专项复习六 挑战压轴题-第2章 相交线与平行线-2025-2026学年北师大版数学七年级下册同步培优讲义

2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 专项复习六 挑战压轴题 （第二章 相交线与平行线） 【北师大版七下●新教材】 题型分类讲练 1 压轴题型讲练一 求一个角的余角 1 压轴题型讲练二 求一个角的补角 3 压轴题型讲练三 与余角、补角有关的计算 5 压轴题型讲练四 同(等）角的余(补)角相等的应用 6 压轴题型讲练五 画垂线 7 压轴题型讲练六 垂线段最短 8 压轴题型讲练七 两直线平行同位角相等 9 压轴题型讲练八 两直线平行内错角相等 10 压轴题型讲练九 两直线平行同旁内角互补 12 压轴题型讲练十 根据平行线的性质探究角的关系 13 压轴题型讲练十一 根据平行线的性质求角的度数 15 压轴题型讲练十二 平行线的性质在生活中的应用 17 压轴题型讲练十三 根据平行线判定与性质求角度 18 压轴题型讲练十四 根据平行线判定与性质证明 20 能力提升训练 22 压轴题型讲练一 求一个角的余角 【典例精讲】已知，在内部，． (1)如图1，若，求度数； (2)如图2，若平分，请说明：； (3)如图3，若在的外部分别作，的余角，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 【变式训练】（24-25七年级上·吉林长春·期末）点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)若射线平分，如图1，若，求的度数． 请把下列解题过程补充完整： ，（已知）， ____________． 平分（已知）， ____________（角平分线定义）． （已知）， ____________． (2)在（1）的前提下，若，求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图2，反向延长，得到直线，若，平分，现将三角板以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒，当平分时，请直接写出t的值． 压轴题型讲练二 求一个角的补角 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·月考）如图，直线与相交于点是的平分线． (1)请写出图中的所有的补角； (2)如果 ．求的度数． (3)在(2)的条件下，经过点O在内部作射线，使得，求的度数． 【变式训练】（24-25七年级上·北京怀柔·期末）已知：如图1，在直线上取一点O，以点O为端点作射线，，分别作平分，平分，令，． (1)如图2，若与重合，其中，，则________； (2)如图3，B，C为直线同侧的点，，是钝角， ①依题意，在图3中画出射线及的平分线； ②求的度数（用含α的式子表示）； (3)当，都是锐角时，直接写出的角度（若不是确定角度则用含α，β的代数式表示）． 压轴题型讲练三 与余角、补角有关的计算 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）如图，点O是量角器的中心点，射线经过刻度线90，若，射线分别经过刻度线40和60，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线165；③若，则图中共有6对角互为余角．其中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练】（25-26七年级上·福建福州·期末）若、满足，则我们称是的“倍补角”．例如若，，则是的“倍补角”． (1)若是的“倍补角”，， ； (2)如图，已知，若在直线的上方存在射线、，使得是的“倍补角”，且与互余，求的大小； (3)如图，已知，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为秒（），当是的“倍补角”时，求此时的值． 压轴题型讲练四 同(等）角的余(补)角相等的应用 【典例精讲】某节数学课后，小明同学在完成数学作业时，碰到了如下问题，请你跟小明一起来完成吧． (1)比较图中与的大小：___________；（填“>”“＜“”或“=”） (2)利用量角器画一个角，使得（点不在射线上）； (3)利用能够画直角的工具（如直角三角板）画一个角，使得与共顶点，且．（保留画图痕迹） 【变式训练】（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，射线在内部，射线在射线左侧，． (1)当时，试比较与的大小，并说明理由； (2)在（）的条件下，若，射线，分别平分与，求的度数； (3)若，，都在内部，过点作射线，使 ，试探究与的数量关系． 压轴题型讲练五 画垂线 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 【变式训练】（25-26六年级上·吉林长春·期末）在如图所示的方格纸中，是的边上的一点，按下列要求画图并回答问题． (1)过点画的垂线，交于点，该垂线若经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为． ①线段的长度是点到_____的距离，______是点到的距离； ②线段、、、的大小关系是_______（用“<”号连接），依据是：_______． (3)过点画直线，（点与点在直线的同侧）若，则____（用含的代数式表示）． 压轴题型讲练六 垂线段最短 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）如图，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________． 【变式训练】（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，已知点在的一边上．按要求画图并填空： (1)过点画直线，与的另一边相交于点； (2)过点画的垂线段，垂足为点； (3)过点画直线，交于点D； (4)点到直线的距离是线段___________的长度． (5)线段和线段长度的大小关系为：___________，理由：___________． 压轴题型讲练七 两直线平行同位角相等 【典例精讲】（24-25七年级下·河北·期末）综合与实践 【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“平行线与三角板”为主题开展数学活动．已知直线 ，在直角三角板中，． 【操作发现】 （1）如图所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点H，边与相交于点D．当时，发现 ．请说明理由； 【深入探究】 （2）如图所示，将图（1）中三角板的直角顶点B放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点P和Q，得到和，试探究和的数量关系并说明理由．以下是小刚同学的解题思路：过点B作和其中一条直线的平行线，再利用平行线的有关知识就能解决问题． 请你帮助小刚同学书写完整的解题过程，或用其它方法解决； 【拓展运用】 （3）受小刚同学的启发，同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点O，如图所示，请直接写出的度数． 【变式训练】如图，直线分别交直线于点G，H，射线分别在和的内部，且．    (1)若和互补． ①求的度数； ②当，且时，求的度数； (2)设，．若，求m，n满足的等量关系． 压轴题型讲练八 两直线平行内错角相等 【典例精讲】（25-26七年级上·海南儋州·期末）在南海海域巡航任务中，我国海警船在某观察点A处，发现其东偏北的方向B处，有一艘不明船只，我国另外一艘处于C处的海警船也发现了其东南方向的B处的不明船只，则此时两艘海警船与不明船只的连线夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·江西赣州·期末）课本再现： 一般地，平行线具有性质： 性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 性质：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 性质：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． (1)【初步探究】如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数．李华通过做辅助线实现等角转换，请你根据这一思路完成这题． (2)【方法运用】如图，已知，试说明，，之间的关系，并证明． (3)【解决问题】如图，已知，点在点的右侧，，点在点的左侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间，求的度数． 压轴题型讲练九 两直线平行同旁内角互补 【典例精讲】（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】已知：，直线交于点，交于点，点在上，点在直线右侧，且在直线和之间，连接、．      (1)如图，连接，若平分，，，，求的度数； (2)如图，若平分，的平分线所在的直线与相交于点，则与之间的数量关系是什么，并说明理由． 压轴题型讲练十 根据平行线的性质探究角的关系 【典例精讲】（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（__________________） ∵．（已知） ∴．（__________________） ∴．（__________________） ∵．（角的和差定义） ∴______．（等量代换） (2)如图2，若，，，则______°； (3)如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 【变式训练】（25-26七年级上·福建厦门·期末）厦门市跨年晚会的无人机激光秀表演广受欢迎，如图1，无人机A在直线上，无人机B在直线上，且，其中．现从A发射一道激光射线，从B发射一道激光射线． (1)当平分，平分时，求与的数量关系； (2)若射线与射线均在直线与之间，且与交于点P（P不在线段上），请求出、与的数量关系并说明理由； (3)若，射线与射线同时从，出发，射线以每秒的速度绕点A逆时针转动，射线以每秒的速度绕点B顺时针转动到后立即以原速回转至，当射线转动到时，与同时停止转动．设运动时间为t秒，在这个过程中，是否存在t使得，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 压轴题型讲练十一 根据平行线的性质求角的度数 【典例精讲】如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线，若射线的位置保持不变，且．将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方．将直角三角板绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，______，______． (2)在旋转的过程中，当边与射线相交时（如图3），则______． (3)直角三角板旋转的过程中，当旋转时间______秒时，边所在的直线与所在的直线平行？ 【变式训练】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则的值为________； （2）当与平行时，求的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________． 压轴题型讲练十二 平行线的性质在生活中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）下图所示的是一种躺椅的简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G，D，AB与DM交于点N．当，时，人躺着最舒服．求此时扶手AB与前支架OE的夹角和扶手AB与靠背DM的夹角的度数． 压轴题型讲练十三 根据平行线判定与性质求角度 【典例精讲】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）数学实验：玩转三角板 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，． (1)填空：与的数量关系是_________，理由是_________； (2)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合．探究一下问题： ①当时，画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？若存在，请画出图形直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 压轴题型讲练十四 根据平行线判定与性质证明 【典例精讲】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知：，一块直角三角板中，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． (1)如图1，若，则___________°； (2)若的平分线交边于点F， ①如图2，当，且时，试说明：； ②如图3，当保持不变时，试求出与之间的数量关系． 【变式训练】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，直线交，于，． (1)如图1，点在直线与直线之间，证明：； (2)如图2，点在直线上，位于点右侧，点在直线上，且在直线上方，点在直线与直线之间，，，若，求． (3)如图3，，点在直线上（在点左侧），点在直线与直线之间，与的角平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 1．（25-26七年级上·江西九江·期末）汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26七年级上·云南玉溪·期末）黄赤交角，是指地球公转轨道面（黄道面）与赤道面（天赤道面）的交角，目前，这个角约为，黄赤交角的存在使得地球上有了四季变化．如图是黄赤交角的示意图，其中地轴与赤道面的夹角为，则图中的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，为平行线之间一点，连接，，为上方一点，连接，，为延长线上一点．若，分别平分，，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 6．老师在上课时不小心将一副含的三角板掉落在地上，直角顶点刚好落在瓷砖的边线上，如图，若，则的度数是________． 7．（24-25七年级下·天津·期中）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分 ．其中正确结论的是_________． 8．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知直线，，，的角平分线与的角平分线交于点，则________． 9．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，已知，和分别平分和，若，则_____． 10．（25-26七年级下·全国·周测）如图①所示的是北斗七星的位置图，如图②所示的是将北斗七星分别标记为，，，，，，，并将，，，，，，顺次首尾连接的示意图．若恰好经过点，且， ，，则的度数为____________． 11．（25-26七年级下·全国·单元测试）（1）如图，直线与相交于点，射线在内部，且于点．若，求的度数； （2）如图，已知，，求的度数． 12．（25-26八年级上·山西太原·期末）综合与实践 问题情境：如图，已知直线，将直角三角板（其中，）的顶点，分别放在直线上，点在直线左侧，且在之间． 初步探究：（1）请用等式表示和之间的数量关系，并说明理由； 深入探究：（2）如图，在（）的基础上，分别作和的平分线，两线交于点，则的度数为___________． 13．如图1，线段，若点E是平面内一点且点E不在所在的直线上，连接，作的角平分线与的角平分线交于点G． (1)如图2，若点E在所在直线的上方， ①若，则 ； ②若，则 ； ③探究与的数量关系，并说明理由． (2)若点E在平面内其它位置时，与之间的数量关系是否与（1）相同？画图探究，并根据图形直接写出与之间的数量关系． 14．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，满足． (1)如图1，求证：．下面是小益给出的证明，请你根据他的思路，将横线上的内容补充完整： 证明：（已知）； （______）． ∵EFGH（已知）； ∴______（两直线平行，同位角相等）． ∴∠1＝∠2（    ）． (2)如图2，过F点作交GH延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，请问是否存在为定值，使得平分？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 15．（25-26八年级上·山西晋中·期末）材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 专项复习六 挑战压轴题 （第二章 相交线与平行线） 【北师大版七下●新教材】 题型分类讲练 1 压轴题型讲练一 求一个角的余角 1 压轴题型讲练二 求一个角的补角 5 压轴题型讲练三 与余角、补角有关的计算 10 压轴题型讲练四 同(等）角的余(补)角相等的应用 14 压轴题型讲练五 画垂线 17 压轴题型讲练六 垂线段最短 19 压轴题型讲练七 两直线平行同位角相等 22 压轴题型讲练八 两直线平行内错角相等 26 压轴题型讲练九 两直线平行同旁内角互补 28 压轴题型讲练十 根据平行线的性质探究角的关系 31 压轴题型讲练十一 根据平行线的性质求角的度数 36 压轴题型讲练十二 平行线的性质在生活中的应用 41 压轴题型讲练十三 根据平行线判定与性质求角度 44 压轴题型讲练十四 根据平行线判定与性质证明 48 能力提升训练 55 压轴题型讲练一 求一个角的余角 【典例精讲】已知，在内部，． (1)如图1，若，求度数； (2)如图2，若平分，请说明：； (3)如图3，若在的外部分别作，的余角，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)，理由见详解 【思路引导】本题考查了角的和差、角平分线的定义及余角的概念． （1）通过与的关系求出，进而求出； （2）利用角平分线性质和角的和差关系进行推导； （3）根据余角的性质得到与、与的关系，再结合角的和差关系探究三者数量关系． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25七年级上·吉林长春·期末）点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)若射线平分，如图1，若，求的度数． 请把下列解题过程补充完整： ，（已知）， ____________． 平分（已知）， ____________（角平分线定义）． （已知）， ____________． (2)在（1）的前提下，若，求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图2，反向延长，得到直线，若，平分，现将三角板以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒，当平分时，请直接写出t的值． 【答案】(1)（或），，，，， (2) (3)或 【思路引导】（1）由邻补角互补可得，由角平分线的定义可得，由和互余可得，由此即可求出的度数； （2）按照（1）的推导方法进行推导即可：由邻补角互补可得，由角平分线的定义可得，由和互余可得，由此即可求出的度数； （3）由角平分线的定义可得，当平分时，分两种情况讨论：①平分；②平分；分别列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：将解题过程补充完整如下： ，（已知）， ， 平分（已知）， （角平分线定义）， （已知）， ， 故答案为：（或），，，，，； （2）解：，， ， 平分， ， ， ； （3）解：，平分， ， 当平分时，分两种情况讨论： ①平分， 此时，， 由题意可得：， 解得：； ②平分， 此时，， ， 由题意可得：， 解得：； 综上，当平分时，或． 【考点剖析】本题主要考查了一元一次方程的应用（几何问题），几何图形中角度计算问题，角平分线的有关计算，求一个角的余角，利用邻补角互补求角度等知识点，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． 压轴题型讲练二 求一个角的补角 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·月考）如图，直线与相交于点是的平分线． (1)请写出图中的所有的补角； (2)如果 ．求的度数． (3)在(2)的条件下，经过点O在内部作射线，使得，求的度数． 【答案】(1)都是的补角 (2) (3)或 【思路引导】此题主要考查了补角、垂直、以及角的计算，关键是理清图中角之间的和差关系． （1）首先根据垂直定义可得，然后再证明，根据补角定义可得都是的补角； （2）根据角平分线定义可得，再根据条件 ，可得的度数，然后即可算出的度数； （3）设的度数为x，则，分两种情况：①当在的上方时，如图1，②当在的下方时，如图2，根据和的关系列方程可解答． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴都是的补角； （2）∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）设的度数为x，则， 分两种情况： ①当在的上方时，如图1， ∵， ∴， ， ∴， ②当在的下方时，如图2， ， ∴， ， ∴， 综上，的度数为或． 【变式训练】（24-25七年级上·北京怀柔·期末）已知：如图1，在直线上取一点O，以点O为端点作射线，，分别作平分，平分，令，． (1)如图2，若与重合，其中，，则________； (2)如图3，B，C为直线同侧的点，，是钝角， ①依题意，在图3中画出射线及的平分线； ②求的度数（用含α的式子表示）； (3)当，都是锐角时，直接写出的角度（若不是确定角度则用含α，β的代数式表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或或180°或 【思路引导】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键． （1）根据图根据题意得到，则问题可解； （2）①根据题意画图即可； ②由题意得到，进而得到，再由角平分线得到，根据图形表示即可； （3）分当，在直线同侧时和，在直线异侧且不同的大小关系，分别计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意，，， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为： （2）①由题意，画图如下， ②∵，平分， ∴， ∴, ∵,平分， ∴, ∴ （3）如图，当，在直线同侧时， 由题意，，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ 当，在直线异侧，且时，如图， 同理可求，∴， ∴ ； 当，在直线异侧，且时，如图， 同理可求，∴， ∴ ； 当，在直线异侧，且时，共线，，为对顶角的角平分线，则 综上，的角度为或或或 压轴题型讲练三 与余角、补角有关的计算 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）如图，点O是量角器的中心点，射线经过刻度线90，若，射线分别经过刻度线40和60，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线165；③若，则图中共有6对角互为余角．其中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了角的和差，互余和互补，解题的关键是掌握以上定义． 根据角的和差以及互余，互补的定义逐项进行判断即可． 【规范解答】解：①∵，，且， ∴， 故①正确； ②由量角器可得，， 当射线经过刻度线165时，经过刻度线145， ∴，， 此时，， 与不互补， 故②错误； ③如图所示， 由②得，， ∴， ∵射线经过刻度线90， ∴，， ∴， ∴和，和，和，和，和互为余角， 即共有6对角互为余角， 故③正确； 综上，正确的选项有①③， 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级上·福建福州·期末）若、满足，则我们称是的“倍补角”．例如若，，则是的“倍补角”． (1)若是的“倍补角”，， ； (2)如图，已知，若在直线的上方存在射线、，使得是的“倍补角”，且与互余，求的大小； (3)如图，已知，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为秒（），当是的“倍补角”时，求此时的值． 【答案】(1)； (2)； (3)的值为或． 【思路引导】本题考查了“倍补角”定义，角平分线定义，一元一次方程的应用，互余的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“倍补角”定义即可求解； （）分当在内时，当在内时，两种情况，画出图形，再通过“倍补角”定义，互余的性质求解即可； （）根据“倍补角”定义求出，又平分，平分，则，，然后分 ，（当射线旋转至射线的反向延长线之前，即），； （当射线旋转至射线的反向延长线之后，即），，两种情况求解即可． 【规范解答】（1）解：∵是的“倍补角”， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：当在内时，如图： 设， ∵且， ∴， ∵， 解得：， ∴，， 又∵与互余， ∴， ∴， ∴， ∴， 当在内时，如图： ∵， ∴与小于， 由，故不存在（舍去）， 综上，； （3）解：如图， ∵，， ∴ ∵平分，平分， ∴，， ∵射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点从出发以每秒的速度顺时针旋转， ∴，（当射线旋转至射线的反向延长线之前，即），， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （当射线旋转至射线的反向延长线之后，即），， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 即， 解得， 综上所述，的值为或． 压轴题型讲练四 同(等）角的余(补)角相等的应用 【典例精讲】某节数学课后，小明同学在完成数学作业时，碰到了如下问题，请你跟小明一起来完成吧． (1)比较图中与的大小：___________；（填“>”“＜“”或“=”） (2)利用量角器画一个角，使得（点不在射线上）； (3)利用能够画直角的工具（如直角三角板）画一个角，使得与共顶点，且．（保留画图痕迹） 【答案】(1)> (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）使用量角器分别量的两个角的度数，即可得到答案； （2）用量角器量出的度数，再以为顶点，为边画出； （3）利用直角三角板，以为顶点，为边画出直角，再以以为顶点，为边画出直角，同角的余角相等，则． 【规范解答】（1）解：用量角器量得：， 故答案为：>； （2）用量角器量出的度数，再以为顶点，为边画出，如图所示： （3）利用直角三角板，以为顶点，为边画出直角，再以以为顶点，为边画出直角，则，如图所示： 【考点剖析】本题考查了作图，量角器、直角三角板的使用，熟练掌握同角的余角相等是解题的关键． 【变式训练】（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，射线在内部，射线在射线左侧，． (1)当时，试比较与的大小，并说明理由； (2)在（）的条件下，若，射线，分别平分与，求的度数； (3)若，，都在内部，过点作射线，使 ，试探究与的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3)或 【思路引导】（）由已知可得，进而由余角性质得，即可判断求解； （）由得，，进而由角平分线的定义得，，再根据角的和差关系即可求解； （）由题意得， ，再分两种情况：①在左侧；②在右侧，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，余角性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵射线，分别平分与， ∴，， ∴； （3）解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ①如图，当在左侧时， 设，则， ∴， ∴， ， ∴； ②如图，当在右侧时， 设，则， 同理可得，， ∴； 综上，或 ． 压轴题型讲练五 画垂线 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 【答案】(1)图见详解 (2) (3)，垂线段最短 【思路引导】本题主要考查了基本作图以及垂线的画法、点到直线的距离、垂线段最短，正确借助网格得出是解题关键． （1）利用垂线的定义结合网格进而得出直线、； （2）利用点到直线的距离得出答案； （3）利用垂线段的性质进而得出答案； 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：由（1）得，， ∴的长度是点A到直线的距离， 故答案为：； （3）解：∵垂线段最短， ∴由图可得， 故答案为：；垂线段最短． 【变式训练】（25-26六年级上·吉林长春·期末）在如图所示的方格纸中，是的边上的一点，按下列要求画图并回答问题． (1)过点画的垂线，交于点，该垂线若经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为． ①线段的长度是点到_____的距离，______是点到的距离； ②线段、、、的大小关系是_______（用“<”号连接），依据是：_______． (3)过点画直线，（点与点在直线的同侧）若，则____（用含的代数式表示）． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析；①，；②，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 (3) 【思路引导】此题考查的是网格作图，点到直线的距离，垂线的性质，掌握垂线的性质是解决此题的关键． （1）画出垂线，然后根据图形即可推出结论； （2）画出垂线，然后根据点到直线的距离以及垂线段最短可得结果； （3）作出图形后，再根据余角的定义即可解答． 【规范解答】（1）解：如图所示，图中该垂线经过的格点有点、、、． （2）解：如图所示． ①，， ∴线段的长度是点到的距离，是点到的距离． 故答案为：，． ②如图，，， ． ， ． ． 依据是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． （3）如图所示， ， ． ． ， ． ， ． 故答案为：． 压轴题型讲练六 垂线段最短 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）如图，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析；；垂线段最短 【思路引导】本题主要考查了格点作图，会过已知点作已知直线的垂线以及掌握垂线段最短是解题的关键． （1）取格点N，连接，根据格点特点可得； （2）根据题意作图即可； （3）取格点D，连接，交于点C，由网格线的特征易得，即可得到；根据过直线外一点作已知直线的垂线，这条垂线段的长度就做点到直线的距离；点到直线的所有连线中，垂线段最短即可解答． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求作的的垂线； ∵垂线段最短， ∴，， ∴． 【变式训练】（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，已知点在的一边上．按要求画图并填空： (1)过点画直线，与的另一边相交于点； (2)过点画的垂线段，垂足为点； (3)过点画直线，交于点D； (4)点到直线的距离是线段___________的长度． (5)线段和线段长度的大小关系为：___________，理由：___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) (5)＜，垂线段最短 【思路引导】本题考查作图-复杂作图，点到直线的距离，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）根据要求作出图形即可； （3）根据要求作出图形即可； （4）因为直线，所以，再根据点到直线的距离的定义，即可解决问题； （5）根据点到直线的距离的定义，解决问题即可． 【规范解答】（1）解：直线如图所示： （2）解：的垂线段如图所示： （3）解：直线如图所示： （4）点到直线的距离是线段的长度 （5）解：点A到直线的距离是线段的长度，因为垂线段最短，所以， 故线段和线段长度的大小关系为：，理由：垂线段最短． 压轴题型讲练七 两直线平行同位角相等 【典例精讲】（24-25七年级下·河北·期末）综合与实践 【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“平行线与三角板”为主题开展数学活动．已知直线 ，在直角三角板中，． 【操作发现】 （1）如图所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点H，边与相交于点D．当时，发现 ．请说明理由； 【深入探究】 （2）如图所示，将图（1）中三角板的直角顶点B放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点P和Q，得到和，试探究和的数量关系并说明理由．以下是小刚同学的解题思路：过点B作和其中一条直线的平行线，再利用平行线的有关知识就能解决问题． 请你帮助小刚同学书写完整的解题过程，或用其它方法解决； 【拓展运用】 （3）受小刚同学的启发，同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点O，如图所示，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）． 【思路引导】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是正确的作出辅助线； （1）根据同位角相等两直线平行和平行公理证明即可； （2）根据平行公理可证，再根据平行线的性质证明即可； （3）过点O作，则，根据平行线的性质可证，再根据平分线的定义可证，再根据平行线的性质即可得证． 【规范解答】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ，， ， ； （3）解：，理由如下： 过点O作， ， ， ，， ， ， ，分别平分，， ， ， ， ． 【变式训练】如图，直线分别交直线于点G，H，射线分别在和的内部，且．    (1)若和互补． ①求的度数； ②当，且时，求的度数； (2)设，．若，求m，n满足的等量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【思路引导】（1）①根据和互补，，即可求解；②先求出，由平行线的性质可得，再结合①中结论可得的度数； （2）设，可得，，再结合即可求解． 【规范解答】（1）解：① 和互补， ． ， ， ； ②由①得， ， ， 又 ， ， ． ， ， ； （2）解： ， ． 设， ，， ， ， 又 ， ， ， ， 即m，n满足的等量关系为． 【考点剖析】本题考查平行线的性质，角的和差关系，互补角的关系等，解题的关键是掌握平行线的性质． 压轴题型讲练八 两直线平行内错角相等 【典例精讲】（25-26七年级上·海南儋州·期末）在南海海域巡航任务中，我国海警船在某观察点A处，发现其东偏北的方向B处，有一艘不明船只，我国另外一艘处于C处的海警船也发现了其东南方向的B处的不明船只，则此时两艘海警船与不明船只的连线夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查方位角，平行线的性质，掌握方位角的概念及平行线的性质是解题的关键． 如图，过作水平线交于，则，，再根据平行线的性质求解即可． 【规范解答】如图，过作水平线交于， 由题意可得，， ，， ． 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·江西赣州·期末）课本再现： 一般地，平行线具有性质： 性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 性质：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 性质：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． (1)【初步探究】如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数．李华通过做辅助线实现等角转换，请你根据这一思路完成这题． (2)【方法运用】如图，已知，试说明，，之间的关系，并证明． (3)【解决问题】如图，已知，点在点的右侧，，点在点的左侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质，解决本题的关键是作已知直线的平行线，根据平行线的性质找角之间的关系． 过点作，根据平行线的性质可知，，根据平角的定义可知，等量代换可证结论成立； 过点作，根据平行线的性质可知，，根据周角定义可知； 过点作，根据平行线的性质可知，，根据角平分线的定义可知，，从而可知． 【规范解答】（1）解：如下图所示，过点作， ，， ， ； （2）解：， 证明：如下图所示，过点作， ， ， ，， ， ； （3）解：如下图所示，过点作， ， ， ，， 平分，平分，，， ，， ，， ． 压轴题型讲练九 两直线平行同旁内角互补 【典例精讲】（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行线的性质，由平行线的性质求出的度数，由平角定义即可求出∠DBC的度数． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【变式训练】已知：，直线交于点，交于点，点在上，点在直线右侧，且在直线和之间，连接、．      (1)如图，连接，若平分，，，，求的度数； (2)如图，若平分，的平分线所在的直线与相交于点，则与之间的数量关系是什么，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【思路引导】 （1）连接，由已知条件可得，结合结论可得，由平行线的性质及角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和定理可求解的度数； （2）根据平分，可设，根据四边形内角和可得，依据是的外角，可得，最后依据，即可得到与之间的数量关系． 【规范解答】（1）如图1，      连接，延长交于点，过作， ∴， ∴，， ∴，   ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2） ∵平分， ∴设， ∵， ∴， 在四边形中，， ∴， ∵是的外角， ∴， 又∵平分， ∴， 即， 整理可得，． 【考点剖析】此题考查的是平行线的性质，三角形外角性质及角平分线的定义的综合运用，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 压轴题型讲练十 根据平行线的性质探究角的关系 【典例精讲】（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（__________________） ∵．（已知） ∴．（__________________） ∴．（__________________） ∵．（角的和差定义） ∴______．（等量代换） (2)如图2，若，，，则______°； (3)如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等； (2)82 (3)，理由见解析 【思路引导】（1）过作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点作（点在点的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点作（点在点的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系． 【规范解答】（1）解：如图，过作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） （2）解：过点P作（点在点的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：，，之间的数量关系是：；理由如下： 过点作（点在点的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：． 【变式训练】（25-26七年级上·福建厦门·期末）厦门市跨年晚会的无人机激光秀表演广受欢迎，如图1，无人机A在直线上，无人机B在直线上，且，其中．现从A发射一道激光射线，从B发射一道激光射线． (1)当平分，平分时，求与的数量关系； (2)若射线与射线均在直线与之间，且与交于点P（P不在线段上），请求出、与的数量关系并说明理由； (3)若，射线与射线同时从，出发，射线以每秒的速度绕点A逆时针转动，射线以每秒的速度绕点B顺时针转动到后立即以原速回转至，当射线转动到时，与同时停止转动．设运动时间为t秒，在这个过程中，是否存在t使得，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)存在，当秒时，，理由见解析 【思路引导】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，列一元一次方程和解方程等知识点，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质，可得，再根据角平分线的定义，得，，等量代换即可求解； （2）过点P作，根据平行公理的推论，得，再根据平行线的性质，得，，等量代换即可求解； （3）根据题意，易得，，，根据t的取值范围分5种情况讨论，从而用含t的式子表示出和，再根据，列方程，求解判断即可． 【规范解答】（1）解： ， 平分，平分， ，， ； （2）结论：，理由如下： 如图，过点P作， 则， ， ， ， ； （3）存在，当秒时，，理由如下： 由题意得：，， ， ， 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 综上，在这个过程中，当秒时，． 压轴题型讲练十一 根据平行线的性质求角的度数 【典例精讲】如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线，若射线的位置保持不变，且．将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方．将直角三角板绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，______，______． (2)在旋转的过程中，当边与射线相交时（如图3），则______． (3)直角三角板旋转的过程中，当旋转时间______秒时，边所在的直线与所在的直线平行？ 【答案】(1)， (2) (3)或16 【思路引导】 （1）首先求出，然后由角平分线的定义求出；如图，过点M作，首先求出，然后由平行线的性质求出，，进而求解即可； （2）首先表示出，然后根据角的和差表示出和，然后代入求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论：直角三角板在直线上方和直角三角板在直线下方，然后分别求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； 如图，过点M作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）解：∵直角三角板绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当直角三角板在直线上方时， ∵， ∴， ∴， ∴（秒）； 如图，当直角三角板在直线下方时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）； 综上，当或16秒时，边所在的直线与所在的直线平行． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则的值为________； （2）当与平行时，求的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________． 【答案】（1）； （2）； （3）或 【思路引导】操作一： （1）利用和推出，结合三角板的内角得，根据旋转性质得旋转角，再由平行线的内错角相等建立方程求解； （2）通过延长线段、作平行线构造平行关系，利用平行线的同位角、内错角相等，结合三角板的固定角度算出旋转角的度数，进而建立关于的方程求解； 操作二：分与反向平行、同向平行两种情况，先作平行线构造平行关系，结合旋转性质表示出相关角度，再利用平行线的性质推出的表达式，结合的旋转角度表示出． 【规范解答】操作一： （1）解：∵，， ∴． ∴， ∵，， ∴， 由旋转可知，绕点逆时针旋转的角度为，即． ∴， 解得； （2）解：如图，延长线段，交直线于点，过点作直线，使，过点作，由平行公理的推论可得． ∵， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵绕点逆时针旋转的角度为，即， ∴，解得． 操作二： 解：①如图，当时，与反向平行，过点作直线，交于点，延长，交于点，过点作，则． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， 又∵，， ∴， 解得； ②如图，当时，与同向平行，过点作直线，交于点，交于点，则． 同理，． ∵， ∴， ∴， 解得； 综上，的值为或． 压轴题型讲练十二 平行线的性质在生活中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在某一时刻，使得，此时 (2)存在某一时刻，使得，此时的值为9或27 (3)存在某一时刻，使得，此时的值为9或27 【思路引导】（1）根据题意得：，连接，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （2）根据题意得：，设射线交于点G，过点G作，则，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （3）分两种情况讨论：当和相遇前时；当和相遇后时，结合一元一次方程解答即可． 【规范解答】（1）解：存在， 根据题意得：， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （2）解：存在， 根据题意得：， 分现况情况讨论： 如图，设射线交于点G，过点G作，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：， 如图，设射线交于点G，过点G作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时的值为9或27； （3）解：存在， 根据题意得：，， 当和相遇前时，， ∴， 解得：； 当和相遇后时，， ∴， 解得：； 综上所述，存在某一时刻，使得，此时或27． 【考点剖析】本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，解题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想进行解答． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）下图所示的是一种躺椅的简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G，D，AB与DM交于点N．当，时，人躺着最舒服．求此时扶手AB与前支架OE的夹角和扶手AB与靠背DM的夹角的度数． 【答案】60°， 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等． 由平行线的性质推出，由平角定义求出，由平行线的性质推出，由平角定义得到的度数． 【规范解答】解：由题意可知，，． ， ． ， ． ， ， ． 压轴题型讲练十三 根据平行线判定与性质求角度 【典例精讲】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【思路引导】本题考查平行线的判定和性质； （1）根据平行线的性质和判定进行填写即可； （2）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可； （3）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可． 【规范解答】解：（1）过点作直线，使． 因为， 所以．（两直线平行，内错角相等） 又因为， 所以 ． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以 ． 所以． （2）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 又因为，所以 ． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以 ∴ （3）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以 ∴ 所以 【变式训练】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）数学实验：玩转三角板 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，． (1)填空：与的数量关系是_________，理由是_________； (2)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合．探究一下问题： ①当时，画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？若存在，请画出图形直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，同角的余角相等 (2)①图见解析，；②存在，或或或或． 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定与性质，几何图形中的角度计算，余角的性质．数形结合并分类讨论是解题的关键． （1）由题意知，，则，然后作答即可； （2）①当时，作，则，根据，求解作答即可； ②由题意知，分四种情况求解作答即可． 【规范解答】（1）解：由题意知，， ， 故答案为：，同角的余角相等； （2）解：①如图3，当时，作， ，， ， ，， ， ； ②存在，如图3，当时，； 如图4， 当时，， ； 如图5， 当时，； 如图6， 当时，， ； 如图7， 当时，， ． 综上，这两块三角尺存在一组边互相平行，此时的值为或或或或． 压轴题型讲练十四 根据平行线判定与性质证明 【典例精讲】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知：，一块直角三角板中，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． (1)如图1，若，则___________°； (2)若的平分线交边于点F， ①如图2，当，且时，试说明：； ②如图3，当保持不变时，试求出与之间的数量关系． 【答案】(1)46 (2)①见解析，② 【思路引导】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点作，根据，可得，根据平行线的性质可得； （2）①根据平行线的性质和角平分线定义即可说明；②当保持不变时，总有，在直角三角形中，，可得，根据和角平分线的定义，即可求出与α之间的数量关系． 【规范解答】（1）解：如图，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：46； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵当保持不变时，总有， 在直角三角形中，， ∴， ∵， ∴，且， ∵平分， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，直线交，于，． (1)如图1，点在直线与直线之间，证明：； (2)如图2，点在直线上，位于点右侧，点在直线上，且在直线上方，点在直线与直线之间，，，若，求． (3)如图3，，点在直线上（在点左侧），点在直线与直线之间，与的角平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【思路引导】本题考查了平行线的性质求角度，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）过点作，进而得出，则，即可得证； （2）过点作，设，，根据平行线的性质可得，，根据可得，由（1）可得，根据已知即可得出，进而即可求解； （3）根据平行线的性质可得，，设，根据角平分线的定义可得，分三种情况讨论，结合（1）的结论，即可求解． 【规范解答】（1）证明：如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：如图所示，过点作， 设， ∵ ∴ 设 ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 由（1）可得 ∵ ∴ ∴ ∴ （3）解：∵， ∴， 设 ∵与的角平分线交于点， 设 如图所示， ∵ 由（1）可得， ∴ ； 如图所示， 由（1）可得， ∴ 如图所示， 由（1）可得， ∴ 综上所述，或或 1．（25-26七年级上·江西九江·期末）汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了垂线和角的计算，根据，得，所以，再根据，得，即可得． 【规范解答】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了垂线段，解题的关键是掌握垂线的性质，以及点到直线的距离，是垂线段的长度． 根据垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段；垂线段的性质：垂线段最短；垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可得答案． 【规范解答】解：①过点有且只有一条直线垂直于直线，该说法正确，符合题意； ②线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法错误，不符合题意； ③线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法正确，符合题意； ④线段的长是点到直线的距离，该说法正确，符合题意； 正确的说法为①③④，有个， 故选：C． 3．（25-26七年级上·云南玉溪·期末）黄赤交角，是指地球公转轨道面（黄道面）与赤道面（天赤道面）的交角，目前，这个角约为，黄赤交角的存在使得地球上有了四季变化．如图是黄赤交角的示意图，其中地轴与赤道面的夹角为，则图中的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查角度的计算，掌握角度的相邻进制为60是解题的关键；用即可． 【规范解答】解：∵地轴与赤道面的夹角为， ∴， ∵， ∴ 故选A． 4．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，过点作，根据平行线的性质分别表示出、，根据，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点作 ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴ 又∵射线平分， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D． 5．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，为平行线之间一点，连接，，为上方一点，连接，，为延长线上一点．若，分别平分，，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】通过作平行线，利用平行线的性质将角进行转化，结合角平分线的定义，推导出与的数量关系． 【规范解答】解:如图，过点作，过点作． ∵ ， ∴， ∴，． ∵ ，分别平分，， ∴，，， ∴． ∵ ， ∴， ∴． ∵ ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【考点剖析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，解题关键是通过作平行线将角进行转化，结合角平分线的定义建立角之间的数量关系． 6．老师在上课时不小心将一副含的三角板掉落在地上，直角顶点刚好落在瓷砖的边线上，如图，若，则的度数是________． 【答案】/155度 【思路引导】通过作辅助线，利用平行线的性质，将和与三角板的角建立联系，进而求解． 【规范解答】过三角板的角的顶点作直线， 由题意可得：，，， ，， ． 7．（24-25七年级下·天津·期中）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分 ．其中正确结论的是_________． 【答案】② 【思路引导】延长，交于，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答． 【规范解答】解：延长，交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故①错误；②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 可见，的值未必为，只要和为即可， 故③④不一定正确． 8．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知直线，，，的角平分线与的角平分线交于点，则________． 【答案】142 【思路引导】本题考查平行线的判定及性质，角平分线，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． 过点B作，过点C作，得到，因此，，，根据角的和差可得，从而有，根据角平分线的定义得到．过点E作，则，因此． 【规范解答】解：过点B作，过点C作， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：142． 9．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，已知，和分别平分和，若，则_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义及方程思想，过点E作，过点F作，根据平行公理的推论得出，再利用平行线的性质，推导出内错角相等，结合角平分线定义，设未知数表示角度，表达和，结合已知条件列出方程，最后化简方程求解β，进而求． 【规范解答】解：如图，过点E作，过点F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∵平分，平分， ∴，， 设，， 则，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 10．（25-26七年级下·全国·周测）如图①所示的是北斗七星的位置图，如图②所示的是将北斗七星分别标记为，，，，，，，并将，，，，，，顺次首尾连接的示意图．若恰好经过点，且， ，，则的度数为____________． 【答案】 【思路引导】通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质，结合与，建立角的等式关系，最终推导出的值． 【规范解答】解：过点作， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 已知，， ∴ ． ∵， ∴． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了平行线的性质和辅助线的构造．解题关键是通过构造平行线，将分散的角关联起来，再结合已知等式进行角度代换与计算． 11．（25-26七年级下·全国·单元测试）（1）如图，直线与相交于点，射线在内部，且于点．若，求的度数； （2）如图，已知，，求的度数． 【答案】（1）（2） 【思路引导】（1）利用垂直的定义得到直角，再结合邻补角的性质和对顶角相等来求解角度； （2）通过同位角相等判定两直线平行，再利用平行线的性质和邻补角的关系求解角度． 【规范解答】解：（1）， ． ， ， ． （2）， ，． ， ． 【考点剖析】本题考查了对顶角相等、垂直的定义、平行线的判定与性质等知识点，解题关键是熟练运用角度关系和平行线的判定性质进行推导． 12．（25-26八年级上·山西太原·期末）综合与实践 问题情境：如图，已知直线，将直角三角板（其中，）的顶点，分别放在直线上，点在直线左侧，且在之间． 初步探究：（1）请用等式表示和之间的数量关系，并说明理由； 深入探究：（2）如图，在（）的基础上，分别作和的平分线，两线交于点，则的度数为___________． 【答案】（），理由见解析；（）． 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作，则有，所以，，然后通过角度和差即可求解； （）过作，则有，所以，，则有，又平分，平分，则，，根据平行线的性质可得，从而得，则，从而求解． 【规范解答】解：（），理由， 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （）如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图1，线段，若点E是平面内一点且点E不在所在的直线上，连接，作的角平分线与的角平分线交于点G． (1)如图2，若点E在所在直线的上方， ①若，则 ； ②若，则 ； ③探究与的数量关系，并说明理由． (2)若点E在平面内其它位置时，与之间的数量关系是否与（1）相同？画图探究，并根据图形直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①；②；③；理由见解析 (2)不同，见解析 【思路引导】（1）作，根据平行线的性质，结合角平分线的定义以及角的和差关系推出，再逐一进行作答即可； （2）分三种情况分别画图，作答即可． 【规范解答】（1）解：作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵作的角平分线与的角平分线交于点G， ∴， ∴； ①当时，； ②当时，； ③， 理由：由上可知：， ∴； （2）解：不同，当点在之间时，分2种情况： ①如图：作，则， ∴， ∴， 同理：， ∵作的角平分线与的角平分线交于点G， ∴， ∴； ②如图：作，则， 则：， ∴， 由①知：， ∴， ∴； 当点在下方时，如图： 同（1）法可知：． 14．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，满足． (1)如图1，求证：．下面是小益给出的证明，请你根据他的思路，将横线上的内容补充完整： 证明：（已知）； （______）． ∵EFGH（已知）； ∴______（两直线平行，同位角相等）． ∴∠1＝∠2（    ）． (2)如图2，过F点作交GH延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，请问是否存在为定值，使得平分？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；等量代换 (2) (3)存在，定值为 【思路引导】本题考查角平分线的性质、平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握平行线的性质，作出辅助平行线是解题的关键． （1）根据平行线的性质，结合等量代换进行证明即可； （2）过点N作，设、，进而得到，结合垂线的性质得到，进而得到，从而得到； （3）由结合（2）中的结论，得、，进而得到，及，由角平分线的性质得到，再根据平行线的性质得到，进而得到，从而计算的值． 【规范解答】（1）证明：（已知）； （两直线平行，内错角相等）． （已知）； （两直线平行，同位角相等）． （等量代换）， 故答案为：两直线平行，内错角相等；；等量代换； （2）解：如图2，过点N作， ， ， 、， 、是、的角平分线， ∴、， 设、， 、， ， ， 、， ， ， ， ； （3）解：由（2）知，设、， ， ， ， ， ， 、， ， ， 、， 平分， ， ， ， ， ． 15．（25-26八年级上·山西晋中·期末）材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【思路引导】本题考查平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）选择明明同学，由，，得，由平行线的性质得，，，进而即可证明；选择欣欣同学，由平行线的性质得，，推出，进而即可证明； （2）过点P作，根据平行线的性质求出和，进而即可求解； （3）过点P作，过点N作，延长交于点Q，则，根据平行线的性质得，，进而证明，根据推出，进而可得，再根据平行线的性质得，，通过等量代换即可求解． 【规范解答】解：（1）选择明明同学，证明过程如下： ，， ， ， ， ， ， ； 选择欣欣同学，证明过程如下： ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图 ，过点P作， 则， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， 即的度数为； （3）如图 ，过点P作，过点N作，延长交于点Q， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， 即的度数是． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $