题型8 几何探究题-【一战成名新中考】2026数学真题分类分层练

题型八 几何探究题 类型1静态图形探究(2025年10烤，2024年7考，2023年16考) 1.[2025连云港]综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板ABCD的边AB、BC上分别取点E、F, 且AE=BF,AF交DE于点O.连接AC,过点F作FG⊥AC,垂足为G, 连接GD、GE,DE交AC于点P,GE交AF于点Q 【活动猜想】 (1)GD与GE的数量关系是 位置关系是 【探索发现】 (2)证明(1)中的结论； 【实践应用】 (3)若AD=3,AE=1,求QF的长； 【综合探究】 (4)若AD=3,则当AP= 时，△DPG的面积最小. 第1题图 2.[2025达州]综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割 成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系 探究发现：如图①，在△ABC中，AC=BC,P是AB边上一点，过点P 作PD⊥AC于D,PE⊥BC于E,过点A作AF⊥BC于F.连接CP,由 图形面积分割法得：SABc=S△APC+ ;则AF= 实践应用：如图②，△ABC是等边三角形，AC=3,点G是AB边上一 点，连接CG.将线段CG绕点C逆时针旋转60得CF,连接GF交BC 于P,过点P作PD⊥GC于D,PE⊥CF于E,当AG=1时，求PD+PE 的值 拓展延伸：如图③，已知AB是半圆O的直径，AC,BE是弦，AC=BE, P是AB上一点，PD⊥AC,垂足为D,AB=10,AD=2,BD=45,求 S△PAC+S△PBE的值 图① 图② 图③ 第2题图 真题分类分层练·数学 版权归一战成名新中考 类型2动点探究(2025年6考，2024年16考，2023年B考) 3.[2025甘肃省卷]四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点（点 D除外)，△EFG是直角三角形，EG=EF,点G在CD的延长线上， (1)如图①，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和 DG的数量关系，并说明理由； (2)如图②，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时， FE的延长线与BA的延长线交于点P,如果EF=EP,写出AE和DG 的数量关系，并说明理由； (3)如图③，在(2)的条件下，连接BF,写出BF和DG的数量关系， 并说明理由， D G D G D A(E) A 图① 图② 图③ 第3题图 85 4.[2025绥化]综合与实践 如图，在边长为8的正方形ABCD中，作射线BD,点E是射线BD上 的一个动点，连接AE,以AE为边作正方形AEFG,连接CG交射线 BD于点M,连接DG.(提示：依题意补全图形，并解答) 【用数学的眼光观察】 (1)请判断BD与DG的位置关系，并利用图①说明你的理由. 【用数学的思维思考】 (2)若DG=a,请你用含a的代数式直接写出∠CMB的正切 值 【用数学的语言表达】 (3)分类论设DE=x,正方形AEFG的面积为S.请求出S与x的 函数解析式.（不要求写出自变量x的取值范围）》 D M 第4题图 备用图 备用图 86 类型3折叠探究(2025年考，2024年考，2023年5考) 5[205广宽与长的比是5'（约为068）的矩形叫做黄金E形 现有一张黄金矩形纸片ABCD,长AD=√5+1.如图①，折叠纸片ABCD, 点B落在AD上的点E处，折痕为AF,连接EF.然后将纸片展开 (1)求AB的长； (2)求证：四边形CDEF是黄金矩形； (3)如图②，点G为AE的中点，连接FG,折叠纸片ABCD,点B落在 FG上的点H处，折痕为FP,过点P作PQ⊥EF于点Q.四边形 BFQP是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由. 图① 图② 第5题图 真题分类分层练·数学 6.[2025山西]综合与探究 问题情境：如图①，在△ABC纸片中，AB>BC,点D在边AB上，AD> BD.沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB'与BC平 行，且折痕与边BC交于点E,得到△DB'E,然后展平. 猜想证明：(1)判断四边形BDB'E的形状，并说明理由； 拓展延伸：(2)如图②，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的 对应点A'落在射线DB'上，且折痕与边AC交于点F,然后展平.连接 A'E交边AC于点G,连接A'F. ①若AD=2BD,判断DE与A'E的位置关系，并说明理由； ②分类讨论若∠C=90°，AB=15,BC=9,当△A'FG是以A'F为腰 的等腰三角形时，请直接写出A'F的长. D B' 42 E E 图① 图② 备用图 第6题图 7.[2025山东省卷]【图形感知】 如图①，在四边形ABCD中，已知∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°，AD= 2,AB=4. (1)求CD的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图①所示的纸片进行了折叠探究 在线段CD上取一点E,连接BE.将四边形ABED沿BE翻折得到四 边形A'BED',其中A',D'分别是A,D的对应点 (2)其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点D'恰好落在边BC上，延长A'D'交CD于点F,如图②.判断 四边形DBA'F的形状，并说明理由； ②乙：点A'恰好落在边BC上，如图③.求DE的长； (3)如图④，连接DD'交BE于点P,连接CP.当点E在线段CD上运 动时，线段CP是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明 理由 图① 图② A 图③ 图④ 第7题图 8.[2025吉林省卷]【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小 组研究了有一个内角为60°的平行四边形的折叠问题.其探究过程 如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB>AD,E为 边AD的中点，点F在边DC上，且DF=DE,连接EF,将△DEF沿EF 翻折得到△GEF,点D的对称点为点G.小组成员发现四边形DEGF 是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由. 【探究证明】取图①中的边BC的中点M,点N在边AB上，且BN= BM,连接MN,将△BMN沿MN翻折得到△HMN,点B的对称点为点 H.连接FH,GN,如图②.求证：四边形GFHN是平行四边形 【探究提升】©分类时论在图②中，四边形GFHW能否成为轴对称图 形.如果能，直接写出40 的值：如果不能，说明理由 AB B 图① 图② 第8题图 真题分类分层练·数学 版权归一战成名新中考 类型4旋转探究(2025年15考，2024年2考，2023年37考) 9.[2025辽宁](1)如图①，在△ABC与△DCB中，∠BAC=∠CDB,AC与 DB相交于点P,PB=PC,求证：△ABC≌△DCB; (2)如图②，将图①中的△DCB绕点B逆时针旋转得到△D'C'B,当 点D的对应点D'在线段BA的延长线上时，BC与AC相交于点M, 若AB=2,BC=3,∠ABC=60°，求CM的长； (3)如图③，在(2)的条件下，连接CC'并延长，与BD'的延长线相交 于点N,连接MW,求△AMN的面积. D D A A C M 图① 图② 图③ 第9题图 87 10.[2025齐齐哈尔]综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总 结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问 题，让我们共同体会几何模型的“数学之美” (1)【几何直观】如图①，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,在△ABC 内部取一点D,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线 段AD',连接BD,CD',则CD'与BD的数量关系是 ;∠AD C与∠ADB的数量关系是 (2)【类比推理】如图②，在正方形ABCD内部取一点E,使∠CED= 90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE',连接E'B,延 长E'B交DE的延长线于点F,求证：四边形CEFE'是正方形： (3)【深度探究】如图③，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,在其内部取 一点E,使∠CED=90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90得到线段 延长CE'至点G,使C6=连接GB,延长GB交Db的延长 于点F,连接AF,若AF=2,则BF= (4)【拓展延伸】在矩形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接AE, 将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE',连接DE',若AD= 3√2，AB=√6，则DE'的最小值为 B 图① 图② 图③ 备用图 第10题图 88 11.[2025重庆]在△ABC中，AB=AC,点D是BC边上一点（不与端点重 合)，连接AD.将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE,连 接DE. (1)如图①，a=∠BAC=60°，∠CAE=20°，求∠ADB的度数； (2)如图②，a=∠BAC=90°，BD<CD,过点D作DG⊥BC,DG交CA 的延长线于G,连接BG.点F是DE的中点，点H是BG的中点，连 接FH,CF.用等式表示线段FH与CF的数量关系并证明； (3)如图③，∠BAC=120°，a=60°，AB=8,连接BE,CE.点D从点B 移动到点C过程中，将BE绕点B逆时针旋转60°得线段BM,连接 EM,作MW⊥CA交CA的延长线于点N.当CE取最小值时，在直线 AB上取一点P,连接PE,将△APE沿PE所在直线翻折到△ABC所 在的平面内，得△QPE,连接BQ,MQ,NQ,当BQ取最大值时，请直 接写出△MNQ的面积. 图① 图② 图③ 第11题图 真题分类分层练·数学 类型5类比探究(2025年7考，2024年考，2023年8考) 12.[2025江西]综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊 四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究， 特例研究 在正方形ABCD中，AC,BD相交于点O (1)如图①，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k 倍得到，此时旋转角的度数为 ,k的值为 (2)如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放大得到 △AEF(点O,B的对应点分别为点E,F),使得点E落在OD上，点 P若在C上求的慎： 类比探究 (3)如图③，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，O是AB的垂直平分线 与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为αx,并放缩得 到△AEF(点O,B的对应点分别为点E,F),使得点E落在OD上， BE 点F落在BC上.猜想的值是否与α有关，并说明理由； OE (4)一题多解若(3)中∠ABC=B,其余条件不变，探究BA,BE,BF 之间的数量关系（用含B的式子表示）. 图① 图② 图③ 备用图 第12题图时，在对角线OB上存在一点E,使得△MNE是含30°角的 等腰三角形，E(0,0),5,(35,E,9-35,35-3 2’2 E,(O) M(Q) 第12题解图② 题型八几何探究题 1（1)解：相等，垂直： (2)证明：如解图①，过点G作GM⊥BC于点M,过点G作 NT⊥GM分别交AB、CD于点T、N, D AOE B 第1题解图① .四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠ACB=45°，∠B=∠BCD=90°， ..∠TGM=∠B=∠GMB=∠GMC=∠BCD=∠NGM=90°， .四边形TBMG为矩形，四边形GMCW为正方形， .∴.GN=GM=CM=CW=BT,∠CWT=∠BTG=90°，BM=GT ..∠DNG=∠GTE=90°， ∴.DC-CW=BC-CM,即DN=BM=GT, FG⊥AC,∠ACB=45°， ..∠ACB=∠CFG=45°， CG=GF,CM=MF,(三线合-) ∴.CM=MF=BT=GN, ·.·AE=BF,∴.AB-AE-BT=BC-BF-MF .ET=GN. ADNG兰AGTE(SAS),(-线三垂直全等) DG=GE,∠NDG=∠TGE 又←NDG+∠NGD=90 ∠TCE+∠NGD=90° ∠DGE=90°.DG⊥GE; (3)解：.四边形ABCD是正方形 .AB=AD,∠DAE=∠ABF=90°， 又·AE=BF ADAE岁△ABF(SAS,(十字模型全等) ∠ADE=∠BAF,AF=DE ∠ADE+∠DEA三∠BAF+∠DEA=90°， ∠40E=90°AF4DE: 在Rt△DAE中，AD=3,AE=1, AF=DE=√AE+AD=√+3=√10， 2A0DE= AE·AD 2 AA 参考答案 1 40x 10=- ×1x3, 1 10,(等面积法 3√/10 .A0= ÷在B△0AE中，0E=VAE-A0=,1-(30: 10 10 10 由(2)可知DG=GE,DG1GE, .∠GED=45 .△EOQ为等腰直角三角形， ·00=06=0 10 ÷0F=AF-A0-00=1030Vo310 1010 5； (4)32-3.【解法提示】如解图②，构造ADPC的外接圆 ⊙H,连接DHPH,CH,过点H作HR LAC于点R,设⊙H的 半径为r,过点D作DT LAC于T,(关键点：∠GDP是定值， 点D到AC的距离即△DPG的边PG上的高是定值，可构造 定角定高辅助圆)由(2)可知DG=GE,DG⊥GE,.∠GDP= 45°，.∠PHG=2∠GDP=90°，HP=HG,△HPG是等腰 直角三角形，HR=PR=GR=PG-PH2, 21 V22…PG=2 .·正方形ABCD中，AD=3,△ACD是等腰直角三角形，·.AC 2AD=3.DT-AT-CT=7ACS.0mPG c. 2=4PG,心当G最小时，ADPG的面积 最小PG=2r·当r最小时，ADPG的面积最小，DH+ ，-(1，受)当DH+R最小时，△DPG的商积 R=r 最小当点D,HR三点共线，且DK4AC时，DH+最小 此时，点T与点R重合，（关键点：利用定角定高模型，将面 积最值间题转化成线段最值问题)则此时DR=(1+ 2)r 3,解得-3-3，PR=,6=35 2 2 AP=AR-PR= 3√26-3√2 AT-PR= =32-3. 22 D E 第1题解图② 2.解：探究发现：SABc,PD,PE; 实践应用：如解图①，过点C,F分别作AB,CG的垂线，垂足 分别为M,N, ·△ABC是等边三角形，AC=3, 数学 105 .'.AB=AC=3, ·CM⊥AB, ·AM=BM=3 ,∠ACM=∠BCM=30, CM=/3AB= 2 3 1 .·AG=1,∴.MG=AM-AG= 2 -1-2 ,33 :将线段CG绕点C逆时针旋转60得C℉， .∴.CG=CF,∠GCF=60° .△CGF是等边三角形 CW=GN=2CG=Z,∠CFN=∠GFN=30, 1 FN=/3CN-21 2 由“探究发现”可得，PD+PE=FN=2I 2 C D G M 第2题解图① 第2题解图② 拓展延伸：如解图②，延长AC,BE交于点T,过点P作PS⊥ BE于点S,连接BC, 设CD=x,则AC=BE=2+x, AB是半圆O的直径， .∴.∠ACB=90°， AB=10,AD=2,BD=45, 在Rt△ABC中，BC2=AB2-AC2=10-(2+x)2, 在Rt△BCD中，BC2=BD2-CD2=(4V5)2-x2, .(45)2-x2=102-(2+x)2,解得x=4, .AC=BE=6,.BC=√AB2-AC=√102-6=8， AC=BE,..AC=BE,..AE=BC .∠ABT=∠BAT,.TA=TB .由“探究发现”可得，PD+PS=BC=8, 1 1 1 Sme+=2AC·PD+2BE,PS=2AC·(PD+PS)= 2×6x8=24 3.解：(1)BF=DG,理由如下： :四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠BAD=90°， △EFG是直角三角形，EG=EF,∠FEG=90°， 当点E与点A重合时，∠FAG=90°=∠BAD, 106 参考名 ∴.∠DAG=∠BAF=90°-∠DAF, 又.AB=AD,AG=AF, .△ADG≌△ABF(SAS),.BF=DG: (2)AE=DG.理由如下： .·四边形ABCD是正方形 ∠ADC=∠DAB=90°，CD/∥BA, :FE的延长线与BA的延长线交于点P, .∠PAE=∠EDG=90°，∠P+∠AEP=90°， ∠DEF+∠DEG=∠FEG=90°，∠AEP=∠DEF, .∴.∠P=∠DEG, EG=EF.EF=EP...EG=EP. 1∠PAE=∠EDG=90°， 在△APE和△DEG中 ∠P=∠DEG, EP=GE. AEAP兰AGDE,(-一线三垂直全等) ..AE=DG; (3)BF=5DG.理由如下： D 由(2)可知，△APE≌△DEG, .AE=DG.AP=DE. 如解图，过点F作FH⊥AB于 点H, A H 则∠FHB=∠FHA=90 第3题解图 =∠PAE, :由(2)知，EG=EF=EP, AE为△PHF的中位线， .HF=2AE.PA=AH. AP=DE,.'.DE=AH, 又：AD=AB,.AE=BH, 在Rt△BHF中，BF=√IF+BH=√(2AE)+(AE)T= 5AE. AE=DG,BF=√5DG 4.解：(1)BD⊥DG. 理由：四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， ·AD=AB,AG=AE,∠DAB=∠EAG=90°，∠ADB=∠ABD =45°， ·.'∠DAB=∠DAE+∠EAB,∠EAG=∠DAE+∠GAD, ..∠EAB=∠GAD, AG=AE 在△ADG和△ABE中， ∠GAD=∠EAB、 AD=AB. .∴.△ADG≌△ABE(SAS), ∴.∠ADG=∠ABE=45°， .∴.∠GDB=∠ADG+∠ADB=90°，∴.BD⊥DG; (2)24+8:【解法提示】如解图O,连接4C交BD于点0， 8 四边形ABCD是正方形，.AC⊥BD,BD⊥DG,.DG∥AC, .△DMGn△OMC, =正方形的边长AB=8, AC=BD=DAB=85,0D=0C=2BD=45,设MD=L,则 0M=42-t,DG=a,. a 4v2a 4242-t a+42 案·数学 .'tan∠CMB=tan∠DMG MD an∠CwB=2a+8 DG a 图① 图② 第4题解图 (3)当点E在对角线BD上时，如解图②，过点E作EN⊥AD 于点N, .DE=x,∠ADB=45° DN-EN- 2,AW=8 2, 在R△ANE中，AB=EN+AN=( 2)+(82 )2=2 82x+64 .S=AE2=x2-82x+64, 当点E在BD上，点F在CD上时， 如解图③，过点E作EN⊥AD于点N, .·DE=x,∠ADB=45°， ·DN=EN= 2t,4W8 2t, ·在△AE中，AE=EW+W=( 2)+(8 x)2=x2 2 82x+64 S=AE2=x2-82x+64, G 图③ 图④ 第4题解图 当点E在对角线BD的延长线上时 如解图④，过点E作EN⊥AD交AD的延长线于点N, .·DE=x,∠ADB=45° DN-EN= 2*AN-AD+DN-82 ￥， 六在R△ANE中，AE2=ENP+AP= 2)+(8+ 2 2)x2+ 82x+64 ..S=AE2=x2+8√2x+64 综上所述，S与x的函数解析式为S x2-82x+64, (x2+82x+64. 参考答案 5.（1)解：矩形ABCD是黄金矩形，AD=√5+1， B5-1 AD 2 AB=5x5+1)=2: 2 (2)证明：由折叠的性质得AB=AE,∠B=∠AEF, .·四边形ABCD是矩形 ∠BAE=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD,AD=BC=√5+1， ..∠BAE=∠B=∠AEF=90P .四边形ABFE是矩形， .·AB=AE 四边形ABFE是正方形， .AB=BF=EF=AE 由(1)知AB=2, .AB=BF=EF=AE=2, DE=CF=√5+1-2=√5-1， .·∠C=∠D=∠DEF=90°， .四边形CFED是矩形， nm2停- 四边形CDEF是黄金矩形； (3)解：四边形BFQP是黄金矩形.证明如下： .·PO⊥EF,四边形ABFE是正方形 ∴.∠B=∠BFE=∠PQF=90°， 四边形BFQP是矩形， 由(2)知AB=BF=AE=EF=2, G为AE的中点，.AG=EG=1, .FG=√EG+EF=√+2=√5 如解图，连接PG, 第5题解图 由折叠的性质得FH=FB=2,BP=PH,∠PHF=∠B=90°， 设BP=PH=x,则AP=2-x, :S△iPG+S△PBr+S△PGF=S佛无ABG, 1 1 2×1x(2-)+2x2+ 5x=×(1+2x2 解得x=√5-1， .BP=√5-1， BP√5-1 .四边形BFQP是黄金矩形. 6.解：(1)四边形BDB'E是菱形.理由如下： 由折叠的性质可得BD=B'D,BE=B'E,∠B'DE=∠BDE, B'D//BC. .∠B'DE=∠BED, ∴.∠BDE=∠BED, .BD=BE, 数学 107 .BE=BD=B'D=B'E. .四边形BDB'E是菱形： (2)①DE⊥A'E.理由如下： 由(1)知四边形BDB'E是菱形， .BD=B'E=B'D, 由折叠的性质得到AD=A'D. .·AD=2BD .A'D=2BD=2B'D=2B'E, .'B'D=A'B'=B'E, .∠1=∠2，∠3=∠4. .·∠1+∠2+∠3+∠4=180° .∠2+∠3=90°，即∠DEA'=90°， .DE⊥A'E; ②4"F的长为5或【解法提示】∠C=90,AB=15,BC =9,.AC=√AB2-BC=12,当△A'FG是以A'F为腰，A'G 为底的等腰三角形时，如解图①，延长A'F交AB于点H,设 AC,AD交点为M,则FG=A'F,·∠C=90°，A'D∥BC, ∠AMD=∠C=90°，.∠AMA'=90°，由折叠的性质得AD= A'D,AF=A'F,∠A=∠DA'F,.·∠AFH=∠A'FG,·.△AHF≌ △A'MF(ASA）,·.∠AHF=∠AMA'=90°，HF=FM,AH= AM,LAELA△AFHO△ABC,BEC-·HE: AH:AF=BC:AC:AB=3:4:5 HF=FM=3x,AH=A'M=4x AF=A'F=5x,.AM=AF+FM=8x,A'D∥BC,∴△AMD △4CB,A-4D即-AD, AC-AB 12-15 AD=10x.:.BE=BD=AB AD=15-10x,..CE=BC-BE=10x-6,FG=A'F=5x,..MG =FG-FM=2x,..CG=AC-AM-MG=12-8x-2x=12-10x,. 4D/c,△M0△Bucw-答6 4x 2x 12-10 ,解得x=1,A'F=5x=5; D 图① 图② 第6题解图 当△A'FG是以A'F为腰，FG为底的等腰三角形时，如解图 ②，则A'F=A'G,同理得HF:AH:AF=BC:AC:AB=3:4:5,HF FM,AH=A'M,AF=A'F,HF=FM=3y.AH=A'M=4y,AF =A'F=5y,∴.AM=AF+FM=8y,.A'D∥BC,∴.△AMD △4CB…光0会-治A0=10能=0=AB AD=15-10y,.CE=BC-BE=10y-6,△A'FG是以A'F为 腰FG为底的等腰三角形，A'M⊥AC,.GM=FM=3y,FG= GM+FM=6y,..CG=AC-AF-FG=12-11y,.A'D//BC,. 108 参考答 A'M MG 4y 3y △4'MG△BCG,C正CC∴1062m解得y 33 综上F的长为5成 374'F=5列=37 7.解：(1).·∠BAD=90°，AD=2,AB=4, .BD=√2+4=25， ,∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°， ·AD∥BC,∴.∠ADB=∠DBC, ∴.△ADB∽△DBC, AD AB 2 4 BD-CD25 CD' .CD=45; (2)①四边形DBA'F是矩形.理由如下： 由折叠的性质得∠A=∠A'=90°，∠ABD=∠A'BD, .∠ABD+∠DBC=∠ABC=90° ∴.∠A'BD=∠A'BD'+∠DBC=90° ∴.∠A'BD=∠A'=∠BDC=90°， .四边形DBA'F是矩形； ②如解图①，延长AD和A'D'相交于点Q,连接BQ, 第7题解图① 由折叠的性质得∠A=∠BA'D'=90°，∠ABD=∠A'BD', ∠EBD=∠EBD', .·点A'恰好落在边BC上」 .·∠ABA'=∠ABC=90°， .四边形ABA'Q是矩形， .AB=A'B=4, 四边形ABA'Q是正方形， ·.·∠ABE=∠ABD+∠EBD=∠A'BD'+∠EBD'=∠A'BE= ∠4Br=2x90=45 1 .点E在对角线BQ上， .DQ=AQ-AD=2,BC=√BD+CD=√(25)+(4V5) =10, ,四边形ABA'Q是正方形， .AQ∥CB .△DQE∽△CBE, DE DQ 2 1 CE-BC-10-5 、25 DE=6CD=3 1 6. (3)存在，线段CP的最小值为√85-5.【解法提示】由折叠 的性质得∠EBD=∠EBD',BD=BD',·BE是线段DD'的垂 直平分线，.∠BPD=90°，.点P在以BD为直径的⊙O上， 如解图②，连接0C,OP,.CP≥0C-0P,即点P在0C上时，线 段CP存在最小值，：0C=√OD+CD=√(5)+(45)= 案·数学 √85，.线段CP的最小值为85-√5. 4 第7题解图② &.【探究发现】解：四边形DEGF是菱形；【解法提示】将 △DEF沿EF翻折得到△GEF,.DE=GE,DF=GF,DF= DE,·GE=DE=DF=GF,.四边形DEGF是菱形. 【探究证明】证明：将△BMN沿MW翻折得到△HMW, .·.BN=HN,BM=HM. ·.BN=BM,∴.HN=BW=BM=HM, .四边形BMHN是菱形，NH∥BC, E为边AD的中点，M为边BC的中点， 1 1 DE=2AD,BM=2BC, :四边形ABCD是平行四边形， ·.AD=BC,AD∥BC .DE=BM,AD//NH. .·四边形DEGF是菱形 .DE=FG,FG∥AD, ∴.FG=DE=BM=HN,FGNH. .四边形GFHN是平行四边形： 【探究提升)部：四边形GHN能成为轴对称区形，侣的值为 分或号【解法提示】由【探究证明】知，四边形6N是平 行四边形，若平行四边形GFHW为轴对称图形，则四边形 GFHW是矩形或菱形，当四边形GFHN是矩形时，过点G作 GK⊥AB于点K,过点E作ET⊥AB于点T,如解图①，：∠A =60∠AB7=30An=74E,设A=x,则46=2， ET=√AE-AT=√3x=GK,:E为AD中点，.AD=2AE= 4x,DE=AE=2,四边形DEGF是菱形，.EG=DE=2x= TK,.四边形GFHN是矩形，.∠GNH=90°，.·AD∥NH,∠A =60°，∴.∠HNB=∠A=60°，.∴.∠GNWK=180°-∠GNH ∠HNB=180°-90°-60°=30°，.KW=√3GK=√3×√3x=3x, 1 BN=BM-2 BC-2AD-2*AB=AT+TK+KN+BN=*+2 +3x+2x=8x, AD 4x 1 AB 8x =2 D G A K B 第8题解图① 当四边形GFHN是菱形时，延长FG交AB于W,如解图②， 设AD=,则DE=DF=EC=GF=BN=BM=HM=NH=7y, 四边形GFHN是菱形，∴.GF=FH=NH=GN= 2',·EGCD 参考答案 ∥AB,GF∥AD,.四边形AEGW是平行四边形，∠GWN=∠A =60°，.AW=EG= 2,Gw=A6= 1 F2,GW=GW,△GWN 是等边三角形，.WN=GW= 1 2,AB=AW+WN+BN=- 1 113.ADy2 2+2=2心AB3 综上所述，四边形CFHN能 成为辅对图形，的值为交 D G 第8题解图② 9.(1)证明：PB=PC, .∠PBC=∠PCB,即∠DBC=∠ACB, .·∠BAC=∠CDB,BC=CB, ..△ABC△DCB(AAS); (2)解：由(1)和旋转的性质得△ABC兰 △D'C'B .∠BAC=∠C'D'B,AB=D'C',AC=BD', 如解图①，过点A作AE⊥BC于点E, .·∠ABC=60°，.∠BAE=30, B E AB=2,BC=3, 第9题解图① .BE-AB-1.AE-AB-CE-BC-BE-2, 2 .BD'=AC=√AE+CE=√7， .∠BAC=∠CD'B,.AM∥CD', ·.△BAM△BD'C, 。“哈兴 万2， ·AM=47 CM=AC-AM=3 7； (3)解：设∠BC'C=&,由旋转的性质得BC'=BC,则∠BCC'= ∠BC'C=a, .·∠D'CB=∠ABC=60°，∠NBC+∠BCW+∠BNC=180°， ∠BC'C+∠BC'D'+∠D'C'N=180°， .∠BWC=120°-a,∠D'C'N=120-, .∠BNC=∠D'C'N=120°-a, .AM∥C'D', .∠ANC=∠ACW=∠D'C'N, ∴.AN=AC=√7， 如解图②，过点C作CF⊥BW于点F, .∠ABC=60°，.∠BCF=30°， .·BC=3, 2,C3 BF= 。35 -BC= 2 2, B AW·CF= 1 ×7x33 1 第9题解图② =321 4 7,cM3 ·AM=4 ,AM:CM=4:3, 数学 109 4 3√2 7 10.(1)解：相等（或CD'=BD):相等（或∠AD'C=∠ADB):【解 法提示】将AD绕点A逆时针旋转90°得到AD', ∠DAD'=90°，AD=AD',:∠BAC=90°，∴.∠BAC-∠DAC= ∠DAD'-∠DAC,即∠DAB=∠DAC,又AB=AC,·△DAB ≌△D'AC(SAS),.CD'=BD,∠AD'C=∠ADB. (2)证明：.四边形ABCD是正方形 .∠DCB=90°，BC=DC, ·将CE绕点C逆时针旋转90得到CE .∠ECE'=90°，CE=CE', .·∠DCB=∠ECE'=90°， .∠DCB-∠BCE=∠ECE'-∠BCE,即∠DCE=∠BCE', .·.△BCE'≌△DCE(SAS) .∴.∠BE'C=∠DEC=90°， .·∠CED+∠CEF=180°，.∠CEF=90°， .∴.∠BE'C=∠ECE'=∠CEF=90° .四边形CEFE是矩形， 又：CE=CE',四边形CEFE是正方形； (3解，可g解法示1特0绕点C道时计旋精 90得到CE∠ECE=90°，CE=CE, CG 4 CG ,四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=4,∠DCB=90 BC 4 CG BC 4 CD=AB=3 CD-3CE-CD-3DCB=LRCE =90°，·.∠DCB-∠BCE=∠ECE'-∠BCE,即∠DCE= ∠BCE,.△BCG△DCE,·.∠BGC=∠DEC=90°，： ∠CED+∠CEF=180°，∴.∠CEF=90°，.∠BGC=∠ECG= ∠CEF=90°，.四边形CEFG是矩形，如解图①，连接AC BD交于点O,连接OF,CF,则O是AC,BD的中点，AC= BD在△DBF中.0F=BD0F=2AC=0A=0C= OD=OB,.点A,F,B,C,D共圆，.∠AFC=90°，在 Rt△ABC中，AC=VAB+BC=5,∴.在Rt△AFC中，FC= √AC-AF=√2i,AD=BC,.AD=BC,.∠CFG= ∠AG0.s∠CG=m∠ACD-2气子在m△FcC 中，G=r·we∠0rc=3g,cG=vm-E S,在R△BCC中，BG=VBC-CG=8 4√2 ,BF= 3√2ī8 55 图① 图② 第10题解图 110 参考答 (4)解：【解法提示】如解图②，根搭题意作图后，连接 AC,BD交于点O,连接EE',OE,四边形ABCD是矩形， .∠BAD=90°，A0=0B,·AD=32,AB=√6，.AC=BD= √AB+AD=26,.A0=0B=AB=√6，.△A0B是等边三 角形，则∠OAB=60°，.·AE绕点A逆时针旋转60°得到 AE',.AE=AE',∠EAE=60°，.∠OAB=∠EAE=60°， ∠OAB-∠OAE=∠EAE'-∠OAE,即∠E'AO=∠EAB,又 OA=BA,E'A=EA,..△E'AO≌△EAB(SAS),.∠AOE'= ∠ABE=90°，.E在射线OE上运动，且EO⊥AC,.当 DE⊥OE时，DE取得最小值，.·∠AOB=60°，∴.∠AOD= 120°，又∠A0E'=90°，.∠E0D=30°，.当DE'⊥0E 时DF1 OD=-0B=S,即DE'的最小值为6 2 2 2 11.解：(1)AB=AC,a=∠BAC=60°， .△ABC是等边三角形，∠DAE=60°， .∴.∠ACB=60°， .∠DAC=∠DAE-∠CAE=60°-20°=40°， .∠ADB=∠DAC+∠ACB=100°； (2)HF=√2CE.理由如下： 如解图①，连接CE,DH, .a=∠BAC=90P,AB=AC, △ABC为等腰直角三角形， .∠ABD=∠ACB=45°， 由旋转知AD=AE,∠DAE=90°， .∴.∠BAC=∠DAE=90° .∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, 第11题解图① .∴.∠BAD=∠CAE, .·.△BAD≌△CAE(SAS), .BD=CE,∠ABD=∠ACE=45°， .∴.∠DCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°. .DG⊥BC,.∠CDG=∠BDG=∠DCE=90°， ∠ACB=45°，.∠CGD=∠ACB=45°， .DG=DC,.△BDG≌△ECD(SAS), ·.∠BGD=∠EDC,BG=ED, 点H是BG的中点，∠BDG=90°， DH=HG=6c,∠HG=∠A6D, ..∠HDG=∠EDC,..∠HDG+∠GDE=∠EDC+∠GDE, .∠HDF=∠GDC=90°， 点F是DE的中点，∠DCE=90°， .DF=CF=2DE.DH=DF, .△HDF是等腰直角三角形， .HF=√2DF=√2CF,即HF=√2CF; (3)10w3+8V2T 71 》关键点拨 点D在BC上运动，求出点E的运动轨迹→利用“垂线段最 短”求出CE的最小值→由翻折得到点Q的运动轨迹（定点 定长辅助圆)→利用“点圆最值模型”得到B、E、Q三点依 次共线时BQ取最大值→作辅助线构造手拉手全等和8字 相似，运用全等的判定与性质、含30°角的直角三角形、勾 股定理、相似的判定与性质等知识点求出MN和MW边上 的高，从而求出△MNQ的面积. ·数学 【解法提示】如解图②，取BC的中点U,AC的中点V,连接 AU,EV,UV,AB=AC=8,∠BAC=120°，U为BC的中点， 三∠ACU=30,∠CAU=7∠BAC=60,AU L BC,∴AU 2AC=4,V是AC的中点，AV=2AC,AU=AV,由旋 转知AD=AE,∠DAE=60°，.△ADE是等边三角形，∠DAE =∠CAU=60°，∴.∠DAU=∠EAV,.∴.△ADU≌△AEV (SAS),.∠AVE=∠AUD=90°，由点V为固定点，∠AVE= 90°，得点E在过点V且垂直于AC的直线上运动.当CE⊥ 直线EV时，CE取得最小值，此时点E和点V重合时，点D 与点U重合，即D为BC的中点，CE的最小值为2AC=4 第11题解图② 如解图③，由折叠的性质可知AE=QE,.点Q的轨迹为以 点E为圆心，4为半径的圆. D 第11题解图③ 如解图④，当B、E、Q三点依次共线时，BQ取最大值，连接 MA,过点B作BS⊥CN于点S,过点Q作QR⊥CN于点R, 由旋转的性质知BM=BE,∠MBE=60°，∴.△BEM是等边 三角形，.∠BEM=60°，BE=EM,·△ADE是等边三角形， .∠AED=60°，AE=DE,.∠BEM=∠AED=60°，∴.∠AEM =∠DEB,-△MAE兰BDE(SAS),(手拉手全等).MA= MAE=L BDE.AD=2 AB=4,BD=3AD=4 MA=BD=4√3，.E为AC的中点，.DE=CE,.∴∠EDC= ∠ACB=30°，.∠MAE=∠BDE=180°-∠EDC=150°，. ∠MN=180P-∠M4E=30PMN=2M=25,4N= 1 √3MN=6,:∠BAS=180°-∠BAC=60°，.∠ABS=30°， AS= 2AB-4.BS=3AS=4/.SE=AS+AE=4+4=8. BE=√BS+SE=47.:BS⊥CW,QR1CN,.∠BSE= ∠QRE=90°，又：∠BES=∠QER,△BESAQER,(8字 有能欲总解得假=识 NR=NA+ AE+ER=10+87 7,MN L CN.ORL CN MN∥QB,即 AMNQ的边MW上的高就等于WR,(两条平行线间的距离 参考答案· 处处有华5w=2wNR=X2x(10:8) 1 7)=10 ,8②T 7 N 第11题解图④ 12.解：(1)45°；2；【解法提示】四边形ABCD是正方形， ∠0AB=LDAC=45,AD=20A旋转角为45，k=0=V2 OA (2)根据题意，得△AEF∽△AOB, AF AE :.∠EAF=∠0AB,ABAO :.LFAB=∠EA0,AEAO AF AB .△AFB∽△AEO,. BF AB OE AO .·∠OAB=45°，∠A0B=90°， …8运 .0 (3)以的值与a无关理由如下： OE 同理(2)可证△AFB∽△AE0, BF AB ·0EA0 在菱形ABCD中，∠ABC=60°，.∠AB0=30°， :点O是AB的垂直平分线与BD的交点， ∴.A0=B0,∠BA0=∠AB0=30°， 如解图①，过点0作OG⊥AB于点G,则AB=2BG, cos ABO= BGBG 0B0A=c0s30 D 2, …58, AO 第12题解图① 02的值与&无关； B (4)解法一：同理（3)可正∠B10=￡，B48-2s 2’0EA0 21 ·BF=0E·2cos￡，BA=0B·2cos 2 2 BE=OE+OB, .BF+BA=OE·2cos +0B·2os 2 =2(OE+0B)c0s 2 2 =2BEcos E,即BF+BM=2 BEcos-2 B 数学 111 》一题多解 解法二：如解图②，过点E分别作BA,BC的垂线，垂足分别 为点M,N, :点O是AB的垂直平分线与BD的交点，.AO=BO, BD平分∠ABC,.EM=EN,D ·△AEF由△AOB旋转放缩得到， .EA=EF. ∴.Rt△AEM≌Rt△FEW(HL), ∴.AM=FN, AM .·BE=BE,EM=EW 第12题解图② .Rt△MBE≌Rt△NBE(HL), .BM=BN. .BA+BF=AM+BM+BN-NF=BM+BN=2BM. 由题可知，∠AB0=号在R△B5N中，RW=B服 B 2 :BA+BF=2BM=2BEcos2 解法三：：△AOB绕点A旋转并放缩得到△AEF, ∴.∠AEF=∠AOB,EA=EF, D :点O是AB的垂直平分线 与BD的交点， ∴.∠OAB=∠OBA=∠OBC, :·∠AOB+∠ABO+∠BAOB AH =180°， 第12题解图③ .∠AEF+∠ABF=180°， ∴.∠EAB+∠EFB=180° 如解图③，将△BEF绕点E顺时针旋转，使点F的对应点 为点A,设此时点B的对应点为点B, 则∠EAB'=∠EFB,EB'=EB,AB'=FB .∠EAB+∠EAB'=180°， .点B,A,B在同一直线上， ∴.BA+BF=BB', 过点E作EH⊥AB于点H, .BA+BF=BB'=2BH. cos∠EBH=BH BEBH=BEcosL EBH=BEeos 2 B ÷.BA+BF=2BH=2 BEcos-2 题型九阅读理解题 1.B【解析】由题意知，3+m=-1,5+n=2,解得m=-4,n=-3. 2.-17≤P<-7【解析】小：G(x,y)=x+3y,.关于a的不等式 组G(a,1-2a)≥-2 a+3(1-2a)≥-2① 即 ,解不等式① (G(-2a,1+4a)>p' (-2a+3(1+4a)>P② P-3 得：a≤1，解不等式②得：a> 10不等式组有3个整数解， .整数解为-1,0,1，.-2≤ P-3 10<-1,解得-17≤P<-7. 号如宫哈品出-品 1 1 1144=44=4+ 2 2 112 参考答 11.1 21+31.1 44+环由题意，当k=3=2x1+1时，子6262 当=5321时号-背-当1=261时号 =1+71,1 1 2828+4,…,当k=2n+1时，6=（2n+1)nt1+n+1:又 k-1 21 1 .n= 2对于任意奇数(62)，方4+D中 22 4.1919:3782【解析】设四位数M=abcd,:要求最小的“十 全数”.a=1,c=1,b=10-1=9,d=10-1=9,.最小的 “十全数”是1919：一个“十全数”M=abcd,.a+b=c+d= 10,.b=10-a,d=10-c,.M=abcd=1000a+100(10-a)+ 10c+10-c=900a+9c+1010,.M'=dcba=1000(10-c)+100c +10(10-a)+a=-9a-900c+1010,F(M0）=M-M 909 900a+9c+1010-(-9a-900c+10100) -=a+c-10,G(M)= 909 M+M_900a+9c+1010+(-9a-900c+10100)=81a-81c+ 11 11 4F(M)+G(M)+15 1010. 13 4(a+c-10)+81a-81c+1010+15_85a-77c+985=6a-6c+76 13 13 ,7a+c-3ab+cd_10a+10-a+10c+10-c_9a+9c+20 13’17 17 17 =a+c+1 8a+8e-34F(M)+C(M)+15与ab+d均是整数，.7a+ 17， 13 17 c-3能被13整除，8a+8c-3能被17整除，：1≤a≤9,1≤c≤ 9,∴.7≤7a≤63，-2≤c-3≤6，.5≤7a+c-3≤69，.7a+c-3 的值可以为13,26,39,52,65，依次代入可得，当a=3,c=8 时，7a+g3=2.+35均是整数，符合题意，二6=10-a 17 =7,d=10-c=2,·.满足条件的M的值是3782. 5.D【解析】根据已知，点P,(2,2)横、纵坐标之和除以3所 得的余数为1，继而向上平移1个单位得到P,(2,3),此时 横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个 单位得到P,(1,3),此时横、纵坐标之和除以3所得的余数 为1，又向上平移1个单位…，因此发现规律为若“和点” 横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个 单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16(-1, 9),则按照“和点”Q6反向运动16次即可，可以分为两种情 况：①Q6反向运动向右平移1个单位得到Q1s(0,9),此时 横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，则Q1s应向右平移1 个单位得到Q6,运动方向矛盾，故不成立；②Q1。反向运动 向下平移1个单位得到Qs(-1,8),此时横、纵坐标之和除 以3所得的余数为1，则Q应向上平移1个单位得到Q6, 故符合题意，点Q6先向下平移，再向右平移，当平移到第 15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标 为(-1+7,9-8)，即(6,1)，.最后一次若点Q向右平移则 Q点坐标为(7,1)，若点Q,向左平移则Q点坐标为(5,1). 案·数学