专项05 函数与导数7种题型（大题专练）（北京专用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

专项05 函数与导数 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近五年北京卷考情，导数是必考大题的重点跟难点，分值约15-17分． 命题趋势：导数大题稳居压轴位置，重点考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，以及不等式证明与零点问题。命题弱化复杂构造技巧，强化分类讨论思想与逻辑推理能力，注重导数作为研究函数工具的本质。 2026年预测：预计2026年仍以指数函数、对数函数或三角函数为载体，考查含参函数的单调性讨论与不等式恒成立问题。与实际优化问题结合的情境化试题可能出现，同时导数与数列、概率综合的新题型值得关注。 备考核心：重点掌握含参函数的分类讨论标准（以导函数零点为核心），熟练运用分离参数法处理恒成立问题。强化从几何意义理解导数，提升构造函数证明不等式与处理隐零点问题的综合能力。 题型01 导数与极值（点） 析典例·建模型 1．（2025·北京昌平·二模）已知函数，其中． (1)当时， ①若，求函数的最大值； ②若直线是曲线的切线，且经过点，证明：； (2)当时，若是函数的极小值点，求的取值范围． 【答案】(1)① ；②证明见解析 (2) 【分析】（1）把代入，①利用导数探讨单调性求出最大值；②设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再由切线过的点，结合一元二次方程有解推理得证. （2）求出导数，由给定的极小值点可得，且，构造函数，按最小值不小于0和小于0分类讨论求解. 【详解】（1）（i）当时，函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，且，在上单调递增，又 所以当时，函数的最大值为. （ii）设切点为，而，， 曲线在点处的切线方程为 由经过点，得，整理得， 由，得，所以. （2）函数的定义域为R，求导得， 由是函数的极小值点，得，即， 则，令， 求导得，令，即，，得， 当时，；当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则， ①当时，即时，得，此时， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； ②当时，即时，则，而， 则存在，使，当时，， 因此不是函数的极小值点，不符合题意， 所以的取值范围为. 研考点·通技法 1、用导数求函数极值的方法： （1）先确定函数的定义域； （2）求导数，求的根 （3）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 注意：可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号。 2、根据极值点求参 （1）根据求极值的方法求导数，令 （2）根据极值点的个数跟情况，对方程进行参数的讨论。 注意需要验证极值的存在，因为是为极值点的不充分条件。 破类题·提能力 1．（2025·北京朝阳·二模）已知函数． (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围； (3)若存在极值点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导，利用导函数的符号判断在的单调性进而求最大值即可； （2）求导，结合导数的几何意义按的不同取值范围分类讨论求解即可； （3）由极值点的概念可得，消去得（*），令，利用导数可得，当且仅当时取等号，又（*）等价于，解得，代入求出的值即可. 【详解】（1）若，则，， 当时，，所以在单调递减， 所以当时，取得最大值. （2）的定义域为， 当时，易知在区间上单调递减，符合题意； 当时，，设， 则，当时，，所以在区间上单调递减， ①若，即时，当时，，即， 此时在区间上单调递增，不符合题意； ②若，即时，， 所以存在唯一的使得， 当时，，即， 此时在区间上单调递减，符合题意； 综上，的取值范围为. （3）由题意可得即， 所以，即（*）， 设函数， ， 当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 所以当时，取得最大值， 又，所以，当且仅当时取等号， 又（*）等价于，所以， 所以． 经检验，当时，存在极大值点且，符合题意， 所以． 2．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知，， (1)当时，讨论的单调性； (2)设，若在上有极值点： ①求的取值范围 ②证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）先确定定义域，对求导，分类讨论； （2）①函数化简，确定定义域，在上有极值等价于在上有变号零点； ②方法一：根据极值点的单调性性质结合已知参数范围放缩；方法二：利用极值点条件代换，构造新函数分析单调性. 【详解】（1） 由题意知的定义域为， 当时，， 当时，，则在上单调递减， 当时，由，解得；由，解得. 即在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） ①由题意得，所以的定义域为， 在上有极值点等价于在上有变号零点. 令，即在上有变号零点. 当时，显然在上恒成立，无变号零点，不满足题意； 当时， 在上恒成立，所以在上单调递增， 令，解得，此时在上有唯一零点. ②∵在上单调递增， ∴当时，，即；当时，，即， 故在上单调递减； 在上单调递增，故是的极小值点. 方法一：由上，，∵，∴ 方法二：因， 由，可得，则， 令，显然在上单调递减， 则，即，故． 3．（2025·北京西城·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）当时，求出的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程； （2）当时，求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递增区间； （3）令，分析可知，函数在上有且只有一个异号零点，对实数a的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于实数a的不等式，综合可得出实数a的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 所以， 曲线在点处的切线方程为， （2）当时，， 所以该函数的定义域为， ， 由，解得或， 所以当时，求函数的单调递减区间为， （3）因为， 则， 令，因为函数在区间上只有一个极值点， 则函数在上有一个零点， 当时，对任意的，，不合乎题意； 当时，函数在上单调递增， 因为，只需，合乎题意； 当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线， 因为，只需，不合乎题意，舍去. 综上所述，实数a的取值范围是. 题型02 根据单调性求参 析典例·建模型 1．（2025·北京门头沟·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数的单调性； (3)若在定义域上单调递减，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求出切线方程； （2）对函数求导再对的取值范围进行分类讨论，即可求得函数的单调性； （3）将问题转化为在上恒成立，再利用（2）中的结论可得即可，构造函数即可求得当时满足题意. 【详解】（1）当时可得，则， 此时， 因此切线方程为，即； （2）由可得其定义域为； 且，即， 显然， 当时，，此时在上单调递增； 当时，令可得， 若，，此时在上单调递增； 若，，此时在上单调递减； 综上可得，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）若在定义域上单调递减，可得在上恒成立； 由（2）可得当时，即在上单调递增， 当，可得，显然不合题意； 当时，可得在上单调递增，在上单调递减； 即在处取得极大值，也是最大值； 即恒成立； 令，； 则， 显然当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增； 因此，即， 又恒成立，可得，即. 