专题1.3 分式(题型归纳+知识点梳理+常考题型)-2026年数学中考一轮复习讲义.

专题1.3 分式 中考一轮复习讲义 💧 考点分析 ◆了解分式、最简分式的的概念，明确分式是分母含未知数的代数式，区分分式与整式；掌握分式有意义无意义值为0的条件； ◆掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；能够利用分式的基本性质进行约分和通分。掌握分式的加减、乘除运算； ◆掌握分式混合运算顺序：先算乘方，再将除法化为乘法（约分），最后算加减，有括号先算括号内；运算结果化为最简分式或整式，运算过程需依据分式基本性质、运算法则。 ☘ 题型归纳 题型1. 分式的判断 题型2. 分式有（无）意义的条件 题型3. 分式值为0的条件 题型4. 分式的值 题型5. 分式的规律探究 题型6. 分式的基本性质 题型7. 最简公分母与最简分式 题型8. 约分与通分 题型9. 分式的加减运算 题型10.分式的乘除（含乘方）运算 题型11.分式的混合运算 题型12.分式的化简求值 题型13.零指数幂与负整数指数幂 题型14.与分式运算有关的阅读理解类问题 💦 知识点梳理 【知识点一：分式的有关概念】 1.分式：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母（即B不是常数），那么式子叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。 2.分式有（无）意义的条件：对于分式：当时分式有意义；当时无意义. 3.分式值为零的条件：当且时，分式的值为零. 【知识点二：分式的基本性质】 1.基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变； 字母表示：； 2.分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去的过程，称为分式的约分。◆ 分式约分的步骤： (1)若分子﹑若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂； (2)若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式。 3.最简分式：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。 4.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分； 5.最简公分母：为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母。 ◆确定几个分式的最简公分母的方法： （1）当分母为多项式时，先因式分解； （2）系数：各分式分母系数的最小公倍数； （3）字母：各分母的所有字母的最高次幂； （4）多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂； （5）写成乘积形式. 【知识点三：分式的加减运算】 1.同分母分式的加减法法则：同分母的两个分式相加（减），分母不变，分子相加（减）； 字母表示： 2.异分母分式加减法法则：异分母的两个分式相加（减），先通分，化为同分母的分式，再按照同分母分式的加减法法则进行相加（减）。 字母表示： 【知识点四：分式的乘除运算】 ●分式的乘除运算 1.分式的乘法法则：（1）分式乘分式时，将两个分式的分子相乘，得到的乘积作为积的分子；同时，将两个分式的分母相乘，得到的乘积作为积的分母。 （2）字母表示：  （3）注意事项：①符号优先运算；②分式的运算结果要化为最简分式或整式.③在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分子为这个整式的分式． 2.分式的除法法则：（1）文字表述：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置（即取倒数）后，与被除式相乘。 （2）字母表述：  ●分式的乘方 文字表述：分式的乘方，就是把分子和分母分别进行乘方运算。 字母表述： ； ●分式的混合运算 1. 分式混合运算的法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的．注意结果一定要化成一个整式或最简分式的形式； 2. 分式化简求值的方法 (1)先把所给式子化简成最简分式或整式的形式，再将字母的值代入化简后的式子； (2)若题目中给出自主取数值代入求值时，要注意所选取的数值一定要使原分式有意义，即所取数值要使所给式子的分母及除数不能为0. ●整数指数幂 1.零指数（1）文字表述：任何不等于零的数的零次幂都等于1； （2）字母表示：； 2.负整数指数幂（1）文字表述：任何不等于零的数的负整指数幂，等于这个数的正指数幂的倒数； （2）字母表示：； ✏ 题型解读 题型1.分式的判断 1．下列式子中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，解题的关键是掌握分式的定义． 分式是指形如（A、B是整式，且B中含有字母）的式子，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项中，分母是常数，不含字母， ∴是整式，不是分式； B选项中，分母3是常数，不含字母， ∴是整式，不是分式； C选项中，分子3是整式，分母是含字母x的整式， ∴是分式； D选项中，分子不是整式， ∴不是分式； 故选：C． 2．在式子，，，，，，中，分式的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的定义逐一判断即可． 【详解】解：分母含字母a，是分式； 中是常数，分母不含字母，是整式； 分母是常数，是整式； 分母含字母x，是分式； 分母均为常数，是整式； 分母含字母x，是分式； 分母含字母x，是分式， 综上，分式一共有4个，即选项B符合题意． 【点睛】掌握π是常数不是字母，负指数可以转化为分式形式是解题的关键． 3．一艘轮船在静水中的最大航速为，江水的流速为，它以最大航速沿江顺流航行，所用的时间可表示为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式，根据“时间路程速度”，列出分式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：最大航速沿江顺流航行，所用的时间可表示为， 故答案为：． 4.下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是分式的有_________，是整式的有_________．（填序号） 【答案】 ①③⑤⑥ ②④⑦ 【分析】此题主要考查了分式、整式的定义，正确把握定义是解题关键． 直接利用分式、整式的定义分析得出答案． 【详解】解：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是分式的有①；③；⑤；⑥，整式有：②；④；⑦， 故答案为：①③⑤⑥，②④⑦． 题型2.分式有（无）意义的条件 1．要使分式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】分式有意义的条件：分母不等于零，据此求解即可． 【详解】解：分式有意义， ， 解得：， 故答案为：． 2．已知分式，当时，分式无意义，则______________． 【答案】 2 【分析】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是明确分式无意义时，其分母的值为 将代入分式的分母，令分母等于，解关于的方程即可得到的值． 【详解】解：分式无意义的条件是分母为． 当时，分母，代入得 即， 解得． 故答案为：． 3．已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式没有意义．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式值为0和分式无意义的条件，掌握分式值为的条件是分子为且分母不为，分式无意义的条件是分母为是解题的关键． 根据分式值为的条件求出的值和的限制，再根据分式无意义的条件求出的值，最后代入计算． 【详解】解：当时，分式的值为， 且，解得，． 当时，分式没有意义， ，解得， ． 4．化简并求值：，在中取合适的值代入． 【答案】，当，原式（其他取值合理也可）． 【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算结合因式分解化简原式，再取使分式有意义的一个数代入求解即可． 【详解】解： ， ∵，，， ∴可取， ∴当，原式． 题型3.分式值为0的条件 1．若分式的值是零，则x的值是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于零，分母不等于零，计算即可得出结果． 【详解】解：∵分式的值是零， ∴，且， 解可得， 解可得， ∴． 2．若代数式的值为，则满足要求的所有的值为______． 【答案】 【分析】先令分子为求出候选解，再用分母不为的条件排除无效解，得到正确答案． 【详解】解：要使代数式的值为，可得： ，解得或，即或； ，解得． 故． 3．已知分式，当时，该分式无意义；当时，该分式的值为0．求分式的值． 【答案】5 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，分式无意义的条件，掌握以上知识点是解题的关键． 根据分母为是分式无意义，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算求出、的值，然后代入求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得， 解得 ． 4．已知分式满足表格中的信息，其中，，均为常数． 的取值 分式的值 无意义 (1)原分式中的值是　　　； (2)求出，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查分式的值和分式无意义的条件，解题的关键是根据分式的值求出字母的值及分式有意义的条件． （1）根据分式无意义的条件求解即可； （2）先根据时分式的值为0求出a的值，再根据分式的值为3求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵时分式无意义，即， ∴， 故答案为：1． （2）解：当时，分式的值为0， ， 解得， ∴原分式为 ， 当分式的值为3时，即， 解得, 经检验，是该分式方程的解， ∴． 题型4.分式的值 1．已知，则的值为（） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式化简求值，先提取公因式，再对分式进行通分，结合已知条件化简计算，即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴原式 ∵， ∴ 代入得： 故选：C． 2．使分式的值为负数的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式值的正负性问题，解题的关键是掌握：若对于分式时，说明分子分母同号；分式时，分子分母异号． 根据分式的值为负，得到，解不等式即可． 【详解】解：∵使分式的值为负数，， ∴， 解得：， 故选：A． 3．若整数使式子的值为整数，则满足条件的的值有___________个． 【答案】1 【分析】本题考查分式的计算．先化简分式，再求使该式为整数的整数，同时考虑分母不为零的限制条件． 【详解】解：， 原分式分母不为零，则， 原分式除式不为零，则， ∴， 原式化简为，要使式子的值为整数，则必须为2的约数，即或，解得．又由排除后，仅满足条件．故满足条件的的值有1个． 故答案为：1． 4．已知． (1)化简A； (2)若，且当A为正整数时，求整数a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了分数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）括号内先通分，再计算分式的乘法，约分即可得出结果； （2）将代入（1）中化简的式子可得，再结合A为正整数，计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∵A为正整数， ∴只能取，， ∴或， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为或． 题型5.分式的规律性问题 1．已知，，，，（为正整数，且，），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了规律探究，首先根据规律计算出、、、的值，得出规律是每个数一循环，又因为，可知是第个循环的最后一个数，从而得出结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 可知每个数一循环， ， 是第个循环的最后一个数， ． 故选：C． 2．观察下面一列数：，，，，，，则第个数为__________． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，根据所给的一列数发现分子和分母的变化规律是（为正整数），然后利用规律解决问题． 【详解】解：∵， ∴第个数的符号为，分子为，分母为：， ∴第个数为（为正整数）， 当时，， 即第100个数为． 故答案为：． 3．观察以下等式： 第1个等式；第2个等式；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式；…… （1）按照以上规律，写出第6个等式：__________________________． （2）写出第n个等式：__________________________． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律，观察等式并找到规律是解题关键． （1）按照所给的等式，逐项探究规律，写出第个等式即可； （2）根据（1）得到的规律，写出第个等式，再通分，利用分式的加减法则计算即可解答此题． 【详解】解：（1）第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：． 第个等式为：， 故答案为：； （2）， 证明： ， ， ∴左边=右边， 故答案为：． 4．观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了分式的规律以及分式的化简，能根据所给等式发现规律是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． （2）结合（1）中发现的规律，并进行证明即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为；；；；… 所以第n个等式可表示为：． 当时， 第5个等式为：． 故答案为：． （2）解：由（1）知，第n个等式可表示为：． 证明如下： 左边 右边， 所以此等式成立． 题型6.分式的基本性质 1．下列等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的数或式子，分式的值不变，据此可判断A、B；当可证明，，据此可判断C、D． 【详解】解：A、从到，分子和分母同乘以，根据分式的基本性质可知，但原分式中的值可以为0，原式变形错误，不符合题意； B、由于，则变形正确，符合题意； C、当时，，原式变形错误，不符合题意； D、当时，，原式变形错误，不符合题意； 故选：B． 2．下列说法正确的是（） A．代数式是分式 B．分式是最简分式 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式中都扩大3倍，分式的值不变 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义、最简分式的定义、分式值为0的条件、分式的基本性质，熟练掌握分式相关概念及性质的应用条件是解题的关键．根据分式的定义、最简分式的定义、分式值为0的条件、分式的基本性质，对每个选项逐一分析判断即可． 【详解】解：∵分式的定义是分母中含有字母的整式，π是常数， ∴的分母不含字母，是整式不是分式，故A错误． ∵的分子与分母没有公因式， ∴该分式是最简分式，故B正确． ∵分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，由得，又时，分母，分式无意义， ∴，故C错误． 将都扩大3倍后，新分式为，是原分式的3倍，分式的值改变，故D错误． 故选：B． 3．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）分子与分母都乘以10即可； （2）分子与分母都乘以12即可． 【详解】解：（1） 故答案为： （2） 故答案为： 4．先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值． 下面是某同学的部分解答过程． 解：原式    第一步     第二步 …… (1)该同学的解答过程中的第一步运算，依据是 ； (2)请你帮这位同学写出完整的解答过程． 【答案】(1)分式的基本性质 (2)，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件、分式的基本性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据分式的基本性质解答即可； （2）根据分式的混合运算法则将所求式子进行化简，再根据分式有意义的条件得出，代入化简后的式子计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得，该同学的解答过程中的第一步运算，依据是分式的基本性质； （2）解：原式      ∵，，，且为整数， ∴，     ∴当时，原式． 题型7.最简公分母与最简分式的判断 1．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此进行判断即可． 【详解】解：分式，的最简公分母是． 2．下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A ，分子，分母无法分解因式，分子分母没有除1以外的公因式，是最简分式； 选项B ，分母，分子为，分子、分母有公因式，可约分，不是最简分式； 选项C ，分母=，分子为，分子、分母有公因式，可约分，不是最简分式； 选项D， 分子=，分子、分母有公因式，可约分，不是最简分式． 3．在分式，，，，中，最简分式有__个． 【答案】1 【分析】本题考查分式的应用，熟练掌握最简分式的意义和正确进行分式约分的方法是解题关键． 根据最简分式的意义对每项进行检验判断． 【详解】解：由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 而分子分母没有公因式，是最简分式． 故答案为：1 ． 4．已知分式与（，是常数且的最简公分母为，则______，_______． 【答案】 3 5或10 【分析】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，理解最简公分母的定义是解题的关键． 根据最简公分母的定义，系数部分取分母系数的最小公倍数，变量部分取各变量因式的最高次幂，即可求出、的值． 【详解】解：第一个分式的分母为 ，第二个分式的分母为 ， 根据最简公分母的定义，其系数应为各分母系数的最小公倍数，字母部分应包含所有字母因式，且各字母的指数取其在各分母中出现的最大指数 ∵最简公分母为 ． ∴两个分母系数和的最小公倍数为，且的最高次幂为． ∵的最高次幂为 ， ∵两个分母系数和的最小公倍数为， 当2与互质时，它们的最小公倍数为，解得； 当2是的因数时，它们的最小公倍数为 综上，或， 解得： 或 ， 故答案为：，或． 题型8.约分与通分 1．分式约分的结果为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】找出分子分母的公因式，约去公因式得到最简结果即可． 【详解】解：∵ 分式中，分子和分母的公因式为， ∴ ． 2．分式的分母经过通分后变为，那么分子应变为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，分式的通分，掌握以上知识点是解题的关键． 根据分式的基本性质，分母通分后乘以了，因此分子也需乘以相同的量以保持分式值不变. 【详解】∵ 原分式为 ，通分后分母变为 ， ∵， ∴分母乘以了， 根据分式的基本性质，分子也需乘以， ∴新分子为， 故选： C． 3．约分：__________． 【答案】 【分析】本题考查了约分，关键是找到分子、分母的公因式；先对分子和分母因式分解，最后约去公因式． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 4．将分式，通分时，最简公分母是______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解和最简公分母的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 首先将两个分式的分母因式分解，然后找出所有因式的最小公倍式，然后即可求解； 【详解】解：第一个分母可因式分解为，第二个分母可因式分解为 ；两个分母的因式分别为 、和，因此最简公分母为这些因式的最小公倍式，即， 故答案为：； 题型9.分式的加减运算 1.计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同分母分式加减运算，根据两个分式分母相同，直接合并分子后利用平方差公式化简即可． 【详解】解： ． 故选：D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对分母因式分解确定最简公分母，再将两个分式通分为同分母分式，接着对分子进行减法运算并因式分解，最后约去分子分母的公因式，得到最简分式． 【详解】解： ． 3.若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，并让所得分子的对应系数相等是解题的关键． 右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应的系数相等，即可求出A，B． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴， 得：， ∴． 将代入①中，解得：， ∴方程组的解为：． 故选B． 4．某中学组织学生乘车前往实践基地参加活动，计划租m辆车（），如果每辆车13人，则有4人上不了车；如果有一辆车不坐人，那么正好平分到其他车上，则计划组织_______名学生参加此次活动． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，根据题意求出每辆车乘坐人数为（人），故是整数，所以只有或，求出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，有一辆车不坐人正好平分到其他车上时，每辆车乘坐人数为： （人）， 故是整数， ∴或， 解得：（不合题意，舍去）或， 当时， ， 故答案应为：． 题型10.分式的乘除（含乘方）运算 1．计算的结果是（   ） A．a B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘法运算，以及积的乘方运算，先计算平方部分，再与分式相乘，约分后即可得到结果． 【详解】解：， 故选：A． 2．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的除法运算，掌握分式除法转化为乘法，即除以一个分式等于乘以它的倒数是解题的关键． 根据除法法则，除以一个分数等于乘以它的倒数，然后进行乘法运算． 【详解】解：∵ ， ∴ . 因此，结果为． 故选：B． 3．下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘方运算，熟练掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 根据分式的乘方运算法则，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项式子不成立，不符合题意； B、，故此选项式子不成立，不符合题意； C、，故此选项式子成立，符合题意； D、，故此选项式子不成立，不符合题意； 故选：C． 4．已知，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，实数的运算，以及分式的混合运算． 利用完全平方公式将化为，进而计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 题型11.分式的混合运算 1．动车提速后，平均速度变为原来的倍，若行驶同样路程，时间可缩短到原来的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】路程一定时，时间与速度成反比，通过表示出提速前后的时间，即可求出提速后时间缩短到原来的多少． 【详解】解：设动车原来的平均速度为， ∵路程为， ∴原来行驶的时间为． ∵提速后平均速度变为原来的倍， ∴提速后速度为， ∴提速后行驶时间为， ∴提速后时间与原来时间的比值为． 即时间可缩短到原来的． 2．计算的结果是________． 【答案】 【分析】先对括号内的分式进行通分并化简，再对括号外分式的分子分母分别因式分解，最后将两个分式相乘，约去分子分母的公因式，得到最简结果． 【详解】解： ． 3．对于，规定，例如，，那么________． 【答案】 【分析】根据给定的的定义，推导得出，将原式两两分组结合后，即可计算出最终结果． 【详解】解：，， ， 即，且． 原式 ． 4．若化简的最终结果为整数，则“”代表的式子可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算顺序是解决问题的关键． 先将原式化简，得到，再令，使结果为整数． 【详解】解： ， 要使结果为整数，取，则，为整数， 故“”代表的式子可以是． 题型12.分式的化简求值 1．化简的结果是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简运算，正确计算是解题的关键．先利用平方差公式对分子因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分得到结果． 【详解】解：原式， ， 故选：C． 2．若，则的值（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简，可通过已知条件用含b的式子表示a，再代入所求分式计算，或利用分式的基本性质将所求分式转化为含的形式求解． 【详解】解：方法一： ∵ ∴（） 将代入得： ． 方法二： ∵， ∴． 故选：C． 3．已知，则的值是____________． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的化简求值．根据题意得出，然后利用完全平方公式代入求解即可． 【详解】解：将两边同时除以x，得， ∴ ． 故答案为：1． 4．先化简，然后从0，1，2，3中选取一个合适的数代入求值． 【答案】， 【分析】先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算，然后根据分式有意义的条件得到，，，然后将代入求解． 【详解】解： ， ∵分式有意义， ∴，， ∴，， ∵从0，1，2，3中选取一个合适的数 ∴， ∴原式． 题型13.零指数幂与负整数指数幂 1．已知，，，则m，n，p的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据负整数指数幂、零指数幂、乘方计算m，n，p，再比较大小即可． 【详解】解：，，， 又， ∴． 2．计算：______． 【答案】 【分析】先根据负整数指数幂的法则将原式转化为分式形式，再对分母因式分解，通分后合并分子，约分得到最终结果． 【详解】解： ． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂相除、同底数幂相乘、负指数幂和积的乘方法则计算并逐项判断即可．本题考查指数运算规则，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：选项A：， ∴A错误，不符合题意； 选项B：， ∴B错误，不符合题意； 选项C：， ∴C正确，符合题意； 选项D：， ∴D错误，不符合题意； 故选：C． 4．化简计算：__________． 【答案】61 【分析】本题考查了整数指数幂的运算，分数指数幂的运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键； 先利用整数指数幂的运算法则，分数指数幂与根式的互相转化进行化简，再计算即可． 【详解】 ， ， ． 故答案为：61． 题型14.与分式运算有关的阅读理解类问题 1．阅读下面材料并解决有关问题：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)在①；②；③；④这些分式中，属于真分式的是_____；（填序号） (2)将假分式化成整式与真分式和的形式； (3)若假分式的值是整数，求整数x的值． 【答案】(1)③ (2)2+ (3)整数x的值为或或或． 【分析】本题考查了分式的性质、分式的加减运算，理解题中的定义和转化方法是解答的关键． （1）直接根据真分式的定义判断即可； （2）仿照例题进行转化即可； （3）根据题意只需是整数，进而求解或即可． 【详解】（1）根据真分式的定义，属于真分式的是③． 故答案为：③； （2）解：； （3）解：由（2），得， ∵假分式的值是整数， ∴是整数． ∴或． ∴或或或． ∴整数x的值为或或或． 2．仔细阅读下面的材料并解答问题． 例：当取何值时，分式的值为正数？ 解：由题意，得，则有①或②解不等式组①，得；解不等式组②，得该不等式组无解．∴当时，分式的值为正数． 按照上面的方法，求当取何值时，分式的值为负数． 【答案】当且时 【分析】此题考查了已知分式的值求未知数的范围，解不等式组，解题的关键是正确列出不等式组． 首先将因式分解为，然后类比题干的方法得到①或②，然后分别求解即可． 综合运用因式分解、分式值为负，解不等式等知识． 【详解】解：∵， ∵分式的值为负数， ∴或， ∴①或② 解不等式组①，得且； 解不等式组②，得该不等式组无解． ∴当且时，分式的值为负数． 3．阅读理解 材料1：为了研究分式与分母的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.3 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0：当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子，分母是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式、当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式、 如：． 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值______（增大或减小）； (2)①当时，随着的增大，的值无限接近一个数．请求出这个数： ②当为整数时，请求出正整数的值； ③当时，求代数式值的范围． 【答案】(1)减少 (2)①2；②2、3、5；③. 【分析】本题考查分式的性质，分式的化简求值. （1）由的变化情况，判断的变化情况即可； （2）①由，即可求解； ②由，即可求解； ③由，再结合的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大而减小， ∴随着的增大，的值减小； 故答案为：减小； （2）解：①∵， ∴当时，的值无限接近， ∴的值无限接近； ②∵为整数，x的值为正整数， ∴为整数，， ∴或2或4， ∴x的值可为2、3、5； ③∵，， ∴， ∴． 4．阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了求最简公分母，根据最简公分母的定义求解即可． 根据题干中的方法求解即可． 【详解】（1）解：第一步：1，，，； 第二步：，c，，； 第三步：，，，； ∴，，的最简公分母是； （2）解：第一步：1，，，； 第二步：，3，，； 第三步：，，，； 第四步：，，，； ∴，，的最简公分母是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 分式 中考一轮复习讲义 💧 考点分析 ◆了解分式、最简分式的的概念，明确分式是分母含未知数的代数式，区分分式与整式；掌握分式有意义无意义值为0的条件； ◆掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；能够利用分式的基本性质进行约分和通分。掌握分式的加减、乘除运算； ◆掌握分式混合运算顺序：先算乘方，再将除法化为乘法（约分），最后算加减，有括号先算括号内；运算结果化为最简分式或整式，运算过程需依据分式基本性质、运算法则。 ☘ 题型归纳 题型1. 分式的判断 题型2. 分式有（无）意义的条件 题型3. 分式值为0的条件 题型4. 分式的值 题型5. 分式的规律探究 题型6. 分式的基本性质 题型7. 最简公分母与最简分式 题型8. 约分与通分 题型9. 分式的加减运算 题型10.分式的乘除（含乘方）运算 题型11.分式的混合运算 题型12.分式的化简求值 题型13.零指数幂与负整数指数幂 题型14.与分式运算有关的阅读理解类问题 💦 知识点梳理 【知识点一：分式的有关概念】 1.分式：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母（即B不是常数），那么式子叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。 2.分式有（无）意义的条件：对于分式：当时分式有意义；当时无意义. 3.分式值为零的条件：当且时，分式的值为零. 【知识点二：分式的基本性质】 1.基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变； 字母表示：； 2.分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去的过程，称为分式的约分。◆ 分式约分的步骤： (1)若分子﹑若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂； (2)若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式。 3.最简分式：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。 4.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分； 5.最简公分母：为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母。 ◆确定几个分式的最简公分母的方法： （1）当分母为多项式时，先因式分解； （2）系数：各分式分母系数的最小公倍数； （3）字母：各分母的所有字母的最高次幂； （4）多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂； （5）写成乘积形式. 【知识点三：分式的加减运算】 1.同分母分式的加减法法则：同分母的两个分式相加（减），分母不变，分子相加（减）； 字母表示： 2.异分母分式加减法法则：异分母的两个分式相加（减），先通分，化为同分母的分式，再按照同分母分式的加减法法则进行相加（减）。 字母表示： 【知识点四：分式的乘除运算】 ●分式的乘除运算 1.分式的乘法法则：（1）分式乘分式时，将两个分式的分子相乘，得到的乘积作为积的分子；同时，将两个分式的分母相乘，得到的乘积作为积的分母。 （2）字母表示：  （3）注意事项：①符号优先运算；②分式的运算结果要化为最简分式或整式.③在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分子为这个整式的分式． 2.分式的除法法则：（1）文字表述：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置（即取倒数）后，与被除式相乘。 （2）字母表述：  ●分式的乘方 文字表述：分式的乘方，就是把分子和分母分别进行乘方运算。 字母表述： ； ●分式的混合运算 1. 分式混合运算的法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的．注意结果一定要化成一个整式或最简分式的形式； 2. 分式化简求值的方法 (1)先把所给式子化简成最简分式或整式的形式，再将字母的值代入化简后的式子； (2)若题目中给出自主取数值代入求值时，要注意所选取的数值一定要使原分式有意义，即所取数值要使所给式子的分母及除数不能为0. ●整数指数幂 1.零指数（1）文字表述：任何不等于零的数的零次幂都等于1； （2）字母表示：； 2.负整数指数幂（1）文字表述：任何不等于零的数的负整指数幂，等于这个数的正指数幂的倒数； （2）字母表示：； 题型解读 题型1.分式的判断 1．下列式子中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 2．在式子，，，，，，中，分式的个数是（    ） A． B． C． D． 3．一艘轮船在静水中的最大航速为，江水的流速为，它以最大航速沿江顺流航行，所用的时间可表示为______． 4.下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是分式的有_________，是整式的有_________．（填序号） 题型2.分式有（无）意义的条件 1．要使分式有意义，则x的取值范围是________． 2．已知分式，当时，分式无意义，则______________． 3．已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式没有意义．求的值． 4．化简并求值：，在中取合适的值代入． 题型3.分式值为0的条件 1．若分式的值是零，则x的值是（   ） A． B． C． D．或 2．若代数式的值为，则满足要求的所有的值为______． 3．已知分式，当时，该分式无意义；当时，该分式的值为0．求分式的值． 4．已知分式满足表格中的信息，其中，，均为常数． 的取值 分式的值 无意义 (1)原分式中的值是　　　； (2)求出，的值． 题型4.分式的值 1．已知，则的值为（） A．2025 B． C．2026 D． 2．使分式的值为负数的条件是（    ） A． B． C． D． 3．若整数使式子的值为整数，则满足条件的的值有___________个． 4．已知． (1)化简A； (2)若，且当A为正整数时，求整数a的值． 题型5.分式的规律性问题 1．已知，，，，（为正整数，且，），则（   ） A． B． C． D． 2．观察下面一列数：，，，，，，则第个数为__________． 3．观察以下等式： 第1个等式；第2个等式；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式；…… （1）按照以上规律，写出第6个等式：__________________________． （2）写出第n个等式：__________________________． 4．观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 题型6.分式的基本性质 1．下列等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（） A．代数式是分式 B．分式是最简分式 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式中都扩大3倍，分式的值不变 3．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 4．先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值． 下面是某同学的部分解答过程． 解：原式    第一步     第二步 …… (1)该同学的解答过程中的第一步运算，依据是 ； (2)请你帮这位同学写出完整的解答过程． 题型7.最简公分母与最简分式的判断 1．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 2．下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 3．在分式，，，，中，最简分式有__个． 4．已知分式与（，是常数且的最简公分母为，则______，_______． 题型8.约分与通分 1．分式约分的结果为（    ） A．4 B． C． D． 2．分式的分母经过通分后变为，那么分子应变为（   ） A． B． C． D． 3．约分：__________． 4．将分式，通分时，最简公分母是______． 题型9.分式的加减运算 1.计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3.若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．某中学组织学生乘车前往实践基地参加活动，计划租m辆车（），如果每辆车13人，则有4人上不了车；如果有一辆车不坐人，那么正好平分到其他车上，则计划组织_______名学生参加此次活动． 题型10.分式的乘除（含乘方）运算 1．计算的结果是（   ） A．a B． C． D． 2．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 3．下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则的值是__________． 题型11.分式的混合运算 1．动车提速后，平均速度变为原来的倍，若行驶同样路程，时间可缩短到原来的（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是________． 3．对于，规定，例如，，那么________． 4．若化简的最终结果为整数，则“”代表的式子可以是______． 题型12.分式的化简求值 1．化简的结果是（    ） A． B． C．1 D． 2．若，则的值（    ） A．4 B． C． D． 3．已知，则的值是____________． 4．先化简，然后从0，1，2，3中选取一个合适的数代入求值． 题型13.零指数幂与负整数指数幂 1．已知，，，则m，n，p的大小关系是（  ） A． B． C． D． 2．计算：______． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．化简计算：__________． 题型14.与分式运算有关的阅读理解类问题 1．阅读下面材料并解决有关问题：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)在①；②；③；④这些分式中，属于真分式的是_____；（填序号） (2)将假分式化成整式与真分式和的形式； (3)若假分式的值是整数，求整数x的值． 2．仔细阅读下面的材料并解答问题． 例：当取何值时，分式的值为正数？ 解：由题意，得，则有①或②解不等式组①，得；解不等式组②，得该不等式组无解．∴当时，分式的值为正数． 按照上面的方法，求当取何值时，分式的值为负数． 3．阅读理解 材料1：为了研究分式与分母的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.3 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0：当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子，分母是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式、当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式、 如：． 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值______（增大或减小）； (2)①当时，随着的增大，的值无限接近一个数．请求出这个数： ②当为整数时，请求出正整数的值； ③当时，求代数式值的范围． 4．阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $