专项复习二 平行线及其判定-2025-2026学年北师大版数学七年级下册同步培优讲义

2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 专项复习二 平行线及其判定 （第二章 相交线与平行线） 【北师大版七下●新教材】 题型分类讲练 1 题型讲练一 平面内两直线的位置关系 1 题型讲练二 立体图形中平行的棱 3 题型讲练三 用直尺、三角板画平行线 5 题型讲练四 平行公理的应用 8 题型讲练五 平行公理推论的应用 13 题型讲练六 同位角相等两直线平行 18 题型讲练七 内错角相等两直线平行 23 题型讲练八 同旁内角互补两直线平行 27 题型讲练九 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 31 能力提升训练 37 题型讲练一 平面内两直线的位置关系 【典例精讲】（23-24七年级下·广东佛山·月考）在同一平面内有条线，，…，，如果，，，，……，那么直线与的位置关系是________． 【答案】平行 【思路引导】先根据垂直与平行的性质推导直线与后续直线的位置关系，总结位置关系的循环规律，再根据规律计算得到与的位置关系． 【规范解答】解：根据平行线和垂直的性质，推导与前若干条直线的位置关系如下： 由，，可得， 由，可得， 由，可得， 由，可得， 以此类推，可知与各直线的位置关系按照“垂直，垂直，平行，平行”为一个周期循环，周期为， 从开始，直线是第条直线，计算得， 余数为，对应周期中第三个位置关系，即平行． 【变式训练1】下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题为几何概念辨析题，需根据垂线，对顶角，平行线等初中几何基本概念，逐一判断每个语句的正误，统计错误个数得到答案． 【规范解答】解：逐一判断各语句： ①∵过直线上任意一点都可作该直线的垂线，一条直线上有无数个点 ∴一条直线有无数条垂线，①错误； ②∵对顶角一定相等， ∴不相等的两个角一定不是对顶角，②正确； ③∵平行线的定义要求前提是“在同一平面内”，该语句缺少前提条件， ∴③错误； ④∵若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等或互补， ∴④错误； 综上，错误的语句共3个，故选C． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，一个艺术字体的字母“M”如下图所示． (1)请找出三组平行线段，并用字母表示出来． (2)EF与有何位置关系？与HR有何位置关系？为什么？ 【答案】(1)，，（答案不唯一） (2)，，见解析 【思路引导】本题主要考查同一平面内两直线平行，平行公理推论，熟练掌握平行线的定义是解题的关键． （1）根据平行线的定义即可得到结论； （2）根据平行于同一直线的两直线平行即可得到结论． 【规范解答】（1）解：，，．（答案不唯一） （2），．理由如下： ，， ． ，， ． 题型讲练二 立体图形中平行的棱 【典例精讲】观察如图所示的长方体. (1)用符号表示下列两棱的位置关系：AB___A′B′，AA′_____AB，D′A′_____D′C′，AD______BC． (2) A′B′与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们_____平行线.（填“是”或“不是”） 【答案】 ∥ ⊥ ⊥ ∥ 不是 【思路引导】（1）根据长方体的性质进行填空； （2）根据平行线的定义进行填空． 【规范解答】解：（1）如图，在矩形ABB1A1中，AB∥A′B′，AA′⊥AB； 在矩形A′B′C′D′中，D′A′⊥D′C′； 在矩形ABCD中，AD∥BC． 故答案分别是：∥，⊥，⊥，∥； （2）根据图示知，直线A′B′与BC不在同一平面内，所以它们虽然没有交点，但是它们也不平行． 故答案为：不是． 【考点剖析】本题考查平行线的定义、垂直的定义．注意，在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 【变式训练1】观察如图所示的长方体.    (1)用符号表示下列两棱的位置关系AB_____AB,AA_____,DA____ DC,AD_____BC． (2)与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们_____平行线.（填“是”或“不是”） 【答案】 ∥ ⊥ ⊥ ∥ 不是 【思路引导】（1）根据矩形的性质进行填空； （2）根据平行线的定义进行填空． 【规范解答】(1)如图，在矩形AB中， ，； 在矩形中， ； 在矩形ABCD中，AD∥BC． 故答案分别是：∥，⊥，⊥，∥； (2) 根据图示知，直线与BC不在同一平面内，所以它们虽然没有交点，但是它们也不平行． 故答案是：不是． 【考点剖析】考查了平行线的定义、垂直的定义．注意，在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 【变式训练2】（2025八年级上·全国·专题练习）一个五棱柱中，互相平行的棱最多有（   ）对． A．10 B．15 C．20 D．23 【答案】D 【思路引导】本题考查立体图形中平行的棱． 根据五棱柱的性质，确定互相平行的棱最多的情形，即可求解． 【规范解答】解：五棱柱的侧棱互相平行，侧面均为平行四边形，当同一底面上有两对棱互相平行时，平行的棱的对数最多， 如图，在五棱柱中，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有对， ∴ 一个五棱柱中，互相平行的棱最多有对． 故选：D． 题型讲练三 用直尺、三角板画平行线 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）如图，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析；；垂线段最短 【思路引导】本题主要考查了格点作图，会过已知点作已知直线的垂线以及掌握垂线段最短是解题的关键． （1）取格点N，连接，根据格点特点可得； （2）根据题意作图即可； （3）取格点D，连接，交于点C，由网格线的特征易得，即可得到；根据过直线外一点作已知直线的垂线，这条垂线段的长度就做点到直线的距离；点到直线的所有连线中，垂线段最短即可解答． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求作的的垂线； ∵垂线段最短， ∴，， ∴． 【变式训练1】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫格点，请利用网格特征，解答下列问题． (1)过点画的平行线，并标出平行线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为点； (3)比较大小：________（填“”、“”或“”），理由：________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【思路引导】本题考查作图应用与设计作图、平行线的判定与性质、垂线段最短，熟练掌握题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质画图即可； （2）根据垂线的定义画图即可； （3）根据垂线段最短可得答案． 【规范解答】（1）解：如图直线所示． （2）解：如图直线所示． （3）解：如图， ， ，理由为：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 【变式训练2】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点、、都是格点． (1)仅用直尺过点画，使； (2)仅用直尺画出的高； (3)比较大小：_____（填“>”、“=”或“<”），理由是__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【思路引导】本题主要考查相交线与平行线： （1）将直线沿着平移，当点到达点时，直线即为所求； （2）根据和，可求得； （3）根据“垂线段最短”，即可求得答案． 【规范解答】（1）如图所示，直线即为所求． （2）如图所示，线段即为所求． 如图所示，可知． 因为， 所以． 所以． 所以． （3）根据图形可知，，理由是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短 题型讲练四 平行公理的应用 【典例精讲】如图，已知直线，且直线p和直线q分别与直线m，直线n交于点C、D和点A、B，点E是直线q上的一个动点，，，当点E在射线上运动时，______度． 【答案】95 或 25 【思路引导】分两种情况：如图，当在线段上时，过作，如图，当在线段的延长线上时，过作，再进一步利用平行线的性质可得答案． 【规范解答】解：如图，当在线段上时，过作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 如图，当在线段的延长线上时，过作， 同理：， ∵，， ∴，， ∴； 综上：或． 【变式训练1】（25-26七年级下·吉林长春·开学考试）完成下面的证明过程，并在括号里填写推理的依据． 如图，点、分别在线段、上，点在线段的延长线上．，，，，求证：． 证明：，（已知） ______（等量代换） ______（______） ，（已知） （______） ______（______） （已证） （______） 【答案】2；；同位角相等，两直线平行；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练运用同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等判定定理，以及平行公理的推论． 先由已知角相等推出，再由同角的补角相等推出，最后根据平行公理的推论得到． 【规范解答】证明：（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （已知）， （同角的补角相等）． （内错角相等，两直线平行）． （已证）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 故答案为：2；；同位角相等，两直线平行；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【变式训练2】（24-25七年级下·广东佛山·月考）在课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”． (1)阅读理解：如图，，点E，F分别为直线，上的一点，点P为平行线间一点，猜想，与之间的关系，并说明理由． (2)方法运用：如图，，猜想，与之间的关系，并说明理由． (3)深化拓展：如图，，与的角平分线相交于点Q． ①若，，，直接写出的度数 ②若，，，求的度数（用含m，n的代数式表示）． 【答案】(1)；理由见解析 (2)；理由见解析 (3)①；② 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键． （1）根据平行线的性质与判定条件求解即可； （2）同理可得，由平角的定义可得，则； （3）①根据（2）的结论得到，再由角平分线的定义和角之间的关系得到，，则；②仿照（3）①求解即可． 【规范解答】（1）解：．理由如下： 过点P作，如图所示： ， （两直线平行，内错角相等）． ，， （平行于同一直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． ， 即． （2）解：猜想，理由如下： 同理可得， ∵， ∴， ∴； （3）解：同理可得， ∵， ∴， ∵与的角平分线相交于点Q， ∴， ∵，， ∴，， ∴； ②∵，， ∴， ∵与的角平分线相交于点Q， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 题型讲练五 平行公理推论的应用 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·周测）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图①，，点，分别在直线，上，点在直线，之间． (1)若，，求的度数． (2)如图②，已知直线，为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）过点作，根据平行线的性质可得，根据平行线公理推论得到，再根据平行线的性质得到，最后根据角度的和差关系、等量代换即可求解； （2）过点作，根据平行线的性质可得，，则，代入即可解答． 【规范解答】（1）解：过点作，如图①， 则． ， ， ． （2）解：过点作，如图②，则． ， ， ． ，， ，， ． 【考点剖析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式训练1】已知． (1)如图1，比的2倍少，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，过E作的角平分线交的延长线于M，的角平分线交的反向延长线于N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，则可得，再设，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）延长交于点，先根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行线的性质即可得证； （3）过点作，过点作，先根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，，，再根据角平分线的定义、等量代换可得，然后根据可得，最后根据平行线的判定即可得． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 设， ∵比的2倍少， ∴，即， ∴， ∴． （2）证明：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵与互补， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【变式训练2】（24-25七年级下·贵州黔东南·期末）2025年央视春节联欢晚会上，一群身着东北花棉袄的宇树科技机器人和表演者们一同跳起了秧歌，传统与未来在节目中共舞，科技之光也照亮了文化传承之路，更是向世界展示了中国“智造”的强悍实力．为了便于观察和研究，将机器人的形态进行线条化的表示． (1)如图1，若只观察机器人的腿部，记地面为直线n，过机器人大腿根部作地面的平行线m，记机器人大腿与直线m的夹角为，机器人小腿与直线n夹角为，机器人大腿与小腿夹角为．为了探究，，三者数量关系，我们可以过机器人大腿、小腿连接点作一条平行于直线m与直线n的直线l，接着利用“两直线平行，内错角相等”的性质，就可以得出，，三者数量关系为______； (2)如图2，若忽视机器人的手臂，让机器人上半身垂直于地面（即所在直线），若，，求的度数； (3)如图3，当机器人在训练时可以让手臂与地面呈平行状态，脚面与地面持平，当，时，试探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)，理由见解析 【思路引导】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论． （1）根据“两直线平行，内错角相等”作答即可； （2）过点作，过点作，由题意可知，根据平行线的性质求解即可； （3）过点作，过点作，则，根据平行线的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：作一条平行于直线m与直线n的直线l，接着利用“两直线平行，内错角相等”的性质，就可以得出，，三者数量关系为， 故答案为：； （2）解：如图2，过点作，过点作， 依题意得， ， ， ， ，， ，， ． （3）解：，理由如下： 如图3，过点作，过点作， 依题意得， ，，， ，， ，， ． 题型讲练六 同位角相等两直线平行 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直线，与直线相交于点，，于点．若，则__________时，． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 当时，．先通过邻补角的定义得到，然后根据垂直的定义，结合平角的定义得到，即可根据同位角相等，两直线平行，得到，从而得到所加条件是正确的． 【规范解答】解：当时，． 理由如下：， ， ， 又， ， ， ． 故当时，． 故答案为：． 【变式训练1】已知：如图， (1)和平行吗？为什么？ (2)的度数是多少？为什么？ 【答案】(1)和平行，理由见解析 (2)，理由见解析 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的判定与性质为解题关键． （1）根据对顶角相等得到，再根据等量代换得到，利用同位角相等两直线平行即可得出结论； （2）根据邻补角求出的度数，再根据两直线平行同位角相等即可求解． 【规范解答】（1）解：和平行，理由如下： ，， ， ； （2）， ， ， ． 【变式训练2】已知：如图1直线，被直线所截， (1)求证：； (2)如图2，点在，之间的直线上，、分别在直线，上，连接、 ① 度 ②若平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由 (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交于点，连接，若平分，则 度 【答案】(1)见解析 (2)①；②，理由见解析 (3) 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识．正确作出辅助线是解题的关键． （1）首先证明，即可证得； （2）①作，由平行线的性质得到，，又，结合图形即可求解； ②作，由平行线的性质得到，得到，同理可证：，然后结合角平分线的定义求解即可； （3）如图3中，设，，，则，由平行线的性质得到，然后推出，然后结合角平分线的定义求解即可． 【规范解答】（1）证明：如图1， ，， ， ； （2）解：①过点作，如图 ， ， ∴，， 又∵， ∴， ， ． 故答案为：． ②结论：． 理由：过点作， ， ， ， ， ， 同理可证： ，， ． ， ∴． （3）解：如图3中，设，，，则， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 题型讲练七 内错角相等两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）请填空，完成下面的证明． 如图，平分平分．求证：． 证明：，（已知） ___________，（邻补角互补） ___________（___________）． 平分平分， ______________________（___________） （___________）． （___________）． 【答案】；；同角的补角相等；；；角平分线的定义；等量代换；内错角相等，两直线平行 【思路引导】观察证明部分可知，本题的证明思路为通过先证明，再利用角平分线的定义，通过等量代换得到，最后通过内错角相等，两直线平行证明结论，根据证明思路补全过程即可． 【规范解答】证明：（已知）， （邻补角互补）， （同角的补角相等）． 平分平分， ，（角平分线的定义）． （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． 【变式训练1】如图，点E、F在线段上，，，． (1)如图1，求证：； (2)直接写出图2中所有互相平行的线段． 【答案】(1)见解析 (2)，， ， 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据题意证明，结合全等三角形性质进而证明，得到，进而即可证明； （2）根据全等三角形性质和判定，以及平行线的判定定理分析求解，即可解题． 【规范解答】（1）证明：在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解： ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 综上所述，，， ，． 【变式训练2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，、分别是、边上（不含端点）的动点，且． (1)如图1，若恰好是的角平分线，试说明； (2)如图2，若平分交于点，在、运动的过程中，试用一个等式表示与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若是的中线，过点作交于点，连接交于点，当，时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】（1）根据角平分线的定义和已知即可得出，由内错角相等两直线平行即可得出结论； （2）设，由三角形外角的性质可得，进而表示出．根据角平分线和角的和差关系转化即可得出； （3）过点作，连接，，，利用平行线和等底等高三角形面积相等求出，再利用三角形面积比求出边长或高之比，从而得出，由此即可解题. 本题考查了平行线判定、三角形外角的性质和角平分线定义、三角形的中线性质，平行线间的距离相等等知识点，解题关键是通过平行线进行三角形等积变换. 【规范解答】（1）解：∵恰好是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， （2）设， ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴ （3）过点作，连接，，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵是的中线，即， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴，v ∴， ∴ 题型讲练八 同旁内角互补两直线平行 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为．设． (1)请用含的式子表示的大小； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，掌握角平分线的性质和同旁内角互补，两直线平行的判定方法是解题的关键． （1）根据角平分线定义表示出，再用减去，即可得到的表达式； （2）通过角平分线和角度和差推出，结合得到，利用同旁内角互补，两直线平行证明． 【规范解答】（1）解：∵平分，， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分，， ∴． ∵，， ∴． ∵平分， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴， ． 【变式训练1】（24-25七年级下·江西南昌·月考）【学科融合】 射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． 【应用探究】 有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线． (1)如图2，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．求证． (2)如图3，光线与相交于点P，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定、三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． （1）根据平面镜反射光线的规律得，，再利用，可得，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”证明结论即可； （2）根据三角形内角和定理求得，根据平面镜反射光线的规律得，，再结合平角的定义得出，然后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式训练2】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线与直线、分别交于点、，． (1)求证：； (2)如图，与的角平分线交于点，延长交于点，点是上一点，且，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，连接，，K是GH上一点，连接PK，作平分，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义及垂直的定义，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． （1）根据同旁内角互补，两条直线平行即可判断直线与直线平行； （2）先根据两条直线平行的性质得出，，再根据与的角平分线交于点，可得，进而根据垂直的定义及平行线判定定理即可证明； （3）根据直角三角形的性质求出，根据角的和差及邻补角定义求出，根据角平分线定义求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵，，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴，， ∵与的角平分线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 题型讲练九 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏南京·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点D为上的格点，在给定的网格中，仅借助直尺按下列要求作图（请加黑画图需要的格点） (1)在图①中画直线，使； (2)在图②中画直线，使，垂足为F． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了格点作图、平行线的判定、垂直的定义，在网格中找出特殊的格点，按要求作图是解题的关键． （1）找到格点，使得，则有，即可得到； （2）找到格点，使得等于直线与网格水平线形成的锐角，再根据角度运算可得，即可得到． 【规范解答】（1）解：如图，直线即为所求： （2）解：如图，直线即为所求： 【变式训练1】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）小明在周末去方特游乐园乘坐了海盗船，海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目，它的主体是由一个大型的船身和两侧的摇摆机械臂构成．游客坐在船内，随着机械的运动，仿佛置身于一场海盗航海的冒险之中．当它静止时，我们可以把它抽象成如图1所示的图形，中心转轴点O位于铅垂线上，两条摆臂和均匀分布在铅垂线两侧，它们的长度相同． 小明在乘坐过程中遇到了下列问题： (1)如图2，当海盗船右侧船头转到最高点时，左侧船头看最高点的仰角为，即，已知两摆臂之间的夹角，求海盗船的最大摆角的度数． （温馨提示：在，由可得） (2)如图3，已知转轴O到地面的距离，在乘坐的过程中，当海盗船右侧船头在位置P时，此时测得点P到地面的距离；当左侧船头摆动到点处时，．求点到的距离． 【答案】(1) (2)点到的距离为 【思路引导】（1）根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，于是得到结论； （2）过点作于点M，过点P作于点N，再证明，可得，根据平行线间的距离处处相等，得出，从而可得答案． 【规范解答】（1）解：如图2，∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点M，过点P作于点N， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∵，， ∴， ∵点P到地面的距离， ∴ ∵转轴O到地面的距离， ∴， ∴． 答：点到的距离为． 【考点剖析】本题主要考查了点到直线的距离，平行线间的距离，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质． 【变式训练2】在中，是角平分线．．    (1)如图（1），是高，，，求的度数； (2)如图（2），点在上，于，试探究与、的大小关系，并证明你的结论（提示：过点作于）； (3)如图（3），点在的延长线上．于，试探究与、的大小关系是______．（直接写出结论，不需证明） 【答案】(1) (2)，过程见解析 (3) 【思路引导】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，，进而得出，由此即可解决问题； （2）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到； （3）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到不变． 【规范解答】（1）解：如图1所示： 平分， ， ， ， ， ，， ； （2）解：结论． 理由如下：过作于，如图2所示： ， ， ， 由（1）可得， ； （3）解：结论仍成立． 过作于，如图3所示： ， ， ， 由（1）可得， ， 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查角平分线的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质等知识，综合性强，掌握三角形内角和定理，加大数学知识的应用意识是解题关键． 1．（2026七年级下·全国·专题练习）在同一平面内，有三条不重合的直线a，b，c，（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【思路引导】利用平行线与垂直的性质逐一判断选项即可. 【规范解答】解：A、若，，则，原说法错误； B、若，，则，原说法错误； C、若，，则，原说法正确； D、若，，则，原说法错误. 2．（23-24七年级下·新疆阿克苏·期末）下列图中，由能直接得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【规范解答】解：A、可以得到，不能判定，故本选项不符合题意； B、可以得到，故本选项符合题意； C、可以得到，不能判定，故本选项不符合题意； D、不能判定，故本选项不符合题意． 3．（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图，下列条件中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答本题的关键． 根据平行线的判定知识逐项判断即可． 【规范解答】解：A、，则（同位角相等，两直线平行），故不符合题意； B、，则（同旁内角互补，两直线平行），故不符合题意； C、，则，不能证明，故符合题意； D、，而，故，则（同位角相等，两直线平行），故不符合题意； 故选：C． 4．下面说法正确的个数为（   ） ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两点之间，垂线段最短；③如果，，那么；④两直线平行，同位角互补；⑤平行于同一条直线的两条直线互相平行； A．3个 B．4个 C．5个 D．2个 【答案】A 【规范解答】解：① 根据同一平面内垂直的基本性质，同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； ② 两点之间，线段最短，点到直线的所有连线中垂线段最短，原说法错误； ③ 根据等量代换，如果，，那么，正确； ④ 根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，不是互补，原说法错误； ⑤ 根据平行线的传递性，平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确； 综上，正确的说法共有3个． 5．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（    ） A． B． C． D．的度数无法确定 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，垂线定义，过点A作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，求出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可． 【规范解答】解：过点A作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6．如图，直线、被、所截，下列结论中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，结合图形中角的位置关系依次进行判断即可． 【规范解答】解： A、与分别在直线，的外侧，且在截线的同侧，不是同位角也不是内错角，无法判断，故A错误，该选项不符合题意； B、与是直线，被直线所截形成的同位角， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行），故B正确，该选项符合题意； C、与是直线 ， 被直线所截形成的角，与直线无关，无法判断，故C错误，该选项不符合题意； D、与涉及四条直线，无法直接判断，故D错误，该选项不符合题意． 故选 ：B． 7．（2023七年级下·内蒙古鄂尔多斯·专题练习）如图，给出条件：①；②；③；④，其中能判定的是____．（注：填上所有符合条件的序号） 【答案】②③④ 【思路引导】根据平行线的判定条件逐一判断即可． 【规范解答】解：由条件，可以通过同位角相等，两直线平行得到，不能得到，故①不符合题意； 由条件，可以通过内错角相等，两直线平行得到，故②符合题意； 由条件，可以通过同旁内角互补，两直线平行得到，故③符合题意； 由条件，可以通过同旁内角互补，两直线平行得到，故②符合题意； 综上可知，能判定的是②③④． 8．（25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为__________． 【答案】/度 【思路引导】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 过点作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【规范解答】如图，过点作， ， ， ，， ． ， ． ． ． 9．如图，，则________度． 【答案】 【思路引导】通过分析，，，等简单图形的角度和，总结规律即可得出． 【规范解答】解：如图，图②，③，④：分别过、、作的平行线， 图①：∵， ∴； 图②中：， 图③中：， 图④中：， 总结规律可得：． 【考点剖析】解决本题的核心是运用平行线性质“两直线平行，同旁内角互补”计算角度和，同时理解并掌握从特殊到一般的归纳推理思想． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，直线，被直线，所截，下列条件能判定的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③④ 【思路引导】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．据此逐个判断即可． 【规范解答】解：① ，则，故不能判定； ②，则，故不能判定； ③设的对顶角为， ， ， ， ∵和是同旁内角， ； ④∵， 和是同旁内角，   ． 故答案为：③④． 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）随着社会的不断发展，共享单车服务的提供已经成为城市交通建设必不可少的一部分．如图所示的是某品牌共享单车放在水平地面的示意图，其中AB，CD都与地面l平行，，．要使AM与CB平行，则的度数为________． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行于同一直线的两直线平行，两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行，是解题的关键． 先根据平行于同一条直线的两条直线平行，由都平行于地面推出；再利用平行线的性质求出的度数；最后根据内错角相等，两直线平行，得到的度数． 【规范解答】解：∵都与地面平行， ∴， ， ∴． ∵，， ∴， ∴当时，． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·全国·周测）如图，在三角形ABC中，，DF交AB于点D，交BC于点F．若，则DE与AH的位置关系是___________． 【答案】 【思路引导】本题考查平行线的判定与性质，掌握两直线平行，内错角相等及同位角相等，两直线平行是解题的关键． 先利用的平行线性质，得到与这组同位角相等；再结合，用这两个等角分别减去和，得到与相等；最后根据同位角相等的判定规则，确定与的位置关系． 【规范解答】解： 故答案为：． 13．（25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，，平分，．试说明：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，根据角平分线的定义可得，根据已知条件可得，根据内错角相等，两直线平行即可得证． 【规范解答】解：因为平分，（已知）， 所以（角平分线的概念）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，，与相交于点，，试判断，是否平行，并说明理由． 【答案】平行，见解析 【思路引导】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：①同旁内角互补，两直线平行，②两直线平行，同位角相等． 根据题意，等量代换得到，再根据平行线的判定定理即可得到结论． 【规范解答】解：平行，理由如下： ，， ． ， ， （内错角相等，两直线平行）． 15．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图并标注相关字母． (1)画直线； (2)过点C画线段，使，且； (3)过点A画直线的垂线段，垂足为点E； (4)点A与直线上各点连接的所有线段中，线段最短的数学道理是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)垂线段最短 【思路引导】本题考查了画直线，平行线，垂线，垂线段最短． （1）根据直线的特征画图即可； （2）根据线段的特征画图即可； （3）结合网格，过点A画垂线即可． （4）根据垂线段最短，并结合题干信息即可求解 【规范解答】（1）解：直线即为所求； （2）解：线段即为所求； （3）解：线段即为所求； （4）点A与直线上各点连接的所有线段中，线段最短的数学道理是垂线段最短 故答案为：垂线段最短． 16．已知直线，直线分别与直线，相交于点，，点，分别在直线，上，且在直线的左侧，点是直线上一动点（不与点，重合），设，，． (1)当点在线段上运动时，试探索，，之间的关系，并给出证明； (2)当点在线段外运动时，请你在备用图中画出图形，并判断（1）中的结论是否还成立？若不成立，请你探索，，之间的关系（不需要证明）． 【答案】(1)，证明见解析 (2)不成立．①当点在线段的延长线上，，理由见解析；②当点在线段的延长线上，，理由见解析 【思路引导】（1）过点作，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）不成立，分两种情况：①当点在线段的延长线上，②当点在线段的延长线上，分别画出图形，然后根据平行公理推论的应用及“两直线平行，内错角相等”即可得出结论． 【规范解答】（1）解：． 证明：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （2）解：不成立． 有两种情况： ①当点在线段的延长线上，此时， 理由：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； ②当点在线段的延长线上，此时， 理由：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 17．（25-26七年级下·上海·月考）问题探究： 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交的延长线于点G…… 问题迁移： （3）如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【思路引导】（1）如图②中，过点E作，利用平行线的性质求出，，根据证明即可； （2）如图③中，过点B作交的延长线于G，利用平行线的性质求出，，，根据证明即可； （3）设，，则，求出，，根据，构建方程求出可得结论． 【规范解答】（1）证明：如图②，过点E作， ∴， ∵，， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， 即， （2）如图③，过点B作交的延长线于G． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图④中， ∵平分，平分， ∴，， 设，， 结合（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图，网格线的交点叫格点，格点是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹），并把作图痕迹加黑！ (1)过点画的垂线，交于点； (2)线段___________的长度是点到的距离； (3)的理由是___________． (4)过点画的平行线． 【答案】(1)见解析 (2) (3)垂线段最短 (4)见解析 【思路引导】本题考查网格作图，利用网格特点和全等三角形的性质画图即可． （1）利用网格的性质作垂线即可； （2）根据点到直线的距离的定义：该点到直线的垂线段的长叫作点到直线的距离，找到垂线段即可； （3）根据，，的位置关系：，易知此处应填垂线段最短； （4）借助平行线的判定条件，利用网格的性质作相等角，从而得到平行线． 【规范解答】（1）解：如图，利用网格的性质作图如下： （2）解：由（1），可知， ∴线段的长度是点O到的距离； （3）解：∵点P，O均在直线上， 又， 故可根据垂线段最短的基本事实，得到； （4）解：根据网格的性质，可作，如下图： 由内错角相等，两直线平行，可知此时，即为所求． 19．（25-26七年级上·四川乐山·期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，三角形是直角三角形，点C在直线n上，，，． 操作发现： （1）如图1，若，则=_______； 实践探究： （2）如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值．在说明理由时，组内小乐说：“过点B作直线m的平行线进行等角转化．”请你写出这个定值，并说明理由（可以用小乐的方法，也可以用其它方法）； 拓展延伸： （3）如图3，缜密小组在图2的基础上作射线、，相交于点G，且，，求的度数． 【答案】（1）134；（2），见解析；（3） 【思路引导】本题主要考查平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据平角得到，根据两直线平行，同旁内角互补得到，即可求解； （2）如图所示，过点作，则，可得，，由，即可求解； （3）如图，作，，可得，，，，再利用角度的加减即可解答． 【规范解答】解：（1）如图， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 证明：如图，过点作，则直线， ，， ， ， ， ； （3）如图，作，， ， ，，，， ． 20．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】（1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【考点剖析】本题主要考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义、平行公理的应用，过拐点构造平行线，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 专项复习二 平行线及其判定 （第二章 相交线与平行线） 【北师大版七下●新教材】 题型分类讲练 1 题型讲练一 平面内两直线的位置关系 1 题型讲练二 立体图形中平行的棱 2 题型讲练三 用直尺、三角板画平行线 2 题型讲练四 平行公理的应用 4 题型讲练五 平行公理推论的应用 6 题型讲练六 同位角相等两直线平行 8 题型讲练七 内错角相等两直线平行 9 题型讲练八 同旁内角互补两直线平行 11 题型讲练九 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 13 能力提升训练 16 题型讲练一 平面内两直线的位置关系 【典例精讲】（23-24七年级下·广东佛山·月考）在同一平面内有条线，，…，，如果，，，，……，那么直线与的位置关系是________． 【变式训练1】下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，一个艺术字体的字母“M”如下图所示． (1)请找出三组平行线段，并用字母表示出来． (2)EF与有何位置关系？与HR有何位置关系？为什么？ 题型讲练二 立体图形中平行的棱 【典例精讲】观察如图所示的长方体. (1)用符号表示下列两棱的位置关系：AB___A′B′，AA′_____AB，D′A′_____D′C′，AD______BC． (2) A′B′与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们_____平行线.（填“是”或“不是”） 【变式训练1】观察如图所示的长方体.    (1)用符号表示下列两棱的位置关系AB_____AB,AA_____,DA____ DC,AD_____BC． (2)与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们_____平行线.（填“是”或“不是”） 【变式训练2】（2025八年级上·全国·专题练习）一个五棱柱中，互相平行的棱最多有（   ）对． A．10 B．15 C．20 D．23 题型讲练三 用直尺、三角板画平行线 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）如图，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________． 【变式训练1】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫格点，请利用网格特征，解答下列问题． (1)过点画的平行线，并标出平行线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为点； (3)比较大小：________（填“”、“”或“”），理由：________． 【变式训练2】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点、、都是格点． (1)仅用直尺过点画，使； (2)仅用直尺画出的高； (3)比较大小：_____（填“>”、“=”或“<”），理由是__________． 题型讲练四 平行公理的应用 【典例精讲】如图，已知直线，且直线p和直线q分别与直线m，直线n交于点C、D和点A、B，点E是直线q上的一个动点，，，当点E在射线上运动时，______度． 【变式训练1】（25-26七年级下·吉林长春·开学考试）完成下面的证明过程，并在括号里填写推理的依据． 如图，点、分别在线段、上，点在线段的延长线上．，，，，求证：． 证明：，（已知） ______（等量代换） ______（______） ，（已知） （______） ______（______） （已证） （______） 【变式训练2】（24-25七年级下·广东佛山·月考）在课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”． (1)阅读理解：如图，，点E，F分别为直线，上的一点，点P为平行线间一点，猜想，与之间的关系，并说明理由． (2)方法运用：如图，，猜想，与之间的关系，并说明理由． (3)深化拓展：如图，，与的角平分线相交于点Q． ①若，，，直接写出的度数 ②若，，，求的度数（用含m，n的代数式表示）． 题型讲练五 平行公理推论的应用 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·周测）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图①，，点，分别在直线，上，点在直线，之间． (1)若，，求的度数． (2)如图②，已知直线，为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 【变式训练1】已知． (1)如图1，比的2倍少，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，过E作的角平分线交的延长线于M，的角平分线交的反向延长线于N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由． 【变式训练2】（24-25七年级下·贵州黔东南·期末）2025年央视春节联欢晚会上，一群身着东北花棉袄的宇树科技机器人和表演者们一同跳起了秧歌，传统与未来在节目中共舞，科技之光也照亮了文化传承之路，更是向世界展示了中国“智造”的强悍实力．为了便于观察和研究，将机器人的形态进行线条化的表示． (1)如图1，若只观察机器人的腿部，记地面为直线n，过机器人大腿根部作地面的平行线m，记机器人大腿与直线m的夹角为，机器人小腿与直线n夹角为，机器人大腿与小腿夹角为．为了探究，，三者数量关系，我们可以过机器人大腿、小腿连接点作一条平行于直线m与直线n的直线l，接着利用“两直线平行，内错角相等”的性质，就可以得出，，三者数量关系为______； (2)如图2，若忽视机器人的手臂，让机器人上半身垂直于地面（即所在直线），若，，求的度数； (3)如图3，当机器人在训练时可以让手臂与地面呈平行状态，脚面与地面持平，当，时，试探究和的数量关系，并说明理由． 题型讲练六 同位角相等两直线平行 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直线，与直线相交于点，，于点．若，则__________时，． 【变式训练1】已知：如图， (1)和平行吗？为什么？ (2)的度数是多少？为什么？ 【变式训练2】已知：如图1直线，被直线所截， (1)求证：； (2)如图2，点在，之间的直线上，、分别在直线，上，连接、 ① 度 ②若平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由 (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交于点，连接，若平分，则 度 题型讲练七 内错角相等两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）请填空，完成下面的证明． 如图，平分平分．求证：． 证明：，（已知） ___________，（邻补角互补） ___________（___________）． 平分平分， ______________________（___________） （___________）． （___________）． 【变式训练1】如图，点E、F在线段上，，，． (1)如图1，求证：； (2)直接写出图2中所有互相平行的线段． 【变式训练2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，、分别是、边上（不含端点）的动点，且． (1)如图1，若恰好是的角平分线，试说明； (2)如图2，若平分交于点，在、运动的过程中，试用一个等式表示与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若是的中线，过点作交于点，连接交于点，当，时，求的值． 题型讲练八 同旁内角互补两直线平行 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为．设． (1)请用含的式子表示的大小； (2)试说明：． 【变式训练1】（24-25七年级下·江西南昌·月考）【学科融合】 射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． 【应用探究】 有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线． (1)如图2，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．求证． (2)如图3，光线与相交于点P，若，求的度数． 【变式训练2】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线与直线、分别交于点、，． (1)求证：； (2)如图，与的角平分线交于点，延长交于点，点是上一点，且，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，连接，，K是GH上一点，连接PK，作平分，若，求的度数． 题型讲练九 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏南京·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点D为上的格点，在给定的网格中，仅借助直尺按下列要求作图（请加黑画图需要的格点） (1)在图①中画直线，使； (2)在图②中画直线，使，垂足为F． 【变式训练1】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）小明在周末去方特游乐园乘坐了海盗船，海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目，它的主体是由一个大型的船身和两侧的摇摆机械臂构成．游客坐在船内，随着机械的运动，仿佛置身于一场海盗航海的冒险之中．当它静止时，我们可以把它抽象成如图1所示的图形，中心转轴点O位于铅垂线上，两条摆臂和均匀分布在铅垂线两侧，它们的长度相同． 小明在乘坐过程中遇到了下列问题： (1)如图2，当海盗船右侧船头转到最高点时，左侧船头看最高点的仰角为，即，已知两摆臂之间的夹角，求海盗船的最大摆角的度数． （温馨提示：在，由可得） (2)如图3，已知转轴O到地面的距离，在乘坐的过程中，当海盗船右侧船头在位置P时，此时测得点P到地面的距离；当左侧船头摆动到点处时，．求点到的距离． 【变式训练2】在中，是角平分线．．    (1)如图（1），是高，，，求的度数； (2)如图（2），点在上，于，试探究与、的大小关系，并证明你的结论（提示：过点作于）； (3)如图（3），点在的延长线上．于，试探究与、的大小关系是______．（直接写出结论，不需证明） 1．（2026七年级下·全国·专题练习）在同一平面内，有三条不重合的直线a，b，c，（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（23-24七年级下·新疆阿克苏·期末）下列图中，由能直接得到的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图，下列条件中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 4．下面说法正确的个数为（   ） ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两点之间，垂线段最短；③如果，，那么；④两直线平行，同位角互补；⑤平行于同一条直线的两条直线互相平行； A．3个 B．4个 C．5个 D．2个 5．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（    ） A． B． C． D．的度数无法确定 6．如图，直线、被、所截，下列结论中能判断的是（   ） A． B． C． D． 7．（2023七年级下·内蒙古鄂尔多斯·专题练习）如图，给出条件：①；②；③；④，其中能判定的是____．（注：填上所有符合条件的序号） 8．（25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为__________． 9．如图，，则________度． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，直线，被直线，所截，下列条件能判定的是________．（填序号） ①；②；③；④． 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）随着社会的不断发展，共享单车服务的提供已经成为城市交通建设必不可少的一部分．如图所示的是某品牌共享单车放在水平地面的示意图，其中AB，CD都与地面l平行，，．要使AM与CB平行，则的度数为________． 12．（24-25七年级下·全国·周测）如图，在三角形ABC中，，DF交AB于点D，交BC于点F．若，则DE与AH的位置关系是___________． 13．（25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，，平分，．试说明：． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，，与相交于点，，试判断，是否平行，并说明理由． 15．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图并标注相关字母． (1)画直线； (2)过点C画线段，使，且； (3)过点A画直线的垂线段，垂足为点E； (4)点A与直线上各点连接的所有线段中，线段最短的数学道理是______． 16．已知直线，直线分别与直线，相交于点，，点，分别在直线，上，且在直线的左侧，点是直线上一动点（不与点，重合），设，，． (1)当点在线段上运动时，试探索，，之间的关系，并给出证明； (2)当点在线段外运动时，请你在备用图中画出图形，并判断（1）中的结论是否还成立？若不成立，请你探索，，之间的关系（不需要证明）． 17．（25-26七年级下·上海·月考）问题探究： 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交的延长线于点G…… 问题迁移： （3）如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 18．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图，网格线的交点叫格点，格点是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹），并把作图痕迹加黑！ (1)过点画的垂线，交于点； (2)线段___________的长度是点到的距离； (3)的理由是___________． (4)过点画的平行线． 19．（25-26七年级上·四川乐山·期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，三角形是直角三角形，点C在直线n上，，，． 操作发现： （1）如图1，若，则=_______； 实践探究： （2）如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值．在说明理由时，组内小乐说：“过点B作直线m的平行线进行等角转化．”请你写出这个定值，并说明理由（可以用小乐的方法，也可以用其它方法）； 拓展延伸： （3）如图3，缜密小组在图2的基础上作射线、，相交于点G，且，，求的度数． 20．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $