题型10 综合与实践-【一战成名新中考】2026数学真题分类分层练

题型十 综合与实践 类型1操作探究类(2025年考，2024年25考，2023年烤) 1.[2025河北]综合与实践 [情境]要将矩形铁板切割成相同的 两部分，焊接成直角护板（如图①）， 需找到合适的切割线 [模型]已知矩形ABCD(数据如图② 图① 图② 所示).作一条直线MN,使MN与BC 所夹的锐角为45°，且将矩形ABCD分成周长相等的两部分. [操作]嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题， 如图③，嘉嘉的思路如下： 如图④，淇淇的方法如下： ①连接AC,BD交于点O; ①在边BC上截取BG=AB,连接AG: ②过点0作EF⊥BC,分别交 ②作线段GC的垂直平分线L,交BC于 BC,AD于点E,F; 点M; ③在边AD上截取AN=GM,作直线MN. E 图③ 图④ [探究]根据以上描述，解决下列问题 (1)图②中，矩形ABCD的周长为 (2)在图③的基础上，用尺规作图作出直线MN(作出一条即可，保留作图 痕迹，不写作法)； (3)根据淇淇的作图过程，请说明图④中的直线MN符合要求. [拓展]操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题， (4)如图⑤，若直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，分别交边 AD,BC于点P,Q,过点B作BH⊥PQ于点H,连接CH. ①当∠PQC=45时，求tan∠BCH的值； ②当∠BCH最大时，直接写出CH的长 H 第1题图⑤ 类型2设计制作类(2025年3考，2024年3烤，2023年烤) 2.[2025安徽]综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园 室内活动场地， 【项目准备】 (1)密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼 接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺。 (2)密铺方式构建：运用密铺知识得到图①、图②所示的两种拼接方式，其 中正六边形和正三角形组件的边长均为20cm. (3)密铺规律探究：为方便研究，称图③、图④分别为图①、图②的“接单元”. 10cm40c9 XXX…XXXX… I宽205cm 图① 图② 图③ 图④ 第2题图 观察发现：自左向右拼接图①时，每增加一个图③所示的拼接单元，则增加 1个正六边形和2个正三角形，长度增加40cm,从而x个这样的拼接单元 拼成一行的长度为(40x+10)cm. 自左向右拼接图②时，每增加一个图④所示的拼接单元，则增加①个正六 边形和②个正三角形，长度增加③cm,从而y个这样的拼接单元拼 成一行的长度为④cm. 真题分类分层练·数学 版权归一战成名新中考 【项目分析】 (1)项目条件：场地为长7.4m、宽6m的矩形：正三角形和正六边形组件 的单价分别为1元和5元. (2)基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用 (3)方式确定：()考虑成本因素，采用图①方式进行密铺：()每行用正六 边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按 图①所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束；()第一 行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止 (4)方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案， 方案一：第一行沿着长度为6m的墙自左向右拼接（如图⑤）. 6 m 一行 二行 第2题图⑤ 根据规律，令40x+10≤600，解得x≤14.75，所以每行可以先拼14块拼接 单元，即共用去14个正六边形和28个正三角形组件，由40×14+10=570 知，所拼长度为570cm,剩余30cm恰好还可以摆放一个正六边形组件（如 图⑤所示的阴影正六边形).最终需用15个正六边形和28个正三角形组 件，由5×15+1×28=103知，方案一每行的成本为103元. 由于每行宽度为20√3cm(按3=1.73计算)，设拼成s行，则203s≤740， 37,5-21.34，故需铺21行.由103×21=2163知，方案一所需的 解得s 3 总成本为2163元 方案二：第一行沿着长度为7.4m的墙自左向右拼接， 类似于方案一的成本计算，令40x+10≤740… 方案二每行的成本为⑤元，总成本为⑥元. 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）. 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ① ;② ;③ :④ :⑤ ⑥ 类型3数学建模类(2025年0烤，2024年6烤，2023年8考) 3.[2025扬州]材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡.“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”， 莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有 较强的疏水性.疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质. 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述.材料上的水滴可以近似地 看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图①所示，接触角是过固、液、 气三相接触点（点M或点）所作的气-液界线的切线与固-液界线的夹 角，图①中的∠PMWN就是水滴的一个接触角. →空气（气相） ·气-液界线 +水滴（液相 固-液界线 N工→材料（固相） 第3题图① (1)请用无刻度的直尺和圆规作出图②中水滴的一个接触角，并用三个大 写字母表示接触角：（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (2)材料的硫水性随着接触角的变大而 (选填“变强”“不变”“变 弱”) 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC(BC1 AC),求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图③）， (3)请探索图③中接触角∠CAD与LBAC之间的数量关系（用等式表示）， 并说明理由 【创新思考】 (4)材料的疏水性除了用接触角以及图③中与△ABC相关的量描述外，还 可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量 的变化而如何变化. 图② 图③ 第3题图 92 类型④学科融合类(2025年2考，2024年2考，2023年考) 4.学科融合[2025吉林省卷]【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪 些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同 密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧 测力计A,B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液 体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化.（溢水杯的 杯底厚度忽略不计)》 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟 液体的密度有关.物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就 越大 总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力=G重力； 当小铝块浸入液面后，F拉力=G重力F浮： 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A,B各自的 示数F拉力(N)与小铝块各自下降的高度x(cm)之间的关系如图②所示. 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的 示数； (2)当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式； (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8c时，甲液体中的小铝块受到 的浮力为m(N),若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m(N),则乙液 体中小铝块浸入的深度为n(cm),直接写出m,n的值 F/N 弹簧测力计A的示数 3 弹簧测肋计B的示数 20cm血20cm血 甲 乙 0 610 20 x/cm 图① 图② 第4题图 真题分类分层练·数学 类型5阅读理解与新定义类(2025年5考，2024年15考，2023年21考) 5.新定义[2025长春]数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均 在圆内或圆上)为该平面图形的覆盖圆.其中，能完全覆盖平面图形的最小 的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆. 【探究一】线段的最小覆盖圆 线段AB的覆盖圆有无数个，其中，以AB为直径的圆是其最小覆盖圆 理由如下：易知线段AB的最小覆盖圆一定经过点A、点B.如图①，以AB 为直径作⊙0，再过A、B两点作⊙0'(0'与0不重合)，连接0'A,O'B. 在△O'AB中，有O'A+O'B>AB(▲). 0'A=0'B, .20'A>AB,即⊙0'的直径大于⊙0的直径 ∴.⊙O是线段AB的最小覆盖圆. “▲”处应填写的推理依据为 【探究二】直角三角形的最小覆盖圆 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段 的最小覆盖圆问题这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小 覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最 小覆盖圆. 如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.⊙0是以AB为直径的圆. 请你判断点C与⊙0的位置关系，并说明理由. 又由【探究一】可知，⊙O是Rt△ABC最长边AB的最小覆盖圆，所以，⊙O 是Rt△ABC的最小覆盖圆. 【拓展应用】矩形的最小覆盖圆 如图③，在矩形ABCD中，AB=1cm,BC=2cm (1)用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形ABCD的最小覆盖圆：（不写做 法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点)》 (2)该矩形ABCD的最小覆盖圆的直径为 cm; (3)分类讨论若用两个等圆完全覆盖矩形ABCD,则这样的两个等 圆的最小直径为 cm. D 0 6 图① 图② 图③ 第5题图(3)如解图②，等边半正六边形ABCDEF即为所求（答案不 唯一) 8.解：(1).·∠A≈43°，∠B≈51°」 .∠C=180°-∠A-∠B≈180°-43°-51=86°， 由题意得BC、AB sinA sinC 又BC≈341m, 六AB=BC:sinC BC·sin86°=341x0.998 sinA sin43 0.682 2=499(m), 答：A,B两岛间的距离约为499m; (2)工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度） 测量过程： 步骤1：如解图，在空旷地找一点C,使得△ABC是锐角三 角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠C的度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC=am,AC= b m. 计算过程： 如解图，过点A作AD⊥BC,则∠ADC=∠ADB=90°， D 第8题解图 AC:CosC=CD 在△ACD中，inC=4D.， AC .'AD=bsinC m,CD=bcosC m, .BD=BC-CD=(a-bcosC)m, ·在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB, .AB=v(bsinC)2+(a-bcosC)2 m. 答：A,B两岛间的距离为√(bsinC)2+(a-bcosC)2m 9.解：(1)小明的猜想不正确反例：3×4=12； ,b≥1， c (2)① 所以 所以1<心<10，与(*)矛 b ab ≤1， -≤a<10, c 盾，不合题意； ②4>1，所以b>1,又业≤ab<100,所以1<b<10. 由(*)知，=10，所以p=m+n: (3)当A的数字大于或等于B的数字时，合的位数是m+ 1:当A的数字小于B的数字时，合的位数是m心 证明：设日=C,4B,C的数字分别为a,66,C的位数为x, 则B×C=A. 由小华的命题知，当a≥b时，必有a≥c, 此时，m=n+x-1,所以x=m-n+1; 当a<b时，必有a<c, 此时，m=n+x,所以x=m-n. 综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，A的位数是 B 114 参考答 mn+1:当A的数字小于B的数字时，合的位数是mn 0.5d前 10.解：(1)把d=0.01%,dm=0.2%,代入d0.5+0 得001%=0.5x0.2% 解得u=9.5, 0.5+e 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， ·.只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为 0.01%,需要9.5kg清水： (2)把4kg清水均分，.0=4÷2=2(kg). 第一次漂洗：把w=2,d省=0.29%代入d。=0.5+元 六de=0.5×0.2%=0049%. 0.5+2 0.5d前 第二次漂洗：把0=2，d=0.04%代入dg=0.5+0 ∴d。=L5x004%-0.08%. 0.5+2 .0.008%<0.01%, 进行两次漂洗，能达到洗衣目标： (3)对于(1)需要9.5kg清水才能达标：对于(2)只需要 4kg清水就能达标. 在水资源有限的情况下，为达到更好的洗衣效果，我会分 次进行漂洗。 题型十综合与实践 1.(1)解：10： (2)解：如解图①，以点E为圆心，E0长为半径画弧，交BC 于点M,连接并延长MO交AD于点N,直线MN即为所求； 第1题解图① (3)证明：四边形ABCD是矩形， .∠B=90°，AD∥BC,AD=BC,AB=CD, .BG=AB,∴.∠AGB=45°， ·AW=MG,.四边形AGMN是平行四边形， .∴.MNAG,.∴.∠NMG=∠AGB=45°， ·直线1是GC的垂直平分线， .∴.GM=CM,∴.GM=CM=AW, .BM=BC-CM=AD-AN=DN, .'AN+AB+BM=CM+CD+DN, ·.直线MN把矩形ABCD分成了周长相等的两部分， .直线MW符合要求； (4)①解：如解图②，过点H作HG⊥BC于点G,连接AC交 PO于点O,过点P作PK⊥BC于点K,过点O作OTL⊥BC于 点T, 四边形ABCD是矩形，且直线PQ将矩形ABCD分成周长 相等的两部分， .AP=CQ,PD=BQ,AB=DC=PK=1,点O是AC和PQ的 中点， BT=CT=26c=2,m=00=P0, 2 ∠PQC=45°，△PQK是等腰直角三角形， 案·数学 ∴.QK=PK=1,.PQ=√PK+QK=+1下=2 P0=00= 1 2,0T=QT=2, :c0=GT+0r=2+22 15 BQ=BC-C0=4-3=), ·∠BQH=∠PQC=45°，∠BHQ=90, .△BHQ是等腰直角三角形， 六HG=G0=,B0= 1.33 2 2×2=4,CG=C0+c0 5,313 2 441 3 an∠BCH=HG_4_3 CG1313 4 0 /H 第1题解图② 第1题解图③ ②解：CH的长为22.【解法提示】如解图③，连接BD交PQ 于点O,PQ把矩形ABCD分成了周长相等的两部分，.点 O是BD和PQ的中点，BH⊥PQ,点H在以BO为直径 的⊙L上，连接CL,当CH与⊙L相切时，∠BCH最大，AB 4D=4BD=VT+4=页，B0=7 2 出=BL=0L三7，过点L作LT LBC于点T,则TL/CD.: √17 △BL∽△BDC, BL-LT BT 、、=0=BC7=1=4,LT= 4,BTE1,心CT=BC-BT=4-1=3,在RACLT中，CL 7+CT=145。 F16,:CH是OL的切线，∠CHL=90,CH= s7=8-25. a-恩微需 2.解：①1：②6：③60；④(60y+10):⑤126：⑥2142.【解法提 示】观察图④可知，每增加一个图④所示的拼接单元，增加1 个正六边形和6个正三角形，由正六边形和正三角形组件 的边长均为20cm,增加的长度为3个边长，即3×20=60 (cm),计算y个拼接单元拼成一行的长度第一个拼接单元 有1个正六边形左边的10cm,每增加一个拼接单元长度增加 60cm,所以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为(60y+ 10)cm,计算方案二每行可拼接的单元数量令40x+10≤ 740,解得x≤18.25，.每行可以先拼18块拼接单元..共 用去18个正六边形和36个正三角形组件，由40×18+10= 730知，所拼长度为730cm,剩余740-730=10cm,无法再摆 放组件.由5×18+1×36=90+36=126知，方案二每行的成本 为126元.由于每行宽度为205cm(按3=1.73计算)，设 拼成5行，则2055≤600，解得s≤600-105≈17.34，故 20W5 需铺17行.由126×17=2142知，方案二所需的总成本为 2142元.两种方案比较可知2163>2142，.选方案二完成 参考答案 实践活动 3.解：(1)如解图①，∠PMW即为所求接触角； ①在圆弧上取一点C,交界面与圆弧的交点为M,N,连接 MC.NC: ②分别作MC,NC的中垂线，交于点O,则点0为圆弧的 圆心： ③作射线OM,过点M作PM⊥OM,则PM为圆0的切线，故 ∠PMN即为所求； P/ 图① 图② 第3题解图 (2)变强； (3)∠CAD=2∠BAC,理由如下： 如解图②，连接OA,则OA=0B, ..∠ABC=∠OAB, AD为⊙0的切线，.OA⊥AD, ..∠OAB+∠BAD=90°， .·BC⊥AC,·.∠ABC+∠BAC=90°， ..∠BAD=∠BAC, ·.∠CAD=∠BAD+∠BAC=2∠BAC: (4:水滴孤的长度为1=L=元 1807=180, 可以根据上的大小进行判断，二越大，水滴越趋近于球 形，疏水性越强（答案不唯一）. 4.解：(1)由题图②可知，当小铝块下降10cm时，弹黄测力计 A的示数为2.8N,弹黄测力计B的示数为2.5N: (2)当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的 函数解析式为F拉力=kx+b(k1,b1为常数，且k1≠0)， 由题图②可知F拉力=kx+b,的图象经过(6,4)，(10,2.8)， 将(6,4)，（10,2.8)代入F拉力=k1x+b, 得66，=4；。解得{=03， （10k,+b,=2.8, （b=5.8. ∴.当6≤x≤10时，弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数 解析式为F拉力=-0.3x+5.8(6≤x≤10)； (3)M=0.6,n=1.6. 5.解：【探究一】三角形的任意两边之和大于第三边： 【探究二】点C在⊙0上.理由如下： ∠ACB=90°，0为AB的中点， .∴.OC=OA=0B, 点C在⊙0上； 【拓展应用】(1)如解图①，⊙0即为矩形ABCD的最小覆 盖圆； 0 第5题解图① (2)5;(3)2 数学 115