万元 (2)最多可以采购B种机器人20个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，根据题意列出一元一次方程解方程即可； （2）设采购B种机器人a个，则采购A种机器人个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，采购一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购B种机器人a个，则采购A种机器人个， 根据题意得， 解得， ∵为整数， ∴最大为20． 答：最多可以采购种机器人20个． 【变式6-2】（25-26八年级上·广西南宁·月考）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元 (2)共有4种建造方案，方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩；方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩；方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； (3) 【分析】（1）设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要1万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据“该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各建造方案； （3）分别求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积，结合“在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择”，即可确定a的取值范围． 【详解】（1）解：设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据题意得： ， 解得：； 答：该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意得： ， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为20，21，22，23， ∴共有4种建造方案， 方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； 方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩； 方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩； 方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； （3）解：选择方案1时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案2时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案3时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案4时新建充电桩的总占地面积为． ∵在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择， ∴． 一、单选题 1．（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）若点在第二象限，那么的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第二象限的点的横坐标为负，纵坐标为正列出不等式组即可求解． 【详解】∵点在第二象限， ∴， 解得：， 综上，． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为． 3．（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）若不等式组有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组有解即解集存在公共部分，列出关于a的不等式，求解即可． 【详解】解：， 由①得，； 由②得，； ∵不等式组有解，两个解集存在公共部分， ∴， 解得． 4．（24-25七年级下·广西百色·期末）某工厂试制新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，售出的产品数量的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的应用，根据新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，则售出的产品数量满足，再解不等式组即可． 【详解】解：由题意可得：， 由可得：， ∴； 故选：A． 5．（25-26八年级下·重庆·开学考试）按照如下程序，输入的值并计算规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数，程序操作了两次后停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为（   ） A．33 B．32 C．31 D．30 【答案】A 【分析】根据流程图结合程序操作进行了两次后停止列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∵所有符合条件的的最大值为，最小值为， ∴，， ∴． 6．（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）定义新运算．若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是根据不等式组的整数解的含义求解字母的取值范围，根据新运算定义，分别计算两个不等式，得到解集为. 要求恰有三个整数解，即，故需，解得． 【详解】解：∵， 对于： ∵， ∴， 即， 对于： ∵， ∴， 即， ∴不等式组解为 要求恰有三个整数解，即 ∴需， ∴． 故选：B． 二、填空题 7．（2026·河南信阳·一模）不等式组的整数解的和为___________． 【答案】 【分析】分别求两个不等式的解集，进而求得整数解，再求和，即可求解． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： ∴整数解为，， ，，，，，，，，，，， 整数解的和为． 8．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）点在第四象限，则a的取值范围是______ ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征． 根据第四象限点的坐标特征，横坐标为正，纵坐标为负，列出不等式组求解 【详解】解：点在第四象限， 则横坐标，纵坐标， 解得：，， 所以a的取值范围为． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·四川资阳·期末）已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式的解的情况确定字母的取值范围．先解不等式组，得到解集，由有个整数解可知整数解为，，，，，从而确定需满足． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得， 故不等式组的解集为． 因有个整数解，即可取，，，，， 故需满足，以确保包含但不包含． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·重庆南川·期中）若数使关于的不等式组的解集为，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集求参数的取值范围，先分别解不等式组中的两个不等式，再根据解集为确定的取值范围即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵数使关于的不等式组的解集为， ∴， 故答案为：． 11．（2025·四川绵阳·二模）不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组．先求出不等式组的解集，再根据题意建立关于a的不等式组即可解决问题． 【详解】解：解不等式得，； 解不等式得，， 所以不等式组的解集为：， 则此不等式组的整数解为0，1． 又因为此不等式组的整数解均满足不等式组， 所以， 解得． 故答案为：． 12．（25-26八年级下·重庆·月考）若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于m，n的二元一次方程组的解为自然数，则所有满足条件的整数a的个数为________． 【答案】1 【分析】先解一元一次不等式组，根据至少有2个整数解确定a的取值范围，再解二元一次方程组，根据解为自然数筛选出符合条件的整数a，统计个数即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 解得， ∴不等式组的解集为， 不等式组至少有2个整数解， ， 解得， 由题意得，， 得： 解得， 将代入得：， 方程组的解为自然数，a为整数，若为负因数，则n为负数，不是自然数， ∴是8的正因数， 又∵8的正因数为， ∴对应整数a的值为， ∵， ∴， 当时，，，m不是自然数，不符合； 当时，，，m不是自然数，不符合； 当时，，，均为自然数，符合； 综上所述，满足条件的整数a只有1个． 【点睛】本题融合不等式组整数解与方程组自然数解，通过解集范围限定、因数分析与逐值验证，考查了分类讨论、转化化归思想及对自然数概念的精准把握． 三、解答题 13．（25-26七年级下·全国·周测）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来，并写出所有的整数解． 【答案】，见解析，所有的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键； 分别解出两个不等式的解，再求出不等式组的解，并在数轴上表示出来，观察数轴写出所有整数解． 【详解】解：解不等式①， 得， 解不等式②， 得， 所以原不等式组的解集为． 不等式组的解集在数轴上的表示如图所示， ∴原不等式组所有的整数解为． 14．（2026九年级下·重庆·专题练习）解不等式组：，并求出它的所有整数解之和． 【答案】不等式组的解集是，所有整数解的和为 【分析】先求出不等式组的解集，然后求出所有整数解，最后求和即可． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴该不等式组的解集为， 整数解为：， 所有整数解之和为． 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）解不等式组并写出它的所有整数解． （2）解不等式组并写出它的所有非负整数解． 【答案】（1），0，1，2；（2），0，1． 【分析】（1）分别求解两个不等式，再取它们的解集的公共部分，最后找出公共部分中的所有整数解； （2）同理，分别求解两个不等式，取公共部分后找出其中的非负整数解． 【详解】解：（1） 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 故原不等式组的所有整数解为，，． （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 故原不等式组的所有非负整数解为，． 【点睛】本题考查了知识点一元一次不等式组的解法及整数解的确定，解题关键是正确求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分，最后准确找出符合条件的整数解． 16．（2025·浙江杭州·一模）以下是芳芳解不等式组的解答过程： 解：由①，得，所以． 由②，得，所以，所以． 所以原不等式组的解是． 芳芳的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】有错误，正确解题过程见解析 【分析】本题考查了解不等式组，根据不等式的性质、乘法的分配律等逐步检查即可发现芳芳的错误，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：芳芳的解答过程有错误， 在解不等式①时，两边同乘以，不等号的方向没有改变，故错误； 在解不等式②时，去括号漏乘3，故错误； 正确解答如下： 由①，得，所以． 由②，得，所以，所以． 所以原不等式组的解是． 17．（25-26八年级上·山东聊城·期末） 背景 某商场为举办“迎新春家电促销”活动，筹措资金准备一次性购进一批冰箱和彩电．根据市场需要，这些冰箱、彩电可以全部销售 素材1 已知购进台冰箱和台彩电共需元，购进台冰箱和台彩电共需元 素材2 已知商场共筹集到资金万元用于购买两种家电，一次性购进冰箱、彩电共台，全部销售后利润不少于万元 素材3 在本次家电促销活动中，两种家电的售价分别为：冰箱元/台，彩电元/台 问题解决 任务 购进一台冰箱和彩电分别需要多少元？ 任务 商场有哪几种进货方案可供选择？ 任务 请你帮商场选出销售完两种家电获利最大的进货方案．最大利润是多少元？ 【答案】任务：购进一台冰箱需要元，购进一台彩电需要元；任务：商场共有种进货方案，方案一：购进冰箱台，彩电台；方案二：购进冰箱台，彩电台；方案三：购进冰箱台，彩电台；任务：获利最大的进货方案是购进冰箱台，彩电台，最大利润是元 【分析】任务：设购进一台冰箱需要元，购进一台彩电需要元，根据“购进台冰箱和台彩电共需元，购进台冰箱和台彩电共需元”列出方程组求解即可； 任务：设商场购进冰箱（为正整数）台，则购进彩电台，根据“商场共筹集到资金万元用于购买两种家电，一次性购进冰箱、彩电共台，全部销售后利润不少于万元”列出不等式组求解即可； 任务：分别求出商场选择三种进货方案进货销售完两种家电后所获的利润，然后进行比较即可得出答案． 【详解】任务：解：设购进一台冰箱需要元，购进一台彩电需要元， 依题意，得：， 解得：， 答：购进一台冰箱需要元，购进一台彩电需要元； 任务：解：设商场购进冰箱（为正整数）台，则购进彩电台， 依题意，得：， 解得：， ∴、、， ∴有三种进货方案： 方案一：购进冰箱台，彩电台； 方案二：购进冰箱台，彩电台； 方案三：购进冰箱台，彩电台； 答：商场共有种进货方案，方案一：购进冰箱台，彩电台；方案二：购进冰箱台，彩电台；方案三：购进冰箱台，彩电台； 任务：解：由任务知：销售一台冰箱所获利润为：（元），销售一台彩电所获利润为：（元）， 若选择方案一进货，则所获利润为：（元）； 若选择方案二进货，则所获利润为：（元）； 若选择方案三进货，则所获利润为：（元）； ∵， ∴获利最大的进货方案是购进冰箱台，彩电台，最大利润是元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的实际应用等知识点，解题的关键是明确题意，利用二元一次方程组、一元一次不等式组解决问题． 18．（25-26八年级上·山东聊城·期末）阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”：_____（直接填写序号； ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)若关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数），直接写出的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】（1）先解方程，再求出各个不等式（组）的解集，然后根据其解集进行判断即可； （2）解方程组求出，，再代入不等式，求出的取值范围； （3）解方程组，用含有的代数式表示，，再根据已知条件列出不等式组，解不等式组求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：， 解得：， ①， 解得：， ∴不是此不等式的解； ②， 解得：， ∴是此不等式的解； ③， 解得：， ∴是此不等式组的解； ∴方程的解是此方程与②③的“理想解”， 故答案为：②③； （2）解：∵是方程组与不等式的“理想解”， ∴，， 解方程组，得：， ∴， ∴， 即的取值范围为； （3）解：解方程组，得：， ∵关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数）， ∴， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 解不等式③，得：， ∴不等式组的解集为， 即的取值范围． 1 / 10 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