所以的取值范围为. 研考点·通技法 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）函数在区间上单调，实际上就是在该区间上（或）恒成立． （2）函数在区间上存在单调区间，实际上就是（或）在该区间上存在解集． 破类题·提能力 1．（2026·北京密云·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若4是的极小值点，证明此时的极大值小于零； (3)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义及直线的点斜式方程求解即可. （2）根据4是极小值点求出，结合导数与单调性、极值的关系求出极大值，进一步证明即可. （3）在定义域内单调递增即在定义域内恒成立，结合分离常数法及基本不等式求解即可. 【详解】（1）当时，，则，， 所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即. （2）函数的定义域为，. 因为4是的极小值点，所以，即，解得. 当时，，， 令，则，解得或. 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极大值，， 故此时的极大值小于零. （3）因为在定义域内单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 在上恒成立，也即在上恒成立. 又，当且仅当，即时等号成立. 所以，即实数的取值范围为. 2．（2025·北京·三模）设函数 ，且在处的切线方程为. (1) 求k的值； (2) 求的单调区间； (3) 设为在点切线方程，是否存在t使得函数单调？若存在，求出所有t的值；如不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义可得，可得解； （2）利用导数求函数单调性； （3）求出切线方程，设，转化为在恒成立，再由二次函数性质可解. 【详解】（1）， 则， 解得； （2）， 令，得或， 当时，，所以函数在和上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以函数单调递增区间为和，单调递减区间为； （3）因为，所以，， 所以处切线方程为， 整理得：， 设， 则 ， 所以， 若在单调，则恒成立， 所以只有即或（舍）时，恒成立， 即在单调递增，所以. 题型03 恒成立问题求参 析典例·建模型 1．（2026·北京平谷·一模）已知函数． (1)当，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求函数极值点的个数； (3)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)2个 (3) 【分析】（1）切线斜率等于函数在该点的导数值，结合点斜式直线方程即可求解； （2）多次求导得函数的单调性，进而求出函数的极值点即可判断； （3）分离参数得在上恒成立，令，多次求导得其单调性，然后求解最值即可． 【详解】（1）当时，，所以． 所以． 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）由，得， 令，则． 当时，，当时，， 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数． 所以的最小值为． ， 又在单调递减，在单调递增， 故存在，使得， 所以，在区间上，在区间上． 所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故是函数的极大值点． 同理：存在，使得， 所以，在区间上，在区间上． 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故是函数的极小值点． 综上：函数极值点有2个． （3）对任意的实数恒成立， 等价于在上恒成立，得， 令，则． 令，则．因为，所以， 所以在上是增函数，所以，所以， 所以在上是增函数，所以的最小值为．所以， 即实数的取值范围． 研考点·通技法 1、恒成立问题（任意）  恒成立，只需（大于最大的最小值）。  恒成立 ,只需（小于最小的大值）。 技巧：优先考虑参变分离，若分离后函数复杂，再直接求导讨论。 注意问题： 1、端点取舍（是否取等） 若题中是 > 或 <（不带等号），检查端点值时，若恰好相等，需验证能否取到（开区间取不到则恒成立不成立；闭区间能取到则不等式不成立）。 2、分离参数后的定义域 分离为时，要注意 的取值范围（特别是分母不能为零）。若区间是开的，的最大值可能取不到，此时 只能取该极限值（但需结合等号验证）。 3、混淆“恒成立”与“能成立” 求出的参数范围正好相反。记反会导致答案全错。 4、忽略参数在函数中的位置 若参数不能彻底分离，需根据函数类型分类讨论（如二次函数开口、判别式、对称轴）。此时画草图辅助最稳妥。 破类题·提能力 1．（2026·北京延庆·一模）已知函数，，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)是否存在a，使得不等式恒成立，若存在，求出a的所有值；不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减. (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求曲线在点处的切线方程. （2）利用导数，分情况讨论，求函数的单调性. （3）设，问题转化为在其定义域上恒成立，求的值. 【详解】（1）当时，. 因为， ，所以， 所以曲线在点处的切线方程为：即. （2），. 当时，由，此时，函数在上单调递减； 当时，由， 此时由，由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上可知，当时，函数在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）设，问题转化为在其定义域上恒成立，求的值. 因为. 若，则函数的定义域为，此时，即， 所以在上单调递增. 因为. 设，. 则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 所以恒成立，所以在不可能恒成立. 若，则函数的定义域为，此时， 由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 要想在上恒成立，需要. 设，. 则. 由，由. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 即当时，. 所以为所求. 2．（2025·北京海淀·三模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)当时，若对任意的，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的减区间为,增区间为 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）根据导数即可判断单调区间； （3）构造函数对任意恒成立，据此根据导数求解即可. 【详解】（1）由，得， 则，又， 所以曲线在点处的切线为； （2）当时，， 所以， 令，则， 所以在单调递增，且， 所以当时，，则，函数单调递减， 当时，，则，函数单调递增， 所以函数的减区间为，增区间为； （3）设， 则， 因为时，所以为增函数， 又在上都是增函数， 所以函数在上单调递增，且， 当即时，， 所以函数在上单调递增，所以， 所以时，符合题意； ②当即时，，又， 当即时，恒成立， 所以函数在上单调递减，所以， 此时不符合题意； 当即时， 存在，使得， 且当时，，当时，， 即函数在上单调递减，此时，不符合题意； 综上所述，的取值范围是 题型04 能成立问题求参 析典例·建模型 1．（2025·北京海淀·三模）已知． (1)当时，求函数的极值点和极值； (2)时，求函数在上的最小值； (3)若不等式的解集非空，求a取值范围． 【答案】(1)极大值点，极大值，无极小值点和极小值； (2) (3) 【分析】（1）求出导函数，得出单调性，进而求出极值和极值点情况； （2）求出，根据的值域确定出的正负性，进而得出单调性即可求最值； （3）将问题转化为使得成立，求的最小值即可. 【详解】（1）的定义域为， 当时，，， 由得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值点为，极大值为，无极小值点和极小值； （2）因， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减，则， 因，则，， 则存在使得， 故时，；时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 又，，则， 故函数在上的最小值为. （3）由题意可知，使得成立， 即使得成立， 又，则，即， 故a的取值范围为. 研考点·通技法 能成立/存在性问题（存在 ） 存在 使 成立 →→ 只需（存在大于，找最大的）。 存在  使 成立 →→ 只需 （存在小于，找最小的）。 口诀：恒成立是“所有都满足”，能成立是“有一个就行”。 核心：分清任意与存在，对应的是“最值对最值”。 破类题·提能力 1．（25-26高三上·北京·月考）已知函数. (1)若时，求曲线在处切线的斜率； (2)求的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据导数几何意义直接求解即可； （2）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到结论； （3）将问题转化为，由二次函数性质可求得，采用参变分离的方式可得，利用导数可求得的最小值，进而得到结果. 【详解】（1）当时，，则， ，在处切线的斜率为. （2）由题意知：的定义域为，， ①当时，，，， 在上单调递增； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）对任意，均存在，使得，； ，当时，， 在上恒成立，即在上恒成立，； 令，则， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 2．（2025·安徽·二模）已知函数，，其中函数的导函数为. (1)当时，求函数在上的单调性； (2)证明：当时，在上存在极大值点，且； (3)证明：，使得恒成立. 【答案】(1)单调递减 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数研究其单调性即可. （2）先求出导函数，然后求出单调区间，进而利用极大值点的概念证明即可. （3）将问题转化为证明对任意恒成立，参变分离得对任意恒成立，令，即证，，多次求导求得的单调区间，即可求解的最小值，令，，利用导数求得最小值，即可证明. 【详解】（1）当时，，， 令，则， 当时，，，所以， 所以在上单调递减. （2），，其中满足，，， 令，得，当时，，所以函数在区间上单调递增； 当时，，所以函数在区间上单调递减. 所以在上存在极大值点，且. （3）由（2）知在上的最大值为. 要证，使得对任意恒成立， 即证对任意恒成立， 即证对任意成立，又， 所以即证对任意恒成立， 即证，其中. 令，， 因为，，， 所以. 令，， 则， 则在上单调递增，又，， 则，使， 解得，所以. 当时，，即，所以函数在区间上单调递减； 当时，，即，所以函数在区间上单调递增. 所以函数在时取到极小值，也是最小值， . 令，， 则， 即在上单调递减，， 又， 即当时，， 所以，使得对任意恒成立，命题得证. 题型05 零点问题 析典例·建模型 1．（2025·北京海淀·一模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线为，求的值； (2)若为上的单调函数，求的取值范围； (3)若函数，求证：可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据，结合导数运算，即可求得参数值； （2）分类讨论，为增函数和减函数，参变分离，根据或在上恒成立，即可求得范围； （3）根据，以及为奇函数，只需证明在有一个零点即可；讨论时，的单调性，结合（2）中所求，即可证明. 【详解】（1），故，故； 由题可知，，故，解得. （2）若为上的单调增函数，则在上恒成立，即， 也即恒成立，又，故； 若为上的单调减函数，则在上恒成立，即， 也即恒成立，又，故； 综上所述，若为上的单调函数，则的范围为. （3），其定义域为，又，故其为奇函数； 又，故只需证明可以取无数个值，使得每一个的取值在有一个零点即可. 又，令，则， 当时，由（2）可知，为上的单调减函数，又，故在恒成立， 故在单调递减，又，，故存在，使得， 则当，，单调递增；当，，单调递减； 故当，，又， 故存在，使得； 综上所述：当时，在存在唯一零点， 也即当时，恰好有三个零点， 于是，可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点. 研考点·通技法 利用导数研究函数零点（或方程根）问题，核心是 “看单调性，算端点值，数形结合找交点” 1、单调性分割：求导确定函数的单调区间。函数在每一个单调区间内至多存在一个零点。 2、找端点符号： 计算每个单调区间两端的函数值（或极限值，如 ）。 异号（一正一负）该区间内有且仅有 1个 零点。 同号（同正或同负）该区间内 无 零点。 有一端为0 该端点即为零点，需注意区间开闭。 3、含参讨论（难点） 若函数含参数，参数的取值会改变图象的高低或单调性。 临界状态：找到“恰好相切”的情况（即极值点刚好在 x 轴上，此时零点个数变化）。通常令极值 =0 解出参数临界值。 按参数分类：以临界值为分界，分别讨论不同区间内零点个数。 破类题·提能力 1．（2025·北京朝阳·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求证：当时，； (3)若函数有个不同的零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）当时，利用导数分析函数在上的单调性，结合单调性即可证得结论成立； （3）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在定义域上的单调性，确定每种情况下函数的零点个数，并结合零点存在定理可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，所以，． 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由题设知． 设函数． 当时，因为， 所以对任意的恒成立，即． 所以函数在区间上单调递增，所以． 所以当且时，． （3）函数的定义域为， ． ①当时，，函数在区间上单调递减， 函数至多一个零点，不合题意； ②当时，由（2）可知函数在区间上单调递增， 函数至多一个零点，不合题意． ③当时，对于函数， 因为，所以方程有两个实数根、， 满足，， 不妨设，则，、的情况如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以函数的单调递增区间是、，单调递减区间是． 因为，所以为的一个零点． 又，，且， 所以存在唯一实数，使得． 又，，且， 所以存在唯一实数，使得． 所以函数有个不同的零点． 综上，的取值范围为． 2．（2025·北京·模拟预测）已知函数. (1)若函数的极值点在内，求m的取值范围； (2)若有两个零点，求m取值的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，转化问题为在上有解，进而求解即可； （2）求导，分，两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由, 则， 要使函数的极值点在内， 则在上有解， 即在上有解，则，解得， 即m的取值范围为. （2）由，， 则， 当时，，，则， 此时函数在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意； 当时，，令，得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又时，，时，， 要使有两个零点，则恒成立， 设，则， 所以函数在上单调递增，又， 则，解得. 综上所述，m取值的范围为. 题型06 证明不等式 析典例·建模型 1．（2025·北京·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在处的切线的倾斜角； (2)若是函数的极值点， （i）求实数的值； （ii）设函数．证明：． 【答案】(1)； (2)（i）1；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，进而确定倾斜角大小； （2）（i）对函数求导，由已知有求参数值，注意验证；（ii）将问题化为证明在且上恒成立，应用换元法及导数研究不等式恒成立，即可证. 【详解】（1）由题设，则，故切线斜率， 所以，结合直线倾斜角的范围，易知在处的切线的倾斜角为. （2）（i）由题设，则， 由，则，故且， 令，则， 所以在上单调递减，且， 所以时，在上单调递增， 时，在上单调递减， 所以是函数的极值点，故； （ii），则且， 当时，，此时，即证， 当时，，此时，即证， 综上，只需证明在且上恒成立， 令，，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，故得证. 研考点·通技法 一、利用导数证明不等式恒成立，核心是 “构造函数，找最值”。 1、移项构造：将所有项移到一边，化为（或）的形式。目标是证明 的最值满足条件。 2、求导定单调：对F(x) 求导，分析导数正负，判断函数在给定区间上的单调性。 3、比较端点或极限 若 单调递增，则最小值在左端点，证明左端点值 ≥0（注意端点是否能取等）。 若 单调递减，则最大值在左端点，证明左端点值 ≤0。 若先减后增（有极小值），求出极小值点，证明极小值 ≥0。 二、当直接构造复杂时 1、放缩法：将复杂函数替换为更简单的中间函数（如 ，），但需注意放缩方向要一致。 2、拆分法：将不等式拆成两个函数，分别求最值，证明一个的最小值大于另一个的最大值。 3、分段讨论：当导数符号复杂时，可分割区间分别证明。 破类题·提能力 1．（2025·北京顺义·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，求证：是上的单调递减函数； (3)求证：当时，. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出，再计算得切点和切线斜率即可得到切线方程； （2）通过二次求导得，则，则是上的单调递减函数； （3）令，求导得，再利用放缩法得，最后再次放缩即可证明. 【详解】（1）依题意，． 又， 所以. 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由（1）知，，， 所以. 令，则， 因为，所以，即， 所以在上单调递减，所以， 即，所以是上的单调递减函数. （3）令， 则， 由（2）知，在上单调递减， 所以当时，，此时，即在上单调递减， 所以，即， 当时，，，. 所以即， 所以即， 综上可得：当时，. 2．（25-26高三上·北京石景山·期末）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程： (2)若有两个极值点，求的取值范围： (3)当时，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程； （2）对求导，整理得，令，有两个极值点等价于有两个变号零点，分和讨论判断单调性和极值结合零点存在性定理求解； （3）令，利用导数证明，令，利用导数证明，得证. 【详解】（1）当时，，则， 可得，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）由，得，整理得， 令，则， 所以有两个极值点等价于有两个变号零点， 当时，，在上单调递增， 所以至多有一个零点，从而没有两个极值点. 当时，令，得，即在上单调递增， 令，得，即在上单调递减， 所以，由，得， 又，，在上单调递增， 所以在上有一个零点； 取，，因为在上单调递减， 所以在上有一个零点， 综上，当时，有两个零点，即有两个极值点. （3）令，当时，， 所以在上单调递增， 所以，即， 令，则当时，， 易得在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，所以，即. 题型07 双变量问题 析典例·建模型 1．（2026·北京·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的极值； (3)已知，函数有两个不同的零点，和一个极值点，记，，，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)时，无极值；时，的极大值为，无极小值； (3) 【分析】（1）求出，由点斜式求切线方程； （2）求出导数，分和进行讨论，根据导数的符号确定函数的单调区间，从而可得极值； （3）由于，，利用导数证得，，故由零点存在定理有零点，由三角形性质可比较. 【详解】（1）当时，，则， 又， 所以在点处的切线方程为； （2）由，得， 当时，对任意，， 所以在单调递减，无极值； 当时，令，得；令，得． 在单调递增，在单调递减， 函数在处取得极大值，极大值为，无极小值， 综上所述，时，无极值； 时，在处取得极大值，极大值为，无极小值； （3）由，函数有两个不同的零点，和一个极值点， 由（2）知在单调递增，在单调递减， 故为的极大值点， 极大值，令． 则，故在单调递增， 故， 又注意到，故不妨设， 此外， 则，记， 则， 所以在上单调递减，所以， 即，故在单调递减， 故． 由零点存在性定理，知有零点， 则． 设，则为的高且，故. 研考点·通技法 将双变量问题转化为单变量问题：通过两变量之间的等量关系（如极值点、零点、对称轴）或不等关系（如区间端点），将问题转化为关于一个变量的函数进行研究。 常见类型与处理方法 1、极值点偏移：常用构造对称函数或比值代换法，将双变量问题转化为单变量函数的单调性问题。 2、双变量不等关系：常用方法是将不等式变形后构造函数，利用单调性证明；或固定一个变量，研究另一个变量。 3、用参数统一变量：若两变量均与参数有关，可先消去参数，找到两变量的直接关系（如 为定值），再代入原式转化为单变量函数。 4、比值代换：对于形如的结构，可设或，将双变量转化为关于 t 的单变量函数求解。 破类题·提能力 1．（2025·北京海淀·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的极值点个数； (3)若且时，都有成立，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可求解； （2）利用三阶导数研究函数的单调性可知当时，在上单调递增；当时在上单调递增，在上单调递减（），结合极值点的概念即可求解； （3）由（2）知，当时，若，则，不符合题意；当时，可知，证得在上为上凸函数，即可求解. 【详解】（1）由题意知，， ，则， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知， 令，则， 令，则， 又当时，，， 所以，函数在上单调递增，所以， 即，所以函数在上单调递减，且， 当即时，，即， 所以函数在上单调递增，无极值点； 当即时，， 存在使得，即， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 此时在上有1个极大值点. 综上，当时，在上无极值点；当时，在上有1个极大值点. （3）由，且，知， 由（2）知，当时，在上单调递增，在上单调递减， 且，所以. 若，则，不符合题意； 当时，在上单调递增， 满足的情况； 由（2）知，， ，设， 则， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，即， 所以在上为上凸函数， 则，均有， 所以. 2．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数 . (1)若，求函数的极值； (2)若 时，，求a的取值范围； (3)若函数有两个极大值点 ，求 的范围. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) (3) 【分析】（1）首先求函数的导数，并求导函数的零点，根据导函数的正负判断函数的单调性，求函数的极值； （2）法1，首先根据，得到命题成立的必要条件，再证明时，不等式成立； 法2，首先利用对称性转化为时，，再分区间讨论函数的单调性，证明不等式； 法3，利用换元，，等价于时，，再根据，讨论的取值，判断函数的单调性，证明不等式； （3）首先根据导函数的零点个数，确定，再转化为在有两个不等实根，再代入韦达定理求得，即可求解. 【详解】（1） 时， 令 或（舍去）或（舍去） （0,2） 2 （2,4） + 0 - ↗ 极大值 ↘ 极大值为 ，函数无极小值； （2）法 1： 所以 时， ，所以 ． 当 时， ， ． 综上，的取值范围是 ． 法 2： 因为 ， 所以关于对称， 所以时，等价于时， ． 首先：由时，得 ． 其次：证明时，时， ， 当时，在递增， ． 当时， ① 当，即 时， 递增． ② 当 ，即时， 存在唯一使得 ，即 ． 递增：递减． ③ 当，即时， 递减． 综上，最小值为 ， 因为 ， 所以 时， ． 综上，的取值范围是 ． 法 3：令 ， ． 令 ， 时，，等价于时， ， ． ① 当 时，递增． ② 当 时，存在唯一使得 ． 递增， 递减． ③ 当 时，， 在 上递减，其最小值为 ， 欲满足题意，需 ，即 ， 结合条件，此情况下的范围是 ， 综上时， ， 因为 ， 所以时，，当且仅当 ． 综上，的取值范围是 . （3）当时， 只有一个极值点． 当时， ， 令或 ． 若函数有两个极大值点， 则在有两个不等实根 ， 所以 ，且 ． + 0 - 0 + 0 - ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 由表可知，函数 的两个极大值点为 ，极小值点为 ， ，， （建议用时：60分钟） 刷模拟 1．（2025·北京·模拟预测）已知函数，. (1)求斜率为1的切线方程； (2)若对于任意，任意，总有，求的最大值； (3)若有4个极值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求得斜率，利用点斜式写出方程； （2）利用导数研究函数的最小值，求得最小值为，利用导数研究函数的单调性和极值，进而根据题意得到的取值范围； （3）利用导数分析，根据极值存在的条件，并作换元，转化为函数 与直线在 内有2个不同的交点，利用对数函数的图像和直线的图像，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）,令， ，故切点为， 切线方程为； （2）分析 在 的最小值： ， 时,单调递减； 时 ,单调递增； . 分析在的最大值： 导数. 在或时,单调递增； 时,单调递减. 在处有极大值，在处有极小值. 令，解得， 当时，在内单调递增，趋近于. 保证； 当时，在内的最大值严格小于， 因此，的最大值为； （3） 极值点满足，即：， 令 ，则，方程变为： 根据题意，此方程应当有四个不同的实数根 函数与直线在内有2个不同的交点， 函数在 内单调递减，以直线为渐近线， , 直线横截距为1，斜率为, 设,, ，所以, 此时，函数与直线在内有2个不同的交点， 交点横坐标分别记为，在每一个值的左右两函数值的差出现正负变号， 从而对应方程：的4个实数根的每一个的左右的值出现 正负变号，因此函数有4个极值点， 综上，实数的取值范围是. 2．（2025·北京大兴·三模）已知函数，其中． (1)求的单调区间； (2)若恒成立． ①求实数的值； ②判断方程的根的个数，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)① ；②两个，理由见解析 【分析】（1）分，两种情况，解不等式，可得单调区间； （2）①由（1）可得满足题意，注意到，通过研究单调性可得答案； ②由（）单调性，结合零点存在性定理可得零点个数. 【详解】（1），． 当时，对，， 所以的单调递增区间为，无递减区间； 当时，令，得． 因为时，；时，． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）①由（1）知，当时，的单调递增区间为， 所以当时，有，不符合题意； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以， 令（），， 与在区间上的情况如下： － 0 ＋ ↘ 0 ↗ 所以 所以时，， 时，，所以． ②方程有两个根，证明如下： 令（），， ①时，令，， ，，单调递增， ， 所以，， ． － 0 ＋ ↘ 0 ↗ ，，， 所以在区间上有一个零点． ②时，，，所以，所以递增， ， 由（i）知，所以在区间上有一个零点． ③时，由①知，， 所以，所以无零点． ④时，因为， 对于函数，则, 故在上递增， 所以， 所以无零点． 综上可知函数有两个零点． 【点睛】关键点睛：对于零点问题，常利用数形结合思想，转化为函数图象的交点问题，也可如本题，利用函数单调性结合零点存在性定理解决. 3．（2025·北京·三模）已知函数，，． (1)若在点处的切线平行于直线：，求的值； (2)求的单调区间； (3)当时，求证：对任意，恒有成立． 【答案】(1) (2)函数的单调递增区间为：，，无单调递减区间； (3)见解析 【分析】（1）求导得出即可求解； （2）利用导数求解函数的单调区间，分和和进行讨论，其中当和时，需要令，研究的单调性，得出与的关系即可判断； （3）把问题转化为：令，需要证明对任意成立，分两种情况来讨论，通过求导，证明出单调递增． 【详解】（1）， ， ， 切线平行于直线：， ，解得：； （2）， ， 当时，显然，故在上单调递增； 令，， 当时，，故在上单调递增， 由于，故当时，， ，故在上单调递增； 故在上单调递增； 当时，令，， 当时，，故在上单调递减， 由于，故当时，， ，故在上单调递增； 故函数的单调递增区间为：，，无单调递减区间； （3）当时，需要证明：，恒有成立， 即， 化简得：， 即证：， 当时，，又， ， 当时，记，则， 记，则， ，， 所以当，单调递增，所以， 所以在单调递增，所以， 综上：对任意，恒有成立． 4．（2025·北京海淀·三模）已知函数，曲线在点处的切线斜率为． (1)求的值． (2)求在上的零点个数． (3)证明：在上存在两个零点，且． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由函数求导，根据导数的几何意义建立方程，可得答案； （2）先由图象分析零点的存在性，再分段研究函数的单调性，根据零点存在性定理，可得答案； （3）由函数求导并构造函数，利用导数要求新函数的单调性，根据零点存在性定理，可得答案. 【详解】（1），定义域为． ．由题可得，，解得． （2）由（1）可得，． 当时，，，故，在时无零点； 当时，，，故，在时无零点． 当时，，所以在上单调递增． 而，． 故由零点存在性定理知，在上存在唯一零点． 当时，，，故，在时无零点； 综上：在上的零点个数为1． （3）．令，． 令，则． 当时，，，，所以．所以在上单调递增． ，，所以由零点存在性定理，存在唯一，使得． 当变化时，，的变化如下表： 0 极小值 又，，． 所以由零点存在性定理，分别在，上各恰有一个零点，即在上存在两个零点． 不妨设．则当时，；当时，． 而，． 所以．故． 5．（2025·北京·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)①求证：只有一个零点； ②记的零点为，曲线在处的切线l与x轴的交点横坐标为，若，求u的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）利用导数的几何意义，结合题意得切线方程建立方程，解之即可求解； （2）①由（1），利用导数研究函数的单调性，结合零点的定义即可证明；②利用导数的几何意义求出切线方程，令可得，结合，利用导数研究函数的单调性可得当时，当时，即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 所以曲线在处的切线的斜率为， 又曲线在处的切线方程为， 所以，解得； （2）①：由（1）知，， 令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 且当时，，当时，， 所以函数在上存在唯一，使得， 即函数在上存在唯一零点. ②：由①知，切线的斜率为，又， 所以， 令，得， 设，则， 令或，或， 所以函数在和上单调递减，在和上单调递增， 当时，，即，由①知，故不符合题意； 当时，由，得 ， 即，符合题意， 故实数的取值范围为. 6．（2025·北京通州·一模）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)曲线在点处的切线为l，记l与y轴交点的纵坐标为，求的最大值； (3)若有两个根，，写出a的范围并证明. 【答案】(1)增区间，减区间 (2) (3)，证明见详解 【分析】（1）求导，判断导数正负得解； （2）利用导数的几何意义求出曲线在处的切线方程，得到的表达式，利用导数求最大值； （3）由的单调性判断极值，值域，得到的取值范围，且，，要证，即证，又，即证在上恒成立，转化为在上恒成立，构造函数，，利用导数证明恒成立即可. 【详解】（1）由， 故当时，，当时，， 所以的单调增区间为，减区间为； （2）曲线在处的切线斜率，又， 所以其切线方程为， 令，得，则，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以； （3）由（1），的单调增区间为，减区间为，且，， 当时，，当时，， 即时，，时，， 若有两个根，则，且，， 要证，即证，又在上单调递减， 即证，又， 即证在上恒成立， 又，即证， 两边取对数，原命题即证在上恒成立， 令，， ， 故在上单调递减，所以， 所以在上恒成立，故得证. 7．（2025·北京东城·一模）设函数，曲线在处的切线方程为. (1)求的值； (2)求不等式的解集； (3)已知，其中，直线的方程为.若，且，求证：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程，结合已知求参数值； （2）导数研究函数的单调性，结合函数的零点求不等式的解集； （3）问题化为且上恒成立，即判定证明、在上单调递增即可证. 【详解】（1）由题设，则，而， 所以曲线在处的切线方程为， 所以，即为，则； （2）由（1）得，则， 令，则， 当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 所以，故在R上单调递增，且， 所以的解集为； （3）由（2）知在R上单调递增，要证，即证， 由且，即证， 由，，则且， 所以且上，证明，即恒成立， 所以，只需证在上单调递增，且增长速度逐渐变快， 由（2），、在上均单调递增， 所以且上，恒成立，故，得证. 8．（25-26高三上·北京通州·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围； (3)若，求证：对任意，，当时，不等式恒成立. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出曲线在点处的斜率，再由直线的点斜率式，即可求解； （2）先求出的单调区间，进而求出的最小值为，再结合条件可得，再求解不等式，即可求解； （3）利用（2）中的结果，将问题转化成证明对任意，，当时，不等式恒成立，构造函数，利用导数，求出其在区间上的单调性，即可求解. 【详解】（1）当时，，则， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）易知的定义域为，且， 因为，令，得到，当时，， 当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 又由题知，存在，使，则，即， 令，则， 当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，所以当时，， 故的取值范围为. （3）由（2）知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，则，所以在区间上单调递增， 要证对任意，，当时，不等式恒成立， 即证明对任意，，当时，不等式恒成立， 即证明对任意，，当时，不等式恒成立， 令， 则，当时，， 又，则，所以当时，， 则在区间上恒成立，所以在区间上单调递增， 当时，，即， 故命题得证. 9．（25-26高三上·北京丰台·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程； （2）构造函数，利用导数可求得单调性，从而得到，原结论得证. 【详解】（1）定义域为，，，又， 在处的切线方程为. （2）令， 则，在上单调递减， ，即当时， 10．（2025·北京·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. (1)当时，求在处的切线方程; (2)若在区间上不是单调函数，求的取值范围； (3)若当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，求得，得到，进而得到切线方程； （2）求得，令，得到，分和，两种情况讨论，结合函数在区间上不单调，得出不等式，即可求得的取值范围； （3）根据题意，转化为在区间上恒成立，令，求得，令，得到，得到，得到的单调性和最小值，进而求得的取值范围. 【详解】（1）解：当时，函数，可得， 则， 所以 在 处的切线方程为，即. （2）解：由函数，可得， 令，则， 若，可得恒成立，则在上单调递增，不符合题意； 若，令，可得， 要使得函数在区间上不单调，则满足， 此时在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以实数的取值范围为. （3）解：当时，由恒成立，即， 即恒成立，即在上恒成立， 令， 可得， 令，则且， 所以， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为 刷真题 1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导数判断其单调性，即可求出最大值； （2）求出直线的方程，再构造函数，只需证明其最小值（或者下确界）大于零即可； （3）求出直线的方程，即可由题意得到的表示，从而用字母表示出，从而求出范围. 【详解】（1）设，， 由可得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为. （2）因为，所以直线的方程为，即， 设，， 由（1）可知，在上单调递增，而， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且， 而当时，，所以总有，单调递增 故，从而命题得证； （3）解法一：由题意，直线，直线， 所以，， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以 ， 由（1）可得当时，， 所以， 所以. 解法二：由可设，又，所以，即， 因为直线的方程为，易知， 所以直线的方程为, ，. 所以 ,由（1）知,当时，，所以, 所以. 2．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为. (2)证明见解析 (3)2 【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可； （2）写出切线方程，将代入再设新函数，利用导数研究其零点即可； （3）分别写出面积表达式，代入得到，再设新函数研究其零点即可. 【详解】（1）， 当时，；当，； 在上单调递减，在上单调递增. 则的单调递减区间为，单调递增区间为. （2），切线的斜率为， 则切线方程为， 将代入则， 即，则，， 令， 假设过，则在存在零点. ，在上单调递增，， 在无零点，与假设矛盾，故直线不过. （3）时，. ，设与轴交点为， 时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾. 由（2）知.所以， 则切线的方程为， 令，则. ，则， ，记， 满足条件的有几个即有几个零点. ， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 因为， ， 所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点， 综上所述，有两个零点，即满足的有两个. 【点睛】 关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题. 3．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)3个 【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可； （2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间； （3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数. 【详解】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解. 4．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 【答案】(1) (2)在上单调递增. (3)证明见解析 【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程； （2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解； （3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证. 【详解】（1）解：因为，所以， 即切点坐标为， 又， ∴切线斜率 ∴切线方程为： （2）解：因为，     所以， 令， 则， ∴在上单调递增， ∴ ∴在上恒成立， ∴在上单调递增. （3）解：原不等式等价于， 令，， 即证， ∵， ， 由（2）知在上单调递增， ∴， ∴ ∴在上单调递增，又因为， ∴，所以命题得证. 5．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析. 【分析】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合， 和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证. 【详解】（1）由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 6．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值. （2）利用反证法可证三角不等式有解； （3）先考虑时的范围，对于时，可利用（2）中的结论结合特值法求得，从而可得的最小值；或者先根据函数解析特征得，再结合特值法可得，结合（1）的结果可得的最小值. 【详解】（1）法1：， 因为，故，故， 当时，即， 当时，即， 故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. 法2：我们有 . 所以： . 这得到，同时又有， 故在上的最大值为，在上的最大值也是. （2）法1：由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解， 矛盾，故无解；故存在，使得， 法2：由余弦函数的性质知的解为， 若每个与交集都为空， 则对每个，必有或之一成立. 此即或，但长度为的闭区间上必有一整数， 该整数不满足条件，矛盾. 故存在，使得成立. （3）法1：记， 因为， 故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，在（2）中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 法2：设. ①一方面，若存在，使得对任意恒成立， 则对这样的，同样有. 所以对任意恒成立，这直接得到. 设，则根据恒成立，有 所以均不超过， 再结合， 就得到均不超过. 假设，则， 故. 但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分， 这三个点不可能都在直线左侧. 所以假设不成立，这意味着. ②另一方面，若，则由（1）中已经证明， 知存在，使得. 从而满足题目要求. 综合上述两个方面，可知的最小值是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项05 函数与导数 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近五年北京卷考情，导数是必考大题的重点跟难点，分值约15-17分． 命题趋势：导数大题稳居压轴位置，重点考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，以及不等式证明与零点问题。命题弱化复杂构造技巧，强化分类讨论思想与逻辑推理能力，注重导数作为研究函数工具的本质。 2026年预测：预计2026年仍以指数函数、对数函数或三角函数为载体，考查含参函数的单调性讨论与不等式恒成立问题。与实际优化问题结合的情境化试题可能出现，同时导数与数列、概率综合的新题型值得关注。 备考核心：重点掌握含参函数的分类讨论标准（以导函数零点为核心），熟练运用分离参数法处理恒成立问题。强化从几何意义理解导数，提升构造函数证明不等式与处理隐零点问题的综合能力。 题型01 导数与极值（点） 析典例·建模型 1．（2025·北京昌平·二模）已知函数，其中． (1)当时， ①若，求函数的最大值； ②若直线是曲线的切线，且经过点，证明：； (2)当时，若是函数的极小值点，求的取值范围． 研考点·通技法 1、用导数求函数极值的方法： （1）先确定函数的定义域； （2）求导数，求的根 （3）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 注意：可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号。 2、根据极值点求参 （1）根据求极值的方法求导数，令 （2）根据极值点的个数跟情况，对方程进行参数的讨论。 注意需要验证极值的存在，因为是为极值点的不充分条件。 破类题·提能力 1．（2025·北京朝阳·二模）已知函数． (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围； (3)若存在极值点，且，求的值． 2．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知，， (1)当时，讨论的单调性； (2)设，若在上有极值点： ①求的取值范围 ②证明：． 3．（2025·北京西城·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围． 题型02 根据单调性求参 析典例·建模型 1．（2025·北京门头沟·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数的单调性； (3)若在定义域上单调递减，求的取值范围. 研考点·通技法 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）函数在区间上单调，实际上就是在该区间上（或）恒成立． （2）函数在区间上存在单调区间，实际上就是（或）在该区间上存在解集． 破类题·提能力 1．（2026·北京密云·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若4是的极小值点，证明此时的极大值小于零； (3)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围. 2．（2025·北京·三模）设函数 ，且在处的切线方程为. (1) 求k的值； (2) 求的单调区间； (3) 设为在点切线方程，是否存在t使得函数单调？若存在，求出所有t的值；如不存在，说明理由. 题型03 恒成立问题求参 析典例·建模型 1．（2026·北京平谷·一模）已知函数． (1)当，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求函数极值点的个数； (3)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 研考点·通技法 1、恒成立问题（任意）  恒成立，只需（大于最大的最小值）。  恒成立 ,只需（小于最小的大值）。 技巧：优先考虑参变分离，若分离后函数复杂，再直接求导讨论。 注意问题： 1、端点取舍（是否取等） 若题中是 > 或 <（不带等号），检查端点值时，若恰好相等，需验证能否取到（开区间取不到则恒成立不成立；闭区间能取到则不等式不成立）。 2、分离参数后的定义域 分离为时，要注意 的取值范围（特别是分母不能为零）。若区间是开的，的最大值可能取不到，此时 只能取该极限值（但需结合等号验证）。 3、混淆“恒成立”与“能成立” 求出的参数范围正好相反。记反会导致答案全错。 4、忽略参数在函数中的位置 若参数不能彻底分离，需根据函数类型分类讨论（如二次函数开口、判别式、对称轴）。此时画草图辅助最稳妥。 破类题·提能力 1．（2026·北京延庆·一模）已知函数，，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)是否存在a，使得不等式恒成立，若存在，求出a的所有值；不存在，请说明理由． 2．（2025·北京海淀·三模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)当时，若对任意的，恒成立，求的取值范围． 题型04 能成立问题求参 析典例·建模型 1．（2025·北京海淀·三模）已知． (1)当时，求函数的极值点和极值； (2)时，求函数在上的最小值； (3)若不等式的解集非空，求a取值范围． 研考点·通技法 能成立/存在性问题（存在 ） 存在 使 成立 →→ 只需（存在大于，找最大的）。 存在  使 成立 →→ 只需 （存在小于，找最小的）。 口诀：恒成立是“所有都满足”，能成立是“有一个就行”。 核心：分清任意与存在，对应的是“最值对最值”。 破类题·提能力 1．（25-26高三上·北京·月考）已知函数. (1)若时，求曲线在处切线的斜率； (2)求的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 2．（2025·安徽·二模）已知函数，，其中函数的导函数为. (1)当时，求函数在上的单调性； (2)证明：当时，在上存在极大值点，且； (3)证明：，使得恒成立. 题型05 零点问题 析典例·建模型 1．（2025·北京海淀·一模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线为，求的值； (2)若为上的单调函数，求的取值范围； (3)若函数，求证：可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点． 研考点·通技法 利用导数研究函数零点（或方程根）问题，核心是 “看单调性，算端点值，数形结合找交点” 1、单调性分割：求导确定函数的单调区间。函数在每一个单调区间内至多存在一个零点。 2、找端点符号： 计算每个单调区间两端的函数值（或极限值，如 ）。 异号（一正一负）该区间内有且仅有 1个 零点。 同号（同正或同负）该区间内 无 零点。 有一端为0 该端点即为零点，需注意区间开闭。 3、含参讨论（难点） 若函数含参数，参数的取值会改变图象的高低或单调性。 临界状态：找到“恰好相切”的情况（即极值点刚好在 x 轴上，此时零点个数变化）。通常令极值 =0 解出参数临界值。 按参数分类：以临界值为分界，分别讨论不同区间内零点个数。 破类题·提能力 1．（2025·北京朝阳·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求证：当时，； (3)若函数有个不同的零点，求的取值范围． 增 极大值 减 极小值 增 2．（2025·北京·模拟预测）已知函数. (1)若函数的极值点在内，求m的取值范围； (2)若有两个零点，求m取值的范围. 题型06 证明不等式 析典例·建模型 1．（2025·北京·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在处的切线的倾斜角； (2)若是函数的极值点， （i）求实数的值； （ii）设函数．证明：． 研考点·通技法 一、利用导数证明不等式恒成立，核心是 “构造函数，找最值”。 1、移项构造：将所有项移到一边，化为（或）的形式。目标是证明 的最值满足条件。 2、求导定单调：对F(x) 求导，分析导数正负，判断函数在给定区间上的单调性。 3、比较端点或极限 若 单调递增，则最小值在左端点，证明左端点值 ≥0（注意端点是否能取等）。 若 单调递减，则最大值在左端点，证明左端点值 ≤0。 若先减后增（有极小值），求出极小值点，证明极小值 ≥0。 二、当直接构造复杂时 1、放缩法：将复杂函数替换为更简单的中间函数（如 ，），但需注意放缩方向要一致。 2、拆分法：将不等式拆成两个函数，分别求最值，证明一个的最小值大于另一个的最大值。 3、分段讨论：当导数符号复杂时，可分割区间分别证明。 破类题·提能力 1．（2025·北京顺义·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，求证：是上的单调递减函数； (3)求证：当时，. 2．（25-26高三上·北京石景山·期末）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程： (2)若有两个极值点，求的取值范围： (3)当时，求证：． 题型07 双变量问题 析典例·建模型 1．（2026·北京·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的极值； (3)已知，函数有两个不同的零点，和一个极值点，记，，，试判断与的大小关系，并说明理由． 研考点·通技法 将双变量问题转化为单变量问题：通过两变量之间的等量关系（如极值点、零点、对称轴）或不等关系（如区间端点），将问题转化为关于一个变量的函数进行研究。 常见类型与处理方法 1、极值点偏移：常用构造对称函数或比值代换法，将双变量问题转化为单变量函数的单调性问题。 2、双变量不等关系：常用方法是将不等式变形后构造函数，利用单调性证明；或固定一个变量，研究另一个变量。 3、用参数统一变量：若两变量均与参数有关，可先消去参数，找到两变量的直接关系（如 为定值），再代入原式转化为单变量函数。 4、比值代换：对于形如的结构，可设或，将双变量转化为关于 t 的单变量函数求解。 破类题·提能力 1．（2025·北京海淀·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的极值点个数； (3)若且时，都有成立，直接写出的取值范围． 2．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数 . (1)若，求函数的极值； (2)若 时，，求a的取值范围； (3)若函数有两个极大值点 ，求 的范围. （建议用时：60分钟） 刷模拟 1．（2025·北京·模拟预测）已知函数，. (1)求斜率为1的切线方程； (2)若对于任意，任意，总有，求的最大值； (3)若有4个极值点，求的取值范围. 2．（2025·北京大兴·三模）已知函数，其中． (1)求的单调区间； (2)若恒成立． ①求实数的值； ②判断方程的根的个数，并说明理由． 3．（2025·北京·三模）已知函数，，． (1)若在点处的切线平行于直线：，求的值； (2)求的单调区间； (3)当时，求证：对任意，恒有成立． 4．（2025·北京海淀·三模）已知函数，曲线在点处的切线斜率为． (1)求的值． (2)求在上的零点个数． (3)证明：在上存在两个零点，且． 5．（2025·北京·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)①求证：只有一个零点； ②记的零点为，曲线在处的切线l与x轴的交点横坐标为，若，求u的取值范围. 6．（2025·北京通州·一模）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)曲线在点处的切线为l，记l与y轴交点的纵坐标为，求的最大值； (3)若有两个根，，写出a的范围并证明. 7．（2025·北京东城·一模）设函数，曲线在处的切线方程为. (1)求的值； (2)求不等式的解集； (3)已知，其中，直线的方程为.若，且，求证：. 8．（25-26高三上·北京通州·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围； (3)若，求证：对任意，，当时，不等式恒成立. 9．（25-26高三上·北京丰台·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，. 10．（2025·北京·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. (1)当时，求在处的切线方程; (2)若在区间上不是单调函数，求的取值范围； (3)若当时，恒成立，求的取值范围. 刷真题 1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 2．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 3．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 4．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 5．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 6．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $