精品解析：安徽淮北市第十二中学2025-2026学年高三上学期期中检测数学试卷

淮北市第十二中学高三上学期期中检测 数学试题 （考试时间：120分钟，试卷总分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，可得， 所以，解得， 所以，又， 所以. 2. 若，则复数的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法运算法则结合共轭复数的概念、复数的概念计算即可. 【详解】由题得，， ，其虚部为，D正确. 3. 某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为，为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为，特殊环境温度是，则经过分钟后，该物质的温度最接近（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题知，，， ，，即， 计算得. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质及指数函数的性质，结合充分、必要条件的定义可得. 【详解】若，则，且. 因为是增函数，所以，从而. 所以“”是“”的充分条件； 当时，恒成立，所以推不出. 所以“”是“”的不必要条件； 故“”是“”的充分不必要条件. 5. 函数的大致图象是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】法一种利用函数的奇偶性可排除AB，再由时，，可排除C，得到D正确；法二中由奇函数和偶函数乘积后为奇函数可排除AB；再由时，，可排除C，得到D正确； 【详解】法一： 对于A、B：因为的定义域为， ， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，故A，B错误. 对于C、D：当时，，， 所以，所以，故C错误，D正确； 法二： 对于A、B：因为的定义域为， 函数为奇函数，函数为偶函数， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故A、B错误； 对于C、D：当时，，， 所以，所以，故C错误，D正确； 故选：D. 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数型函数的定义域和单调性，转化为子集问题，即可求解. 【详解】由，得或， 所以函数的定义域为， 函数在上单调递增，函数在定义域内单调递增， 所以函数的单调递增区间为， 依题意有，. 即的取值范围为. 7. 已知是定义在的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 16 【答案】C 【解析】 【详解】由是奇函数，则， 所以， 所以的图象关于对称，则， . 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将各数与比较，可得最小，通过，两边取对数即可得结果. 【详解】，， 因为，所以，故，最小 由，得， 则，，， 故. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数与的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用指数函数的性质与一次函数的性质逐项判断可得结论. 【详解】对于A，当时，单调递增，与轴交于正半轴， 在上单调递增，故选项A符合题意． 对于B选项，由指数函数的图象可知，由一次函数的图象可知，则，故选项不符合题意． 对于C，当时，单调递减，与轴交于正半轴， 在上单调递减，C选项符合题意． 对于D选项，由一次函数图象可知，解得，则D选项不符合题意． 故选：AC. 10. 已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据导数的概念，判断选项A的正误；根据函数单调性和导数值的关系，判断选项B的正误；根据函数图像，求出函数解析式，进而判断选项C的正误；根据函数图像和函数导数的正负，判断选项D的正误. 【详解】对于选项A，， 由图可知有极值点1，，即，所以A正确； 设， 由图可知为奇函数，且，解得， 可知，则， 解得，所以， 则， 由图可知在上单调递减，所以， 对于选项B，，所以，选项B正确； 对于选项C，，所以选项C正确； 对于选项D，可知时，， 当时，， 当，可知，得， 或，得，所以D错误. 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. 关于中心对称 C. 恒成立 D. 函数有最小值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知关系式，应用赋值法求函数值和对称性判断A、B，构造，并应用导数研究不等式恒成立判断C，由二次函数的性质判断D. 【详解】令，，则， 又，则，故A错误； 令，，则， 则，又，则， 令，， 则，则，故， 所以的图象关于中心对称，故B正确； 令，则， 所以时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 所以，则恒成立，故C正确； 由B知，则， 显然在时取到最大值，无最小值，故D错误. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分 12. 求值：______. 【答案】 【解析】 【详解】. 13. 写出函数的所有零点______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用对数函数与二次函数的性质一一计算零点即可. 【详解】对于方程，可得其根为，均不满足，故舍去； 又函数单调递增，且，满足题意. 零点为2. 14. 已知关于的方程有三个不相同的实根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过分离参数和分析函数的单调性、极值和最值即可得. 【详解】由方程，得，且.令. ①当时，，所以，， 令，得，即. 当时，，； 当时，，； 所以在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值也是最大值， ，当. ②当时，，， 所以在单调递增，且，. 因方程有三个不相同的实根，所以函数与有三个不同的交点，如图： 所以. 即实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求的大小； （2）若的面积为，求外接圆的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，，，进而结合余弦定理即可求解； （2）由三角形的面积公式解出边长，进而由正弦定理可求得外接圆的直径，可求外接圆的面积. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 设，，，， 由余弦定理得， 因为，所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 因为，所以，所以， 所以外接圆的直径为，面积为. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，设，分别为，的中点. （1）求证：∥平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值大小. 【答案】（1）证明：连接交于， 又，分别为，的中点，则， 又平面，平面，则平面. （2）证明：连接交于， 又，分别为，的中点，则， 又平面，平面，则平面. （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于，由即可求证； （2）通过勾股定理得到，，即可求证； （3）建系，求得平面法向量，由线面夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 取中点记为连接，中，，，则， 又，所以， 则平面，平面，， 又，以为轴建系，如图： 则，，，，， 则， 设平面的法向量为， 则，令，得， 可得，， 设直线与平面所成角为， 则. 17. 已知函数为上的奇函数. （1）确定的值并求出函数的值域 （2）若函数，讨论的极值取得情况. 【答案】（1）， （2）当时，无极值；当时，在处取得极大值，无极小值 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义，通过代入特殊点建立方程求解参数，再结合指数函数的值域与代数变形求出原函数的值域； （2）化简函数表达式并求导，根据导函数中参数的取值分类讨论单调性，进而判断极值点. 【小问1详解】 因为函数为上的奇函数，由，， 此时，显然为奇函数.所以 ， 的值域为 【小问2详解】 由（1）得：， 定义域为，， 当时，在上单调递减，无极值； 当时得， 当时，;当时，, 在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，；无极小值 18. 某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. （1）当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 【答案】（1）10米 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意建立甲工程队报价与左面墙的长度间的函数关系，再根据基本不等式求得最低报价及对应的左面墙的长度； （2）利用（1）的结论，列出不等式，分离参数，并根据基本不等式求得的取值范围. 【小问1详解】 设甲工程队的总报价为元， 依题意，左、右两面墙的长度均为（）米， 则长方体前面新建墙体的长度为米， 所以， 即， 当且仅当，即时，等号成立. 故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200元. 【小问2详解】 由题意可知，， 即对任意的恒成立， 所以，可得，即. ， 当且仅当，即时，取最小值36. 所以，即的取值范围是. 19. 设函数的定义域为，若，，则称为“循环函数”. （1）试问函数是否为“循环函数”？说明你的理由. （2）已知函数，证明：存在常数，使得为“循环函数”. （3）已知对任意，函数，都满足.若，证明：当时，. 【答案】（1）是“循环函数”，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“循环函数”的定义，分类讨论，，时是否成立即可判断； （2）根据，比较系数可解得C； （3）由题意知存在常数，使得，赋值法，令可求得含参数a的，的解析式，根据可解得a，根据待证式可构造函数，通过导数研究函数的最值，证明即可. 【小问1详解】 当时，，； 当时，，则； 当时，，则. 故是“循环函数”. 【小问2详解】 方法一：因为，所以， 所以 ， 令，即， 整理得， 对比系数可得的系数，解得， 代入验证常数项与一次项，均满足等式， 故存在常数，使得为“循环函数”. 方法二：当时，， 则， 所以存在常数，使得为“循环函数”. 【小问3详解】 由题意得对恒成立， 所以存在常数，使得. 令，得，解得，. 若，则，，. 设函数（）， 则（）， ，当时，，当时，， 所以. 下证：（且）， 构造函数，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即. 则， 所以，故当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮北市第十二中学高三上学期期中检测 数学试题 （考试时间：120分钟，试卷总分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则复数的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为，为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为，特殊环境温度是，则经过分钟后，该物质的温度最接近（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的大致图象是（    ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 16 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数与的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. 关于中心对称 C. 恒成立 D. 函数有最小值 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分 12. 求值：______. 13. 写出函数的所有零点______. 14. 已知关于的方程有三个不相同的实根，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求的大小； （2）若的面积为，求外接圆的面积. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，设，分别为，的中点. （1）求证：∥平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值大小. 17. 已知函数为上的奇函数. （1）确定的值并求出函数的值域 （2）若函数，讨论的极值取得情况. 18. 某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. （1）当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 19. 设函数的定义域为，若，，则称为“循环函数”. （1）试问函数是否为“循环函数”？说明你的理由. （2）已知函数，证明：存在常数，使得为“循环函数”. （3）已知对任意，函数，都满足.若，证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $