专题05 相交线与平行线中动角问题的两种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版七年级下册

专题05 相交线与平行线中动角问题的两种考法 类型一、求动点运动时间问题 1．已知分别在上． (1)点在之间，连接， ①如图1，若，求的度数； ②如图2，分别过点E、F的射线交于直线下方的点，若，，求与的数量关系； (2)如图3，射线从开始，绕E点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从开始，绕F点以每秒的速度顺时针旋转，直线与直线交于P，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒（）的值． 2．已知直线，点E和点F分别在直线和上． (1)如图1，射线平分交于点G，若，求度数； (2)如图2，射线平分，点M是射线上一点（不包括端点F），点N为的平分线上一点（不包括端点E），连接，延长交射线于点H，猜想与的关系，并说明理由； (3)在（1）的条件下，若绕点G以每秒转动的速度逆时针转动一周，同时绕点F以每秒转动的速度逆时针转动，设转动时间为t秒，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时t的值． 3．在综合与实践课上，班级开展了以两条平行线和直角三角尺为主题的数学活动． 【初步感知】（1）如图1，若三角尺的角的顶点G放在上，若，则的度数为________； 【自主探究】（2）将一副三角板如图2所示摆放，直线，若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当旋转到时，t的值是多少？ 【探究拓展】（3）现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设时间为t秒，当时，若边与三角板的直角边平行，请直接写出满足条件的t值． 4．如图，直线，在一副三角板和中，，，，，． (1)将三角板如图1摆放，边与直线交于点O，顶点B落在直线上，当平分时，直接写出__________； (2)将一副三角板如图2摆放，三角板的边与直线交于点R，三角板的顶点D落在直线上，，边与边在同一直线上，且B与E重合，分别作和的平分线相交于点T，求的度数； (3)将一副三角板如图3摆放，三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，且，直接写出所有满足边与三角板某一边平行的t值为__________． 5．如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分； (1)求的度数； (2)如图2，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒； ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（、的对应点分别为、），请直接写出与平行时的值． 6．如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，转至后停止旋转；射线绕点逆时针旋转至后停止旋转．若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且、满足． (1) ， ； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直？ (3)若射线绕点顺时针先转动秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 7．如图，，点在之间，过作射线分别交直线于点，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若的平分线和的平分线交于点，交于， ①求度数； ②当时，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，，当与三角形的一边垂直时，求出的值． 8．如图，，直线交于点A，交于点B，点E是线段上一点，C、D分别在射线、上，连接的平分线与的平分线交于点F． (1)当时，__________°： (2)与的数量关系是__________； (3)过点D作，交的延长线于H，将直线绕点A逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点D顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过t秒后，直线恰好与的边或边平行，请直接写出所有满足条件的t的值． 类型二、求角度问题 1．在数学活动课，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形和三角形，其中，，，且）开展数学活动． 操作发现：(1)如图1，将三角形沿方向移动，得到三角形，，如果，，那么______； (2)将这副三角板如图2摆放，并过点作直线平行于边所在的直线，点与点重合，则的度数为____________度（直接写出结果）； (3)在（2）的条件下，如图3，固定三角形，将三角形绕点旋转一周，当时，请判断直线和直线是否垂直，并说明理由． 2．一副三角板按如图1初始放置，已知，，，，此时与重合．当点从点出发沿射线方向滑动的同时，点在射线上滑动．滑动过程中，三角板不动，三角板形状，大小不变． (1)如图2，当时，求的度数； (2)如图3，若点运动到延长线上时，连结．当时，求的值； (3)如图4，射线平分，在整个滑动过程中，若存在与三角形的某一边平行时，请求出的度数． 3．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系_______； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数； 【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线分别交于点，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 4【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，； 在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点C转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 5．某城市为了强化音乐喷泉灯光秀的灯光效果，在河的两岸安置了可旋转探照灯．假定河两岸是平行的，如图所示，，，，，灯射线从开始绕点逆时针旋转，同时，灯从开始绕点顺时针旋转．若灯、灯转动的速度分别是度/秒、度/秒，且满足． (1)填空：___________，___________； (2)设旋转时间为秒（），当时，求的值． (3)如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，两灯射出的光束交于点．点在射线上，且，则在转动过程中，是否存在一点，使得为定值？若存在，请求出的度数和的值；若不存在，请说明理由． 6．学完相交线与平行线一章，数学兴趣小组开展了“探究三角板中的数学奥秘”的综合与实践活动． (1)列举两个能借助一副三角板画出的锐角___________，___________． (2)如图1，已知，作，点位于之间，点是射线的交点，直接写出的度数；（不写步骤，保留作图痕迹） (3)将含有的三角板如图2方式摆放，与的角平分线交于点，则___________°； (4)将一副三角板按如图3方式放置（直角顶点，始终重合）．固定三角板，改变三角板的位置，当多少度时，分别与三角板的三条边所在直线平行？（画出3种符合条件的图形，直接写出答案即可）． 7．如图1所示，记浮桥两岸所在直线分别为，且，浮桥上装有两种不同的激光灯A和激光灯B（假设以及由两点发出的光射线始终在同一平面内）．灯A的光射线以2度每秒的速度从射线顺时针旋转至射线后继续回转，灯B的光射线以5度每秒的速度从射线顺时针旋转到射线后也继续回转．当打开激光灯的总开关时，激光灯A和激光灯B同时开始转动． (1)打开总开关，求灯A和灯B的光射线转动20秒时，灯A和灯B的光射线所成的夹角大小． (2)打开总开关，当灯A的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，求灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间． (3)如图2，打开总开关，当灯B的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，若灯A和灯B的光射线有交点（记为点O），延长至点E，作与的角平分线并交于点F，求与的数量关系． 8．如图①，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在两条直线的交点处，且，并使两条直角边落在直线上，将三角形绕着点顺时针旋转． (1)如图②，若，则 ， ； (2)若射线是的平分线，且． ①若三角形旋转到图③的位置，的度数为多少（用含的式子表示）？ ②三角形在旋转过程中，若，直接写出此时的值． 9．【项目背景】：在数学实践活动课中，项目学习小组的同学们用一副三角尺进行数学探究活动，如下图，利用三角尺和三角尺进行了操作探究活动．（其中，，，）请你一起探究，完成以下任务． 任务一：如图1，项目学习小组的同学们将三角尺沿方向移动，得到，王丽发现此时，她的判断依据是：_________ 任务二：项目学习小组的同学们将这两个三角尺进行了如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，且点A与点F重合，求的度数． 任务三：在图2的条件下，项目学习小组的同学们固定三角尺，将三角尺绕点C逆时针旋转，如图3，请你一起进行操作探究活动，在旋转过程中，当三角尺的边所在直线与所在直线平行时，直接写出满足条件的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相交线与平行线中动角问题的两种考法 类型一、求动点运动时间问题 1．已知分别在上． (1)点在之间，连接， ①如图1，若，求的度数； ②如图2，分别过点E、F的射线交于直线下方的点，若，，求与的数量关系； (2)如图3，射线从开始，绕E点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从开始，绕F点以每秒的速度顺时针旋转，直线与直线交于P，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒（）的值． 【答案】(1)①；② (2)1或5 或 7 【分析】（1）①作，则，由平行线的性质可得，，结合，可得；②作，，则，设，，根据平行线的性质，用含x和y的式子表示出与，即可求解； （2）分三种情况，画出图形，根据平行线的性质，及直线与直线相交所夹的锐角为，列关于t的方程，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，作， ， ， ，， ， ，， ； ②如图，作，， ， ， 设，，则，，， ，， ，， ； ， ，， ， ， ； （2）解：分三种情况， ①如图，作， ， ， ，， ， 解得； ②如图，作，则， ，， ， 解得； 如图，作， 则，，， ， 解得； 综上可知，或或． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造平行，注意分情况讨论． 2．已知直线，点E和点F分别在直线和上． (1)如图1，射线平分交于点G，若，求度数； (2)如图2，射线平分，点M是射线上一点（不包括端点F），点N为的平分线上一点（不包括端点E），连接，延长交射线于点H，猜想与的关系，并说明理由； (3)在（1）的条件下，若绕点G以每秒转动的速度逆时针转动一周，同时绕点F以每秒转动的速度逆时针转动，设转动时间为t秒，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)t的值为25或115 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）根据平行线的性质以及角平分线得到，再由平行得到，即可求解； （2）过点H作，由平行线的性质得，，从而，进而可得，由角平分线的定义得，，然后根据可得结论； （3）分当与共线前和当与共线后两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∵， ∴ （2）解：，理由如下： 过点H作， ∴， ∵， ∴． ∵，    ∴． ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，； ∵， ∴， ∴． ∴； （3）解：由（1）知，， ∴． 如备用图1，当与共线前， ∵， ∴， ∴， 解得；    如备用图2，当与共线后， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得；    综上可知，t的值为25或115． 3．在综合与实践课上，班级开展了以两条平行线和直角三角尺为主题的数学活动． 【初步感知】（1）如图1，若三角尺的角的顶点G放在上，若，则的度数为________； 【自主探究】（2）将一副三角板如图2所示摆放，直线，若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当旋转到时，t的值是多少？ 【探究拓展】（3）现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设时间为t秒，当时，若边与三角板的直角边平行，请直接写出满足条件的t值． 【答案】（1）；（2）40或100；（3）15 或105 【分析】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，三角形外角的性质，三角形内角和定理． （1）先由平角的定义得到，再由平行线的性质即可得到； （2）当在上方时，延长交于T，先由平行线的性质得到，则，当在下方时，只需要在旋转40秒的基础上再旋转180度即有，据此求解即可； （3）分解析中两种情况，画出对应的图形，根据角之间的关系，建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）分以下两种情况： 如图所示，当在上方时，延长交于T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在下方时，只需要在旋转40秒的基础上再旋转180度即有， ∴； 综上所述，当旋转到时，t的值是40或100； （3）分以下两种情况： 如图，当时， 设直线与，分别交于P，Q， 此时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； 如图所示，当时，设直线分别交、于P、T， 此时，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得． 综上：所有满足条件的t的值为15 或105． 4．如图，直线，在一副三角板和中，，，，，． (1)将三角板如图1摆放，边与直线交于点O，顶点B落在直线上，当平分时，直接写出__________； (2)将一副三角板如图2摆放，三角板的边与直线交于点R，三角板的顶点D落在直线上，，边与边在同一直线上，且B与E重合，分别作和的平分线相交于点T，求的度数； (3)将一副三角板如图3摆放，三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，且，直接写出所有满足边与三角板某一边平行的t值为__________． 【答案】(1)30 (2) (3)30或120或165 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质、添加恰当的辅助线、采用分类讨论的思想是解题的关键． （1）过点作，则，推出，根据角平分线的定义得到，结合即可求解； （2）分别过点作，则，同理（1）即可求解； （3）分三种情况，画出示意图，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过点作，则， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：分别过点作，则， ∵， ∴， 由题意得：， ∴，， ∵分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当时，延长交于点L， 根据题意：， ∵， ∴， 同理（1）得， ∴， 解得：； 如图，当时，延长交于点K，过点作，则， 根据题意：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：； 如图，当时，延长交于点X，过点作，则， 根据题意：， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理（1）得， ∴， 解得：； 综上，当与三角板某一边平行时，t值为30或120或165． 故答案为：30或120或165． 5．如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分； (1)求的度数； (2)如图2，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒； ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（、的对应点分别为、），请直接写出与平行时的值． 【答案】(1) (2)①在旋转过程中，若边，的值为或；②的值为或或 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用、三角板中角度的计算、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）先求出的度数，再由角平分线的定义可得，再由两直线平行，同旁内角互补求出，最后再由，计算即可得解； （2）①分两种情况：当在上方时；当在下方时；分别利用平行线的性质，建立关于的一元一次方程，解方程即可得解；②分情况讨论，分别利用平行线的性质，建立关于的一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图，当在上方时， ∵， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∵将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒， ∴， 解得：； 如图，当在下方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒， ∴此时旋转了， ∴， 解得：； 综上所述，在旋转过程中，若边，的值为或； ②如图，延长与交于点， 由题意可得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 如图，过点作， 由题意可得，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：； 如图，延长与交于， ∵，∴， ∵， ∴， ∴， 即，解得：； 综上所述，的值为或或． 6．如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，转至后停止旋转；射线绕点逆时针旋转至后停止旋转．若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且、满足． (1) ， ； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直？ (3)若射线绕点顺时针先转动秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为，则这两个非负数均等于． （1）依据，即可得到,的值； （2）依据，，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间； （3）分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间． 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直， 如图，设旋转后的射线、射线交于点，则， ， ， ， ， 又，， ， 解得， 故至少旋转秒时，射线、射线互相垂直； （3）设射线转动秒时，射线、射线互相平行， 如图，射线绕点顺时针先转动秒后，转动至的位置，， ①当到达前，，， ， ， ， ，， 当时，， 此时，， 解得； ②当到达后，，，， ， ， 当时，， 此时，， 解得； 综上所述，射线再转动秒或秒时，射线、射线互相平行． 7．如图，，点在之间，过作射线分别交直线于点，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若的平分线和的平分线交于点，交于， ①求度数； ②当时，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，，当与三角形的一边垂直时，求出的值． 【答案】(1) (2)①；②当与三角形的一边垂直时，或24或30 【分析】本题考查平行线的性质与判定，对顶角相等，垂直的定义； （1）过点作，得到，结合，得到，则，即可得到； （2）①由（1）得，得到，再由角平分线得到，过点作，可以得到； ②当时，，，，，，，再分，，三种情况讨论，分别画出图形，结合图形列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图1所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得， ∵，， ∴， 整理得， ∵的平分线和的平分线交于点， ∴，， ∴， 过点作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ②当时，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当时，如图，此时，， ∴， 解得； 当时，交于点，如图，此时，， ∵， ∴， 解得； 当时，交直线于点，如图，此时，， 由（1）同理可得， ∵，， ∴， 解得； 综上所述，当与三角形的一边垂直时，或24或30． 8．如图，，直线交于点A，交于点B，点E是线段上一点，C、D分别在射线、上，连接的平分线与的平分线交于点F． (1)当时，__________°： (2)与的数量关系是__________； (3)过点D作，交的延长线于H，将直线绕点A逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点D顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过t秒后，直线恰好与的边或边平行，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为，10，17.5，32.5，40 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、解一元一次方程， （1）过点E作，根据平行线定理得，再根据平行线的性质得，，进而求解即可； （2）过点F作交于点K，根据平行线定理得，由角平分线的性质设，，再根据平行线的性质求得，，，，进而求得，，，进而求解即可； （3）由（1）得，，求得，再由角平分线求得，求得，分三种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：过点E作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：过点F作交于点K， ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（1）得，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，∴， ∵直线绕点A逆时针旋转，速度为每秒， ∴， ∵绕点D顺时针旋转，速度为每秒， ∴， 当时，如图，， ∴，解得， 当旋转到如图所示时，，，同理得，，解得， 当，如图所示， ∵，，∴， 同理得，，即，解得， 当旋转到如图所示位置时， 同理得，，解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，t的值为，10，17.5，32.5，40． 类型二、求角度问题 1．在数学活动课，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形和三角形，其中，，，且）开展数学活动． 操作发现： (1)如图1，将三角形沿方向移动，得到三角形，，如果，，那么______； (2)将这副三角板如图2摆放，并过点作直线平行于边所在的直线，点与点重合，则的度数为____________度（直接写出结果）； (3)在（2）的条件下，如图3，固定三角形，将三角形绕点旋转一周，当时，请判断直线和直线是否垂直，并说明理由． 【答案】(1)3 (2)15 (3)垂直，理由见解析 【分析】本题考查的是平移的性质，平行线的判定与性质，平行公理的应用，旋转的性质，熟练的利用旋转的性质进行证明是解本题的关键． （1）由平移的性质可得答案； （2）过A作直线，交于G，而，则，可得，，再利用角的和差关系可得答案； （3）分两种情况讨论，由平行线的判定与性质的性质可求解． 【详解】（1）解：由平移的性质得，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：3； （2）解：过A作直线，交于G，而， ∴， ， 同理， ； 故答案为：15； （3）解：垂直，理由如下 如图，延长交于H，交于N，延长交于M，交直线a于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线a， ∵， ∴直线b； 如图所示，当时，旋转到如下位置，延长交于点H ∵ ， ∴， ∴， ． 2．一副三角板按如图1初始放置，已知，，，，此时与重合．当点从点出发沿射线方向滑动的同时，点在射线上滑动．滑动过程中，三角板不动，三角板形状，大小不变． (1)如图2，当时，求的度数； (2)如图3，若点运动到延长线上时，连结．当时，求的值； (3)如图4，射线平分，在整个滑动过程中，若存在与三角形的某一边平行时，请求出的度数． 【答案】(1) (2) (3)，或 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，分类讨论，并构造辅助线． （1）利用两直线平行同位角相等即可求解； （2）设，利用平行线的性质表示出即可求解； （3）分三种情况进行讨论，当时，过点作，利用平行线的性质即可求解；当时，利用平行线的性质即可求解；当时，过点作，利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图（2）所示，当时， ； （2）解：如图（3）所示，设，则， 当时，，， ； （3）解：①当时，过点作， 平分， ， ， ； ②如图所示，当时，； ③当时，过点作， ， ， ； 综上，的度数为，或． 3．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系_______； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数； 【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线分别交于点，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】操作判断： 迁移探究： 拓展应用：不变， 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，过拐点构造平行线是解题的关键： [操作判断]：过点E作，则，从而，，进而可得与的数量关系； [迁移探究]：对顶角相等，结合（1）中结论进行求解即可； [拓展应用]：过点E作，可证，设，则，，然后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】［操作判断］：如图1，过点E作 ， ，， ∵ ∴    故答案为： ［迁移探究］：如图2，由（1）可知： ，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ［拓展应用］：不变， 理由如下：过点E作 ， ， 设，则， 、分别平分、 ， 4【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，； 在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点C转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 【答案】（1）②③，④；（2）①，② 【分析】本题主要考查几何图形中角的计算，角平分线定义，三角板中角的计算，补角的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，注意进行分类讨论． （1）分别求出图1中各个图中、的关系，然后进行判断即可； （2）①根据角平分线定义得出，然后再求出结果即可； ②根据角平分线定义得出，，根据，求出结果即可； 【详解】解：（1）图①中； 图②中； 图③中， ∴； 图④中； ∴与相等的摆法是②③；与互补的摆法是④； （2）①∵平分， ∴， ∴； ②∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ 5．某城市为了强化音乐喷泉灯光秀的灯光效果，在河的两岸安置了可旋转探照灯．假定河两岸是平行的，如图所示，，，，，灯射线从开始绕点逆时针旋转，同时，灯从开始绕点顺时针旋转．若灯、灯转动的速度分别是度/秒、度/秒，且满足． (1)填空：___________，___________； (2)设旋转时间为秒（），当时，求的值． (3)如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，两灯射出的光束交于点．点在射线上，且，则在转动过程中，是否存在一点，使得为定值？若存在，请求出的度数和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或或 (3)存在，， 【分析】（1）利用绝对值和平方数非负性，列方程求解、； （2）分、在不同侧的情况，依据平行线性质列角度等式求； （3）设转动时间，用表示相关角，结合推导表达式，根据定值条件确定与 ． 本题主要考查了绝对值与平方数的非负性、平行线的性质、角度的动态计算与定值探究，熟练掌握平行线性质及通过分类讨论、用变量表示角度来分析定值问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴且 解得， 故答案为：，． （2）解：当、都在的右侧时， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴ 解得； 当在的左侧，都在的右侧时， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴ 解得； 当、都在的左侧时， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴ 解得； 综上，当时，求的值为或或； （3）解：在转动过程中，存在一点，使得为定值， 理由：设灯射线转动时间为秒， ， ， 又， ， ∵， ∴, ∴， ∴当时，在转动过程中，存在一点F，使得k为定值， 此时， ． 6．学完相交线与平行线一章，数学兴趣小组开展了“探究三角板中的数学奥秘”的综合与实践活动． (1)列举两个能借助一副三角板画出的锐角___________，___________． (2)如图1，已知，作，点位于之间，点是射线的交点，直接写出的度数；（不写步骤，保留作图痕迹） (3)将含有的三角板如图2方式摆放，与的角平分线交于点，则___________°； (4)将一副三角板按如图3方式放置（直角顶点，始终重合）．固定三角板，改变三角板的位置，当多少度时，分别与三角板的三条边所在直线平行？（画出3种符合条件的图形，直接写出答案即可）． 【答案】(1)， (2)，作图见解析 (3) (4)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角的计算，三角形的内角和等知识点，准确识图，灵活利用平行线的性质，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）直接用三角板拼凑出锐角求出度数即可； （2）根据题意作图，过点O作，由平行线的性质即可求解出的度数； （3）过点G作，过点B作，由三角板的特征可知，再平行线的性质即可求解出的度数； （4）根据平行线的判定分别拼凑出对应线段平行图形，再分别求解出的度数即可． 【详解】（1）解：如图所示，由三角板拼凑出的锐角分别为：，； （2）如图（一），利用三角板作图， 过点O作， ， ， 又，， ，， ； （3）如图（二），过点作，过点B作， 又，， ， 同理可得：， ，， ，， ， 与的角平分线交于点， ， 即， 故答案为：45； （4）当时，如图（三） 根据三角板的特征可得：， 由于，所以此时； 当时，如图（四），延长至P点， 根据三角板的特征可得：，， ， ，， ； 当时，如图（五） 根据三角板的特征可得：，， 过点作， ， ，， ， 即此时的度数为； 综上，当时，； 当时，； 当时，． 7．如图1所示，记浮桥两岸所在直线分别为，且，浮桥上装有两种不同的激光灯A和激光灯B（假设以及由两点发出的光射线始终在同一平面内）．灯A的光射线以2度每秒的速度从射线顺时针旋转至射线后继续回转，灯B的光射线以5度每秒的速度从射线顺时针旋转到射线后也继续回转．当打开激光灯的总开关时，激光灯A和激光灯B同时开始转动． (1)打开总开关，求灯A和灯B的光射线转动20秒时，灯A和灯B的光射线所成的夹角大小． (2)打开总开关，当灯A的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，求灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间． (3)如图2，打开总开关，当灯B的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，若灯A和灯B的光射线有交点（记为点O），延长至点E，作与的角平分线并交于点F，求与的数量关系． 【答案】(1) (2)30秒，秒，秒，90秒 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，构造图形并正确分类是解题的关键． （1）延长灯射线至点，将灯射线反向延长与交于点，过点作，则为灯A和灯B的光射线转动20秒时，灯A和灯B的光射线所成的夹角，由可得，则有，，根据可得，由此求解即可； （2）分情况画出图形，根据角的关系列出方程求解即可； （3）过点作，根据平行线的性质和角平分线的定义推导即可． 【详解】（1）解：如图，延长灯射线至点，将灯射线反向延长与交于点， 过点作， 则为灯A和灯B的光射线转动20秒时，灯A和灯B的光射线所成的夹角， ， ， ，， 又， ， ， 则灯A和灯B的光射线转动20秒时，灯A和灯B的光射线所成的夹角为； （2）设旋转时间为秒， 灯的光射线第一次从射线顺时针旋转至射线所需的时间为：（秒）， 灯的光射线从射线顺时针旋转到射线所需的时间为：（秒）， ①当时，灯和灯的光射线恰好互相垂直，如图所示，作， ， ， ， ， ， ， 于是有：， 解得：； ②当时，灯和灯的光射线恰好互相垂直，如图所示： 此时有， ， 于是有：， 解得：； 另有，时， 即， 解得：； ③当时，灯和灯的光射线恰好互相垂直，如图所示： 此时，， ， 于是有：， 解得：； 综上可得，当灯A的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间为：30秒，秒，秒，90秒； （3）与的数量关系是：， 如图，过点作， ， ， ，，， 作与的角平分线并交于点， ，， 即． 8．如图①，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在两条直线的交点处，且，并使两条直角边落在直线上，将三角形绕着点顺时针旋转． (1)如图②，若，则 ， ； (2)若射线是的平分线，且． ①若三角形旋转到图③的位置，的度数为多少（用含的式子表示）？ ②三角形在旋转过程中，若，直接写出此时的值． 【答案】(1)； (2)①；②或 【分析】本题主要考查了相交线、垂直的定义、角的运算和角平分线以及角的和差关系． （1）根据角的和差关系和垂直的性质求解； （2）①利用角平分线的定义和角的和差运算即可求解； ②分两种情况：当旋转到左侧时，当旋转到右侧时，分别画出图形，利用角平分线的定义、角的和差以及方程思想求解即可． 【详解】（1）， ， ， ， ，， ， 故答案为；； （2）①，， ， 射线是的平分线， ， ， ， ， 故答案为． ②当旋转到左侧时，如图： 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ；． 当旋转到右侧时，如图： 设，则， ， 是的平分线， ， ， ， 解得， ， ， 综上，的值为或． 9．【项目背景】：在数学实践活动课中，项目学习小组的同学们用一副三角尺进行数学探究活动，如下图，利用三角尺和三角尺进行了操作探究活动．（其中，，，）请你一起探究，完成以下任务． 任务一：如图1，项目学习小组的同学们将三角尺沿方向移动，得到，王丽发现此时，她的判断依据是：_________ 任务二：项目学习小组的同学们将这两个三角尺进行了如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，且点A与点F重合，求的度数． 任务三：在图2的条件下，项目学习小组的同学们固定三角尺，将三角尺绕点C逆时针旋转，如图3，请你一起进行操作探究活动，在旋转过程中，当三角尺的边所在直线与所在直线平行时，直接写出满足条件的度数． 【答案】任务一：同位角相等，两直线平行；任务二：；任务三：或或 【分析】本题主要考查了旋转的定义，平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据平行线的判定即可解答；先过点A作，交于点，再根据平行线的性质进行解答即可；根据旋转的定义得出符合条件的情况，再利用平行线的性质，分情况讨论即可． 【详解】解：任务一：由平移得，， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 任务二：如图，过点作，交于点， 又， ， ，， ． ， ． 答：的度数为． 任务三：需分情况讨论： 当时，如图所示， ； 当时，如图所示， 过点作交于点， 则， 同理任务二可得，； 当，且在直线b的下方时，如图所示， 则， ； 综上，的度数为或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $