2026年中考数学第二轮专题复习之解答题复习——7：《反比例函数及应用》

2026 年中考第二轮复习 解答题专题 7. 反比例函数及应用 本课题是中考解答题的中档核心题型，以反比例函数的解析式求解、图象性质、k的几何意义、与一次函数综合、实际应用为核心考点，侧重考查数形结合、建模思想与运算求解能力，题型稳定、步骤清晰、得分可控，是二轮复习需重点突破的得分板块，也是衔接函数基础与几何综合的关键内容。 一、题型特点 考点集中，设问分层：核心考查待定系数法求解析式、k的几何意义（与矩形 / 三角形面积结合）、与一次函数的交点问题、实际情境建模（工程、行程、物理实验等），通常设 2-3 小问，从基础计算到综合推理，梯度明显。 数形结合突出：超 80% 题目需结合坐标系与几何图形，通过图象提取交点、增减性等信息，或利用k的几何意义转化面积关系，图象解读能力是解题关键。 步骤给分严格：按 “设元→列式→求解→检验→作答” 分步给分，缺失检验、未写作答等步骤会直接丢分，规范书写至关重要。 陷阱隐蔽，细节主导：高频陷阱集中在 “k≠0的隐含条件”“增减性的象限限制”“k的几何意义漏绝对值”“综合题漏验增根”，易因概念模糊失分。 二、答题要点 精准求解析式：核心用待定系数法，将点坐标代入y=(≠0)，计算时注意符号；含参问题需先验证k≠0。 活用k的几何意义：过双曲线上任一点作坐标轴垂线，三角形面积为∣k∣，矩形面积为∣k∣，结合图形割补法快速求面积或k值。 突破综合问题：与一次函数综合时，联立两函数解析式求解交点，结合图象判断不等式解集；与几何综合时，利用对称、全等转化坐标关系。 实际应用建模：抓 “总量不变、乘积为定值” 等特征判定反比例关系，设解析式后代入已知条件求解，检验解是否符合实际意义（如长度、质量为正）。 规范书写步骤：含参问题需注明参数取值范围，分式形式的函数要写清分母不为 0，作答时明确结论，带单位。 三、避坑指南 忽略k≠0：求含参反比例函数解析式时，未检验k≠0，导致参数取值错误。 增减性误用：未强调 “在每一象限内”，跨象限直接用增减性比较函数值。 k的几何意义失误：计算面积时漏乘（三角形）或丢失绝对值，忽略k的正负与图象象限的对应关系。 综合题漏检验：与一次函数联立求解后，未检验交点是否在双曲线上；实际应用未舍去负数、零等不合理解。 坐标与方程对应错误：联立方程时符号出错，或混淆交点横纵坐标与方程解的对应关系。 本课题复习的核心是“抓解析式、用几何意义、善综合转化、严规范步骤”，通过专项训练强化图象解读与运算准确性，针对高频易错点专项突破，即可确保该板块稳拿满分，为中考数学中档题得分筑牢基础。 四、真题练习 1.（23-24·云南模拟）已知函数是反比例函数． （1）求的值； （2）求当时，的值． 【答案】 解：且， 解得：且， ∴ ． 当时，原方程变为， 当时，． 【解析】 （1）让的次数等于，系数不为列式求值即可； （2）把代入（1）中所得函数，求值即可． 【解答】 （1）解：且， 解得：且， ∴ ． （2）当时，原方程变为， 当时，． 2.（24-25·广东模拟）（1）略； （2）若点在反比例函数的图象上，求的值． 【答案】 【解析】 （1）略； （2）由题意，将点代入反比例函数得到，整体代入即可得到答案． 【解答】 （1）解：略； （2）解：点在反比例函数的图象上， ， ， 原式． 3.（24-25·贵州模拟）已知反比例函数为常数，的图象经过． （1）求这个函数的表达式； （2）若将点先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，且点和点(、两点不重合)）都在该反比例函数的图象上，求的值． 【答案】 【解析】 （1）将点代入反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标，再根据坐标的平移得到点的坐标，将点代入反比例函数解析式，得到关于的一元二次方程，求解即可． 【解答】 （1）解：将点代入反比例函数得，， 解得：， 即这个函数的解析式为； （2）解：点在该反比例函数的图象上， ， ， 点先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点， ， 点在该反比例函数的图象上， ， 解得，或（舍去）． 的值为5 4.（24-25·宁夏模拟）小东参照学习函数的过程与方法，探究函数的图像与性质，因为，所以可以对比反比例函数来探究 （1）【取值列表】下表列出了与的几组对应值，则__5____，______； … … … … … … （2）【描点连线】在平面直角坐标系中，已画出函数的图像，请以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出了相应的点，再描出点，和，并绘制函数的图像． （3）【观察探究】观察图像并分析表格，解决下列问题： 判断下列命题的真假，正确的在题后括号内打“√”，错的打“” 函数随的增大而增大（    ） 函数的图像可由的图像向上平移个单位得到（    ） 函数的图像关于点成中心对称（    ） 【答案】 ， 见解答 ，， 【解析】 （1）把，分别代入即可得、的值； （2）按要求分别用条光滑曲线顺次连接所描的点即可； （3）根据函数图象判断即可． 【解答】 （1）解：当时，， ， 当时，， ； 故答案为：，； （2）绘制函数的图象，如图： （3）根据图象可得： ①在轴左边，随增大而增大；在轴右边，随增大而增大，但“函数随的增大而增大“是错误的， 故答案为：； ②函数的图象可由的图象向上平移个单位得到， 故答案为：； ③函数的图象关于点成中心对称， 故答案为：． 5.（24-25·山东中考）函数揭示了两个变量之间的关系，它的表示方法有三种：列表法、图象法、解析式法．请你根据学习函数的经验，完成对函数的探究；下表是函数与自变量的几组对应值： … … … … （1）函数自变量的取值范围为_______． （2）根据表格中的数据，求出，的值，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象． （3）请根据画出的函数图象，直接写出该函数的一条性质：__当时，随的增大而减小(答案不唯一)_____． 【答案】 ，，图象见解析 当时，随的增大而减小(答案不唯一) 【解析】 （1）依据函数表达式中分母不等于，即可得到自变量的取值范围； （2）把，代入函数解析式即可得到和的值，依据表格得点的坐标描点连线即可得到函数图象； （3）依据函数的图象可得函数的增减性． 【解答】 （1）解：， ， 函数自变量的取值范围为． 故答案为：； （2）解：把，代入函数得： ， 解得，； 画出该函数图象如图所示： （3）解：由图象可知，当时，随的增大而减小（答案不唯一）． 6.（24-25·贵州模拟）已知反比例函数（为常数）． （1）若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； （2）若、是该反比例函数图象上的点，直接写出函数值、的大小． 【答案】 【解析】 （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，然后求解即可； （2）将代入反比例函数得，图象位于第一、三象限，在每一象限随的增大而减小，再由即可得出答案． 【解答】 （1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， 的取值范围是； （2）解：当时，反比例函数， ， 图象位于第一、三象限，在每一象限随的增大而减小， 、是该反比例函数图象上位于第三象限的点， ， ．  7.（23-24·内蒙古模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．过点作轴，垂足为，且． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集； （3）若，是函数图象上的两点，且，求实数的取值范围． 【答案】 ， 或 或． 【解析】 （1）把、的坐标代入反比例函数解析式求出，过作轴于，过作轴于，延长、交于，求出梯形的面积和的面积，即可得出关于的方程，求出的值，得出、的坐标，代入反比例函数和一次函数的解析式，即可求出答案； （2）根据、的横坐标，结合图象即可得出答案； （3）分为两种情况：当点在第三象限时和当点在第一象限时，根据坐标和图象即可得出答案． 【解答】 （1）把，代入得：， 即， 则， 过作轴于，过作轴于，延长、交于， ，， ，，， ，解得：， 即，， 把代入得：， 即反比例函数的解析式是； 把，代入得：， 解得：，， 即一次函数的解析式是； （2），， 不等式的解集是或； （3）分为两种情况：当点在第三象限时，要使，实数的取值范围是， 当点在第一象限时，要使，实数的取值范围是， 即的取值范围是或． 8.（24-25·四川模拟）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为． （1）求的值； （2）若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 【答案】 或 【解析】 （1）先根据反比例函数的几何意义，求出，再反比例函数的图象位置确定的值； （2）先写出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，然后分“点在第一象限”、“点在第三象限”两种情况，分别求出当时的取值范围． 【解答】 （1）解：点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为， ， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ； （2）， 反比例函数的表达式是， 点在该反比例函数的图象上， ， ， 点在第一象限． 分情况讨论： ①当点在第一象限时， 随的增大而减小， 当时，； ②当点在第三象限时，， ，符合题意，此时． 综上所述，的取值范围是或． 9.（24-25·天津模拟）已知在反比例函数为常数，且的图象上． （1）求的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； （2）判断点，，是否在该反比例函数的图象上，并说明理由： （3）当时，求该反比例函数的函数值的取值范围． 【答案】 ；第二、四象限 点，在反比例函数的图像上，点不在反比例函数的图像上，理由见解析 【解析】 （1）将代入反比例函数解析式即可求得的值，再根据反比例函数的性质即可解答； （2）将各个点的横坐标代入反比例函数解析式，再对比纵坐标即可； （3）将代入反比例函数解析式，求得横坐标，即可解答． 【解答】 （1）解：将代入反比例函数解析式可得， 解得， 反比例函数的解析式为， 该反比例函数的图象所在的象限为第二、四象限； （2）解：当时，，故点在反比例函数上； 当时，，故点不在反比例函数上； 当时，，故点在反比例函数上； （3）解：当时，； 当时，， 故当时，该反比例函数的函数值的取值范围为．   10.（24-25·江西中考）初中学考即将来临，同学们正全力准备着最后的决战，马超同学近期在复习函数时遇到了一类典型的函数：这类函数由已学过的一次函数、二次函数或反比例函数相结合，并要求得到其函数值的变化范围，马超同学遇到的这类函数问题的探究如下： 已知函数，该函数是否存在最值（最大值或最小值），若存在，求出其最值；若不存在，请说明理由． 思路分析： 显然，该函数是二次函数与反比例函数的结合，因此，可先从反比例函数入手研究． 请回答下列问题： （1）对于函数，当时，随的增大而_____减小_________（填“增大”或“减小”），当且时，该函数_____无_________最值（填“有”或“无”）； （2）函数有_____最小_________值（填“最大”或“最小”），其最值为______________； （3）此时，若将替换成，函数是否存在最值，若存在，请求出其最值，若不存在，请说明理由； 变式训练： （4）函数是否存在最值，若存在，求出其最值，若不存在，请说明理由． 【答案】 减小，无 最小， 存在最大值，最大值为 无最值，理由见解析 【解析】 （1）根据反比例函数的性质解答即可； （2）根据二次函数的性质解答即可； （3）根据二次函数和反比例函数的性质解答即可； （4）根据二次函数和反比例函数的性质解答即可． 【解答】 （1）解：， 对于函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小， 当且时，该函数无最值； 故答案为：减小，无； （2），， 当时，函数有最小值，其最值为； 故答案为：最小；； （3）存在最大值，最大值为； 根据题意得：，此时， 随的增大而减小， 当时，函数存在最大值，最大值为； （4）函数不存在最值，理由如下： 令，则， ， 当时，取得最大值，最大值为， 即， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小， 函数无最值， 即函数不存在最值． 11.（24-25·四川模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． （1）若反比例函数时，取值范围是______． （2）求一次函数的解析式； （3）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； 【答案】 或 【解析】 （1）先求出时，，再根据函数图象判断出的取值范围； （2）先求出点，的坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （3）根据点，的坐标，结合函数图象可直接得出答案． 【解答】 （1）解：对于反比例函数， 当时，， 当时，， 故答案为：； （2）把，代入得：，， ， ，， 把，代入得：， 解得， 一次函数的解析式为； （3），， 由函数图象可得：不等式的解集为：或．  12.（24-25·湖南模拟）如图，一次函数的图象交轴于点，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交轴于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）当的面积为时，求的值． 【答案】 【解析】 （1）由题意得：点在一次函数的图象上，可求出，即可求解； （2）对于一次函数，令求出；一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：；求出，即可求解； 【解答】 （1）解：由题意得：点在一次函数的图象上， ， ； 在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：对于一次函数，令，则； ； 一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：； 对于一次函数，令，则； ； ； 解得： 13.（24-25·达州模拟）如图，点为矩形的对角线的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围： （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】 ， 作图见解析，性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小 （或或或或） 【解析】 （1）利用矩形性质和勾股定理得出，，分两部分：①当时；②当时，分别列出；过点作于点，利用等面积法求出，即可表示出的面积为，同理可得的面积为，再结合矩形的面积为与，即可列出； （2）根据函数解析式画图即可，再根据函数图象写出性质； （3）根据图象写出的图象在下方时对应的自变量的取值范围即可 【解答】 （1）解：为矩形的对角线的中点，，， ，， ， 当时，，如图， ； 当时，，如图， ； ； 如图，过点作于点， ， ， 的面积为， 同理可得的面积为， 又矩形的面积为， ， ； （2）解：作图如下： 性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小； （3）解：结合函数图象，可得时的取值范围为（或<或或或）． 14.（24-25·湖南模拟）函数的图象可以由函数的图象左右平移得到． （1）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则 -4   ； （2）下列关于函数的性质：①图象关于点对称；②随的增大而减小；③图象关于直线对称；④的取值范围为．其中说法正确的是   ①④     （填写序号）； （3）根据中的值，写出不等式的解集:            ． 【答案】 ; ①④; 或. 【解析】 （1）根据“左加右减”的规律即可求解； （2）根据平移的性质得出①正确；类比反比例函数图象的性质即可判断②④，根据平移的性质将向左平移个单位，得出，即可判断③； （3）根据题意，画出两个函数图象，结合图象即可求解． 【解答】 （1）函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，. 故答案为． （2）可以看作是由向左平移个单位得到的，函数图象的对称中心为，将其对称中心向左平移个单位， 则对称中心为，故①正确; ②类比反比例函数图象，可得，故函数图象不是连续的， 在直线两侧，随的增大而减小，故②错误； ③关于直线对称， 同①可得，向左平移个单位得到， 图象关于直线对称，故③错误； ④平移后的对称中心为，左右平移图象后，与轴没有交点， 的取值范围为，故④正确． 故答案为①④． （3），不等式, 如图所示，在第三象限内和第一象限内，， 或 故答案为或．      【刷有所得】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的平移，平移的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 15.（23-24·甘肃中考）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数图象的一个交点为． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】 【解析】 （1）把代入中，得，再把的坐标代入中即可, （2）求出点坐标,表示出长度,即可求出的面积. 【解答】 （1）在一次函数的图象上， 代入得：， 的坐标是， 把的坐标代入得：， 即反比例函数的解析式是：； （2）， 当时，， 即的坐标是， 所以， ， 点到的距离是， 的面积是1 16.（23-24·四川中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴相交于点与反比例函数的图象相交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直线与反比例函数和的图象分别交于点，且求点的坐标． 【答案】 一次函数解析式为反比例函数解析式为 【解析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）先利用反比例函数比例系数的几何意义得到进而得到；再证明推出设则求出可得解方程即可得到答案． 【解答】 （1）解：把代入中得解得反比例函数解析式为； 把代入中得 一次函数解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴于，设与轴交于，直线与反比例函数和的图象分别交于点， ； 轴，点在反比例函数的图象上， 设则 解得或（舍去）， 经检验是原方程的解，且符合题意， ．   17.（22-23·四川中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形，点，在坐标轴上，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点在反比例函数图象上，且横坐标大于，，求直线的函数表达式． 【答案】 解：四边形是边长为的正方形， ， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； 作轴于， 轴， ， 设，则，， ， ， ， 整理得， 解得或（舍去）， ， 设直线的解析式为， 把、的坐标代入得， 解得， 直线的函数表达式． 【解析】 （1）根据正方形的性质得到，然后利用待定系数法即可求解； （2）作轴于，根据反比例函数系数的几何意义得出，设，则，，然后根据，求得的值，从而求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式． 【解答】 （1）解：四边形是边长为的正方形， ， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； （2）作轴于， 轴， ， 设，则，， ， ， ， 整理得， 解得或（舍去）， ， 设直线的解析式为， 把、的坐标代入得， 解得， 直线的函数表达式． 18.（24-25·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当时，请根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）过直线上的点作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 【答案】 ； 【解析】 （1）先根据点利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；再通过反比例函数的表达式求出点的坐标，最后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）所求不等式的解集即为求一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方时，的取值范围； （3）根据题意得出，，根据反比例函数的几何意义得出，则，即可求解． 【解答】 （1）解：反比例函数的图象过点 ， 故反比例函数的表达式为 把点代入反比例函数得，，解得 点的坐标为 一次函数的图象经过 、两点 ，解得 故一次函数的表达式为； （2） ，即一次函数图象在反比例函数图象的上方 ； （3）点横坐标为，代入 解得： 当时，代入，得 解得： 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ， ， ， ． 19.（22-23·青海中考）在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象如图所示. （1）求一次函数的解析式； （2）当时，直接写出不等式的解集. 【答案】 【解析】 （1）由图象中给出交点的横坐标结合反比例函数表达式，可求得此点的坐标，进而求出一次函数的解析式． （2）利用数形结合的思想，可求出不等式得解集． 【解答】 （1）解：由图象知， 一次函数与反比例函数的一个交点的横坐标为，且反比例函数表达式为， 则交点的纵坐标为 将代入得，． 所以一次函数的解析式为：． （2）解：当，即图象在轴的右侧， 观察图象发现：当图象在直线的右侧时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， 所以不等式的解集为：．  20.（24-25·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和，点的横坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时的取值范围； （3）点为轴上一动点，连接，若的面积为，求点的坐标． 【答案】 一次函数解析式为，反比例函数解析式为 或 点坐标为或 【解析】 （1）由待定系数法求解即可； （2）根据图象即可求得； （3）设与轴交于点，得出，设，则，然后根据三角形面积公式建立方程，解方程，即可求得的坐标． 【解答】 （1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和，点的横坐标为 将代入， 则， 反比例函数解析式为：， 将代入， 则， ， 将，代入， 则， 解得： 一次函数解析式为：； （2）解：， 观察图象，当时，的取值范围是或； （3）解：设与轴交于点， 当时， ， 设， 的面积为， ， ，即 解得：或 点坐标为或． 21.（24-25·浙江模拟）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． （1）求一次函数的表达式，并求的面积． （2）连接，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】 ； 或 【解析】 （1）把点坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点坐标，再把点和点坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式，进而求出点的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可； （2）利用对称性可得点坐标，利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理可证明，则只存在和这两种情况，当时，则，此时点为的中点，利用中点坐标公式可得答案当时，则，可求出；设，则，解方程即可得到答案． 【解答】 （1）解：把代入到中得：，解得， 反比例函数解析式为， 在中，当时，， ； 把，代入到中得：，解得， 一次函数的表达式为， 在中，当时，， ， ， ； （2）解：直线经过原点， 由反比例函数的对称性可得点的坐标为，， ，， ，， ， ， ， ， ， 与不垂直， 与相似， 只存在和这两种情况， 当时，则，， ，， 此时点为的中点， 点的坐标为； 当时，则，， ； 设， ， 解得， ， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或．  22.（23-24·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，与反比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数的图像上，纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点的坐标； （2）连接，请直接写出四边形的面积． 【答案】 ， 【解析】 （1）把点的坐标代入反比例函数解析式中，求得的值，即可求得反比例函数解析式；由、的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出的值，即可得点的坐标； （2）点在反比例函数的图像上，纵坐标为，则可求得点的横坐标，利用四边形的面积等于面积的和即可求解． 【解答】 （1）解：点的坐标为，且在反比例函数的图像上， ，即， 反比例函数的解析式为； 设直线的解析式为，把、两点坐标分别代入得： ，解得：， 即直线的解析式为； 上式中，令，， 点的坐标为； （2）解：点在反比例函数的图像上，纵坐标为， ， 解得：； 由题意知，， ． 23.（23-24·江西模拟）如图，直线与双曲线交于点，点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）点在轴上，，求点的坐标． 【答案】 一次函数解析式为，反比例函数解析式为 点的坐标为或 【解析】 （1）先由待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点坐标，再由待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据即可求解． 【解答】 （1）解：双曲线经过点，， ， ， ，反比例函数解析式为：， 直线经过点，点， ， 解得：， 一次函数解析式为：； （2）解：点在轴上，， ， ， ， 点的坐标为或．  24.（23-24·山东中考）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： ________ ________ ________ （1）求、的值，并补全表格； （2）结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围． 【答案】 ，补全表格见解析 的取值范围为或； 【解析】 （1）根据表格信息建立方程组求解的值，再求解的值，再补全表格即可； （2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图像可得答案. 【解答】 （1）解：当时，，即， 当时，，即， ， 解得：， 一次函数为， 当时，， 当时，，即， 反比例函数为：， 当时，， 当时，， 当时，， 补全表格如下： （2）由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，， 当的图像在的图像上方时，的取值范围为或；  25.（24-25模拟）如图，已知菱形，点在轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点，连接，与反比例函数图象交于点． （1）求反比例函数解析式； （2）求直线的解析式和点的坐标． 【答案】 ； ，． 【解析】 （1）本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 利用待定系数法即可求解； 由得，又四边形是菱形，则，得到，从而求出直线的解析式为，然后联立，即可求解． 【解答】 （1）解：把代入，得， 反比例函数解析式为； （2）解：， ， 四边形是菱形， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得， 直线的解析式为， 点是反比例函数与正比例函数的交点， 联立解析式， 解得或， ， ． 26.（24-25·广东模拟）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 【答案】 反比例函数的表达式为： 【解析】 （1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案； （2）求解，证明，求解，如图，连接，旋转到的位置；可得，结合的对应点在的图象上，可得，进一步求解即可. 【解答】 （1）解：含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． ， 反比例函数的表达式为：； （2）解：， ， 含角的三角板为等腰直角三角形，， ，， 如图，连接，旋转到的位置； ， 的对应点在的图象上， ， ， 由旋转可得：，   27.（24-25·湖南模拟）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 拉力的大小 （1）表格中的值是_100______； （2）小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； （3）根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 【答案】 见解析 当的长增大时，拉力减小，理由见解析 【解析】 （1）根据表格中的数据找出规律，求出的值即可； （2）先描点，然后连线，画出函数图象即可； （3）根据反比例函数的性质，得出答案即可． 【解答】 （1）解：根据表格中的数据发现： ， 因此点与点的距离与拉力的乘积不变， ； （2）解：与之间的函数图象，如图所示： （3）解：由函数图象可知：是的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，随的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小． 28.（22-23·四川中考）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）， 已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据： … … … … （1） 2 ，  1.5 ； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是  ． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为  ． 【答案】 , ①,②不断减小 或 【解析】 （1）由已知列出方程，即可解得，的值； （2）①描点画出图象即可；②观察图象可得答案； （3）（3）同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案． 【解答】 （1）解：根据题意，，， ，； （2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象如下： ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是不断减小； （3）如图： 由函数图象知，当或时，， 即当时，的解集为 或． 29.（22-23·湖南中考）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录容器中加入的水的质量，得到下表： 托盘与点的距离 容器与水的总质量 加入的水的质量 把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象． （1）请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象； （2）观察函数图象，并结合表中的数据： ①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式； ②求关于的函数表达式； ③当时，随的增大而  （填“增大”或“减小”），随的增大而  （填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向  （填“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到． （3）若在容器中加入的水的质量满足，求托盘与点的距离的取值范围． 【答案】 解：作出关于的函数图象如下： ①观察表格可知，是的反比例函数， 设，把代入得：， ， 关于的函数表达式是； ②， ； ； ③观察图象可得，当时，随的增大而减小，随的增大而减小，的图象可以由的图象向下平移得到； ，， ， ， ． 【解析】 （1）描点作出图象即可； （2）①用待定系数法可得关于的函数表达式； ②由与关系，结合①可得答案； ③观察图象可得答案； （3）根据可得关于的不等式，可解得的范围． 【解答】 （1）解：作出关于的函数图象如下： （2）①观察表格可知，是的反比例函数， 设，把代入得：， ， 关于的函数表达式是； ②， ； ； ③观察图象可得，当时，随的增大而减小，随的增大而减小，的图象可以由的图象向下平移得到； （3），， ， ， ． 30.（23-24·四川中考）如图，在中，，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，匀速运动到点停止（与点﹑不重合），同时动点在射线上匀速运动，当点到达点时，点停止运动，的面积为，设点运动时间为秒，的长度为，的长度为，请解答下列问题： （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数和的函数图象，并写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，当时，直接写出的取值范围（误差不超过）． 【答案】 ， 图见解析；函数的性质：当时，随的增大而减小；函数的性质：当时，随的增大而减小 或 【解析】 （1）根据，，即可得出，结合三角形的面积公式可得的解析式， （2）根据反比例函数图象与一次函数的性质画图即可，再根据图象可得函数的性质； （3）直接利用函数图象得到的自变量的范围即可． 【解答】 （1）解：，，， 当时，，， 的面积为，即， ， （2）解：如图，，的图象如下： 函数的性质：当时，随的增大而减小； 函数的性质：当时，随的增大而减小 （3）解：当时，，解并检验得：​或 由图象可得：当时，或 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第二轮复习 解答题专题 7. 反比例函数及应用 本课题是中考解答题的中档核心题型，以反比例函数的解析式求解、图象性质、k的几何意义、与一次函数综合、实际应用为核心考点，侧重考查数形结合、建模思想与运算求解能力，题型稳定、步骤清晰、得分可控，是二轮复习需重点突破的得分板块，也是衔接函数基础与几何综合的关键内容。 一、题型特点 考点集中，设问分层：核心考查待定系数法求解析式、k的几何意义（与矩形 / 三角形面积结合）、与一次函数的交点问题、实际情境建模（工程、行程、物理实验等），通常设 2-3 小问，从基础计算到综合推理，梯度明显。 数形结合突出：超 80% 题目需结合坐标系与几何图形，通过图象提取交点、增减性等信息，或利用k的几何意义转化面积关系，图象解读能力是解题关键。 步骤给分严格：按 “设元→列式→求解→检验→作答” 分步给分，缺失检验、未写作答等步骤会直接丢分，规范书写至关重要。 陷阱隐蔽，细节主导：高频陷阱集中在 “k≠0的隐含条件”“增减性的象限限制”“k的几何意义漏绝对值”“综合题漏验增根”，易因概念模糊失分。 二、答题要点 精准求解析式：核心用待定系数法，将点坐标代入y=(≠0)，计算时注意符号；含参问题需先验证k≠0。 活用k的几何意义：过双曲线上任一点作坐标轴垂线，三角形面积为∣k∣，矩形面积为∣k∣，结合图形割补法快速求面积或k值。 突破综合问题：与一次函数综合时，联立两函数解析式求解交点，结合图象判断不等式解集；与几何综合时，利用对称、全等转化坐标关系。 实际应用建模：抓 “总量不变、乘积为定值” 等特征判定反比例关系，设解析式后代入已知条件求解，检验解是否符合实际意义（如长度、质量为正）。 规范书写步骤：含参问题需注明参数取值范围，分式形式的函数要写清分母不为 0，作答时明确结论，带单位。 三、避坑指南 忽略k≠0：求含参反比例函数解析式时，未检验k≠0，导致参数取值错误。 增减性误用：未强调 “在每一象限内”，跨象限直接用增减性比较函数值。 k的几何意义失误：计算面积时漏乘（三角形）或丢失绝对值，忽略k的正负与图象象限的对应关系。 综合题漏检验：与一次函数联立求解后，未检验交点是否在双曲线上；实际应用未舍去负数、零等不合理解。 坐标与方程对应错误：联立方程时符号出错，或混淆交点横纵坐标与方程解的对应关系。 本课题复习的核心是“抓解析式、用几何意义、善综合转化、严规范步骤”，通过专项训练强化图象解读与运算准确性，针对高频易错点专项突破，即可确保该板块稳拿满分，为中考数学中档题得分筑牢基础。 四、真题练习 1.（23-24·云南模拟）已知函数是反比例函数． （1）求的值； （2）求当时，的值． 2.（24-25·广东模拟）（1）略； （2）若点在反比例函数的图象上，求的值． 3.（24-25·贵州模拟）已知反比例函数为常数，的图象经过． （1）求这个函数的表达式； （2）若将点先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，且点和点(、两点不重合)）都在该反比例函数的图象上，求的值． 4.（24-25·宁夏模拟）小东参照学习函数的过程与方法，探究函数的图像与性质，因为，所以可以对比反比例函数来探究 （1）【取值列表】下表列出了与的几组对应值，则______，_____； … … … … … … （2）【描点连线】在平面直角坐标系中，已画出函数的图像，请以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出了相应的点，再描出点，和，并绘制函数的图像． （3）【观察探究】观察图像并分析表格，解决下列问题： 判断下列命题的真假，正确的在题后括号内打“√”，错的打“” 函数随的增大而增大（    ） 函数的图像可由的图像向上平移个单位得到（    ） 函数的图像关于点成中心对称（    ） 5.（24-25·山东中考）函数揭示了两个变量之间的关系，它的表示方法有三种：列表法、图象法、解析式法．请你根据学习函数的经验，完成对函数的探究；下表是函数与自变量的几组对应值： … … … … （1）函数自变量的取值范围为_______． （2）根据表格中的数据，求出，的值，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象． （3）请根据画出的函数图象，直接写出该函数的一条性质：_______． 6.（24-25·贵州模拟）已知反比例函数（为常数）． （1）若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； （2）若、是该反比例函数图象上的点，直接写出函数值、的大小． 7.（23-24·内蒙古模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．过点作轴，垂足为，且． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集； （3）若，是函数图象上的两点，且，求实数的取值范围． 8.（24-25·四川模拟）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为． （1）求的值； （2）若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 9.（24-25·天津模拟）已知在反比例函数为常数，且的图象上． （1）求的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； （2）判断点，，是否在该反比例函数的图象上，并说明理由： （3）当时，求该反比例函数的函数值的取值范围． 10.（24-25·江西中考）初中学考即将来临，同学们正全力准备着最后的决战，马超同学近期在复习函数时遇到了一类典型的函数：这类函数由已学过的一次函数、二次函数或反比例函数相结合，并要求得到其函数值的变化范围，马超同学遇到的这类函数问题的探究如下： 已知函数，该函数是否存在最值（最大值或最小值），若存在，求出其最值；若不存在，请说明理由． 思路分析： 显然，该函数是二次函数与反比例函数的结合，因此，可先从反比例函数入手研究． 请回答下列问题： （1）对于函数，当时，随的增大而______________（填“增大”或“减小”），当且时，该函数______________最值（填“有”或“无”）； （2）函数有______________值（填“最大”或“最小”），其最值为___________； （3）此时，若将替换成，函数是否存在最值，若存在，请求出其最值，若不存在，请说明理由； 变式训练： （4）函数是否存在最值，若存在，求出其最值，若不存在，请说明理由． 11.（24-25·四川模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． （1）若反比例函数时，取值范围是_____． （2）求一次函数的解析式； （3）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； 12.（24-25·湖南模拟）如图，一次函数的图象交轴于点，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交轴于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）当的面积为时，求的值． 13.（24-25·达州模拟）如图，点为矩形的对角线的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围： （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 14.（24-25·湖南模拟）函数的图象可以由函数的图象左右平移得到． （1）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则    ； （2）下列关于函数的性质：①图象关于点对称；②随的增大而减小；③图象关于直线对称；④的取值范围为．其中说法正确的是      （填写序号）； （3）根据中的值，写出不等式的解集:            ． 15.（23-24·甘肃中考）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数图象的一个交点为． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 16.（23-24·四川中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴相交于点与反比例函数的图象相交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直线与反比例函数和的图象分别交于点，且求点的坐标． 17.（22-23·四川中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形，点，在坐标轴上，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点在反比例函数图象上，且横坐标大于，，求直线的函数表达式． 18.（24-25·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当时，请根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）过直线上的点作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 19.（22-23·青海中考）在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象如图所示. （1）求一次函数的解析式； （2）当时，直接写出不等式的解集. 20.（24-25·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和，点的横坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时的取值范围； （3）点为轴上一动点，连接，若的面积为，求点的坐标． 21.（24-25·浙江模拟）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． （1）求一次函数的表达式，并求的面积． （2）连接，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．  22.（23-24·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，与反比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数的图像上，纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点的坐标； （2）连接，请直接写出四边形的面积． 23.（23-24·江西模拟）如图，直线与双曲线交于点，点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）点在轴上，，求点的坐标． 24.（23-24·山东中考）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： ________ ________ ________ （1）求、的值，并补全表格； （2）结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围． 25.（24-25模拟）如图，已知菱形，点在轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点，连接，与反比例函数图象交于点． （1）求反比例函数解析式； （2）求直线的解析式和点的坐标． 26.（24-25·广东模拟）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 27.（24-25·湖南模拟）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 拉力的大小 （1）表格中的值是_______； （2）小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； （3）根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 28.（22-23·四川中考）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）， 已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据： … … … … （1）  ，  ； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是  ． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为  ． 29.（22-23·湖南中考）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录容器中加入的水的质量，得到下表： 托盘与点的距离 容器与水的总质量 加入的水的质量 把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象． （1）请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象； （2）观察函数图象，并结合表中的数据： ①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式； ②求关于的函数表达式； ③当时，随的增大而  （填“增大”或“减小”），随的增大而  （填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向  （填“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到． （3）若在容器中加入的水的质量满足，求托盘与点的距离的取值范围． 30.（23-24·四川中考）如图，在中，，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，匀速运动到点停止（与点﹑不重合），同时动点在射线上匀速运动，当点到达点时，点停止运动，的面积为，设点运动时间为秒，的长度为，的长度为，请解答下列问题： （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数和的函数图象，并写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，当时，直接写出的取值范围（误差不超过）． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $