2.2 探索直线平行的条件（题型专练）（基础达标7大题型+能力提升4大题型+拓展培优）数学新教材北师大版七年级下册

2.2 探索直线平行的条件 题型一 同位角、内错角、同旁内角 1．如图，的同位角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同位角的定义，根据“两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角”进行分析即可． 【详解】解：的同位角是， 故选：A． 2．如图，直线被直线，所截，下列是内错角的是（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 【详解】解：A、和是同位角，故此选项不符合题意； B、和不是内错角，故此选项不符合题意； C、和是内错角，故此选项符合题意； D、和是同旁内角，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．如图，与为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同旁内角的概念，熟练掌握概念是解题的关键． 根据在截线的同旁，在被截线之间的角是同旁内角进行判断即可． 【详解】解：根据同旁内角的概念可得：和是同旁内角． 故选：D． 4．如图，和是直线 ， 被直线 所截形成的 角；和是直线 ， 被直线 所截形成的 角． 【答案】，，，同旁内；，，，同位． 【分析】本题主要考查同旁内角，同位角的概念，利用同旁内角、同位角的概念进行判断填空即可． 【详解】根据题意，和是直线，被直线所截形成的同旁内角； 和是直线，被直线所截形成的同位角． 故答案为：，，，同旁内；，，，同位． 5．如图所示，和是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？和是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？ 【答案】见详解 【分析】本题考查了同位角的概念及对几何图形中角度形成原理的理解，通过观察图形，可以确定出哪些直线被截以及形成的角的类型． 【详解】解：和是直线，被直线所截形成的，它们是内错角． 和是直线，被直线所截形成的，它们是同位角． 题型二 同位角相等两直线平行 1．如图，直线，被直线所截，，下列条件中可以判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的判定，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 先标注，根据同位角相等，两直线平行判断即可． 【详解】如图所示， 根据题意可知，，和是一对同位角， 根据同位角相等两直线平行可得，当时，． 故选：A． 2．如图，将木条a，b与木条c钉在一起，，．若木条a按箭头方向旋转的度数为α时，木条，则α的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，进行解答即可． 【详解】解：如图， 当时，， ∴要使，木条a旋转的度数． 故选：D． 3．如图所示，以下条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，结合同位角相等，两直线平行，即，故，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意； B、∵，∴不能证明，故该选项不符合题意； C、∵，∴不能证明，故该选项不符合题意； D、∵，∴，故该选项符合题意； 故选：D 4．如图，填空： (1)（已知）， ________________（   ）． (2)（已知）， ________________（   ）． (3)，（已知） ________=________（等量代换）． 【答案】(1)；；同位角相等，两直线平行 (2)；；同位角相等，两直线平行 (3)； 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行，进行解答即可； （2）根据同位角相等，两直线平行，进行解答即可； （3）根据，进行解答即可． 【详解】（1）（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）． （2）（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）． （3），（已知） （等量代换）． 5．如图，，试证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定，根据邻补角求出的度数，得到，根据同位角相等，两直线平行，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型三 内错角相等两直线平行 1．如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则与平行，这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点之间线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键． 根据内错角相等，两直线平行直接得到答案． 【详解】解：由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得． 故选：B． 2．如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项判定，即可求解． 【详解】解：因为，所以（内错角相等，两直线平行．），故D符合题意； A、B、C选项都无法判断． 故选：D． 3．在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，诗诗、麦麦、皓皓三位同学的做法如图所示： 上述三位同学的做法中，依据“内错角相等，两直线平行”的是（   ） A．仅皓皓同学 B．诗诗和皓皓 C．麦麦和皓皓 D．诗诗和麦麦 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理进行判断，即可得到答案，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：诗诗：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）； 麦麦：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）； 皓皓：如图， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； 故选：D． 4．如图，当 时，． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 利用内错角相等两直线平行进行判定即可． 【详解】解：当时， ， 故答案为：． 5．如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 【答案】90，垂直的定义，，，，， 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是平行线的性质与判定定理． 首先得到，然后由得到，即可得到． 【详解】证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义） 又∵（已知） ∴（等式的性质） 即 ∴（内错角相等，两直线平行） 题型四 同旁内角互补两直线平行 1．如图，，当 度时，． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行），熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．要使，需利用平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行）确定的度数． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不能得到，不符合题意； B、由，不能得到，不符合题意； C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，符合题意； D、由不能得到，不符合题意； 故选：C． 3．老师让同学们验证教室里黑板的上，下边缘是否平行．小明画出了如图所示的示意图，并用量角器测量，的度数，则解决这个问题所应用的数学原理是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．同位角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行，进行判断即可． 【详解】解：由题意，解决这个问题所应用的数学原理是同旁内角互补，两直线平行； 故选D． 4．补全下列过程： 如图，已知，则可推得．理由如下： （已知）， _______（_____________________________________）． （已知）， ________（________）， （_____________________________）． 【答案】D  两直线平行，同旁内角互补  D  等量代换  同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及同旁内角互补定理，熟练掌握平行线相关的定理是解题的关键； 通过已知条件推导出结论即可. 【详解】解：根据“两直线平行，同旁内角互补”可知 与互补的是； 所用到的定理即两直线平行，同旁内角互补； 通过可得： ， 利用的是等量代换； 最后根据“同旁内角互补，两直线平行”得出； 所以答案为：D；两直线平行，同旁内角互补；D；等量代换；同旁内角互补，两直线平行. 5．如图，一条街道的两个拐角，，这时街道与平行吗？为什么？ 【答案】，见解析 【分析】根据同旁内角互补两直线平行；判断即可； 【详解】解：．理由如下： ，， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握同旁内角互补两直线平行是解题关键． 题型五 平行公理的应用 1．如图所示，过点作线段的平行线，下列说法中，正确的是（    ） A．不能作出 B．只能作出一条 C．能作出两条 D．能作出无数条 【答案】B 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理即可解答，掌握平行公理是解题的关键． 【详解】解：∵点为线段的外一点，即点在直线外， 又∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∵过点只能作出一条直线是线段的平行线， 故选：． 2．如图，已知P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质，根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行进行解答即可． 【详解】解：P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故选：D 3．已知直线及直线外一点，在经过点的四条直线，，，中，与直线相交的至少有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查平行公理，熟练掌握平行公理是解题的关键； 根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，即可求解； 【详解】解：根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 那么根据图可得：至少有三条直线和直线相交； 故选：C 4．如图，，，则点在同一直线上，理由是 ． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行公理，根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行解答即可，掌握平行公理是解题的关键． 【详解】解：理由是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 5．现有一条直线及其外的一点． (1)①用三角板在直线上找一点，使的长度最短； ②理论依据是________； (2)①过点画的平行线； ②这样的平行线可以画________条． 【答案】(1)①图见解析②垂线段最短 (2)①图见解析②1 【分析】本题考查画垂线和平行线，垂线段最短和平行公理： （1）①作即可；②根据垂线段最短作答即可； （2）①利用直尺和三角板画平行线即可；②根据平行公理，得到只能画1条． 【详解】（1）解：①如图，点即为所求； ②理论依据为：垂线段最短； 故答案为：垂线段最短； （2）①由题意，作图如下： ②这样的平行线可以画1条， 故答案为：1． 题型六 平行公理推论的应用 1．若互不重合的三条直线，，之间满足：，则与之间的位置关系为（   ） A．与平行 B．与垂直 C．与相交 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行公理的推论，根据平行公理的推论直接判断直线c与直线a的位置关系即可． 【详解】解：∵互不重合的三条直线，，之间满足：， ∴直线与平行， 故选：A． 2．下列推理正确的是 （ ） A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，所以 D．因为，，所以 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理的推论，属于基础题型，熟练掌握基本知识是关键．根据平行公理的推论逐项判断即得答案． 【详解】解：A、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意； B、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意； C、由，，能推出，所以本选项推理正确，符合题意； D、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意． 故选：C． 3．下列说法正确的有（   ） ①不相交的两条直线是平行线;  ②在同一平面内,不相交的两条线段平行 ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;  ④若a//b,b//c,则a与c不相交. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】①错误，应该为：在同一平面内不相交的两条直线是平行线； ②错误，应该为：在同一平面内不相交的两条直线平行； ③错误，应该为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④若a//b，b//c,则a与c不相交，正确，因为a//c； 故选A 4．如图，张萌的手中有一张正方形纸片（ ），点，分别在和上，且 ，此时张萌判断出 ，则张萌判断出该结论的理由是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，熟练掌握平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．根据已知的平行关系，利用平行公理的推论来判断直线间的平行关系． 【详解】解：∵ ，， ∴ （平行于同一条直线的两条直线互相平行）， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 5．下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整．如图，已知于B，于D，，探究与的位置关系 解：∵，（已知） ∴________，________（垂直的定义） ∴________（__________________两直线平行） ∵（________） ∴________（__________________，两直线平行） ∴与的位置关系是________ （__________________） 【答案】90；90；；在同一平面内，垂直于同一条直线的；已知；；同旁内角互补；平行；平行于同一条直线的两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定解答即可，掌握平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：∵，（已知） ∴，（垂直的定义） ∴（在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行） ∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴与的位置关系是平行 （平行于同一条直线的两直线平行） 故答案：90；90；；在同一平面内，垂直于同一条直线的；已知；；同旁内角互补；平行；平行于同一条直线的两直线平行 题型七 用直尺、圆规、三角板画平行线 1．小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了画平行线，根据平行线的判定可得答案． 【详解】解：由图可知，，与为同位角， ∴， ∴由此可得到的基本事实是同位角相等，两直线平行． 故选：A． 2．如图，已知直线，以及直线外一点．利用尺规作图按下列步骤操作如下： ①在直线上取一点，经过点和点，作直线； ②作，并使得与是一对同位角； ③反向延长射线，得到直线． 根据以上作法，下列结论错误的为（   ） A． B．的理论依据是同位角相等，两直线平行 C．若，则 D． 【答案】C 【分析】本题考查了作平行线，平行线的判定，掌握平行线的判定是解答本题的关键．根据平行线的判定即可判断，，根据可判断，根据等角的补角相等可判断． 【详解】解：， ， 故不符合题意； 的理论依据是同位角相等，两直线平行， 故不符合题意； ， ， ， 故符合题意； ， ， ， 故不符合题意， 故选：． 3．下列尺规作图中，不一定能判定直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定定理，以及对顶角的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 根据“同位角相等，两直线平行”；“内错角相等，两直线平行”；“同旁内角互补，两直线平行”和对顶角相等，判断即可． 【详解】解：A选项，无法判断两个角是否互补，故不一定能判定直线； B选项，同位角相等，两直线平行，能判断； C选项，内错角相等，两直线平行，能判断； D选项，根据对顶角相等，以及同位角相等，两直线平行，能判断． 故选：A ． 4．如图，点在 的边上．按下列要求画出相应的图形． ①过点画直线 ②过点分别画 垂足分别为点、， 交于点； 【答案】见解析 【分析】本题考查了画平行线，画垂线，根据要求画出图形即可． 【详解】解：如图所示 5．如图，直线与直线相交于点，根据下列语句画图： (1)过点作，交于点． (2)过点作，垂足为． (3)作，使得．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】本题考查基本几何作图，涉及平行线的画法、垂线的画法以及尺规作一个角等于已知角，考查对基本几何作图方法的掌握． （1）作平行线可采用“平移法”，利用三角板与直尺的配合，根据“同位角相等，两直线平行”的判定定理，画出过点且平行于的直线； （2）作垂线时，借助三角板的直角，使直角一边与重合，另一边经过点，画出的直线即为的垂线； （3）作等角运用尺规作图的基本方法，通过画弧截取等长的线段，构造对应相等的边，从而作出与相等的． 【详解】（1）解：将三角板的一边与重合，直尺靠紧三角板的另一条边，平移三角板，使三角板与重合的边经过点，沿这条边画直线，交于点，则，即为所求，如图所示： （2）解：将三角板的一条直角边与重合，移动三角板，使三角板的另一条直角边经过点，沿这条直角边画直线，交于点，则，垂足为，即为所求，如图所示： （3）解：①画直线；②以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；③以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；④以点为圆心，的长为半径画弧，与步骤③所画的弧交于点；⑤作射线，则即为所求作的角．如图所示； 题型一 同位角、内错角、同旁内角 1．若和是同旁内角，，则的度数（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题考查了三线八角，明确同位角、内错角、同旁内角只是两个角的一种位置关系，而没有一定的大小关系是解此类问题的关键． 两直线平行时同旁内角互补，不平行时无法确定同旁内角的大小关系，据此分析判断即可得． 【详解】解：同旁内角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系，只有两直线平行时，同旁内角互补，因此的度数不能确定， 故选：D． 2．下列说法中正确的有（    ） ①相等的角是对顶角； ②六边形有8条对角线； ③同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ⑤如图，和是同旁内角； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的定义、对角线的计算方法、垂线的性质、点到直线距离、同旁内角的定义，熟练掌握相关的性质定理是解题的关键． 根据对顶角的定义、对角线的计算方法、垂线的性质、点到直线距离、同旁内角的定义逐项判断即可． 【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，故本题说法不正确； ②六边形有条对角线，故本题说法不正确； ③同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本题说法正确； ④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故本题说法不正确； ⑤和是同旁内角，故本题说法不正确； 综上，说法正确的有1个， 故选：B． 3．如图，下面说法错误的是（   ） A．和是对顶角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 【答案】B 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角的定义，对顶角的定义，由同位角、内错角、同旁内角的定义，对顶角的概念，即可判断，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角的定义，对顶角的概念． 【详解】解：A、和是对顶角，说法正确，故选项不符合题意； B、和不是同位角，故选项符合题意； C、和是同旁内角，说法正确，故选项不符合题意； D、和是内错角说法正确，故选项不符合题意； 故选：B． 4．如图． （1）与是直线，被直线所截形成的 角； （2）与是直线 被直线 所截形成的 角； （3）与是直线 被直线 所截形成的 角； （4）与是直线 被直线 所截形成的 角． 【答案】 内错 同位 同旁内 内错 【分析】本题考查的知识点是同位角，内错角，同旁内角的概念，解题关键是熟记同位角、内错角、同旁内角的位置关系． （1）利用内错角的概念进行判断填空即可； （2）利用同位角的概念进行判断填空即可； （3）利用同旁内角的概念进行判断填空即可； （4）利用内错角的概念进行判断填空即可． 【详解】解：（1）与是直线，被直线所截形成的内错角； 故答案为：内错； （2）与是直线被直线所截形成的同位角； 故答案为：，，同位； （3）与是直线被直线所截形成的同旁内角； 故答案为：，，同旁内； （4）与是直线被直线所截形成的内错角． 故答案为：，，内错． 5．如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 【答案】(1) (2)是的“关联角”．理由见解析 【分析】（1）由之间的关系直接求解即可； （2）根据同旁内角的概念进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵ ∴ 故答案为：． （2）解：是的“关联角”．理由如下： ∵是的“关联角”， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是的“关联角”． 【点睛】本题主要考查了同旁内角的相关概念，熟练掌握是解决本题的关键． 题型二 平行线的判定 1．如图，直线BF，CD相交于点O，，则下列判断正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题关键．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行判断即可． 【详解】解：选项当时，得，这时，故选项不正确，不符合题意； 选项当时，得，不是同旁内角，不能得到，故选项不正确，不符合题意； 选项当时，得，不是同位角也不是内错角，不能得到，故选项不正确，不符合题意； 选项当时，，，与是同旁内角，是正确的，故选项正确，符合题意． 故选：． 2．如图，给出下列四个条件：①；②；③；④，其中能使的条件是（   ） A．①② B．③④ C．②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，掌握数形结合思想的应用、弄清截线与被截线是解题的关键． 根据平行线的定义可判定①；运用内错角相等、两直线平行可判定②③④． 【详解】解：由不等同于，故①不符合题意； 由，根据内错角相等、两直线平行可得，即②符合题意； 由，根据内错角相等、两直线平行可得，即③不符合题意； 由，根据内错角相等、两直线平行可得，即④符合题意； 所以能使的条件是②④． 故选：C． 3．如图，将一直角三角尺与纸条叠放一起，下列条件不能说明纸条上下两边平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，同角的余角相等，对顶角相等，根据平行线的判定方法逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 、∵， ∴，原选项不符合题意； 、∵，， ∴， ∴，原选项不符合题意； 、由，不能判定，原选项符合题意； 、∵， ∴，原选项不符合题意； 故选：． 4．如图，下列推理中正确的是 ．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】①②④ 【详解】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来判断两直线是否平行． 解：①：∵，这是内错角相等，∴，推理正确； ②：∵，这是同位角相等，∴，推理正确； ③：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理错误； ④：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理正确． 综上，正确的推理是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了知识点平行线的判定，解题关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角，再结合判定定理进行判断． 5．如图，直线分别与直线交于点B，F，且．的角平分线交直线于点E，的角平分线交直线于点C．    (1)请判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)求证：． (3)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由对等角相等及等量代换可得，再由同位角相等两直线平行解答； （2）由两直线平行内错角相等得到，再结合角平分线性质、等量代换得到，最后根据内错角相等，两直线平行解答； （3）由平行线的性质可得，，整理得，最后由邻补角互补解答． 【详解】（1）解： ． 理由：∵， ∴， ∴． （2）证明：由（1）知， ∴． ∵的平分线交直线于点E，的平分线交直线于点C， ∴， ∴， ∴． （3）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质、邻补角的性质、角平分线的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 题型三 平行公理及其推论 1．下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论等知识，熟记平行线的判定与性质、平行公理及推论是解题的关键．根据平行线的判定与性质、平行公理及推论、两条直线的位置关系等知识判断求解即可． 【详解】解：在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行， 故①正确，符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 故②错误，不符合题意； 过两条直线，外一点，画直线，使，且； 只有当时，才能画出这样的直线，若与相交，则无法画出，所以原说法错误， 故③错误，不符合题意； 若直线，，则． 故④正确，符合题意； 综上，正确的有2个， 故选：C． 2．数学课堂上，老师出示了如下问题：如图，已知直线外有两点． 画图操作： 第一步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 第二步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 观察发现：． 上述过程中的“画图操作”和“观察发现”可得到的数学知识分别是（    ） 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理及其推论，根据平行公理及其推论即可求解，掌握平行公理及其推论是解题的关键． 【详解】解：由“画图操作”可得到的数学知识是经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； 由“观察发现”可得到的数学知识是如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ∴可得到的数学知识分别是， 故选：． 3．在同一平面内，直线l的同侧有A，B，C三点，如果，，那么A，B，C三点是否在同一条直线上？画图并说明理由． 【答案】在同一条直线上，见解析，理由：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】此题考查了过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行求解即可． 【详解】解：A，B，C三点在同一条直线上，如图所示． 理由：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 4．如图，已知直线a，b，c被d所截，且，．试说明：． 解：因为（已知） （___________） 所以___________=___________（等量代换） 所以______________________（___________） 又因为（已知） 所以______________________（___________） 【答案】对顶角相等，2，3，a，c，同位角相等，两直线平行，b，c，平行于同一直线的两条直线互相平行 【分析】根据对顶角相等得到，从而得到，再根据平行线的判定定理得到，从而根据平行线的推论证得． 【详解】解：因为（已知） （对顶角相等） 所以2=3（等量代换） 所以ac（同位角相等，两直线平行） 又因为（已知） 所以bc（平行于同一直线的两条直线互相平行） 【点睛】此题考查了平行线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握性质定理． 5．如图，，在上取一点，过点作交于点，试说明与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行公理，根据平行于同一直线的两直线互相平行解答． 【详解】解：，理由如下： ，， （平行公理）． 题型四 尺规作图 1．如图，在中，D为边上一点，现要利用尺规作图过点D作，下列作法不可行的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，一个角等于已知角，过直线外一点作已知直线的平行线，平行线的判定等知识，根据作角平分线，一个角等于已知角，平行线的判定逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由作图可知，， ∴，故不符合题意； 、如图，由作图可知，， ∵， ∴， ∴，故不符合题意； 、如图， 由作图可知，， ∴，故不符合题意； 、由作图可知，不能说明，故符合题意； 故选：． 2．已知点在直线外，要求过点画直线的平行线．某位同学先过点画直线交于点，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点处沿着直线平移画出所要求作的直线．在点处，他的三角板摆放方法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．根据同位角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：将三角板中的角与重合，再从点处沿着直线平移，当三角板中的角的顶点与点重合时，画出的直线即为直线的平行线．理由是：同位角相等，两直线平行． 故选：C． 3．下列四个情境中，利用一副三角板完成作图要求正确的是（   ） ①要求：根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”作． 作法：    ②要求：过直线外一点P作这条直线的平行线． 作法：    ③要求：过直线外一点P作这条直线的垂线． 作法：    ④要求：根据“同位角相等，两直线平行”作． 作法：    A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的判定等知识，平移的性质，平行线的判定，垂直的定义逐步判断各情境即可． 【详解】解∶①如图， 根据三角板的特征知∶， ∴，故作法正确； ②如图， 根据三角板的特征知∶， 无法得出， ∴不能说明，故作法不正确． ③如图， 根据三角板的特征知∶， ∴，故作法正确； ④如图， 根据平移的性质知∶ ， ∴，故作法正确； 故选∶B． 4．现有直线和直线外一点C，如图是小明同学利用“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图痕迹，请问该同学这样作平行线依据的判定定理是： ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的平行线，同位角相等，两直线平行，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，观察作图过程，得出，又因为是一组同位角，即该同学这样作平行线依据的判定定理是同位角相等，两直线平行． 【详解】解：依题意， 观察作图过程，得出， ∵是一组同位角， 即该同学这样作平行线依据的判定定理是同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 5．解答下列各题 (1)小明在学习了平行线的判定方法后，会利用直尺和三角尺过直线外一点作已知直线的平行线，如图1所示，小明的作图依据是： ____________．          (2)小丽发现如果利用直尺和圆规，也可以过直线外一点作已知直线的平行线．如图2，已知直线a，点P为直线a外一点，小丽利用直尺和圆规过点P作直线平行于直线a．以下是小丽的作图方法： ①在直线a上取一点A，作直线（与直线a不垂直）； ②在的延长线上取一点B，以B为圆心长为半径作弧，交直线a于点C； ③联结，以B为圆心长为半径作弧，交于点D，作直线 这样，就得到直线．你能说明的理由吗？ 【答案】(1)同位角相等，两直线平行； (2)证明见解析 【分析】（1）将三角板沿直尺移动的时候，三角板各个角度大小不变，由此得同位角相等，所以两直线平行； （2）由于大三角形和小三角形都是等腰三角形，且共有∠B，所以四个底角都相等，从而得出同位角相等，两直线平行． 【详解】（1） 由小明的作图方法可知，小明的作图依据是：同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． （2） 由小丽的作图方法可知：， ∴， ∵， ， ∴ ∴， 即（同位角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查平行线与直线相交中的平行线的判定，掌握他们的判定和性质是解题关键． 1．滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解决本题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义解决此题． 【详解】解：①根据对顶角的定义（角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角），与是对顶角，①正确． ②根据同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线同一侧的两个角是同旁内角），与是同旁内角，②正确． ③根据同旁内角的定义以及邻补角的定义，与不是同旁内角，而是邻补角，③错误． ④根据内错角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线两侧的两个角是内错角），与是内错角，④正确． 综上：正确的有①②④，共个． 故选：C． 2．如图，直线、同时与第三条直线相交，其中与在与之间，且同时位于两侧，我们称与为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为与）．如图2，5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（　　）组内错角． A．20 B．30 C．60 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了求内错角，将图2分为10种情况求出一种情况的组数是解题的关键． 任意三条直线相交，可知共有六组内错角，求出5条直线任取三条的情况数，即可求出总的组数，根据内错角需三条直线才得以成立可知不存在重复情况，即可作答． 【详解】如图，任意三条直线相交， 根据内错角的定义可知与、与、与、与、与、与是内错角共六组； 设5条直线分别为a、b、c、d、e，任取三条， 则共有共10种情况， 则共有（组） ∵内错角需三条直线才得以成立， ∴不存在重复情况， 例如将移走，则均不存在，即已知与、与、与、与、与、与六组内错角不存在． 故选：C 3．如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 【答案】B 【分析】本题主要考查了同位角的概念和规律题，可先通过分析前几次作直线后产生同位角的数量，找出其规律，再根据规律计算第6次产生同位角的数量，即可求解． 【详解】解： 设作第n次直线后产生的同位角对数为， 第1次，作​​相交​​，此时有2条被截直线 ，1条截线​​，产生了对同位角； 第2次，作​​相交​​，此时有3条被截直线​​，1条截线​​，产生了对同位角； 第3次，作​​相交，此时有4条被截直线，1条截线​​，产生了对同位角； 以此类推，可得到规律：作第n次直线后，有条被截直线，1条截线，产生的同位角对数； 当时，代入上述规律公式可得：（对） 故选项为：B． 4．如图，分别平分与，且．证明．下面是不完整的推理过程， 证明：分别平分与（已知）， ___________（角平分线的定义）， （已知）， _________（等量代换）， （已知）， _________， ． 下列说法错误的是（    ） A．☆表示 B．表示 C．表示 D．表示内错角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的判定，角平分线的定义，根据题干信息的提示逐步完善推理过程与依据即可得到答案. 【详解】解：分别平分与（已知）， ，A不符合题意； （已知）， ，B不符合题意； （已知）， ，C符合题意； （内错角相等，两直线平行），D不符合题意； 故选：C 5．如图，已知，和分别平分和，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义及方程思想，过点E作，过点F作，根据平行公理的推论得出，再利用平行线的性质，推导出内错角相等，结合角平分线定义，设未知数表示角度，表达和，结合已知条件列出方程，最后化简方程求解β，进而求． 【详解】解：如图，过点E作，过点F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∵平分，平分， ∴，， 设，， 则，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 6．如图，平面反光镜斜放在地面上，一束光线从地面上的点射出，是反射光线．已知，．若要使反射光线，则的度数应调节为 ． 【答案】 【分析】利用平行线的判定和光的反射原理可解此题． 【详解】解：要使反射光线，则． ， ． ，， ， ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟练应用平行线的判定． 7．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）82；（3），见解析；（4）131 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过P作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系； （4）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数． 【详解】解：（1）如图，过P作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；； （2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：82； （3），，之间的数量关系是：；理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：； （4）∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴设，， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：131． 8．【项目化学习】“玩转三角尺”． 【项目背景】：在数学实践活动课中，项目学习小组的同学们用一副三角尺进行数学探究活动，如下图，利用三角尺和三角尺进行了操作探究活动．（其中，，，）请你一起探究，完成以下任务． 任务一：如图1，项目学习小组的同学们将三角尺沿方向移动，得到，王丽发现此时，她的判断依据是：_________ 任务二：项目学习小组的同学们将这两个三角尺进行了如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，且点A与点F重合，求的度数． 任务三：在图2的条件下，项目学习小组的同学们固定三角尺，将三角尺绕点C逆时针旋转，如图3，请你一起进行操作探究活动，在旋转过程中，当三角尺的边所在直线与所在直线平行时，直接写出满足条件的度数． 【答案】任务一：同位角相等，两直线平行；任务二：；任务三：或或 【分析】本题主要考查了旋转的定义，平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据平行线的判定即可解答；先过点A作，交于点，再根据平行线的性质进行解答即可；根据旋转的定义得出符合条件的情况，再利用平行线的性质，分情况讨论即可． 【详解】解：任务一：由平移得，， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 任务二：如图，过点作，交于点， 又， ， ，， ． ， ． 答：的度数为． 任务三：需分情况讨论： 当时，如图所示， ； 当时，如图所示， 过点作交于点， 则， 同理任务二可得，； 当，且在直线b的下方时，如图所示， 则， ； 综上，的度数为或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 探索直线平行的条件 题型一 同位角、内错角、同旁内角 1．如图，的同位角是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线被直线，所截，下列是内错角的是（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 3．如图，与为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，和是直线 ， 被直线 所截形成的 角；和是直线 ， 被直线 所截形成的 角． 5．如图所示，和是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？和是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？ 题型二 同位角相等两直线平行 1．如图，直线，被直线所截，，下列条件中可以判定的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将木条a，b与木条c钉在一起，，．若木条a按箭头方向旋转的度数为α时，木条，则α的值可以为（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，以下条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，填空： (1)（已知）， ________________（   ）． (2)（已知）， ________________（   ）． (3)，（已知） ________=________（等量代换）． 5．如图，，试证明． 题型三 内错角相等两直线平行 1．如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则与平行，这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点之间线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 2．如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，诗诗、麦麦、皓皓三位同学的做法如图所示： 上述三位同学的做法中，依据“内错角相等，两直线平行”的是（   ） A．仅皓皓同学 B．诗诗和皓皓 C．麦麦和皓皓 D．诗诗和麦麦 4．如图，当 时，． 5．如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （     ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 题型四 同旁内角互补两直线平行 1．如图，，当 度时，． 2．如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．老师让同学们验证教室里黑板的上，下边缘是否平行．小明画出了如图所示的示意图，并用量角器测量，的度数，则解决这个问题所应用的数学原理是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．同位角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 4．补全下列过程： 如图，已知，则可推得．理由如下： （已知）， _______（_____________________________________）． （已知）， ________（________）， （_____________________________）． 5．如图，一条街道的两个拐角，，这时街道与平行吗？为什么？ 题型五 平行公理的应用 1．如图所示，过点作线段的平行线，下列说法中，正确的是（    ） A．不能作出 B．只能作出一条 C．能作出两条 D．能作出无数条 2．如图，已知P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 3．已知直线及直线外一点，在经过点的四条直线，，，中，与直线相交的至少有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 4．如图，，，则点在同一直线上，理由是 ． 5．现有一条直线及其外的一点． (1)①用三角板在直线上找一点，使的长度最短； ②理论依据是________； (2)①过点画的平行线； ②这样的平行线可以画________条． 题型六 平行公理推论的应用 1．若互不重合的三条直线，，之间满足：，则与之间的位置关系为（   ） A．与平行 B．与垂直 C．与相交 D．以上都有可能 2．下列推理正确的是 （ ） A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，所以 D．因为，，所以 3．下列说法正确的有（   ） ①不相交的两条直线是平行线;  ②在同一平面内,不相交的两条线段平行 ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;  ④若a//b,b//c,则a与c不相交. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，张萌的手中有一张正方形纸片（ ），点，分别在和上，且 ，此时张萌判断出 ，则张萌判断出该结论的理由是 ． 5．下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整．如图，已知于B，于D，，探究与的位置关系 解：∵，（已知） ∴________，________（垂直的定义） ∴________（__________________两直线平行） ∵（________） ∴________（__________________，两直线平行） ∴与的位置关系是________ （__________________） 题型七 用直尺、圆规、三角板画平行线 1．小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 2．如图，已知直线，以及直线外一点．利用尺规作图按下列步骤操作如下： ①在直线上取一点，经过点和点，作直线； ②作，并使得与是一对同位角； ③反向延长射线，得到直线． 根据以上作法，下列结论错误的为（   ） A． B．的理论依据是同位角相等，两直线平行 C．若，则 D． 3．下列尺规作图中，不一定能判定直线的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，点在 的边上．按下列要求画出相应的图形． ①过点画直线 ②过点分别画 垂足分别为点、， 交于点； 5．如图，直线与直线相交于点，根据下列语句画图： (1)过点作，交于点． (2)过点作，垂足为． (3)作，使得．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 题型一 同位角、内错角、同旁内角 1．若和是同旁内角，，则的度数（    ） A． B． C．或 D．不能确定 2．下列说法中正确的有（    ） ①相等的角是对顶角； ②六边形有8条对角线； ③同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ⑤如图，和是同旁内角； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．如图，下面说法错误的是（   ） A．和是对顶角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 4．如图． （1）与是直线，被直线所截形成的 角； （2）与是直线 被直线 所截形成的 角； （3）与是直线 被直线 所截形成的 角； （4）与是直线 被直线 所截形成的 角． 5．如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 题型二 平行线的判定 1．如图，直线BF，CD相交于点O，，则下列判断正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．如图，给出下列四个条件：①；②；③；④，其中能使的条件是（   ） A．①② B．③④ C．②④ D．①③④ 3．如图，将一直角三角尺与纸条叠放一起，下列条件不能说明纸条上下两边平行的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，下列推理中正确的是 ．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 5．如图，直线分别与直线交于点B，F，且．的角平分线交直线于点E，的角平分线交直线于点C．    (1)请判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)求证：． (3)若，求的度数． 题型三 平行公理及其推论 1．下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 2．数学课堂上，老师出示了如下问题：如图，已知直线外有两点． 画图操作： 第一步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 第二步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 观察发现：． 上述过程中的“画图操作”和“观察发现”可得到的数学知识分别是（    ） 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 A． B． C． D． 3．在同一平面内，直线l的同侧有A，B，C三点，如果，，那么A，B，C三点是否在同一条直线上？画图并说明理由． 4．如图，已知直线a，b，c被d所截，且，．试说明：． 解：因为（已知） （___________） 所以___________=___________（等量代换） 所以______________________（___________） 又因为（已知） 所以______________________（___________） 5．如图，，在上取一点，过点作交于点，试说明与的位置关系，并说明理由． 题型四 尺规作图 1．如图，在中，D为边上一点，现要利用尺规作图过点D作，下列作法不可行的是（   ）． A． B． C． D． 2．已知点在直线外，要求过点画直线的平行线．某位同学先过点画直线交于点，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点处沿着直线平移画出所要求作的直线．在点处，他的三角板摆放方法正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列四个情境中，利用一副三角板完成作图要求正确的是（   ） ①要求：根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”作． 作法：    ②要求：过直线外一点P作这条直线的平行线． 作法：    ③要求：过直线外一点P作这条直线的垂线． 作法：    ④要求：根据“同位角相等，两直线平行”作． 作法：    A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 4．现有直线和直线外一点C，如图是小明同学利用“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图痕迹，请问该同学这样作平行线依据的判定定理是： ． 5．解答下列各题 (1)小明在学习了平行线的判定方法后，会利用直尺和三角尺过直线外一点作已知直线的平行线，如图1所示，小明的作图依据是： ____________．          (2)小丽发现如果利用直尺和圆规，也可以过直线外一点作已知直线的平行线．如图2，已知直线a，点P为直线a外一点，小丽利用直尺和圆规过点P作直线平行于直线a．以下是小丽的作图方法： ①在直线a上取一点A，作直线（与直线a不垂直）； ②在的延长线上取一点B，以B为圆心长为半径作弧，交直线a于点C； ③联结，以B为圆心长为半径作弧，交于点D，作直线 这样，就得到直线．你能说明的理由吗？ 1．滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，直线、同时与第三条直线相交，其中与在与之间，且同时位于两侧，我们称与为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为与）．如图2，5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（　　）组内错角． A．20 B．30 C．60 D．120 3．如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 4．如图，分别平分与，且．证明．下面是不完整的推理过程， 证明：分别平分与（已知）， ___________（角平分线的定义）， （已知）， _________（等量代换）， （已知）， _________， ． 下列说法错误的是（    ） A．☆表示 B．表示 C．表示 D．表示内错角相等，两直线平行 5．如图，已知，和分别平分和，若，则 ． 6．如图，平面反光镜斜放在地面上，一束光线从地面上的点射出，是反射光线．已知，．若要使反射光线，则的度数应调节为 ． 7．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 8．【项目化学习】“玩转三角尺”． 【项目背景】：在数学实践活动课中，项目学习小组的同学们用一副三角尺进行数学探究活动，如下图，利用三角尺和三角尺进行了操作探究活动．（其中，，，）请你一起探究，完成以下任务． 任务一：如图1，项目学习小组的同学们将三角尺沿方向移动，得到，王丽发现此时，她的判断依据是：_________ 任务二：项目学习小组的同学们将这两个三角尺进行了如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，且点A与点F重合，求的度数． 任务三：在图2的条件下，项目学习小组的同学们固定三角尺，将三角尺绕点C逆时针旋转，如图3，请你一起进行操作探究活动，在旋转过程中，当三角尺的边所在直线与所在直线平行时，直接写出满足条件的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.2探索直线平行的条件 三线八角 题型一：同位角、内错角、同旁内角 题型二：同位角相等两直线平行 平行线的判定定理 题型三：内错角相等两直线平行 题型四：同旁内角互补两直线平行 探索直线平行的条件 题型五：平行公理的应用 平行公理及推论 题型六：平行公理推论的应用 尺规作图 题型七：用直尺、圆规、三角板画平行线 基础达标题 题型一同位角、内错角、同旁内角 1.A 2.C 3.D 4.AB,CD,BC,同旁内；AD,BC,AB,同位. 5.解：∠1和∠2是直线CD,EF被直线AB所截形成的，它们是内错角. ∠1和∠3是直线AB,CD被直线EF所截形成的，它们是同位角. 题型二同位角相等两直线平行 1.A 2.D 3.D 4.(1)AB:CD;同位角相等，两直线平行 (2)AD:BC;同位角相等，两直线平行 (3)∠NDC;∠CBM 5.证明：：∠AFE=131°，∠AFE+∠BFE=180°， .∠BFE=49o, ∠C=49°， 1/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·∠BFE=∠C, ..AB/CD 题型三内错角相等两直线平行 1.B 2.D 3.D 4./FED 5.90,垂直的定义，∠BCD,∠2，∠BCF,BE,CF 题型四同旁内角互补两直线平行 1.120 2.C 3.D 4.D:两直线平行，同旁内角互补：D:等量代换：同旁内角互补，两直线平行. 5.解：AB/iCD.理由如下： .'∠ABC=128°，∠BCD=52°， ∴.∠ABC+∠BCD=180°， .AB∥CD. 题型五平行公理的应用 1.B 2.D 3.C 4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 5.解：(1)①如图，点D即为所求： M ②理论依据为：垂线段最短： 故答案为：垂线段最短； (2)①由题意，作图如下： M ②这样的平行线可以画1条， 219 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：1. 题型六平行公理推论的应用 1.A 2.C 3.A 4.平行于同一条直线的两条直线互相平行 5.90:90;CD:在同一平面内，垂直于同一条直线的：已知；EF;同旁内角互补；平行；平行于同一 条直线的两直线平行 题型七用直尺、圆规、三角板画平行线 1.A 2.C 3.A 4.解：如图所示 B M W A D E 5.解：(1)将三角板的一边与CD重合，直尺靠紧三角板的另一条边，平移三角板，使三角板与CD重合 的边经过点P,沿这条边画直线PQ,交AB于点Q,则PQ/iCD,PQ即为所求，如图所示： D C Q八 -B (2)将三角板的一条直角边与CD重合，移动三角板，使三角板的另一条直角边经过点P,沿这条直角边 画直线PR,交CD于点R,则PR⊥CD,垂足为R,PR即为所求，如图所示： D Q六B (3)①画直线OM;②以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、CD于点E、F;③以点O为圆心， CE的长为半径画弧，交OM于点G;④以点G为圆心，EF的长为半径画弧，与步骤③所画的弧交于点N; ⑤作射线ON,则∠MON即为所求作的角.如图所示： 3/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B 能力提升题 题型一同位角、内错角、同旁内角 1.D 2.B 3.B 4.(1)内错： (2)AB、DE,AC,同位： (3)BC、AC,BE,同旁内： (4)AC、BC,BE,内错. 5.解：(1)由题意可知，∠B=∠a+30°， ∠a=50° ÷∠β=30°+50°=80° 故答案为：80° (2)∠DHG是∠BGH的“关联角”，理由如下： :∠AGH是∠CHG的“关联角”， .∠AGH=∠CHG+30° :∠DHG=180°-∠CHG,∠BGH=180°-∠AGH, ·∠DHG-∠BGH=180°-∠CHG-(180°-∠AGH)=∠AGH-∠CHG=30°， ∠DHG=∠BGH+30°， ∠DHG是∠BGH的“关联角”. 【点睛】本题主要考查了同旁内角的相关概念，熟练掌握是解决本题的关键。 题型二平行线的判定 1.D 2.C 3.C 4.①②④ 5.解：(1)AP/iDG. 理由：∠ABF=∠1，∠1=∠2， ∠ABF=∠2， 4/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷AP/元DG. (2)由(1)知AP/元DG, ·∠ABF=∠BFG '∠ABF的平分线BE交直线DG于点E,∠BFG的平分线FC交直线AP于点C, A∠EBF=∠ABF,∠CFB=∠BFG, ·∠EBF=∠CFB, :.BE/CF. (3).AC/iDG,∠ACF=37°， ÷∠ACF=∠CFG=37o. BE/iCF, ·∠CFG=∠BEG=37°， ∠ACF=∠BEG=37o :.∠BED=180°-∠BEG=143°. 题型三平行公理及其推论 1.C 2.D 3.解：A,B,C三点在同一条直线上，如图所示. A B 理由：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 4.对顶角相等，2,3，a,c,同位角相等，两直线平行，b,c,平行于同一直线的两条直线互相平行 5.解：EF∥DC,理由如下： .ABI∥DC,EF∥AB, .EF∥DC(平行公理). 题型四尺规作图 1.D 2.C 3.B 5/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.同位角相等，两直线平行 5.解：(1)由小明的作图方法可知，小明的作图依据是：同位角相等，两直线平行. 故答案为：同位角相等，两直线平行 (2)由小丽的作图方法可知：BP=BD,BA=BC ∠BPD=∠BDP,∠BAC=∠BCA '∠B+∠BPD+∠BDP=180°， ∠B+∠BAC+∠BCA=180°， ·∠BPD=∠BAC :.PD/AC, 即PD/(a(同位角相等，两直线平行)· 拓展培优题 1.C 2.C 3.B 4.C 5.36 6.30° 7.解：(1)如图，过P作PM∥AB, A :PM∥AB,(辅助线的作法) ·∠B=∠BPM,(两直线平行，内错角相等) AB∥CD,(已知) PM∥CD,(平行于同一条直线的两条直线互相平行) ·∠D=∠DPM,(两直线平行，内错角相等) :∠BPM+∠DPM=∠BPD,(角的和差定义) :∠B+∠D=∠BPD.(等量代换) 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行：两直线平行，内错角相等： ∠D; (2)过点P作PN∥AB(点N在点P的右侧)，如图2所示： 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A P F D 图2 ·∠EPN+∠BEP=180°， ∠BEP=150°， .∠EPN=180°-∠BEP=30°， AB∥CD, PN∥CD, .∠FPN+∠PFD=180°， ∠PFD=128°， ∠FPN=180°-∠PFD=52°， ·∠EPF=∠BEP+∠PFD=30°+52=82°， 故答案为：82： (3)∠PEA,∠PFC,∠EPF之间的数量关系是：∠PFC-∠PEA=∠EPF:理由如下： 过点P作PH∥AB(点H在点P的右侧)，如图3所示： A B 图3 ∠HPE=∠PEA, AB∥CD, PH∥CD, ∠HPF=∠PFC, ·.∠EPF=∠HPF-∠HPE=∠PFC-∠PEA, 即LPEA,∠PFC,∠EPF之间的数量关系是：∠PFC-∠PEA=∠EPF: (4):∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点Q, ∴设∠AEQ=∠PEQ=a,∠CFQ=∠PFQ=B, ÷∠AEP=2a,∠CFP=2B, ·∠BEP=180°-∠AEP=180°-2a,∠DFP=180°-∠CFP=180°-2B, 由(1)的结论得：∠Q=∠AEQ+∠CFQ=Q+B, ∠EPF=∠BEP+∠DFP=360°-2a+B, 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 '∠EPF=98°， 98°=360°-2a+β， 解得：a+β=131°， ∠Q=a+B=131°， 故答案为：131. 8.解：任务一：由平移得，∠B=∠B1, ∴.AB/(AB1(同位角相等，两直线平行)· 故答案为：同位角相等，两直线平行 任务二：如图，过点A作AG/元a,交ED于点G, 又.a/ib, ∴.a/元AG/Ub, ∴.∠1=∠EAG,∠ABC=∠BAG, ∴.∠DFE=∠EAG+∠BAG=∠1+∠ABC=45°. ,∠ABC=30°， ∴.∠1=45°-30=15°， 答：∠1的度数为15°. 任务三：需分情况讨论： 当AC/(EF时，如图所示， E b:.∠FCA=1800-LCFE=180°-(90°+45=45 B 当AB/EF时，如图所示， 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a D--- 过点C作CMIEF交DF于点M, 则CMI元EF/UAB, 同理任务二可得，∠FCA=∠FCM+∠ACM=180°-135°+90°=135°： 当BC/UEF,且BC在直线b的下方时，如图所示， a A 则∠FCB=∠CFE=90°+45°=135°， ∴.∠FCA=360°-∠FCB-∠ACB=360°-135°-60°=165°： 综上，∠FCA的度数为45°或135°或165°. 919