专项复习一 相交线及其所成的角-2025-2026学年北师大版数学七年级下册同步培优讲义

2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 专项复习一 相交线及其所成的角 （第二章 相交线与平行线） 【北师大版七下●新教材】 题型分类讲练 1 题型讲练一 相交线 1 题型讲练二 垂线的定义理解 2 题型讲练三 画垂线 5 题型讲练四 垂线段最短 7 题型讲练五 点到直线的距离 9 题型讲练六 对顶角的定义 11 题型讲练七 对顶角相等 14 题型讲练八 邻补角的定义理解 16 题型讲练九 找邻补角 17 题型讲练十 利用邻补角互补求角度 19 题型讲练十一 同位角、内错角、同旁内角 22 能力提升训练 28 题型讲练一 相交线 【典例精讲】（24-25七年级下·重庆·期中）下列说法中正确的是（   ） A．同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行和垂直 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【思路引导】本题考查了平面内两直线位置关系，三角形的高的定义，平行公理以及垂线的性质，根据以上知识逐项分析判断即可求解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【规范解答】解：A、 同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行，故该选项不正确，不符合题意； B、 三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，故该选项正确，符合题意； C、过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故该选项不正确，不符合题意； D、同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，点P为a与b之间一点，过点P作9条不同的直线均与直线a相交，探究图中相交线形成的所有角中，互为邻补角的对数是（　　） A． B．180 C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查平行线，相交线和邻补角，根据两条直线相交有对邻补角，即可解决问题． 【规范解答】解：∵两条直线相交有对邻补角， ∴过点作9条直线，从条直线中选条的组合数为，则邻补角对数为； 9条不同的直线分别与直线、、相交，确定邻补角对数是， ∴总共对， 故选：D． 题型讲练二 垂线的定义理解 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图1，直线和相交于点，垂足为点平分． (1)若． ①求的度数； ②求的度数； (2)如图2，将直线绕着点旋转，始终在的上方，当为锐角时，在的内部作射线，使得射线平分．判断的度数是否发生变化?如果不变，求出的度数；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)的度数不变， 【思路引导】（1）①根据，且，即可求得的度数；②首先根据垂直的定义可得，进而可得，的度数，结合角平分线的定义可得，然后由求解即可； （2）设，根据角平分的定义可得，，进而可得结论． 【规范解答】（1）解：①∵，且， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）的度数不变，，理由如下： 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了垂直的定义、邻补角、角平分线的定义以及几何图形中角度计算，正确理解题意是解题关键． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏南通·期末）直线、相交于点O，平分． (1)如图1，若，则的度数为______； (2)如图2，，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查角平分线的定义、垂直定义、几何图形中的角度计算，找到角之间的数量关系是解答的关键． （1）先根据角平分线的定义求得，然后利用平角定义求解即可； （2）设，，根据角平分线的定义及垂直定义列方程求得，则可得，进而利用平角定义求解即可． 【规范解答】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴可设，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴． 题型讲练三 画垂线 【典例精讲】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图，网格线的交点叫格点，格点是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹），并把作图痕迹加黑！ (1)过点画的垂线，交于点； (2)线段___________的长度是点到的距离； (3)的理由是___________． (4)过点画的平行线． 【答案】(1)见解析 (2) (3)垂线段最短 (4)见解析 【思路引导】本题考查网格作图，利用网格特点和全等三角形的性质画图即可． （1）利用网格的性质作垂线即可； （2）根据点到直线的距离的定义：该点到直线的垂线段的长叫作点到直线的距离，找到垂线段即可； （3）根据，，的位置关系：，易知此处应填垂线段最短； （4）借助平行线的判定条件，利用网格的性质作相等角，从而得到平行线． 【规范解答】（1）解：如图，利用网格的性质作图如下： （2）解：由（1），可知， ∴线段的长度是点O到的距离； （3）解：∵点P，O均在直线上， 又， 故可根据垂线段最短的基本事实，得到； （4）解：根据网格的性质，可作，如下图： 由内错角相等，两直线平行，可知此时，即为所求． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏南京·期末）（1）如图1，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上．用无刻度直尺完成下列作图：①过点C画的平行线；②过点A画的垂线，垂足为G；③过点A画的垂线，交于点H；则线段________的长度是点B到直线的距离． （2）如图2，已知，垂足为点A，内部有一条射线，用无刻度的直尺和圆规作图：作出射线，使得．（保留作图痕迹） 【答案】（1）图见解析，；（2）图见解析 【思路引导】本题考查作图﹣应用与设计作图，点到直线的距离，平行线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据平行线的判定，垂线的定义画出图形即可； （2）利用尺规作直线于点H即可． 【规范解答】解：（1）如图，直线，直线，直线即为所求，线段的长是点B到直线的距离． 故答案为：； （2）如图，直线即为所求： 题型讲练四 垂线段最短 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）（1）如图，点、、都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成画图．过点画直线的垂线CD，并标出直线CD所经过的格点及垂足，连接线段； （2）线段_____的长就是点到直线的距离； （3）比较大小：_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】（1）见解析 （2）（3） 【思路引导】本题主要考查了利用网格作图，垂线段最短，解题的关键是熟练利用网格特征和几何基本性质． （1）利用网格的边长与角度特征，构造直角三角形来作垂线； （2）根据点到直线的距离定义，确定垂线段的长度即为点到直线的距离； （3）根据“垂线段最短”的性质，比较垂线段与斜线段的长度大小． 【规范解答】解：（1）如图，线段即为所求； （2）线段的长就是点到直线的距离， 故答案为：； （3） 故答案为：． 【变式训练】（25-26七年级上·山东东营·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售水机，且均位于地下管道的同侧，售卖机之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，且米，假设所有管道的材质相同． (1)求之间的距离； (2)珍珍认为：若从管道上的任意一处向售卖机引出分叉管道，在这些分叉管道中是最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂线段最短，熟练掌握定理是解题的关键． （1）因为，故利用勾股定理进行列式，解答即可； （2）先运算，再利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：珍珍的观点正确，过程如下： 由（1）得， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 题型讲练五 点到直线的距离 【典例精讲】（2026七年级下·广东广州·专题练习）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，则下列说法错误的个数有（　　） ①点到的距离等于． ②点到直线的距离等于．③点到直线的距离等于． ④点到的距离等于 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【思路引导】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离． 【规范解答】解：因为， 所以点到的距离等于线段的长度，即点到的距离等于． ①错误． 因为， 所以点到直线的距离等于线段的长度，即点到直线的距离等于． ②正确． 因为， 所以点到直线距离等于线段的长度，即点到直线距离等于． ③正确． 如图所示，过点作的垂线，交于点． 点到的距离等于线段的长度． 因为， 所以． ④错误． 综上所述，说法错误的为①④，共个． 故选：B 【变式训练】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 【答案】(1)图见详解 (2) (3)，垂线段最短 【思路引导】本题主要考查了基本作图以及垂线的画法、点到直线的距离、垂线段最短，正确借助网格得出是解题关键． （1）利用垂线的定义结合网格进而得出直线、； （2）利用点到直线的距离得出答案； （3）利用垂线段的性质进而得出答案； 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：由（1）得，， ∴的长度是点A到直线的距离， 故答案为：； （3）解：∵垂线段最短， ∴由图可得， 故答案为：；垂线段最短． 题型讲练六 对顶角的定义 【典例精讲】（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为． (1)图中的对顶角是（     ），的余角是（     ），的补角（     ）； (2)若，求的度数． 【答案】(1)；，；，； (2) 【思路引导】本题考查对顶角、余角、补角的定义以及垂直的性质，核心是理解对顶角相等、余角和为、补角和为，以及垂直的角为直角这些关键知识点． （1）对于对顶角，依据“有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角是对顶角”来判断；对于余角，结合得到，从而找到与和为的角；对于补角，寻找与和为的邻补角或其对顶角． （2）先利用邻补角的和为求出的度数，再结合垂直得到的直角，用直角减去的度数即可得到的度数． 【规范解答】（1）解：根据对顶角的定义，与有公共顶点，且两边互为反向延长线，故的对顶角是； ， ，即， 又， 的余角是，； ，， 的补角是，； 故答案为：；，；，； （2）解：， ， ， ， ． 【变式训练】如图，已知，现将一直角三角形放入图中，其中，交于点E，交于点F． (1)当所放位置如图①所示时，则与的数量关系 ．请说明理由． (2)当所放位置如图②所示时，与的数量关系为 ． (3)在（2）的条件下，若与交于点O，且，，求的度数． 【答案】(1)；理由见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查对顶角相等，邻补角互补，平行线的判定及性质，正确作出辅助线，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）过点P作，则，得到，，根据即可解答； （2）过点P作， 则，得到，，根据得到，化简即可解答； （3）由对顶角相等得到，由（2）得到，则，过点N作，从而，，根据角的和差即可求解． 【规范解答】（1）解：，理由如下： 过点P作， ∵， ∴， ， ， ． 故答案为：． （2）解：过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． （3）解：∵， ∴， 由（2）有， ∴， ∴， 过点N作， ∴， ， ∴． 题型讲练七 对顶角相等 【典例精讲】（25-26七年级上·江西吉安·期末）如图，已知直线相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据直接解答即可； （2）根据平角的定义可求，根据对顶角的定义可求，根据角的和差关系可求的度数． 【规范解答】（1）解：， ， ； （2）解：，且， ， ， ， ． 【变式训练】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有___________． 【答案】①③④⑤ 【思路引导】本题考查了对顶角性质、角平分线定义、垂线定义、余角和补角的知识，解题关键是熟练掌握相关概念和性质，准确分析角之间的关系．利用对顶角相等、角平分线的定义、垂线定义以及余角、补角的概念，对每个结论逐一进行分析判断即可． 【规范解答】解：①∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵， ∴的补角不是，故②错误，不符合题意； ③∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确，符合题意； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 题型讲练八 邻补角的定义理解 【典例精讲】下列说法中，正确的个数有（   ）． ①同旁内角互补 ②三角形的三条高交于三角形内部一点 ③一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加 ④两个角的两边分别平行，则这两个角相等 A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个 【答案】A 【规范解答】解：对于①：∵只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角才互补， ∴①说法错误； 对于②：∵只有锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，而直角三角形三条高的交点在直角顶点，钝角三角形三条高所在的直线的交点在三角形外部， ∴②说法错误； 对于③：∵多边形内角和公式为，边数增加1后，内角和变为，作差可得内角和增加， ∴③说法正确； 对于④：∵两个角的两边所在的直线分别平行时，这两个角相等或互补， ∴④说法错误． 综上，正确的说法只有1个． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）点点同学在学习“生活中的轴对称”之后，对图形的变换进行操作实践． P为长方形纸片的边上一点，点E，M分别为上的动点，如图，先把纸片沿对折，点A翻折至点F：再把纸片沿对折，点B翻折至点H．当点E，M运动时，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，邻补角的定义，角的计算，理解图形的翻折变换及其性质，邻补角的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键．设，，则，由折叠性质得，，根据得，据此可得的度数． 【规范解答】解：设，， ∵， ∴， 由折叠性质得：，， ∵P为长方形纸片的边上一点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 题型讲练九 找邻补角 【典例精讲】（24-25七年级下·广东韶关·期末）物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图所示，建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，即，光线从空气中射入水里时发生了折射，变成光线射到水底C处，射线是光线的延长线，即与相交于点B． (1)请直接写出所有的邻补角： ； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查邻补角，平行线的性质，熟练掌握邻补角定义和平行线的性质是解题的关键． （1）根据邻补角定义求解即可； （2）先由平行线的性质求出，再由求解． 【规范解答】（1）解：∵，， 又∵与有公共边，公共顶点B； 与有公共边，公共顶点B； ∴与是邻补角，与是邻补角； ∴∠2的邻补角为、． 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， ∴． 【变式训练】已知O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，邻补角有______对，互补的角有______对． (2)如图1，设，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置． ①设，则______． ②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)3，4 (2) (3)①；②，理由见解析 【思路引导】本题考查几何图形中的角度计算，角平分线的定义，邻补角的定义等． （1）根据邻补角和互补的定义求解即可； （2）由互补可得，由角平分线的定义可得，再结合即可求解； （3）① 由，得，进而可得，最后根据互补的定义求解；②设，， 则，再用含m和n的式子表示出，即可求解． 【规范解答】（1）解：邻补角有：与，与，与，共3对； 互补的角有：与，与，与，与，共4对； 故答案为：3，4； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； ②， 理由：设，， 由①得， ， ∴， ∴， 即． 题型讲练十 利用邻补角互补求角度 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，点是直线上一点，，平分． (1)求的度数； (2)若图中，求的度数． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】（1）首先根据邻补角互补求出的度数，再利用角平分线的定义，将平分得到的度数； （2）由垂直的性质可知，求出的度数，结合平角为，用平角减去的度数，即可得到的度数． 【规范解答】（1）解：，， ， 又平分， ； （2）解：， ， ， ∴， ． 【变式训练】（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，为直线上一点，，是内部的一条射线，平分．已知，． (1)求的值． (2)求的度数． (3)从点作一条射线，使与的和等于，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)的度数为或． 【思路引导】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算． （1）由题目条件直接求得答案； （2）根据（1）中的值，求出和的度数，再根据角平分线求得结果； （3）根据射线的位置不同，分情况讨论，进而求出的度数． 【规范解答】（1）解：∵为直线上一点，且， ∴， 又∵，， ∴，解得：； （2）∵，； 又∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． （3）∵，且， 设，则． ①在内部，此时， ∴(矛盾，舍去)； ②在内部此时， ∴，解得：． ∴； ③在内部，此时， ∴，解得：， ∴． ④在内部，此时， ∴，解得：， ∴(矛盾，舍去)． 综上，的度数为或． 题型讲练十一 同位角、内错角、同旁内角 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·单元测试）滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解决本题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义解决此题． 【规范解答】解：①根据对顶角的定义（角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角），与是对顶角，①正确． ②根据同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线同一侧的两个角是同旁内角），与是同旁内角，②正确． ③根据同旁内角的定义以及邻补角的定义，与不是同旁内角，而是邻补角，③错误． ④根据内错角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线两侧的两个角是内错角），与是内错角，④正确． 综上：正确的有①②④，共个． 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图1，对于两条直线被第三条直线所截的同旁内角，若满足．则称是的关联角． (1)已知是的关联角． ①当时，=______； ②若直线，则______； (2)如图2，直线被所截，已知是的关联角，是的关联角，求和的度数； (3)在（2）的条件下，点O是直线上一定点，过点O的直线分别交直线于点P，Q．当是图中某角的关联角时，请在备用图中补全示意图并直接写出所有符合条件的的度数． 【答案】(1)①85；②80 (2)， (3) 【思路引导】（1）①根据，，求出的度数；②根据，，可求出的度数； （2）根据关联角的定义，得，根据平角的性质得，即可求出和的度数； （3）由，，得，得，得或，分当点O在上方时，当点O在和之间时，当点O在下方时，分点P在点H的左边时，点P在点H的右边时，解答，舍去不合题意的． 【规范解答】（1）解：①∵是的关联角， ∴， ∵， ∴， 故答案为：85． ②若，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：80； （2）解：∵是的关联角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的关联角， ∴， ∴， ∴， ∴． 故和的度数分别是和． （3）解：由（2）知，，， ∴， ∴， 当点O在上方，点P在点H的左边时，，如图1， 是的关联角，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点O在上方，点P在点H的右边时，如图2， 是的关联角，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点O在和之间，点P在点H的左边时，，如图3， 若是的关联角，； 若是的关联角，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点O在和之间,点P在点H的右边时，如图4， 若是的关联角，， 此时， ∴， ∴点P不在上， 与直线交直线于点P矛盾， 不合题意，舍去； 若是的关联角，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点O在下方，点P在点H的左边时，，如图5， 若是的关联角，， ∴， ∵， ∴， ∴； 若是的关联角，； 当点O在下方，点P在点H的右边时，如图6， 若是的关联角，， ∴， ∵， ∴， ∴； 若是的关联角，， 此时，， ∴点P不在上， 与直线交直线于点P矛盾， 不合题意，舍去；． 综上，所有符合条件的的度数有． 【考点剖析】本题考查了新定义——关联角，熟练掌握新定义，平角性质，平行线判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，分类讨论，是解题的关键． 1．（2026七年级下·广东深圳·专题练习）如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是对顶角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 【答案】C 【思路引导】根据内错角、对顶角、补角、同旁内角的定义逐一判断即可． 【规范解答】解：A、与是直线，被所截得的内错角，原说法正确，不符合题意； B、与是对顶角，原说法正确，不符合题意； C、和是同旁内角，不一定互为补角，原说法不正确，符合题意； D、与是直线，被直线所截得的同旁内角，原说法正确，不符合题意． 2．（25-26九年级下·辽宁葫芦岛·月考）如图，点在直线上，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线、、相交于点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查垂线的定义、对顶角相等，由垂线的定义可得，求得，再根据对顶角相等求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．（2026·河南·一模）如图，直线相交于点平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，理解对顶角、邻补角的定义以及角平分线的定义是正确解答的关键．根据邻补角的定义得出，根据角平分线的定义得出，根据对顶角得出，进行计算即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，直线，相交于点，，，平分，下列结论中错误的是（   ） A．当时， B．与相等的角至少有3个 C．一定平分 D． 【答案】C 【思路引导】根据同角的余角相等可得，再根据余角以及角平分线的意义即可判断选项A；根据角平分线的定义，可得，由对顶角相等得出，利用同角的余角相等可得，即可选项B；结合题意无法证明为的角平分线，即可判断选项C；根据平角的定义以及，即可判断选项D． 【规范解答】解：， ， ， ∴， ， ， 当时，， ∴， ∵平分， ∴， 故A选项结论正确，不符合题意； 平分， ． 直线，交于点， ． ， ， 与相等的角至少有3个， 故B选项结论正确，不符合题意； 不能证明， 无法证明为的角平分线， 故C选项结论错误，符合题意； ，， ， 故D选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 【考点剖析】本题考查了垂直的性质、同角的余角相等、对顶角相等、角平分线的定义，注意结合图形，发现角与角之间的关系是解题的关键． 6．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（    ） A． B． C． D．的度数无法确定 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，垂线定义，过点A作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，求出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可． 【规范解答】解：过点A作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7．（25-26七年级上·安徽池州·期末）如图，O为直线AB上一点，，平分，平分，平分，下列结论：①；②与互补；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查了平角，互补，互余，角平分线定义，结合每个结论逐一分析． 【规范解答】解：① 平分，平分，， ，， ， 结论①成立； ② 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， 结论②不成立； ③为直线AB上一点， ， ， ， 结论③成立； ④平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 结论④成立； 故选：C． 8．如图，直线，相交于点O，是的平分线，于点O，若，则________． 【答案】 【思路引导】根据，可设，，根据角平分线的定义求出，根据邻补角的概念列式计算求出，据此求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴设，， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∵， ∴． 9．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 【答案】4 【思路引导】过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【规范解答】解:过作于， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 10．如图，直线、相交于点O，，平分，，则的度数为________． 【答案】/123度 【思路引导】根据对顶角的性质可得，然后根据角平分线的定义即可求出，再根据垂直的定义进而即可求出． 【规范解答】解：∵直线、相交于点， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 11．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，C、D两点分别与、对应，若，则的度数为___________ 【答案】/108度 【思路引导】由平行线的性质和折叠的性质可得，，再结合和平角的定义，求出，即可得解． 【规范解答】解：， ， 由折叠的性质可知，， ，且， ， ， ， 12．（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 【答案】4 【思路引导】本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，三角形的面积，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 【规范解答】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 13．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）同一平面内，直线，相交于点，是的角平分线，，于点，则的度数是_______． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查相交线的相关知识，涉及垂直的定义，角平分线的性质，对顶角相等以及角的和差计算．弄清楚角之间的和差关系是解题关键．分在两侧两种情况，利用角平分线、垂直及平角性质求． 【规范解答】解：情况一：在内部， 设，则， ∵平分， ∴， 由， 得， 即， ∵， ∴， 则， 因此； 情况二：在内部， 同上，， ∴（对顶角相等）， ∵， ∴， 因此； ∴的度数有两种可能：或． 故答案为：或． 14．（24-25七年级下·全国·周测）如图，与是一对邻补角，OD平分，OE在的内部，并且，，则的度数是________． 【答案】 【思路引导】本题考查邻补角的性质与角平分线的定义，掌握邻补角和为180°、角平分线平分角是解题的关键． 先利用角平分线的性质求出的度数，再根据邻补角的和为得到的度数，最后结合与的数量关系，列方程求解． 【规范解答】解：∵平分，， ∴， ∵与是邻补角， ∴， 设，由，得， ∵， ∴， 解得， 故的度数是． 故答案为80°． 15．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，A、O、B三点依次在同一直线上，且平分，平分．给出下面四个结论： ①； ②与互补； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②④ 【思路引导】本题主要考查角平分线的性质、余角、补角和角度的和差关系，根据角平分线的和，利用平角即可判断①，结合补角的定义即可判断②，利用角平分线的性质和平角即可判断③，利用角平分线的性质与角度和差关系即可判断④． 【规范解答】解：∵平分，平分，， ∴，即， ∴，故①正确； ∵平分，， ∴， ∴， ∴与互补，故②正确； ∵，故③不正确； ∵平分，平分， ∴，， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 16．如图，E点为上的点，B为上的点，，．试说明：． 解：（已知）， （___________①___________）， （等量代换）． ___________②___________（同位角相等，两直线平行）． （___________③___________）． 又（已知）， （___________④___________）． （___________⑤___________）． 【答案】①对顶角相等；②；③两直线平行，同位角相等；④等量代换；⑤内错角相等，两直线平行 【思路引导】本题主要考查平行的性质和平行的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据平行的性质和判定进行解答即可． 【规范解答】解：（已知）， （对顶角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 17．（24-25七年级上·广西河池·开学考试）画一画． (1)过点画射线的平行线．再过点画射线的垂线． (2)画出平行四边形底边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查作图-基本作图、垂线、平行线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用三角板和直尺可过点画射线的平行线，利用三角板的两条直角边可过点画射线的垂线． （2）利用三角板的两条直角边可画出平行四边形底边上的高． 【规范解答】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． 18．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）如图，在四边形中，E、F分别是、延长线上的点，连接．分别交、于点G、H．若，．试证明 (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了平行线的判定和性质； （1）根据对顶角相等，等量代换得到，再根据平行线的判定得出结论； （2）由推出，结合已知，等量代换得到，再根据平行线的判定得出结论． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，，，四个村庄旁有，两条公路，沿路已铺设了主干光缆，某通信公司准备在，，，四个村庄间设置一个信号塔，再从信号塔铺设一根光缆连接主干光缆． (1)请画出信号塔的位置，使得信号塔与，，，四个村庄的距离之和最小； (2)为了使新铺设的光缆长度最短，工作人员作了如下思考： 第一步：分别画出信号塔到两条公路与的最短距离，； 第二步：比较与的大小关系． 请你结合上述思路，选用直角三角板、直尺或圆规画图，帮助工作人员找出最短方案． (3)若该项工程交由甲，乙两个工程队施工．甲工程队独做需天完成，乙工程队独做需天完成．现在先由甲工程队单独施工天，剩下的部分由甲，乙两队合作完成．则甲，乙两工程队需合作多长时间？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析，最短 (3) 【思路引导】本题考查了两点之间线段最短，点到直线的距离，画垂线段，一元一次方程的应用． （1）利用两点之间距离线段最短，连接交于点，即可求解； （2）根据题意分别画出点到两条公路与的垂线段，然后测量垂线段的长度，即可求解； （3）设甲，乙两工程队需合作天，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图所示，测量得 （3）解：设甲，乙两工程队需合作天，根据题意得， 解得： 答：甲，乙两工程队需合作天 20．如图，直线，分别交，于点M、N，射线、分别从、同时开始绕点M顺时针旋转，分别与直线交于点E、F，射线每秒转，射线每秒转，，分别平分，，设旋转时间为t秒（）． (1)①用含t的代数式表示：________，________． ②当时，________； (2)当时，求出t的值； (3)试探索与之间的数量关系，并说明理由． (4)若的角平分线与直线交于点K，的度数是________． 【答案】(1)①，；② (2) (3)，证明见解析 (4) 【思路引导】（1）①由题意不难得出，继而得到； ②由平行线的性质可得，再结合平分，即可求解； （2）由平行线的性质可得，再结合与平行线的性质，从而求得，结合已知条件，即可求解； （3）分别用含t的代数式表示出和的度数，再结合三角形内角和，可表示出，进行比较即可求解； （4）可把的和用含t的代数式表示出来，再结合三角形内角和，求出的度数即可． 【规范解答】（1）解：①由题意得：， ，， ， ② ， ， 平分， ， 当时，． （2）解：， ， ，，， ， ， 即， 解得 ． （3）解：，理由如下： 分别平分，由（2）得， ， 由（1）得， 在中， ， ． （4）解：如图所示： 由（2）得， ， 是的平分线， ， 由（1）得， ， 在中， ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 专项复习一 相交线及其所成的角 （第二章 相交线与平行线） 【北师大版七下●新教材】 题型分类讲练 1 题型讲练一 相交线 1 题型讲练二 垂线的定义理解 2 题型讲练三 画垂线 3 题型讲练四 垂线段最短 4 题型讲练五 点到直线的距离 5 题型讲练六 对顶角的定义 5 题型讲练七 对顶角相等 6 题型讲练八 邻补角的定义理解 7 题型讲练九 找邻补角 7 题型讲练十 利用邻补角互补求角度 9 题型讲练十一 同位角、内错角、同旁内角 10 能力提升训练 11 题型讲练一 相交线 【典例精讲】（24-25七年级下·重庆·期中）下列说法中正确的是（   ） A．同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行和垂直 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 【变式训练】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，点P为a与b之间一点，过点P作9条不同的直线均与直线a相交，探究图中相交线形成的所有角中，互为邻补角的对数是（　　） A． B．180 C． D． 题型讲练二 垂线的定义理解 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图1，直线和相交于点，垂足为点平分． (1)若． ①求的度数； ②求的度数； (2)如图2，将直线绕着点旋转，始终在的上方，当为锐角时，在的内部作射线，使得射线平分．判断的度数是否发生变化?如果不变，求出的度数；如果变化，请说明理由． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏南通·期末）直线、相交于点O，平分． (1)如图1，若，则的度数为______； (2)如图2，，且，求的度数． 题型讲练三 画垂线 【典例精讲】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图，网格线的交点叫格点，格点是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹），并把作图痕迹加黑！ (1)过点画的垂线，交于点； (2)线段___________的长度是点到的距离； (3)的理由是___________． (4)过点画的平行线． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏南京·期末）（1）如图1，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上．用无刻度直尺完成下列作图：①过点C画的平行线；②过点A画的垂线，垂足为G；③过点A画的垂线，交于点H；则线段________的长度是点B到直线的距离． （2）如图2，已知，垂足为点A，内部有一条射线，用无刻度的直尺和圆规作图：作出射线，使得．（保留作图痕迹） 题型讲练四 垂线段最短 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）（1）如图，点、、都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成画图．过点画直线的垂线CD，并标出直线CD所经过的格点及垂足，连接线段； （2）线段_____的长就是点到直线的距离； （3）比较大小：_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 【变式训练】（25-26七年级上·山东东营·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售水机，且均位于地下管道的同侧，售卖机之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，且米，假设所有管道的材质相同． (1)求之间的距离； (2)珍珍认为：若从管道上的任意一处向售卖机引出分叉管道，在这些分叉管道中是最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 题型讲练五 点到直线的距离 【典例精讲】（2026七年级下·广东广州·专题练习）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，则下列说法错误的个数有（　　） ①点到的距离等于． ②点到直线的距离等于．③点到直线的距离等于． ④点到的距离等于 A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 题型讲练六 对顶角的定义 【典例精讲】（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为． (1)图中的对顶角是（     ），的余角是（     ），的补角（     ）； (2)若，求的度数． 【变式训练】如图，已知，现将一直角三角形放入图中，其中，交于点E，交于点F． (1)当所放位置如图①所示时，则与的数量关系 ．请说明理由． (2)当所放位置如图②所示时，与的数量关系为 ． (3)在（2）的条件下，若与交于点O，且，，求的度数． 题型讲练七 对顶角相等 【典例精讲】（25-26七年级上·江西吉安·期末）如图，已知直线相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式训练】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有___________． 题型讲练八 邻补角的定义理解 【典例精讲】下列说法中，正确的个数有（   ）． ①同旁内角互补 ②三角形的三条高交于三角形内部一点 ③一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加 ④两个角的两边分别平行，则这两个角相等 A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个 【变式训练】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）点点同学在学习“生活中的轴对称”之后，对图形的变换进行操作实践． P为长方形纸片的边上一点，点E，M分别为上的动点，如图，先把纸片沿对折，点A翻折至点F：再把纸片沿对折，点B翻折至点H．当点E，M运动时，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 题型讲练九 找邻补角 【典例精讲】（24-25七年级下·广东韶关·期末）物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图所示，建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，即，光线从空气中射入水里时发生了折射，变成光线射到水底C处，射线是光线的延长线，即与相交于点B． (1)请直接写出所有的邻补角： ； (2)若，，求的度数． 【变式训练】已知O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，邻补角有______对，互补的角有______对． (2)如图1，设，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置． ①设，则______． ②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 题型讲练十 利用邻补角互补求角度 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，点是直线上一点，，平分． (1)求的度数； (2)若图中，求的度数． 【变式训练】（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，为直线上一点，，是内部的一条射线，平分．已知，． (1)求的值． (2)求的度数． (3)从点作一条射线，使与的和等于，求的度数． 题型讲练十一 同位角、内错角、同旁内角 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·单元测试）滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图1，对于两条直线被第三条直线所截的同旁内角，若满足．则称是的关联角． (1)已知是的关联角． ①当时，=______； ②若直线，则______； (2)如图2，直线被所截，已知是的关联角，是的关联角，求和的度数； (3)在（2）的条件下，点O是直线上一定点，过点O的直线分别交直线于点P，Q．当是图中某角的关联角时，请在备用图中补全示意图并直接写出所有符合条件的的度数． 1．（2026七年级下·广东深圳·专题练习）如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是对顶角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 2．（25-26九年级下·辽宁葫芦岛·月考）如图，点在直线上，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线、、相交于点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河南·一模）如图，直线相交于点平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，直线，相交于点，，，平分，下列结论中错误的是（   ） A．当时， B．与相等的角至少有3个 C．一定平分 D． 6．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（    ） A． B． C． D．的度数无法确定 7．（25-26七年级上·安徽池州·期末）如图，O为直线AB上一点，，平分，平分，平分，下列结论：①；②与互补；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，直线，相交于点O，是的平分线，于点O，若，则________． 9．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 10．如图，直线、相交于点O，，平分，，则的度数为________． 11．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，C、D两点分别与、对应，若，则的度数为___________ 12．（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 13．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）同一平面内，直线，相交于点，是的角平分线，，于点，则的度数是_______． 14．（24-25七年级下·全国·周测）如图，与是一对邻补角，OD平分，OE在的内部，并且，，则的度数是________． 15．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，A、O、B三点依次在同一直线上，且平分，平分．给出下面四个结论： ①； ②与互补； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有________． 16．如图，E点为上的点，B为上的点，，．试说明：． 解：（已知）， （___________①___________）， （等量代换）． ___________②___________（同位角相等，两直线平行）． （___________③___________）． 又（已知）， （___________④___________）． （___________⑤___________）． 17．（24-25七年级上·广西河池·开学考试）画一画． (1)过点画射线的平行线．再过点画射线的垂线． (2)画出平行四边形底边上的高． 18．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）如图，在四边形中，E、F分别是、延长线上的点，连接．分别交、于点G、H．若，．试证明 (1) (2)． 19．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，，，四个村庄旁有，两条公路，沿路已铺设了主干光缆，某通信公司准备在，，，四个村庄间设置一个信号塔，再从信号塔铺设一根光缆连接主干光缆． (1)请画出信号塔的位置，使得信号塔与，，，四个村庄的距离之和最小； (2)为了使新铺设的光缆长度最短，工作人员作了如下思考： 第一步：分别画出信号塔到两条公路与的最短距离，； 第二步：比较与的大小关系． 请你结合上述思路，选用直角三角板、直尺或圆规画图，帮助工作人员找出最短方案． (3)若该项工程交由甲，乙两个工程队施工．甲工程队独做需天完成，乙工程队独做需天完成．现在先由甲工程队单独施工天，剩下的部分由甲，乙两队合作完成．则甲，乙两工程队需合作多长时间？ 20．如图，直线，分别交，于点M、N，射线、分别从、同时开始绕点M顺时针旋转，分别与直线交于点E、F，射线每秒转，射线每秒转，，分别平分，，设旋转时间为t秒（）． (1)①用含t的代数式表示：________，________． ②当时，________； (2)当时，求出t的值； (3)试探索与之间的数量关系，并说明理由． (4)若的角平分线与直线交于点K，的度数是________． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $