2026年中考数学压轴几何模型 专题3《将军饮马之最短（长）路径问题》

专题3《将军饮马之最短（长）路径问题》 将军饮马是中考几何最值的基础核心模型，考查对称转化思想，是各类线段和最值题型的必考奠基考点，贯穿选择、填空与压轴大题。本专题从知识精讲、典例分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析将军饮马的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 ( 知识精讲 ) 将军饮马问题本质上是轴对称问题，用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系解决问题．常见的题型有： 1．（两定一动，定直线，求和最小）已知：在直线l同恻有A．B两点，在l上找一点P，使得AP＋PB最小． ( A B l ) 作法：如图．作点A关于直线l的对称点A’，连结A'B，与直线，的交点就是点P ( B A P l A ' ) 2．（两定一动，定直线，求差最小）已知：在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点P，使得|AP－PB|最小 ( A B l ) 作法：如图，连结AB，作线段AB的垂甫平分线．与直线l的交点就是点P ( A B l P ) 3．（两定一动，定直线，求差最大）已知：在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点P．使得|AP－PB|最大 ( A B l ) 作法：如图，连结BA并延长，与直线，的交点就是点P ( l A B P ) ( A B l )4．（两定两动，定直线，两动在定直线上组成的线段为定值，求和最大）已知：在直线l同侧有A，B两点．在l上找两点C，D（其中CD的长度固定，等于所给线段d），使得AC＋CD＋DB最小， ( a ) 作法：如图，先将点A向右平移口个单位长度到点A'，作A'关于直线l的对称点A"， 连结A"B，与直线l的交点就是点D．连结A'D，过点A作AC∥A'D，交直线l于点C．则 ( A " A l B A ' C D )此时AC'＋CD＋DB最小． 5．（一定点在定角度内，求和最大）已知：在MON内有一点P，在边ON，OM上分别找点Q，R，使得PQ＋QR＋RP最小． ( O N M P ) 作法：如图，分别作点P关于射线OM的对称点P'，P"，连结P'P"，与射线ON， ( P' P P" O N M R Q )OM的交点就是点Q，R． 6．（一定点在定角度内，求和最小）已知：在MON内有一点P，在边OM，ON上分别找点R，Q．使得PR＋QR最小 ( O N M P ) 作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作P'QON，垂足为Q，P'Q与射线ON的交点就是R． ( P' P Q O N M R ) 7．（两定点在定角度内，求和最小）已知：在MON内有两点P，Q，在边OM，ON上分别找点R，S．使得PR＋RS＋SQ最小． ( P O N M Q ) 作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作点Q关于射线ON的对称点Q'，连 纳P'Q'．与射线OM，ON的交点就是R，S． ( P P' Q ' O N M Q S R ) ( 典型例题 ) 【例1】如图，点C的坐标为（3，y），当△ABC的周长最短时，求y的值． 【解析】解：解：（1）作A关于x=3的对称点A′，连接A′B交直线x=3与点C． ∵点A与点A′关于x=3对称，∴AC=A′C．∴AC+BC=A′C+BC． 当点B、C、A′在同一条直线上时，A′C+BC有最小值，即△ABC的周长有最小值． ∵点A与点A′关于x=3对称，∴点A′的坐标为（6，3）． 设直线BA′的解析式y=kx+b，将点B和点A′的坐标代入得：k＝，b＝−． ∴y=x-． 将x=3代入函数的解析式，∴y的值为 【例2】如图，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一点，且DM＝3，N是AC上的一动点，求|DN－MN| 的最小值与最大值． 【解析】解：当ND=NM时，即N点DM的垂直平分线与AC的交点，|DN-MN|=0， 因为|DN-MN|≤DM，当点N运动到C点时取等号，此时|DN-MN|=DM=3， 所以|DN-MN|的最小值为0，最大值为3 例3 如图1，等边△ABC的边长为6，AD，BE是两条边上的高，点O为其交点． P，N 分别是BE，BC上的动点． 图1 图2 （1）当PN＋PD的长度取得最小值时，求BP的长度； （2）如图2，若点Q在线段BO上，BQ＝1，求QN＋NP＋PD的最小值． 图3 图4 解 （1）由等边三角形轴对称的性质可得，点D关于BE的对称点D´在AB上，且为AB的中点． 如图3，过点D´作BC的垂线，垂足为N´，D´N交BE于点P，连结PD´，则PD´＝ PD． 此时D´N的长度即为PN＋PD长度的最小值． 显然D´N∥AD，即点N为BD的中点． 所以BN＝BC＝， 从而BP＝＝． （2）如图4，作点Q关于BC的对称点Q´，则BQ´＝1，∠CBQ´＝30°． 点D´是点D关于BE的对称点，连接D´Q´，交BE于点P，交BC于点N． 此时D´Q´即为QN＋NP＋PD的最小值． 显然∠D´BQ´＝90°， 所以D´Q´＝＝， 即QN＋NP＋PD的最小值为． ( 课堂随练 ) 练1.1如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点,,． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点坐标（请在图1中探索）； （3）在第四象限的抛物线上是否存在点，使四边形是以为对角线且面积为的平行四边形？若存在，请求出点坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索） 【答案】（1），函数的对称轴为：；（2）点；（3）存在，点的坐标为或． 【解析】 解：根据点,的坐标设二次函数表达式为：， ∵抛物线经过点， 则，解得：， 抛物线的表达式为： ， 函数的对称轴为：； 连接交对称轴于点，此时的值为最小， 设BC的解析式为：， 将点的坐标代入一次函数表达式：得： 解得： 直线的表达式为：， 当时，， 故点； 存在，理由： 四边形是以为对角线且面积为的平行四边形， 则 ， 点在第四象限，故：则， 将该坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：或， 故点的坐标为或． 练1.2如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________． 【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M． 当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8． ( 巩固提高 ) 一、单选题 1．如图，在中，,,，直线垂直平分线段，若点为边BC的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（） A．9 B．13 C．12 D．14 2．如图，立方体的棱长为2，P是上一动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，P、M、N分别是AB、AC、BC边上的动点，当的周长最小时，下列关于P点位置的描述中正确的是（   ） A．P在AB边的中点处 B．连接CP，CP是的角平分线 C． D． 4．如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，是轴上方的一个动点．若的面积等于面积的，则当的值最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ） A． B． C． D． 8．如图，正方形的边长是5，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值是（   ） A．5 B． C． D． 9．如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，矩形中，，点、分别为、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 11．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是、上的动点，则的最小值是 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点分别在轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象在第一象限与正方形的两边分别交于点，过点作轴于点，连接，，，，线段与相交于点．设正方形边长为．有如下结论： ①四边形与面积相等；②当点为中点时，点为的三等分点；③若，，则直线的解析式为；④的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 13．如图，在中，，点分别是边和上的动点，始终保持，连接，则的最小值为 ． 14．如图，正方形的边长为，点、分别在轴，轴的正半轴上，点在上，是上一动点，则的最小值为 ． 15．如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上的一动点，则的最小值为 ． 16．如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为 ． 17．如图，函数的图象与轴，轴分别交于两点，点的坐标为，点为直线上的动点，连接，则的周长的最小值为 ． 18．如图，点、分别是轴、轴正半轴上的动点，且，将线段绕点逆时针旋转至，若、，连接，则的最小值是 ． 19．如图，正方形的边长为4，点E是的中点，，点P为对角线 上一动点，则的最小值是 ． 20．如图，正方形的边长为12，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为 ． 21．如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为 ． 22．如图，在矩形中，，．点E在上且．点G在上且，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为 ． 23．如图，已知点是直线外一定点，是直线上的动线段，，连接、，．求当取最小值时的值．小聪在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当取最小值时 ． 24．如图，等边三角形中，，D为的中点，连接，点E是线段上的动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则的最小值为 ． 25．如图，在等腰中，，，将沿直线平移至，将点B绕点A逆时针旋转得到点D，连接、，在平移过程中，的最大值为 ． 26．如图，在正方形中，，点、是对角线上的两个动点，且，连接、，则的最小值是 ． 27．如图，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，且，点M、N分别在线段、上，连接，，点P为的中点，连接、，则的最小值为 ． 28．如图，在中，，点D为的中点，点E为上的一个动点，连接、，则的最小值为 ． 29．如图，边长为b的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 ． 三、解答题 30．等腰中，，点是轴上一个动点，点在轴上且点． (1)若时， ①如图1，求的长； ②如图1，求点的坐标； ③如图2，点在直线上且位于第一象限内，当时，求的面积； (2)如图3，移动点，连接，直接写出的周长的最小值． 31．平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)在图中作，使和关于轴对称，并写出，，的坐标； (2)求出的面积； (3)在x轴上找一点，使的值最小（保留作图痕迹）． 32．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位置坐标为，图书馆位置坐标为，解答下列问题： (1)在图中建立平面直角坐标系，并标出坐标原点； (2)若体育馆位置坐标为，在坐标系中标出点，并连接，得到， ①求的面积． ②点为轴上一动点，当最小时，求点的坐标． 33．如图，在平面直角坐标系中，点，M是线段的中点． (1)求直线 的函数表达式； (2)若点P是y轴上一点，且使周长最小，求最小周长． 34．如图，抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点． (1)分别求出的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在求点的坐标；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 35．如下图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，直线与抛物线交于A，B两点，直线l为． (1)抛物线的表达式为_______． (2)在l上是否存在一点P，使取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 36．问题探究 （1）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的动点．当取得最小值时，的值是 ； （2）如图，在中，，，，点为边的中点，过点作于点，求的长； 问题解决 （3）如图，四边形的四边是某市产业新区的外环路，已知，，，，是其中的一条贯穿路，点、分别是线段、上的动点，且满足，分别过点、作，，垂足分别为、，连接、，现计划将区域修建成一个科技园．为节省外墙材料费用，需要的周长尽可能的小，请问的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 37．如图，在平面直角坐标系中，拋物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是射线上方抛物线．上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D．点M是线段．上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接，． ①求线段长度的最大值 ②当线段长度取最大值时，求的最小值； ③将该抛物线沿射线方向平移，使得新地物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当时，接写出所有符合条件的点Q的坐标． 试卷第1页，共3页 ( 第 1 页 共 71 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 《将军饮马巩固提高》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D D D C C D D B 1．C 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质等知识，掌握将军饮马模型是解题关键． 连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接，， ∵直线垂直平分线段． ， ∵点为边的中点，， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ∵,， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：C． 2．D 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、线段垂直平分线的性质、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了轴对称的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质． 延长到点T，使，连接，，，证明四边形是平行四边形，则点E，D和直线在同一个平面内，根据垂直平分线的性质得到点E和T关于直线对称，则，可知，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：延长到点T，使，连接，，． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴点E，D和直线在同一个平面内． ∵，， ∴点E和T关于直线对称， ∴， ∴. 故选：D． 3．D 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称与最短路径问题（将军饮马模型），解题的关键在于正确构造对称点并识别出特殊图形，易错点主要在于对称模型应用错误；作出点关于和的对称点和，将周长最小转化为最短，再由对称可得，，所以在等腰中，顶角固定，要使得底边最短，可转化为最短，最短时为垂线段，即时，再根据角度计算得出． 【详解】作出点关于和的对称点和，连接，，； 由对称性可得，， 周长为，即最小即为． ∵，， ∴． 由对称可得： ，，， ∴． ∵在中，，， ∴要使最小，则最短， 最短时为垂线段，即， ∴在中，， 则． 故选：D． 4．D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查轴对称的性质（最短路径问题，“将军饮马”模型）、三角形内角和定理、外角性质，解题的关键在于最短路径的转化；利用轴对称将的周长最小问题转化为“两点之间线段最短”， 利用轴对称性质得，，再通过三角形内角和或外角性质，推导与的关系． 【详解】解：作点关于的对称点；作点关于的对称点 连接，与交于点，与交于， 此时，周长最短. 由轴对称可得 设 ∴ ∵在中，， ∴① ∵， ∴② 得 则， 即． 故选D． 5．D 【知识点】线段周长问题(二次函数综合) 【分析】四边形中，线段和的长度是确定的，将四边形周长的最小值转化为两条线段和的最小值，可通过平移点B关于抛物线对称轴的对称点构造平行四边形确定点D的位置，求出直线的解析式即可求出点D的坐标； 本题主要考查了抛物线的对称性和两点之间线段最短等知识点，利用抛物线的对称性构造平行四边形是解题的关键． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点， 连接交对称轴于D点，如图， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形的周长， 此时四边形的周长最小； 当时，， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 故选：D． 6．C 【知识点】一次函数与几何综合、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了最短路径问题、坐标与图形的性质，关键是利用坐标求解出和的面积，得到点的运动路径是在的直线上，然后，作点关于直线对称的点，连接，利用 “将军饮马” 模型即可得出结果． 【详解】解：∵点，的坐标分别为， ∴， 与同底边，且的面积等于面积的， ∴点P到的距离是3，即点的纵坐标为， 点在直线上运动， 作点关于直线对称的点，连接，则点， ． 当三点共线时，的值最小． 设直线的表达式为， 把点代入，得， 解得， ．令，则， 解得， 当的值最小时，点的坐标为． 故选：C． 7．C 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】作E点关于的对称点，连接、 、，当、P、F三点共线，时，此时的值最小，由题意可得，则，根据勾股定理即可求出 的值，即的最小值． 【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P， 连接，则， ∴， 当、P、F三点共线，且时，的值最小， ∵是正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴的最小值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了将军饮马问题，垂线段最短，等边三角形的性质，含30度角直角三角形的性质以及勾股定理．熟练掌握相关知识是解题的关键． 8．D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、根据正方形的性质求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】连接，根据可得，则，．延长至G，使，则G点与A点关于直线对称，连接交于， 此时的长就是的最小值．求出的长即可得解． 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，以及将军饮马．正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴, ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长至G，使，则G点与A点关于直线对称， 连接交于，连接， 则， 此时，的值最小，最小值为的长， ∵,， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 9．D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质 【分析】在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接，推出的最小值是的长，再证明出是等边三角形，即可求出的长，从而解决问题． 【详解】解：在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接， 此时是的垂直平分线， ，， 此时取最小值，最小值为， 等边中，， ， ，， 等边中，，， 又， ， 是等边三角形， ， 即的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是轴对称性质、将军饮马模型、垂直平分线性质、等边三角形的判定与性质，解题关键是能将两线段的和的最小值用一条线段长表示． 10．B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、根据矩形的性质求线段长、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，先利用直角三角形斜边中线的性质得到，作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长；勾股定理求出，减去即可得到答案，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴ ，点G为的中点， ∴， 作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长； ，， ， ∴， ∴； ∴的最小值为4； 故选：B． 11． 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、等腰三角形的性质和判定、垂线段最短、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，角平分线的定义，作于T，在上截取，连接．证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出，则．从而可得当B、M、F三点共线且（即F与T重合）时为最小值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：作于T，在上截取，连接． ， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴当B、M、F三点共线且（即F与T重合）时为最小值， 故答案为：． 12．①③/③① 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与几何综合、根据成轴对称图形的特征进行求解、根据旋转的性质求解 【分析】①运用反比例函数几何意义得出，求解即可； ②运用反比例函数几何意义得出，推出，再比较即可； ③首先求出，并根据勾股定理求值，再将绕逆时针旋转至，证明，得到，最后求出点，点坐标，即可求出直线的解析式； ④运用轴对称的性质得到当点、点、点三点共线时，有最小值，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：①：∵点和点在同一反比例函数上， ∴，即， ∴． 故①符合题意； ②：∵正方形， ∴， ∵点和点在同一反比例函数上， ∴ 即 ∴ ∴点为中点时，，则点为的中点， 故②不符合题意； ③由②可得， ∴， ∴的等腰直角三角形． ∵， ∴． ∵将绕逆时针旋转至， ∴， ∴，，．． ∴． ∴三点共线， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点，点． ∵设直线的解析式为：， 代入点，点， ， 解得：． ∴设直线的解析式为：． 故③符合题意； ④：作点关于的对称点点，连接， 当点、点、点三点共线时，有最小值． ∵正方形，且边长为， ∴，． ∵点关于的对称点点， ∴． 在中， ∴． 即的最小值为， 故④不符合题意． ∴符合题意的有①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、图形的旋转、面积的计算等，综合性强，难度较大． 13． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】过点作，使得，连接，从而可证，从而可得，，当三点共线时，取得最小值即线段的长，通过勾股定理求出线段的长即可； 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，熟练掌握辅助线的作法，将两条线段转化为同一个三角形中的两条边是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，使得，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，取得最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 14． 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，正方形的性质，轴对称的性质，作点作关于直线的对称点，连接、，由轴对称的性质可得，，根据正方形的性质可得点在上，即点在正半轴上，，利用勾股定理可求出的长，根据轴对称的性质和两点之间，线段最短可推出当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此可得答案． 【详解】解：作点作关于直线的对称点，连接、， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∵四边形是边长为3的正方形，为对角线，点和点关于中心对称，点在上， ∴点在上，即点在正半轴上， ∴根据勾股定理得； ∵， ∴由两点之间，线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∴的最小值为． 故答案为：． 15．10 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查轴对称的应用和勾股定理的基本概念．解答本题的关键是读懂题意，知道根据正方形的性质得到的最小值即为线段的长． 连接，，根据点与点关于对称和正方形的性质得到的最小值即为线段的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点关于的对称点是点． 连接，，且交于点，与交于点，此时的值最小． ∵，正方形的边长为8， ∴，． 由，知． 又∵点与点关于对称， ∴且平分． ∴． ∴． ∴的最小值是10． 故答案为：10 16．4 【知识点】三线合一、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质 【分析】连接，交于点，连接，利用垂直平分线的性质得到，再利用两点之间线段最短得到的和的最小值为的长，根据的面积计算出高，从而得出的最小值． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接， ∵直线垂直平分， ∴ ， ∵两点之间线段最短， ∴的最小值为线段， ∵等腰中,点为的中点，，， ∴，， ∴， 即：，解得， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短是解题的关键． 17． 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据题意和最短路线问题，作关于直线为对称点 ，连接，则的周长的最小；在根据勾股定理可求结果. 【详解】解：如图， ∵函数的图象与轴，轴分别交于两点 ∴ ∵点为直线上的动点，的周长的最小值 作关于直线为对称点 ，连接与直线交于点D，连接，则的周长的最小； ∴ ∵ ∴ 在中，根据勾股定理得： ∴ 故答案为：. 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、轴对称最短路线问题，解答本题的关键是明确题意，作出相应的辅助线，利用数形结合的思想解答． 18． 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】由旋转的性质，连接线段，通过判定，得到是的平分线，即点在的平分线上运动，然后作定点关于射线的对称点，化折为直，则线段的长度为所求线段和的最小值，最后通过勾股定理计算得出答案． 【详解】解：连接， 由旋转性质得：， 为等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 即为的平分线， 由此可得，点在的平分线上运动， 作点关于的平分线射线的对称点，连接， ， ， 由对称性知， ， 当三点共线时，最小，即线段的长度， 在中，， 的最小值为， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查几何最值问题中的线段和最值问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，线段和最值问题的核心是作定点关于动点所在直线的对称点，化同为异，化折为直，找到动点的运动轨迹是这道题的关键所在． 19． 【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质． 如图，取中点G，连接与交于点，连接，由正方形的性质则可得的最小是的长度，过点F作交于点M，结合正方形的性质，利用勾股定理进行求解即可得； 【详解】解：取中点G，连接与交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴直线是正方形的对称轴， ∴点与点关于对称， ∴ ，， ∴， ∴当点P与点Q重合时线段的最小值是线段的长， ∵正方形 的边长为4， ，点E是的中点，中点为G， ∴， 过点F作交于点M，则四边形为矩形， ∴， ∴， 在中， ，根据勾股定理得 ∴的值最小是. 故答案为：． 20．15 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是根据轴对称的性质作出图形得到的最小值即为线段的长．连结，，，根据轴对称的性质，得到，的最小值即的最小值，即为线段的长，再根据勾股定理，即可求得的长，即得答案． 【详解】解：连结，，， 正方形是轴对称图形，点B与点D是以直线为对称轴的对称点， 直线即为的垂直平分线， ， ， 当点N在与的交点P处，取得最小值，最小值为的长， 正方形的边长为12，且， ，，， ， 的最小值为15． 故答案为：15． 21． 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、利用二次根式的性质化简 【分析】连接，由折叠的性质及题意易得，则有是等边三角形，进而可得；设，，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得可得，则求得，，进而求得，根据对称性得到，当、Q、E共线时取等号，进而可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，，， ∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕， ∴，，， ∴，即是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，， 则在中，， ∴， ∴， ∵在中，，又 ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵点Q是折痕上的一个动点，点A与点关于对称， ∴连接，则， ∴，当、Q、E共线时取等号，此时点Q在N处， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理及二次根式的运算、含30度角的直角三角形的性质、最短路径问题，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最短路径是解题的关键． 22．5 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、根据矩形的性质求线段长、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查中位线定理，矩形的性质，轴对称最短路径问题(将军饮马问题)，勾股定理等知识，掌握中位线定理和将军饮马模型是解题的关键．连接，结合，，，得点G为的中点， F为的中点，得到，，从而把的最小值转化为即的最小值问题，利用轴对称最短路径问题，勾股定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴点G为的中点， ∵F为的中点， ∴，， ∴， 作 A关于直线的对称点H，连接，交于点M， ∵，， ∴当P与M重合时，取得最小值， ∵矩形中，，，点E在上且． ∴， ∴， ∴的最小值为5． 故答案为：． 23． 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、三角函数综合、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接，当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值．，先求出和的值，再通过勾股定理求出，通过角度的代换，证得，通过即可求解． 【详解】解：如图，过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接， 点是点关于直线的对称点， 直线垂直平分， ，，， ， 当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值． ，， ． ，且，， ， 四边形是矩形， ，， ，，， ， ， ， ，， 在中，， ， ． 当取最小值时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了动点最值的将军饮马模型，线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质，三角函数，勾股定理，熟练掌握动点最值类模型的解题思路是解题关键． 24．3 【知识点】解直角三角形的相关计算、根据旋转的性质求解、等边三角形的性质、全等三角形综合问题 【分析】本题考查等边三角形的性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、利用轴对称求最短距离等知识，得到点F的运动路线是解答的关键．如图，连接，证明得到，结合等边三角形的性质得到，则点F在垂直于的直线上运动，作点A关于直线的对称点，连接、，则，当、F、D共线时取等号，此时的最小值为的长；连接交直线于K，则，，证明得到，在中，利用锐角三角函数求得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由旋转性质得，， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴，，， ∴， ∴点F在垂直于的直线上运动， 作点A关于直线的对称点， 连接，则，， ∴，当、F、D共线时取等号，此时的最小值为的长， 连接交直线于K，则，， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即的最小值为3， 故答案为：3． 25． 【知识点】根据旋转的性质求解、利用平移的性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长、最短路径问题 【分析】作于，作于，作于，交于，在延长线上取点，使得，连接、，利用三线合一性质和勾股定理求出，通过证明得到，利用矩形的判定推出四边形是矩形，得到，再利用平移的性质得到，，进而求出的长，利用垂直平分线的性质得出，最后利用线段的性质即可求解． 【详解】解：如图，作于，作于，作于，交于，在延长线上取点，使得，连接、， ，， ，， ， 由旋转的性质得，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 由平移的性质可得，， 又、分别为、对应边的高， ，， ， ， ， ， ，， 是的垂直平分线， ， ， 当、、共线时，的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题属于将军饮马最值问题，主要考查了平移的性质、旋转的性质、矩形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定，添加辅助线利用图形的性质转化线段是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 26．5 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查最短路径问题，涉及轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理等知识． 连接，得到，过点D作，且，连接， 因此．连接，证明，即，根据勾股定理，在中，得到，在中，得到，即可得到的最小值是5． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形，点B与点D关于对角线对称， ∴， 过点D作，且，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 连接， ∵在正方形中，， ∴，即， ∵在正方形中，，， ∴在中，， ∴在中，， ∴的最小值是5． 故答案为：5 27．12 【知识点】其他问题(轴对称综合题)、根据矩形的性质求线段长、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】本题涉及到矩形的性质及判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及利用轴对称求最短路径的知识点． 连接，，作点关于直线的对称点，交的延长线于，连接，，先根据矩形性质和已知条件得出四边形是平行四边形，进而得到四边形是矩形，将转化为；再利用点P是中点及长度固定，确定点P的运动轨迹；最后根据两点之间线段最短，用勾股定理求出的最小值． 【详解】解：连接，，作点关于直线的对称点，交的延长线于，连接，， ， 矩形中，，， ， ， 四边形 是平行四边形， 是矩形， ， ， ， ， ， ， 中，， ，点P为的中点，， ， 点在以点为圆心，为半径的弧上， ， 四点共线时，最小， 此时，最小， 即最小， ， 故答案为：12． 28．12 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】作点B关于的对称点F，连接交于E，连接、，则，此时，最小，先求出，，利用直角三角形的性质得到，从而求得，，再证明为等边三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：作点B关于的对称点F，连接交于E，连接、，则，此时，最小， ∵ ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵点B与点F关于的对称， ∴，， ∴ ∵ ∴为等边三角形， ∵点D为的中点， ∴，， ∴ ∴的最小值为12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查利用轴对称求最短距离问题，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握“将军饮马”问题是解题的关键． 29． 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动（），作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小． 【详解】解：连接 ∵均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小， ∵ ∴是等边三角形且与全等， ∴，， ∵， ∴， ∴周长的最小值是 故答案为： 30．(1)①；②；③； (2) 【知识点】最短路径问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①利用勾股定理即可求出的长； ②过点作轴于点，易证，利用全等三角形的性质可得，的长，从而可求出点的坐标； ③由且点位于第一象限内得，点的纵坐标为1，利用待定系数法求出直线的解析式，将代入即可求出点的坐标，从而可求的面积； （2）由得，则点在直线上运动，连接，作点关于直线的对称点，，可得当三点共线时，取得最小值，此时的周长取得最小值，据此求解即可． 本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，最短路径问题，过点作轴于点，通过证明得到点在直线上运动是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②过点作轴于点，如图， ∴，， 在等腰中，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； ③∵，点位于第一象限内， ∴， ∴点的纵坐标为1， 设直线的解析式为， 将点，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴将代入得， 解得， ∴， ∴； （2）解：由（1）②得，， ∴点在直线上运动， ∵连接，作点关于直线的对称点， ∴，， 则当三点共线时，取得最小值， 此时的周长取得最小值． 31．(1)图见试题详解，，，； (2)； (3)图见试题详解． 【知识点】画轴对称图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了作图——轴对称变换、轴对称——最短路线问题、三角形的面积等，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）首先确定三个顶点的对称点位置，再连接即可； （2）利用长方形面积减去周围多余三角形的面积即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴交点即为． 【详解】（1）解：如图所示，，，； （2）， ， ， ， ； （3）如图点为所求作． 32．(1)见解析 (2)①；② 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、线段问题(轴对称综合题)、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查平面直角坐标系，割补法求三角形的面积，一次函数的应用． （1）点A和B的坐标确定原点O并建立平面直角坐标系即可； （2）①利用割补法计算即可； ②根据轴对称的性质作关于轴的对称点，连接交轴于点，进而可得，此时最小，再待定系数法求的解析式，进而求得点的坐标． 【详解】（1）解：根据和，确定原点O并建立平面直角坐标系如图所示： （2）解：①． ②如图，作关于轴的对称点，连接交轴于点， ∴ ∴，此时最小， 设直线的解析式为， 代入，得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 33．(1) (2)的最小周长是 【知识点】求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了一次函数的图像性质，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，勾股定理，合理做出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）作点关于y轴对称的点C，连接交y轴于点P，过点M作于点D，此时，可得到最小值，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，把代入可得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）周长， 当最小时，的周长最小， 如下图，作点关于y轴对称的点C，连接交y轴于点P，过点M作于点D， 此时，可得到最小值， ，C与A关于y轴对称， M为中点，， ，即， ， ， 在中，， 在中，， 周长． 34．(1) (2)存在， (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、利用二次函数对称性求最短路径、等腰三角形的性质和判定、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由对称性可知当B、C、Q三点共线时，的周长最小，求出直线与对称轴的交点即为所求点Q； （3）设，而可得；；，再由等腰三角形的边的关系分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点 ∴当时，； ∴ ∵抛物线与轴交于点（在的右侧）， ∴ 解得： ∴ ∴ （2）存在； 如图；连接与对称轴交于点；连接 ，此时的周长最小； ∵ 设直线的解析式为：， ∴ 解得： ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线： ∴当时，代入得： ∴ （3）设，而 ∴；； ∵是以为腰的等腰三角形 ∴①当时，则；解得 当时，在一条直线上，故舍去； ∴ ②当时，则 ；解得： ∴；. 综上所述：点坐标为；；. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，求函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 35．(1) (2)存在，点P的坐标为 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式 【分析】本题考查了利用顶点式求二次函数的解析式，函数图象交点坐标求法，待定系数法求直线解析式，将军饮马模型，解题的关键是熟练掌握二次函数的解析式求法，并能快速识别将军饮马模型． （1）根据题意，设顶点式求二次函数解析式； （2）先联立直线与抛物线，解方程组求出A，B两点的坐标，再作出点A关于直线的对称点， 连接与直线的交点即为所求点P，再利用直线的解析式求出点P的坐标． 【详解】（1）抛物线的顶点坐标为， 可设抛物线解析式为， 又抛物线经过点， ，解得， 抛物线解析式为． （2）在l上存在一点P，使取得最小值，点P的坐标为．理由如下： 联立， 消去整理得，解得，， 当时，，；当时，，； 点A关于直线：的对称点记为，如下图所示： 连接与交直线于点P，此时取得最小值． 设直线的解析式为， 代入，B两点的坐标可得， 解得， 直线的解析式为， 当时，由解得， ． 在l上存在一点P，使取得最小值，点P的坐标为． 36．（1）； （2）； （3）的周长存在最小值，其最小值为． 【知识点】已知正切值求边长、相似三角形的判定与性质综合、根据成轴对称图形的特征进行求解、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）取点关于轴的对称点点，连接交轴于点，此时取最小值，设直线的解析式为，将点、点坐标代入求出解析式后，即可求得直线与轴的交点的坐标，可得值； （2）由勾股定理求出，证明后，由相似三角形的性质即可求出； （3）先证四边形是矩形，结合勾股定理求出，设，由平行线性质和正切值得出、、，证明后，由相似三角形的性质求出后即可得，即为定值，故只需求出的最小值即可，过作，作点关于的对称点，连接，则，即为的最小值，过作于点，由等面积法求出后即可得，再由勾股定理可得，周长的最小值即为． 【详解】解：（1）取点关于轴的对称点点，连接交轴于点， 由对称性质可得，，， 则取得最小值即取最小值， 且当点是与轴的交点时，取得最小值， 设直线的解析式为， 将，代入解得， 当时，， 即， ． 故答案为：． （2）在中，，，点为边的中点， ，， ， ， 是公共角， ， ， 即， 解得． （3），， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 即， ， ， 即为定值，故只需求出的最小值即可， 如图，过作，作点关于的对称点，连接，则， ， 故为的最小值， 过作于点， 由等面积法知， ，， ， ， ， 周长的最小值为． 故的周长存在最小值，其最小值为． 【点睛】本题考查的知识点是根据成轴对称图形的特征进行求解、一次函数的实际应用、勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、利用正切值求线段，解题关键是熟练运用将军饮马模型解题． 37．(1)； (2)①；②；③或． 【知识点】其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）由题意利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）①求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，即可求得最大值； ②证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； ③求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）①解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得 ：， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴ ②由①得：，，， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； ③解：由①得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∴新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 作关于直线的对称线得交抛物线于点， ∴， 设交轴于点， 由旋转的性质得到， 过点作轴，作轴于点，作于点， 当时，， 解得， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． ( 第 21 页 共 71 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $