2026年中考数学二轮复习《反比例函数与一次函数综合解答题》考前冲刺专题训练

**基本信息** 通过20道综合题系统整合待定系数法、图像分析法与几何性质，构建函数与几何的逻辑链条，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础综合|8|待定系数法、图像交点分析|函数解析式→图像性质→不等关系推导| |几何应用|7|面积分割法、相似判定|坐标与图形性质→几何量计算→模型构建| |动态探究|5|分类讨论、参数思想|静态关系→动态变化→变量范围确定|

2026年春九年级数学中考二轮复习《反比例函数与一次函数综合解答题》 考前冲刺专题训练（附答案） 1．如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)当时，根据函数图象直接写出的取值范围； (3)直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，求的取值范围． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．已知点，的坐标分别为和 ． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)当 时，的取值范围是 ； (3)点在轴的负半轴上，若 ，求点的坐标． 3．在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象由的图象向上平移2个单位长度得到，反比例函数（）的图象过点 (1)求一次函数表达式及m的值； (2)过点作平行于x轴的直线，与反比例函数的图象交于点M，且与一次函数的图象相交于点N． ①当时，______（填“<”“=”或“>”） ②当时，直接写出n的取值范围． 4．如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)结合图形，请直接写出不等式的解集； (3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，C两点，与x轴、y轴分别交于点B，D，已知点A的坐标为，点C的坐标为．     (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点M是x轴上的一个动点，若以M、A、B为顶点的三角形与相似，求点M的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，，连接，反比例函数的图象经过线段的中点D，并与、分别交于点E、F．一次函数的图象经过点E、F两点． (1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式； (2)点P是x轴上一动点，当的值最小时，点P的坐标为___ ． 7．某工艺品的制作有、两道工序，其中工序需在材料温度为下操作，工序需在材料温度为下操作．生产时，先将材料进行加热，加热过程中，温度是时间的一次函数；加热到后停止加热，随后转入冷却过程，此时温度与时间成反比例；当温度降到时，保温功能会自动启动，将材料温度保持在．某天早上，工人开始加热材料，设材料温度为，从加热开始计算的时间为（分）材料温度随时间的变化情况如图所示． (1)分别求出材料加热与冷却过程中，关于的函数表达式． (2)当时，求可进行工序操作的时间． (3)若工人需要在开始再次进行工序的操作，则他应最迟何时开始对材料进行重新加热？ 8．如图，关于x的一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、两点，与轴、轴分别交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)求点坐标． (3)求证：． (4)连接，．求三角形的面积． 9．如图（1），已知，是一次函数与反比例函数图象的两个交点，轴于点，轴于点． (1)根据图象直接回答：在第二象限内，当取何值时，一次函数大于反比例函数的值？ (2)求反比例函数及一次函数的解析式； (3)如图（2）所示，是线段上的一点，连接，，若和面积相等，求点坐标． 10．如图，函数的图象过点和两点． (1)求和的值； (2)将直线沿轴向左平移得直线，交轴于点，交双曲线于点，交轴于点． 若，求直线解析式； 若点、点关于原点对称，点是平面内一点，是否存在点、，使得点、、、为顶点四边形为矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，在菱形中，，点E从点C出发沿线段向点A运动，每秒运动0.5个单位长度，当点E运动到点A时，点E停止运动，设运动时间为x秒，以为对角线作，作交于点H，设的长度为，设与的比值为． (1)请直接写出分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时，x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点，两点，与轴相交于点，过点作的垂线交反比例函数的图象于另一点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)点是第三象限内反比例函数图象上位于点右侧的一点，若，求点的坐标； (3)设点是第三象限内的反比例函数图象上一点，连接交于点，若与相似，求点的坐标． 13．如图1，直线的图象与轴、轴分别交于两点，点是线段上一点，过点分别作的垂线，垂足分别是，矩形的面积为，且． (1)求点坐标； (2)将矩形以个单位/秒的速度向右平移，平移后记为矩形，记平移时间为秒． ①如图2，当矩形的面积被直线平分时，求的值； ②矩形的边与反比例函数的图象有两个交点，记为，若梯形的面积是矩形的面积的，求的值． 14．一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)为反比例函数图象上的一点，设其横坐标为． ①如图1，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于，当时，求的长度； ②如图2，连接，若，求的值． 15．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点和点，点C，D分别是x轴和y轴的正半轴上的动点，且满足． (1)求a，b的值及反比例函数的解析式； (2)如图2，若，求四边形的面积； (3)若点E是反比例函数图象上的一个动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，求点E的坐标． 16．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点在线段的延长线上． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的平行线，与的图象交于点，与轴交于点，当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如图2，连接并延长交轴于点，点为轴上一点，且满足，请求出所有符合条件的点坐标． 17．如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿x轴正方向平移3个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点D，点D的横坐标为4． (1)求k的值和直线的解析式； (2)若P为函数的图象上一动点，过点P作直线轴于点M，直线l与四边形在x轴上方的一边交于点N，设P点的横坐标为m，且，当，求出m的值． (3)已知点Q是反比例函数上的一个动点，设点Q的横坐标为n，，当n为何值时，面积最大，并求出最大面积． 18．反比例函数和一次函数的图象交于点A和点B，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，AC与BD的延长线交于点E． (1)如图1，当时，当的面积为4时，求k的值； (2)如图2，当b为任意值时，连接，猜想与有什么位置关系，并说明理由； (3)当时，在图1中，延长交反比例函数在第一象限的图象于点M，过点M作轴于点N，过点A作轴于点P，交的延长线于点Q，求证：点C、点M分别为线段和的黄金分割点． 19．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点的横坐标为，点的横坐标为． (1)求和的值； (2)若点在反比例函数第一象限内的图象上，直线与直线交于点，且，求点的坐标； (3)如果一个四边形的一条对角线把四边形分割成两个三角形，且这两个三角形相似，我们就把这条对角线叫做这个四边形的完美线这个四边形叫做完美四边形．过点作轴垂线与过点作轴垂线相交于点，在第四象限内存在点，使得四边形是以为完美线的完美四边形，直接写出符合条件的点的坐标． 20．如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)在轴上有一点，直线与反比例函数图象交于点，连接．求的面积； (3)如图2，以线段为对角线作正方形，点是线段上的一动点，点是线段上的一动点，连接、，使，当点运动到的三等分点时，求点的坐标． (4)如图3，在（3）的条件下，在正方形外部，以为边向外作正方形，连接，点是线段上的一个动点，过点作轴，交直线于点．当的面积取得最大值时，过点作直线，使得直线与反比例函数的图象有且只有一个交点．请直接写出直线的解析式． 参考答案 1．（1）解：将点代入反比例函数得，，解得，， 反比例函数解析式为， 将点代入反比例函数得，，解得， 的坐标为， 将，代入一次函数，得， ，解得，， 一次函数的解析式为； （2）解：由题意得：或； （3）解：令，代入，得， 的坐标为， ，在x轴上， 在中，底边，其上的高为4， ， 由题意得，， ， 或， 或． 2．(1)直线的解析式为，反比例函数的解析式为； (2)或； (3)． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）结合图象即可求解； （）过点作，交于点，过点作轴，过点作于，于，证明，所以，根据 ，从而求得，，则，然后求出直线解析式即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过和， ∴， 解得：，， ∴反比例函数的解析式为，， 把和代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：根据图象可得：时，的取值范围是或， 即当时，的取值范围是或， 故答案为：或； （3）解：如图，过点作，交于点，过点作轴，过点作于，于， ∵和， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，，解得：， ∴． 3．(1)； (2)①；②的取值范围是或 【分析】（1）根据一次函数图象的平移规律可得出平移后的一次函数解析式；把代入中，可求出的值； （2）①分别求出和，计算的值，即可比较； ②设，，则有：，，计算，根据得，再分或两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：已知一次函数由向上平移2个单位得到，根据“上加下减”的平移规律，可得：， 所以一次函数表达式为； ∵反比例函数过点， 将，代入得， 所以； （2）解：①过点作平行于x轴的直线，则该直线为， 当时，直线为， 反比例函数中，令，则， 解得：， ∴； 在一次函数中，令，则， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴； ②设，，则有：，， ∴，， ∵, ∴，, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴当时，， 整理得， 解得或（不合题意，舍去） 当时，， 整理得， 解得：； 综上，的取值范围是或． 4．(1)一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为； (2)或； (3)的值为或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）分情况讨论，当是斜边时，当是斜边时，利用勾股定理即可得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过、两点， ∴， 解得：，， ∴反比例函数的关系式为，， ∵一次函数过、两点， ∴， 解得：， ∴一次函数的关系式为； （2）解：根据图象可知：当或时，， ∴不等式的解集为或； （3）解：过、，， ∴，，， 如图，当是斜边时，即， ∴， ∴，解得：， 如图，当是斜边时，即， ∴， ∴，解得：， 综上可得：的值为或． 5．(1)， (2)或． 【分析】（1）把点代入得到反比例函数的解析式为；把代入得到点的坐标为，待定系数法得到一次函数的解析式为； （2）设，解方程得到，，分两种情况根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：把点代入得， ， 反比例函数的解析式为， 把代入得， 点的坐标为， 把和点代入得 ， 解得 一次函数的解析式为． 综上所述：反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为． （2）解：设， 在中，令，则，令，则， ，， ， 以、、为顶点的三角形与相似， 当时， ， ， ，，， ， 解得（不合题意舍去）， ∴， 当，， ， 轴， ，即， 点的坐标为； 综上可知，点M的坐标为或． 6．(1)， (2) 【分析】（1）先求出B点的坐标，再由反比例函数过点，求出点的坐标，代入即可，由矩形的性质可得、坐标，代入即可求出解析式； （2）作关于轴的对称点，连接，直线与轴交点即为所求点P，根据轴对称求出点的坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式，令，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵反比例函数的图象过点D， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为． ∵在矩形中，，， ∴，， 把代入反比例函数，得，解得， ∴， 把代入反比例函数，得， ∴， ∵一次函数的图象经过点E、F两点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为. （2）解：作关于轴的对称点，连接交轴于点P， ， ∴有最小值 ∵， ∴， 设直线的解析式为 ∵直线过点，， ∴，解得 ∴直线的解析式为 令，则，解得， ∴． 7．(1)加热阶段：，降温阶段： (2)可进行工序操作的时间为分钟 (3)最迟应在开始重新加热材料 【分析】（1）材料加热过程为一次函数，根据其图像过和，用待定系数法可求出函数表达式；材料冷却过程为反比例函数，代入求出函数表达式； （2）让两段函数的都等于，算出两个对应的值然后相减即可； （3）由，可知应在冷却阶段再次加热，然后设新加热函数的解析式为，据题意可知该函数图像经过，将坐标代入解出，然后求出新加热函数与降温函数交点的横坐标，然后换算成时间． 【详解】（1）解：加热阶段： 据题可知，图像过点和，设函数表达式为， 将代入得：，解得， 则加热阶段表达式为； 降温阶段： 设函数表达式为，将代入得：， 则表达式为， 将代入得， 则降温阶段表达式为． （2）解：将代入可得：， 将代入得：， 则可进行工序操作的时间为分钟． （3）解：由，则应在冷却阶段再次加热， 再次加热时，设函数表达式为，由题意，图象过点，代入得：， 解得，则， 令，即，解得：或（舍）， 故最迟应在开始重新加热材料． 8．(1)， (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，求交点坐标，两点间距离公式等知识点． （1）把分别代入和，求出和的值即可； （2）令一次函数和反比例函数的解析式相等即可求解； （3）求出点、、的坐标，利用两点间距离公式求出和的长即可证明； （4）通过即可求解． 【详解】（1）解：把分别代入和， ，， ∴，， ∴一次函数的表达式为， 反比例函数的表达式为． （2）解：， 去分母并化简得， ，， ∴点横坐标为2， 把代入， 得， ∴点坐标为． （3）证明：由（2）得点横坐标为，代入， 得， ∴， ， 令，得，∴， 令，得，∴， ∴, ， ∴． （4）解：如图， ． 9．(1) (2)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (3) 【分析】（1）根据一次函数图象在反比例函数图象上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案； （2）根据待定系数法，依次求出反比例函数和一次函数解析式； （3）设点的坐标为，由和面积相等，得出关于的等式，求得的值，即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：由图象得一次函数图象在反比例函数图象上方时，， 当时，一次函数大于反比例函数的值； （2）解：将代入，得，解得， 反比例函数的解析式为， 令，得， ， 将，代入一次函数中，得： ，解得， 一次函数的解析式为； （3）解：设点的坐标为， 由、的坐标可知，，，， 和面积相等，即， ， 解得， ， 和面积相等时，点的坐标为． 10．(1) (2)①直线解析式为；②存在，或 【分析】（1）函数的图象过点和两点．可得方程组，解方程即可得出答案； （2）①设，过点作轴与交于点，则，，根据，求出点的坐标，可得答案； ②设，当时，过点作轴，于于，利用，求出点的坐标，再根据矩形的性质可得的坐标；当时，则，根据题意知，从而解决问题． 【详解】（1） 解：函数的图象过点和两点， 可得：， 解得：， （2）解：由（1）可知，点的坐标是， 设直线的解析式为， 可得：， ， 直线的解析式为， 由知反比例函数的解析式为， 设点的坐标为， 如下图所示，过点作轴与交于点， 则点的坐标为， ， ， ， 解得:舍去， 点的坐标为， 将直线沿轴向左平移得直线， 设直线的解析式为， 将代入， 可得：， ， 直线解析式为； 设点的坐标为， 当时， 如下图所示，过点作轴，于于， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得或， ， 点的坐标为， 此时点的坐标为， 当时，则， ， 解得或负值舍去， ， 点的坐标为， 此时点的坐标为， 根据题意知， 综上：点的坐标为或． 11．(1)， (2)图象见解析，性质：当时，随着的增大而增大，随着的增大而减小 (3) 【分析】（1）先证明，得到，则，即可求解关于x的函数表达式；由菱形可得，，证明四边形为平行四边形，则，那么，即可求解关于x的函数表达式； （2）描点连线即可作图，从函数的增减性分析可得出一条性质； （2）先求出两个函数图象的交点坐标的横坐标，再根据的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时交点的横坐标的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴，即 如图： ∵菱形， ∴，， ∵平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：函数的图象如图： 性质：当时，随着的增大而增大，随着的增大而减小； （3）解：联立，得，， 解得（舍负）， ∴当时，x的取值范围． 12．(1)反比例函数的表达式为，点的坐标为 (2)点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据点的坐标得到直线的表达式，进而得到反比例函数的表达式以及点的坐标． （2）首先证明，得到直线的表达式，通过证明四边形是矩形，得到直线的表达式，进而得到点的坐标． （3）分两种情况讨论：若,则，所以可以得到直线的函数表达式，以及点的坐标；若，则，连接，设的中点为，的坐标为，通过直角三角形的性质推出，列出关于的方程，再求解即可． 【详解】（1）解：把点的坐标代入直线，得， ， 把点的坐标代入直线，得， ， 将点的坐标代入反比例函数，得， 即反比例函数的表达式为， 联立，解得，， 点的坐标为； （2）解：由题可知， 如图，设直线交轴于点，直线交轴于点，过点作轴于， 令代入中，解得， ∴． ∵， ，． ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ． 设直线的函数表达式为， 把，代入得， ，解得， 直线的函数表达式为． 如图，设点在图中所示的位置，过点作交于点，连接， ∵，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴直线是由直线通过平移一定距离得到的， ∴设直线的表达式为， 又∵直线经过点，代入表达式得：，解得：， ∴直线的表达式为， ∴联立，解得：或， ∵点是第三象限内反比例函数图象上位于点右侧的一点， ∴取， ∴点的坐标为； （3）解：联立， 解得或， ， ①若，如图，易知， 设直线的函数表达式为， 直线经过点， ，解得，即， 联立， 解得，， ∴点的坐标为； ②若，如图，连接，设的中点为，的坐标为， 则， ∴， ∵，， ∴点的坐标为，且， ∴，即， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或或， ∵点是第三象限内的反比例函数图象上一点， ∴点的横坐标为负的，而且不能取（与点重合）， ∴， 点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 13．(1) (2)①② 【分析】（1）假设，利用矩形的面积为以及可求出点坐标； （2）①设，根据矩形的面积被直线平分可列方程求解即可； ②设，根据梯形的面积是矩形的面积的，列方程求解即可. 【详解】（1）解：设， ∵矩形的面积为， ∴， 解得：或， 当时，，此时， 当时，，此时， ∵， ∴，即； （2）①设、和直线分别交于点，， 设， 则， ∴， ∵矩形的面积被直线平分， ∴， ∴， 即：， 解得：； ②设， ∵由题意可知：， ∴， 解得：（舍）， ∴． 14．(1) ，； (2) ①② 【分析】（1）将点坐标代入直线解析式求出，再代入反比例函数解析式求得即可； （2）①过点作轴于交于点，通过论证，列出，求出，进而得到点坐标，根据， 在直线上，求出点坐标，即可求出结论； ②过点作交的延长线于点，过作轴于，过点作于点，通过论证，得出点坐标 ，代入直线的解析式即可求得结果. 【详解】（1）解：∵在直线上， ∴，解得：， ∵在反比例函数图象上， ∴； （2）①过点作轴于交于点， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵轴， ∴， ∵在直线上， ∴， 解得， ∴； ②解：过点作交的延长线于点，过作轴于，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 解得：， 即：， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∵， ∴ 15．(1)，， (2) (3)E的坐标为，， 【分析】（1）利用点在直线上的条件求出的值，进而求出反比例函数解析式； （2）根据平行线的性质设出直线的解析式，结合求出点坐标，证明四边形是平行四边形，再证明得到矩形，从而求出面积； （3）分（点在点左侧和右侧）和三种情况，利用全等三角形的性质建立方程求解． 【详解】（1）解：点在直线上， ，解得， ， 点在直线上， ， ， 点在反比例函数上， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：，直线的解析式为， 设直线的解析式为， 在轴的正半轴上， ，代入得， 直线的解析式为， 令得， ，即， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 如图，作轴于，则点F的坐标为， ， 为等腰直角三角形，， ， 在中，， ， ， 四边形是矩形， ； （3）解： ①当时，设点的坐标为， 过点作轴于点Q，过点作交直线于点， 若点在点左侧，如图 ， ， 在中，， 在与中， ， ， ， 设点的坐标为， ， ， ，解得， 点E的坐标为， 若点在点右侧，如图， 同理可证，， ， ，解得， 的坐标为； ②当时，过点作轴于点Q，过点作交直线于点， 同理可证，， ， 设点的坐标为，点的坐标 ， 解得，或， ， ，， ， 综上所述：的坐标为． 16．(1) (2) (3)点G坐标为或 【分析】（1）先求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设点，则，根据，列出方程进行求解即可； （3）先求出点坐标，分点G在x轴正半轴和点G在x轴负半轴上两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴； 将代入，得， ∴； （2）解：设点，则， ∴，， ∵， ∴， ∴，（舍）， ∴． （3）解：设直线的解析式为， 把，，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， ∴当时，解得， ∴； ①点G在x轴正半轴， ∵，， ∴， ∴． 设， 则 ∴，（舍） ∴． ②点在x轴负半轴， 此时，， ∴ 过点A作轴于点，则是中点， ∴； 综上所述，点G坐标为或． 17．(1)， (2)或 (3)当时，面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据题意结合待定系数法可进行求解； （2）分两种情况，设出点P，N的坐标，从而得到，的表达式，根据即可得到m的值； （3）过点Q作轴交于点E，先求得直线的解析式，进而设，则，，表示出的面积，根据不等式得出最小值，即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过线段的端点，将点A的坐标代入得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 设直线的解析式为，将点A的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：①当N在P的上方时，如图1， ∴，， ∴，， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）； ②当P在N的上方时，如图2， ∴，， ∴，， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的解，负值已舍去）， 综上所述：或． （3）解：如图3，D的横坐标为4，过点Q作轴交于点E， ∵沿x轴正方向平移3个单位得到线段， ∴直线的解析式为，将代入得：， 即， 设的表达式为，将点A，点D的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴的表达式为， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，即（负值舍去）， ∴当时，面积最大，最大面积为． 18．(1) (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）结合反比例函数和正比例函数的交点，得出点与点关于原点对称，，证明，利用相似三角形的性质得出，即可求出的值； （2）设，表示出相关点的坐标，然后表示出相关线段的长度，利用锐角三角函数得出，利用平行线的判定定理即可得出结论； （3）令，则，求出线段的解析式为，联立解析式求出交点坐标，然后分别求出相关线段的长度，求其比值判定是否为黄金分割点即可． 【详解】（1）解：当时，反比例函数和一次函数的图象交于点A和点B， ∴点与点关于原点对称， ∴， 又∵轴C，轴， ∴， ∴， ∴， ∴，且双曲线位于第一、三象限， ∴； （2）解：，理由如下： 设， ∵轴C，轴，且AC与BD的延长线交于点E， ∴，， ∴，，， ∴， ， ∴， ∴； （3）证明：如图所示， 令，则， 假设直线的解析式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴， 联立， 解得（负值已舍）， ∴， ∵轴， ∴， ∴，， ∴， ∴点C为线段的黄金分割点； ∵轴，， ∴直线的解析式为， ∵点Q为和的延长线交点， ∴， ∴， ∴， ∴点M为线段的黄金分割点． 19．(1)； (2)点的坐标为 或 (3)符合条件的点的坐标为：；；； 【分析】（1）设点的坐标为，代入反比例函数的表达式可得点的坐标，将点，的坐标分别代入直线的解析式中，即可得解； （2）设， 分三种情况讨论：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，点在线段的延长线上；分别过点、作轴和轴的平行线，交于一点，过点作于点，通过证明 ， 结合已知的， 求解点的坐标，利用待定系数法可求得直线的函数表达式，联立直线的函数表达式与反比例函数解析式即可求得点的坐标； （3）根据已知可得到 ，从而可得到当四边形是以为完美线的完美四边形，必然有或或，分情况讨论，根据相似三角形的性质列式计算即可得解． 【详解】（1）解：设点的坐标为， 代入反比例函数中得，， ， 令，得， 点的坐标为， 将点，代入直线中得， ，解得， ； （2）解：由（1）得 ：，， 直线的解析式为， 反比例函数的解析式为， 直线与直线交于点， 设， 如图，当点在线段上时，分别过点、作轴和轴的平行线，交于一点，过点作于点， ，，，   ， ， ， ， ，解得， ， 设直线的函数表达式为， 将点代入得， ， 解得， 直线的函数表达式为， 联立，解得（负值已舍去）， 点的坐标为； 如图，当点在线段的延长线上时，分别过点、作轴和轴的平行线，交于一点，过点作于点， ，， ， ， ， ， ，解得， ， 设直线的函数表达式为， 将点代入得， ， 解得， 直线的函数表达式为， 联立，解得（负值已舍去）， 点的坐标为； ， ， 点不在线段的延长线上； 综上所述，点的坐标为 或； （3）解：过点作轴垂线与过点作轴垂线相交于点，，， ，，，， 当四边形是以为完美线的完美四边形，必然有或或， 设， 若，分和两种情况； 情况：当时，则有，， ，， ，， ，解得， ； 情况：当时，则有， ， ，， 过点作交延长线于点， ，， ， ， ，即， ，， ，， ，，不符合题意，故舍去； 若，分和两种情况； 情况：当时，则有，， ，， 四边形是矩形， ； 情况：当时，则有， ，， 过点作交延长线于点，过点作交延长线于点， ，， ， ， ，即， ，，不符合题意，故舍去； 若，分和两种情况； 情况：当时，则有，， ，， ，， ，解得， ； 情况：当时，则有， ， ， 过点作交延长线于点， ，， ， ， ，即， ，， ，， ，， ； 综上，符合条件的点的坐标为：；；；． 20．(1) (2) (3)点或 (4)或或或． 【分析】（1）先求出点A的坐标，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）设直线交y轴于点，求出直线的表达式为：，得出点，再根据一次函数解析式和反比例函数解析式求出点，根据求出结果即可； （3）由点A、B的坐标求出，求出点，过点F、G分别作y轴的垂线，垂足分别为S、，证明，求出点的坐标为：或，过点N作，则，，求出点或，根据待定系数法求出直线的表达式为：，根据求出的表达式为，最后求出结果即可； （4）先求出点M的坐标为，求出直线的解析式为：，设，则，求出，得出当时，有最大值，求出点的坐标为，根据直线与反比例函数的图象有且只有一个交点求出直线l的解析式即可． 【详解】（1）解：当，则，即点， ∴， 解得 则直线的解析式为：； （2）解：如图1，设直线交y轴于点， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 把代入得：， ∴点， ∴， 联立直线和反比例函数的表达式得：， 解得：（舍去）或， 即点， 则 ； （3）解：由点A、B的坐标得：， ∵以线段为对角线作正方形， ∴， ∵， ∴， 即点， 在正方形中，的中点即为的中点， 由中点坐标公式得：， 解得： ∴点， 过点F、G分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，如图所示： 则，， ∴， 当时， ， 又∵， ∴，即点G的纵坐标为， 同理可得：， 即点， 当时， 同理可得点， 即点G的坐标为：或； 如图，过点N作，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是的中点， 根据中点坐标公式得：点或， 同理，根据点、F的坐标得直线的表达式为：， ∵， ∴设的表达式为 把代入得：， 解得：， ∴此时的表达式为， 联立， 解得：， ∴此时点； 同理可得：当时，的表达式为， 联立， 解得：， 此时点； 综上点N的坐标为或． （4）解：根据解析（3）可得：点F的坐标为， ∵四边形为正方形，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴点B、F、M在同一直线上， ∵， ∴点F为的中点， ∵ ∴根据中点坐标公式可得：点M的坐标为， ∵， ∴同理可得直线的解析式为：， ∵直线的解析式为：， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 此时点的坐标为， 过点Q与x轴或y轴平行的直线与反比例函数的图象有且只有一个交点， ∴直线l的解析式可以是或； 当直线l与坐标轴不平行时，设直线l的解析式为，把代入得： ， ∴， ∴直线l的解析式为， 令， 整理得：， 当时，方程有一个解，直线l与反比例函数的图象有且只有一个交点， 将方程整理得：， 解得：或， 当时，，直线l的解析式为： ； 当时，，直线l的解析式为： ； 综上，直线l的解析式为：或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $