题型7 二次函数与几何图形综合题-【一战成名新中考】2026数学真题分类分层练

题型七二次函数与几何图形综合题 类型1线段问题(2025年17考，2024年2考，2023年46考) 1.[2025北京]在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经 过点0和点A(3,3a). (1)求c的值，并用含a的式子表示b; (2)过点P(t,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M,交直线y=ax于 点N ①若a=1,t=4,求MN的长； ②分类时论已知在点P从点O运动到点B(2a,0)的过程中，MW 的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围 2.[2025德阳]如图①，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=-x2+bx+ c的图象与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C. (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，连接BC,过点C作CD⊥BC与抛物线相交于另一点D. ①求点D的坐标； ②如图③，点E,F为线段BC上两个动点（点E在点F的右侧），且 EF=√2，连接OF,DE.求OF+DE的最小值 yt B B A B 70 图① 图② 图③ 第2题图 真题分类分层练·数学 版权归一战成名箭中考 类型2面积问题(2025年10烤，2024年27考，2023年35考) 3.[2024济南]在平面直角坐标系x0y中，抛物线C1:y=x2+bx+c经过点 A(0,2),B(2,2),顶点为D;抛物线C2:y=x2-2mx+m2-m+2(m≠1)， 顶点为Q. (1)求抛物线C,的表达式及顶点D的坐标； (2)如图①，连接AD,点E是抛物线C,对称轴右侧图象上一点，点F 是抛物线C,上一点，若四边形ADFE是面积为12的平行四边形，求 m的值； (3)如图②，连接BD,DQ,点M是抛物线C1对称轴左侧图象上的动 点（不与点A重合），过点M作MNDQ交x轴于点N,连接BN,DN, 求△BDN面积的最小值 0 Q 图① 图② 第3题图 81 4.[2025苏州]如图，二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于A,B两 点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,作直线BC,M(m,y), V(m+2,y2)为二次函数y=-x2+2x+3图象上两点， (1)求直线BC对应函数的表达式； (2)一题多解试判断是否存在实数m使得y1+2y,=10.若存在，求 出m的值；若不存在，请说明理由； (3)已知P是二次函数y=-x2+2x+3图象上一点（不与点M,N重 合)，且点P的横坐标为1-m,作△MNP.若直线BC与线段MN,MP 分别交于点D,E,且△MDE与△MNP的面积的比为1：4，请直接写 出所有满足条件的m的值， M B A/0 第4题图 备用图 82 类型3角度问题(2025年2考，2024年16烤，2023年21考) 5.[2025成都]如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2+bx过点 (-1,3),且对称轴为直线x=1,直线y=kx-k与抛物线交于A,B两 点，与x轴交于点C (1)求抛物线的函数表达式： (2)当k=1时，直线AB与y轴交于点D,与直线x=2交于点E.若抛 物线y=(x-h)2-1与线段DE有公共点，求h的取值范围； (3)过点C与AB垂直的直线交抛物线于P,Q两点，M,N分别是 AB,PQ的中点.试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定 点T,使得TC总是平分∠MTN?若存在，求出点T的坐标；若不存 在，请说明理由。 第5题图 备用图 真题分类分层练·数学 6.[2025达州]如图，已知抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A,B两点，交y 轴于C点，B的坐标为(3,0)，C的坐标为(0,3)，顶点为M. (1)求抛物线的解析式： (2)连接BC,过第四象限内抛物线上一点作BC的平行线，交x轴于 点E,交y轴于点F ①连接AF,当∠AFE=90°时，求Rt△AFE内切圆半径r与外接圆半 径R的比值； ②分类论连接CA,CE,当点F在△AEC的内角平分线上，BC上 的动点P满足MP+5P的值最小时，求△BPE的面积 Y A B 0 第6题图 备用图 类型4特殊三角形问题(2025年4烤，2024年7考，2023年18考〉 7.[2025烟台]如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点（点A在 点B左侧)，与y轴交于点C,OA=2,OB=6,D是直线BC上方抛物 线上一动点，作DF⊥AB交BC于点E,垂足为点F,连接CD. (1)求抛物线的表达式： (2)设点D的横坐标为t, ①用含有t的代数式表示线段DE的长度； ②分类论是否存在点D,使△CDE是等腰三角形？若存在，请 求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)一题多解连接OE,将线段OE绕点0按顺时针方向旋转90° 得到线段OG,连接AG,请直接写出线段AG长度的最小值 第7题图 备用图 8.[2025东营]已知抛物线与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点，与y轴交 于点C(0,5). (1)求出抛物线的解析式； (2)如图①，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在 第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E,作y轴的平行 线交x轴于点G,过点E作EF⊥x轴，垂足为点F,当四边形DEFG 的周长最大时，求点D的坐标； (3)分类罚论如图②，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折 得到△NBC,WB与y轴交于点Q,在对称轴上找一点P,使得△PQB 是以QB为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标. M AO P G B B x 图① 图② 第8题图 真题分类分层练·数学 版权归一战成名颜中考 类型5特殊四边形问题(2025年5考，2024年10考，2023年32考)》 9.[2025泸州]如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c经 过点(2,3)，与x轴交于点A(-1,0)和点B. (1)求该抛物线的解析式； (2)点c,D在直线y方+上，点E在：箱上.F是抛物线上位于 第一象限的点，若四边形CDEF是正方形，求点F的坐标； (3)C分类词论设点P(x1,1)在抛物线y=-x2+bx+c上，点Q(x1, y2)在抛物线y=x2-(4m-2)x+4m2+2上，当1≤x1≤2时，y2-y1的最 小值为3，求m的值 AO E B 第9题图 83 10的[20s广安灯如图.二次函数y=行+板+(6e为常数) 的图象交x轴于A,B两点，交y轴于点C,已知点B的坐标为(9， 0),点C的坐标为(0，-3)，连接AC,BC (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接PC,当∠PCB=∠OBC时， 求点P的坐标； (3)将抛物线沿射线CA的方向平移2√10个单位长度后得到新抛 物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点 B,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标 第10题图 备用图 84 类型6相似三角形问题(2025年烤，2024年2考，2023年考) 11.[2024呼伦贝尔]如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象经过原点和点A(4,0).经过点A的直线与该二次函 数图象交于点B(1,3),与y轴交于点C. (1)求二次函数的解析式及点C的坐标： (2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过 点P作PE⊥x轴于点E,与直线AB交于点D,设点P的横坐标为m. ①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值； ②分类讨论是否存在点P,使得△BPD与△AOC相似.若存在， 请求出点P坐标；若不存在，请说明理由。 B 第11题图 真题分类分层练·数学 类型7几何背景下的二次函数性质探究(2025年5考，2024年考， 2023年6考) 12.分类时论[2025龙东地区]如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA在x轴上，tan∠C0A=√3,0A的长是一元二次方程x2-3x 18=0的根，过点C作CQ⊥OA交OA于点Q,交对角线OB于点P. 动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OA向终点A运动，动 点N从点B以每秒3个单位长度的速度沿BO向终点O运动，M、 N两点同时出发，设运动时间为t秒 (1)求点P坐标； (2)连接MW、PM,求△PMW的面积S关于运动时间t的函数解析式； (3)当t=3时，在对角线OB上是否存在一点E,使得△MNE是含 30°角的等腰三角形.若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请 说明理由， O MO 第12题图无论k为何值，当x=-1时，y=-3, .存在直线1过定点，定点坐标为(-1，-3). 7.解：(1)抛物线y=-x2+bx+3与x轴交于点A(-1,0), ∴.0=-1-b+3,解得b=2: (2).b=2, .抛物线解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, 令y=0,解得x=-1或x=3, A(-1,0),.B(3,0), 令x=0,得y=3,∴.C(0,3), 设M(m,-m2+2m+3),其中m>0 如解图①，作MH⊥x轴于点H, .·∠MAB=∠ACO .∴.tan∠MAB=tan∠ACO, 即04 AH OC' -m+2m+3 M m+1 3, AO HB衣 8 解得m=3或m=-1(舍去)， 第7题解图① M的横坐标为号 (3)①·将抛物线沿水平方向平移， .顶点的纵坐标不变，为4， .L的顶点横坐标为n, .图象L的解析式为y=-(x-n)2+4=-x2+2nx-n2+4, .N(0,-n2+4), .d=CN=1-n2+4-31=1-n2+1l, n2-1(n≥1或n≤-1)， ∴.d= (-n2+1(-1<n<1); ②n的取值范围为-1≤n≤1-√3或2≤n<√3.【解法提示】由① (n2-1(n≥1或n≤-1)， 得d={-+1(-1<<1), 出大致图象如解图②，：d随着n 增大而增大，∴.-1≤n≤0或n≥ 1,△ABC中含(0,1)，(0,2)， (1,1)三个整点（不含边界），当 -101 W内恰有两个整数点(0,1)， 第7题解图② (0,2)时，当x=0时，y>2,当x=1时，y≤1， -n2+4>2, -(1-n)2+4≤1， .-√2<n<2,n≥1+5或n≤1-√5，. √2<n≤1-3，-1≤n<0或n≥1，.-1≤n≤1-√3；当W 内恰有两个整数点(0,1)，(1,1)时，当x=0时，1<y≤2，当 (1<-n2+4≤2， x=1时，y>1{-(1-m)2+4>1, .-5<n≤-√2或2≤n< √3,1-√3<n<1+3,.2≤n<3,-1≤n<0或n≥1，.2 ≤n<√3：当W内恰有两个整数点(0,2)，(1,1)时，此种情况 不存在，舍去.综上所述，n的取值范围为-1≤n≤1-3或2 ≤n<√5. 参考答案 题型七二次函数与几何图形综合题 1.解：(1)将点0(0,0)代入抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)， 可得c=0, .该抛物线解析式为y=ax+bx, 将点A(3,3a)代入抛物线y=ax2+bx, 可得3a=9a+3b,解得b=-2a; (2)①a=1,t=4,.该抛物线及直线解析式分别为y=x2- 2x,y=x,P的坐标为(4,0)， 如解图①， PM⊥x轴，xw=xw=4, 点M在抛物线y=x2-2x上，点N在直线 y=x上， ∴.yy=42-2×4=8,即M(4,8), yx=4,即N(4,4), P .MN=8-4=4: 第1题解图① ②当点P从点0运动到点B(2a,0)的过 程中， PM⊥x轴，P(t,0),∴.xw=xw=t, 由(1)得，抛物线解析式为y=ax2-2ax, 将x=t代入y=ax2-2ax,可得y=a2-2al,即M(t,al2-2al), 将x=t代入y=a,可得y=al,即N(t,al), ..MN=lat-2at-alI=lat2-3atl, 令MN=0,即at2-3at=0,解得t=0(舍去)或i=3, 若a>0,则2a>0,即点B在y轴右侧，如解图②， 当0<t≤3时，MN=-at2+3al,其图象开口向下，对称轴为直 线 MW的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随，的增 大而增大1≤20≤1≤解得≤ 4 当>3时，由图象可知，MW的长随OP的长的增大，先增大 后减小，.不符合题意， .0<a≤4 图② 图③ 第1题解图 若a<0,则2a<0,即点B在y轴左侧，如解图③， 此时t<0,由图象可知，MN的长随OP的长的增大而增大， 即My的长莲！的城小面增大则2山≤子解得a≤子 .a<0. 徐上所述.a的取值范国为0ca≤或<0 2.解：(1)A(-1,0),B(3,0)在二次函数y=-x2+bx+c的图象上， 设y=-(x-x1)(x-x2)， 数学 97 ∴.y=-(x+1)(x-3), .抛物线的函数解析式为y=-x2+2x+3; (2)①把x=0代入y=-x2+2x+3,得y=3,.C(0,3), 如解图①，延长DC与x轴相交于点P, .B(3,0),C(0,3),∴.OB=0C=3, .∠C0B=90°，∴.∠CB0=45°， .:∠DCB=90°，∴.∠CPB=45°， .∠PC0=180°-90°-45°=45°=∠CPB, ∴.0P=0C=3,.P(-3,0)， 设直线CP的解析式为y=kx+m(k≠0)， 把C(0,3),P(-3,0)代入， 得8=m,解得= (0=-3k+m, (m=3, .直线CP的解析式为y=x+3, .点D是直线CP与抛物线的交点， .联立解析式 y=x+3, y=-x2+2x+3, B 图① 图② 第2题解图 ②如解图②，过点O作OH∥EF,且OH=EF=√2，连接HE, DH,设DH交x轴于点G, OH//EF.OH=EF. .四边形OFEH是平行四边形，.OF=EH, .∠CB0=45°，.∠B0H=45 .△OGH为等腰直角三角形，.OG=GH, .·OH=EF=√2 ∴.OG=GH=1,.H(1,-1), .OF+DE=EH+DE≥DH .当D、E、H三点共线时，EH+DE最小，OF+DE最小，最小 值为DH的长， D(1,4),H(1,-1),.DH=5 .OF+DE的最小值为5. 3.解：(1).抛物线y=x+bx+c过点A(0,2),B(2,2), jc=2, {4+2b+c=2, 化之 .抛物线C1的表达式为y=x2-2x+2; y=x2-2+2=(x-1)2+1, .顶点D(1,1)； (2)如解图①，连接DE,过点E作EGy轴，交AD延长线于 点G,过点D作DH⊥EG,垂足为H,延长HD交y轴于点H', 设直线AD的表达式为y=x+r, 98 参考名 由题意得红=2，解得=1， C k+r=1, 将r=2, E C2 .直线AD的表达式为y=-x+2, 设点E的横坐标为L,则E(t,2-2+2), G(,2-1),.EG=i-t, 平行四边形ADFE的面积为12， H'米 H 1 D10 1 G 1 SAE=SAMG-SAmGEG HD=6. 第3题解图① D=1,.EG=12,2-1=12, 解得61=4，l2=-3(舍)，.E(4,10), 四边形ADEF是平行四边形，A(0,2),D(1,1), “.点E先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长 度，得到点F,F(5,9), 将F(5,9)代入y=x2-2mx+m2-m+2(m≠1)， 得m2-11m+18=0, 解得m1=2,m2=9, .m的值为2或9： (3)如解图②，过点M作MP⊥x轴，垂足为P,过点D作DK 轴，过点Q作QK轴，与DK交于点K, 设M(h,h2-2h+2),h<1且h≠0，N(n,0), y=x2-2mx+m2-m+2=(x-m)2-m+2, ∴抛物线C2的顶点Q(m,2- y M m）, .DK=11-(2-m)1=1m-1l, KQ=Im-11, .DK=KQ,.∠DQK=45°， .MN//DQ,KQ//NP, 易得∠MNP=∠DQK=45°， ∴.∠NMP=45°，.NP=MP, 第3题解图② .n-h=h2-2h+2, 7 ..n=h2-h+2=(h- 当h=2时a子 7 7 “点N横坐标最小值为n=4,此时点N到直线BD距离最 近，△BDN的面积最小，最近距离即边BD上的高， B(2,2),D(1,1),易得BD=√2，边BD上的高是直线MN 的一部分， 高为7x275 4×2=8 1、72 ·.△BDN面积的最小值为SamN=2X 2x反=8 7 4.解：(1)：二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于A,B两 点，与y轴交于点C, .令x=0,则y=3, .点C的坐标为(0,3). 令y=0,则-x2+2x+3=0, 解得x=-1或x=3, 案·数学 点A在点B的左侧， ∴.点B的坐标为(3,0). 设直线BC对应函数的表达式为y=x+b(k≠0)， 由意4好师名仁 (b=3, .直线BC对应函数的表达式为y=-x+3; (2)不存在实数m使得y,+2y2=10.理由如下： 解法一：：M(m,y1),N(m+2,)为二次函数y=-x2+2x+3 图象上两点， y1=-m2+2m+3, y2=-(m+2)2+2(m+2)+3=-m2-2m+3, .y1+2y2=-m2+2m+3+2(-m2-2m+3)=-3m2-2m+9, 配方，得+2=-3m宁2+径 31 当=时+2：有亮大值为 .不存在实数m使得y1+2y2=10: 》一题多解 解法二：同解法一，得y1+2y2=-3m2-2m+9. 当y1+2y2=10时，-3m2-2m+9=10,即3m2+2m+1=0. .·△=4-12=-8<0」 方程没有实数根， .不存在实数m使得y+2y2=10: (3)m+5或m=15 2 2 【解法提示】如解图，过点V作 NH小轴，交x轴于点H,交BC于 点N',过点P作PO⊥NH,垂足为 Q,过点M作MM'小轴，交BC于 点M',则MM'∥NN',当x=1-m D 时，y=-(1-m)2+2(1-m)+3=-m2 A 0 +4,.点P的坐标为(1-m,-m2+ 4),由(2)知，y2=-m2-2m+3, 点N的坐标为(m+2,-m2-2m+ 第4题解图 3),·NHy轴，PQ⊥NH,点N在 直线BC上，直线BC的表达式为y=-x+3,∴.点Q的坐标为 (m+2,-m2+4),点H的坐标为(m+2,0),点N'的坐标为(m +2,-m+1),由(1)知，点B的坐标为(3,0)，.NQ=PQ= 12m+1l,BH=HW'=Im-1I,∠PWQ=∠BW'H=45°，∴.PW _S△DE=,.MD= BC,△MDE△MP,（R)SAP4 )MN,即MD=ND,MM'/∥NN',△MMD一△NwD. C-地=即M=NN,由(2)知，y=-m+2m+3, 点M的坐标为(m,-m2+2m+3),:MM'轴，点M'在直线 BC上，∴.点M'的坐标为(m,-m+3),.MM'=1-m+3ml,. NN=lm2+m-21,∴.m2-3m=-m2-m+2,即m2-m-1=0,解 1-5 得m=1+5或m三2 参考答案 5.解：(1)：抛物线y=ax2+bx过点(-1,3)，且对称轴为直线 x=1, 21解得红=1； (b=-2 a-b=3, ∴.抛物线的函数表达式为y=x2-2x; （2)当k=1时，直线AB:y=x-1, .当x=0时，y=-1,当x=2时，y=1, D(0,-1),E(2,1), y=(x-h)2-1, .顶点(h,-1),在直线y=-1上移动， 抛物线y=(x-h)2-1与线段DE有公共点， .联立 =(x-h)-1整理得2-(2h+1)x+h=0. (y=x-1, 当4=[-(2h+1)]-4h=0,即A=时，满足题意，如解 图①， 图 图② 第5题解图 如解图@，将抛物线=(：一)户-1从质=子开始向右移动。 直至抛物线与线段DE只有一个交点为E(2,1)时，y=(x h)2-1与线段DE有公共点， 则(2-h)2-1=1,解得h=2-2(舍去)或h=2+√2 .当-≤h≤2+2时，抛物线y=(x)2-1与线段DE有 公共点： (3)存在. y=ka-k,.当y=0时，x=1,.C(1,0), .·抛物线的对称轴为直线x=1 .点C在抛物线的对称轴上 .直线PQ过点C,且与直线AB垂直， ∠PCA=90°，设直线PQ的表达式为y=k(x-1), 如解图③，设直线PQ与y轴交于点F,过点A作AG⊥x轴 于点G,易得∠OFC=∠ACG, .tan∠OfC=tan∠ACG, 在对称轴右边、直线AB上取点(2,2k-k),即(2，k), OC_AC-k-k. OF CG 2-1 1 1 “0Fk,0F=6, F0,之.代人y=(-1)中得= 1 11 直线PQ的表达式为y=-(x-1),即y=+石， 数学 99 =h-,整理得2-(k+2)x+k=0, 联立 y=x2-2x, =k+2,ytyg=kxa-k+hxg-k=k(xg)-2k=k2, M为B的中点告25》。 11 联立 y=-k*+k y=x2-2x, 同理可得N(1 11 2h'242, 作MH⊥CT于点H,NM⊥CT于 点1， :TC平分∠MTW, ∴.∠MTH=∠WTl, .'.tan∠MTH=tan∠NTI MH NI THTI B +2-11-1+ 第5题解图③ 设7(1，)，则 k =1 2 整理得(k2-1)(21+1)=0, 当2-1=0时，1取任意值， 当2-1≠0时，解得三) 1 ∴.t= 2 抛物线的对标链上存在71，子).使得心总是平 分∠MTN 6.解：(1)把B的坐标(3,0)，C的坐标(0,3)代入抛物线的解 析式， 得9436+c三0，食 (b=2 解得 (c=3」 .抛物线的解析式是y=-x2+2x+3: (2) 》思路点拨 ①先求出点A的坐标，进而可判断△OBC,△AEF是等腰直 角三角形，然后根据△AEF的外接圆直径是AE=2,可得其 外接圆的半径R=1,再利用等面积法求出r,即可解决问 题；②先求得抛物线的顶点M的坐标和对称轴与x轴的交 点T的坐标，作P0Lx轴于点Q,可得P0=BP,继而可 得MP, 2BP=MP+PQ,于是可得当M、P,Q三点共线且 M01x轴时，P+P的值最小，此时Q、T重合，然后分 点F在△ACE不同内角平分线上共三种情况，外加当点E」 F重合于点O时，此时点F在∠AEC的平分线上这种特殊 情况，讨论求解即可. ①令y=-x2+2x+3=0, 100 参考答 解得x1=-1,x2=3,A(-1,0), .B(3,0),C(0,3),.0B=0C=3, .△0BC是等腰直角三角形，.∠0BC=45, EF∥BC,.∠FEA=∠CB0=45°， .当∠AFE=90时，△AEF是等腰直角三角形，且FA=FE, .∴.E0=A0=F0=1, ∴.△AEF的外接圆直径是AE=2,则其外接圆的半径R=1, AF=EF=AE·sin450=2x =2 1 1 1 24·+2EFr+2AEr= AE·FO, 即(2+2+2)r=2, 解得r=√2-1，. ②y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, .抛物线的对称轴是直线x=1,顶 点M的坐标是(1,4)， 第6题解图① .直线x=1与x轴的交点T的坐标是(1,0)， 如解图①，过点P作PQ⊥x轴于点Q, 则在R△BP0中，P0=BP·sin45°=5BP, 2 MP4号BP=MP+PO 当M,PO三点共线且MQ上x轴时，MP+2BP的值最 小，此时Q、T重合 当点F在△AEC的内角∠ACE的平分线上，即∠ACO= ∠EC0时，如解图②， T(Q.E) 图② 图③ 第6题解图 .:∠C0A=∠C0E=90°，C0=C0, .△AC0≌△EC0(ASA),A0=E0=1,.E、T重合， B(3,0),C(0,3),.直线BC的解析式是y=-x+3, 当x=1时，y=2,.点P的坐标是(1,2)， 1 BE=PE=2,SAPE= -×2×2=2: 当点F在△AEC的内角∠CAE的平分线上时，如解图③，作 FK⊥AC于点K,则OF=KF, 设OF=KF=a,则CF=3-a, .sin∠AC0= K0A,且AC=√下+3=而， CF AC' 案·数学 =1 3-a√/ ，解得a=-10=而 3 3 .EF∥BC,.∠OEF=∠OBC=45°， 0E=0F=0-1 3 BE=3-0B=3-√而-110-10 3 3 1.10-√/10. .S6m=2} 0x2=10-10 3 3 由于∠0EF=45°，∠0EC<90°， .点F不可能在△AEC内角∠AEC的平分线上； 当点F在△AEC的内角∠AEC的平分线上时，点E,F重合 于点O,此时OF平分∠AEC,则BE=B0=3. Sam=2x3x2=3. 综上，△BPE的面积为2或3或10-0 3 7.解：(1)：抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点（点A在 点B左侧)，与y轴交于点C,0A=2,OB=6, A(-2,0),B(6,0), 4a-2b+3=0,解得 1 =- 4 36a+6b+3=0, b=1, .抛物线的表达式为y=- tt3: (2②)0对于地物线的表达式y=子x3。 当x=0时，y=3,.C(0,3), 设直线BC的表达式为y=x+b'(k≠0)， = 1 把B(6,0),c(0,3)代入，得6+6=0 解得 21 (b'=3, （6'=3, 1 .直线BC的表达式为y= 2+3, nE1A服0e,子43).ku.43. 0e43-（3=+， 4 3 ②存在 0可得.CD三+4+u+3-3 c8=VP+(-7+3-)- 2, (关键点：等腰三角形的底和腰不确定，需要分情况讨论) 点政-. 解得1=6-25或t=0(舍去)， 子3=子×6-25)6-253=45-5 参考答案 ∴.D(6-25,45-5)； 当0=0E时4（子0(+ 整理得P(-1+1)=0, 解得t=1或=0（舍去）， 41 01,: 当0=0E时04(-（汽） 整理得名-子-0 解得1=2或=6（舍去）或t=0(舍去)， 43-*223=4, 4 .D(2,4). 综上所述，存在点D使△CDE是等腰三角形，点D的坐标为 （6-2545-5)或1或2,4： (3)25.【解法提示】解法一（构造手拉手全等）：如解图，在 y轴负半轴取点N(0,-6),连接NG并延长交x轴于点M, 连接AWN,由旋转得OE=OG,∠EOG=90°，B(6,0),∴.OB= ON,∠B0W=90°，∴.∠EOM=90°-∠M0G=∠G0W, △BOE≌△NOG(SAS),·.∠CB0=∠MNO,∴点G在线段 MW上运动（不包括端点）心当AGMW时，4G最小，（关键 点).∠CB0=∠MNO,OB=ON,∠COB=∠MON,.∴.△COB ≌△M0W(ASA),.OM=0C=3,.MN=√OMP+OW=3 5当4G1y时5am子M0N=N:AC号 1 ×5×6= x3/5xAC,AG=25. 2 第7题解图 》一题多解 解法三（代数法）：E(1,2+3),线段0E绕点0顺时针 1 旋转90得到线段0G,G(-21+3,-),·AG= √/-2P+20当-2时4G取最小值为2.S 8.解：(1)抛物线与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点， 设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-5), 把C(0,5)代入解析式，得5=a(0+1)×(0-5), 解得a=-1, 数学 101 ∴抛物线的解析式为 y=-(x+1)(x-5)， ，即 $$y = - x ^ { 2 } + 4 x + 5 ；$$ (2)∵抛物线的解析式为 $$y = - x ^ { 2 } + 4 x + 5 = - \left( x - 2 \right) ^ { 2 } + 9 ，$$ ∴ 抛物线的对称轴为直线 x=2， 设 $$D \left( x ， - x ^ { 2 } + 4 x + 5 \right) \left( 2 < x < 5 \right) ，$$ ∵DE∥x 轴 $$， \therefore E \left( 4 - x ， - x ^ { 2 } + 4 x + 5 \right)$$ ∵过点 D 作 x 轴的平行线交抛物线于点 E， ，作 y 轴的平行线 交 x 轴于点G，过点 E 作 EF⊥x 轴， 四边形 DEFG 是矩形， ∴ .四边形 DEFG 的周长为 $$2 D G + 2 D E = 2 \left( - x ^ { 2 } + 4 x + 5 \right) + 2 \left[ x -$$ $$\left( 4 - x \right) \right] = - 2 x ^ { 2 } + 1 2 x + 2 = - 2 \left( x - 3 \right) ^ { 2 } + 2 0 ，$$ ∵-2<0， ∴ 当 x=3 时，四边形 DEFG 的周长最大，则 $$- 3 ^ { 2 } + 4 \times 3 + 5 = 8 ，$$ 当四边形 DEFG 的周长最大时，点D的坐标为 (3，8)； (3)点P的坐标为( $$\left( 2 ， \frac { 2 3 } { 3 } \right)$$ y M 或(2，-9).【解法提示】如 解图，过点C作 CH 垂直抛 K C 物线对称轴于点 H， ，过点 N A 作 NK⊥y 轴于点 K，∴ o $$\angle N K C = \angle M H C = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ，由翻 A B B $$\overrightarrow { x }$$ 折得 CN=CM，∠BCN= ∠BCM，∵B(5，0)，C(0，\right. 5).∴OB=OC，∴∠OCB= $$\angle O B C = 4 5 ^ { \circ } ， \because C H \bot$$ 对称 轴于点 H，∴CH∥x $$\angle B C H = \angle O B C = 4 5 ^ { \circ } ， \therefore$$ $$\angle B C H = \angle O C B = 4 5 ^ { \circ } ， \therefore$$ 第8题解图 ∠BCN-∠OCB=∠BCM-∠BCH， 即 ∠NCK=∠MCH，∴ △MCH≅△NCK(AAS)，∴NK=MH，CK=CH，∵∵ ·抛物线的解 析式为 $$y = - \left( x - 2 \right) ^ { 2 } + 9 ， \therefore$$ 对称轴为直线 x=2，M(2，9)，∴ MH=9-5=4，CH=2，∴NK=MH=4，CK=CH=2，∴OK=OC CK=3，∴N(-4，3)， ，设直线BN的解析式为 y=k'x+b'，∴ -4k'+b'=3， $$k ' = - \frac { 1 } { 3 } ，$$ 解得 (5k'+b'=0， $$b ' = \frac { 5 } { 3 } ，$$ 直线 BN的解析式为 $$y = - \frac { 1 } { 3 } x$$ $$+ \frac { 5 } { 3 }$$ ，将 x=0 代人 $$y = - \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 5 } { 3 } ，$$ 则 $$y = \frac { 5 } { 3 } ， \therefore Q \left( 0 ， \frac { 5 } { 3 } \right)$$ $$P \left( 2 ， p \right) ， \therefore P Q ^ { 2 } = 2 ^ { 2 } + \left( p - \frac { 5 } { 3 } \right) ^ { 2 } = p ^ { 2 } - \frac { 1 0 } { 3 } p + \frac { 6 1 } { 9 } ， B P ^ { 2 } = \left( 5 - 2 \right) ^ { 2 } +$$ $$p ^ { 2 } = 9 + p ^ { 2 } ， B Q ^ { 2 } = 5 ^ { 2 } + \left( \frac { 5 } { 3 } \right) ^ { 2 } = 2 5 + \frac { 2 5 } { 9 } = \frac { 2 5 0 } { 9 }$$ ，分两种情况：①当 $$\angle B Q P = 9 0 ^ { \circ } 且$$ $$， B P ^ { 2 } = P Q ^ { 2 } + B Q ^ { 2 } ， \therefore 9 + p ^ { 2 } = p ^ { 2 } - \frac { 1 0 } { 3 } p + \frac { 6 1 } { 9 } + \frac { 2 5 0 } { 9 }$$ 解得 $$p = \frac { 2 3 } { 3 } ， \therefore P \left( 2 ， \frac { 2 3 } { 3 } \right) ； \textcircled 2$$ 当 $$\angle Q B P ' = 9 0 ^ { \circ } 且 f$$ $$， P ' Q ^ { 2 } = \left( B P ' \right) ^ { 2 }$$ $$+ B Q ^ { 2 } ， \therefore p ^ { 2 } - \frac { 1 0 } { 3 } p + \frac { 6 1 } { 9 } = 9 + p ^ { 2 } + \frac { 2 5 0 } { 9 }$$ ，解得 p=-9，∴ 点 P' 为 (2，-9) .综上，所有符合条件的点P的坐标为 $$\left( 2 ， \frac { 2 3 } { 3 } \right)$$ (2，-9) 9.解：(1)∵抛物线 $$y = - x ^ { 2 } + b x + c$$ 经过点(2，3)，与x轴交于点 102 参考答 A(-1,0), -4+2b+c=3,,b=2, (-1-b+c=0, 1c=3, ∴.抛物线解析式为y=-x2+2x+3; (2)如解图所示，过点D作DM⊥x轴于M,过点F作FW⊥x 轴于成，设直线y了+}与y轴交于7 .∴.∠DME=∠ENF=90°， =1x+】中，当x=0时y=2 1 在y=2+2 1、 1 7(0,7)…07=2 A(-1,0)0A=1,an∠OAT=07-1 Γ0A2 :四边形CDEF是正方形， .DE=EF,∠DEF=∠EDC=90P、 .∠MDE+∠MED=∠MED+∠NEF =90° .∠MDE=∠NEF, AO ME NB 在△MDE和△NEF中， 第9题解图 I∠MDE=∠NEF, ∠DME=∠ENF, DE=EF, ∴.△MDE≌△NEF(AAS),∴.DM=EN,ME=NF 设F(f,-∫2+2+3)， ..ME=NF=-f2+2A3, .·∠ADE=180°-∠EDC=90°， ∴.∠DAE+∠DEA=∠DEA+∠MDE .∠MDE=∠DAE. lan∠MDE=-tanLDAE=2 1 在R△DEM中，an∠MDb==号，即DM=2ME, .EN=DM=2ME=-2f+4f+6. ∴.0M=0W-ME-EN=f-(-2f2+4f+6)-(-∫2+2f+3)=3f2 5f-9, .D(3f2-5f-9,-2f2+4/46), 0以-9，了+6)在直线)之上. 1 2--9+-446. .7f2-13f-20=0, 解得/=9或/=-1（舍去）. 1产+n3=-94229-090: (3)点P(x1,y)在抛物线y=-x2+2x+3上，点Q(x,y2)在 抛物线y=x2-(4m-2)x+4m2+2上， ∴.y1=-x12+2x1+3,y2=x12-(4m-2)x1+4m2+2, 令W=y2-y1, .W=y2-y1=x2-(4m-2)x,+4m2+2-(-x12+2x1+3)=2x12- 案·数学 4mx,+4m2-1, .二次函数W=2x2-4mx,+4m2-1的对称轴为直线x= 2发m且开口向上。 当m<1时，：1≤x1≤2时，y2-y1的最小值为3， 当x,=1时，W=2x,2-4mx,+4m2-1=3, .3=2×12-4m+4m2-1,即2m2-2m-1=0, 1+5 解得m=2二或m2(舍去)： 当1≤m≤2时，1≤1≤2时，为2-y1的最小值为3， .当x1=m时，W=2x12-4mx1+4m2-1=3, .2m2-4m2+4m2-1=3,即m2-2=0, 解得m=√2或m=-√2（舍去）； 当m>2时，：1≤x1≤2时，y2-y1的最小值为3， .当x1=2时，W=2x12-4mx1+4m2-1=3, .2×22-8m+4m2-1=3 解得m1=m2=1(舍去)； 综上所述，m15或m=2 2 10.解：(1)把B(9,0),C(0,-3)代入到y=了+bx+c中， 8 -×92+9b+c=0】 b三 3 3 c=-3 c=-3 .抛物线的解析式为y= 1 (2)如解图①，当点P在x轴下方时， .∠PCB=∠OBC,.PCOB, ·点P与点C关于抛物线的对称轴对称， 8 3 抛物线对称轴为直线x= 14, 2 点P的坐标为(8，-3)； 图① 图② 第10题解图 如解图②，当点P在x轴上方时， 设PC交x轴于点H, .∠PCB=∠OBC,∴.CH=BH, B(9,0),C(0,-3),∴.0B=9,0C=3, 设OH=m,则CH=BH=9-m, 在Rt△COH中，CO2+OH2=C .32+m2=(9-m), 解得m=4,∴.H(4,0), 参考答 设直线PC的解析式为y=kx+b, 3 (4+b1=0, k=- 把H(4,0),C(0,-3)代入，得 解得〈 b=-3, b,=-3, :直线PC的解析武为y=-3, 3 3 [41 y= 43, = x=0, 联立 解得 或 舍去) 1,8 75 y=-3, 3 Y=- 3t3, y=16 、点P的坐标为(416 ,4175 综上所述，点P的坐标为(8，-3)或(41,5 416 (3)点E的坐标为(-5,4)或(1B,38)或(5，子.【解法提 示】由(2)可得原抛物线对称轴为直线x=4,B(9,0), 由对称性可得A(-1,0),.0A=1,0C=3,.AC= √OA+OC=√I0,:将抛物线沿射线CA的方向平移 2√0个单位长度后得到新抛物线，将原抛物线向左平 移2个单位长度，向上平移6个单位长度得到新抛物线， 新槌物线的解析式y号+2)号（42)-3+6=弓 ~1.当BE为对角线时，~平行四边形对角线互相平分， 4 BE,CF的中点坐标相同，+9_044 22 .xg=-5,yg= 了×(-5)2(-5)-1=14点E的坠标为-5,14：当 BF为对角线时，：平行四边形对角线互相平分，∴.BF,CE 的中点坐标相同，+09+4 2 =2e=13,…g=3×132- 3×13-1=38,点E的坐标为(13,38)：当BC为对角线 时，：平行四边形对角线互相平分，.BC,EF的中点坐标 相同49+0 2 2 31 点E的坐标为(5，号.综上所述，点E的坐标为(-5。 14或15.)或5子。 11.解：(1)二次函数y=a2+bx+c的图象经过0(0,0)，A(4, 0),B(1,3), 10=c, 1a=-1, 0=16a+4b+c,解得b=4, 3=a+b+c, c=0, .二次函数的解析式为y=-x+4x; 设直线AB的解析式为y=x+n(k≠O), 将AB两点坐标代入得3”·解得 (n=4, .直线AB的解析式为y=-x+4, 令x=0,则y=4,C(0,4); 数学 103 (2)①点P在直线AB上方，.1<m<4, 由题知P(m,-m2+4m),D(m,-m+4), PD=m2+4m-(-m+4)=-m+5m-4=-(m号)2+9 4 -1<0.当m= 时，线段PD的长度最大最大值为}： 2 ②存在 .A(4,0),C(0,4),0C⊥0A, .△AOC是等腰直角三角形， ∴.要使△BPD与△AOC相似，只要保证△BPD是等腰直角 三角形，分情况讨论： 如解图①，当∠BPD=90时， 则∠BPD=∠PEA=∠AOC=90° .BP0A,.△BPD∽△AOC,符合条件， 此时B、P关于对称轴对称 由(1)得，对称轴为直线x=2,又B(1,3),.P(3,3); 图① 图② 第11题解图 如解图②，当∠PBD=90时， 则∠PBD=∠PEA=∠AOC=90°， 又.∠BDP=∠EDA,·∠BPD=∠DAE .△PBD△AOC,符合条件， 则△PDB为等腰直角三角形， .:.PD=√2BD 由①知PD=-m2+5m-4,D(m,-m+4), B(1,3),.BD=√(m-1)2+(-m+4-3)2=√2(m-1), .PD=√2BD, .-m2+5m-4=√2×/2(m-1). 解得m1=2,m2=1(舍去)，∴.P(2,4) 综上，存在点P使△BPD与△AOC相似，此时点P的坐标 为(3,3)或(2,4). 12.解：(1)0A的长是一元二次方程x2-3x-18=0的根， 解得x1=6,x2=-3,0A=6, 四边形0ABC为菱形，.0A=0C=6,0B平分∠C0A, .:tan∠COA=√3，.∠C0A=60°，.∠P00=30° 又.·CQ⊥0A,∴.∠PQ0=90°，.∴.∠0CQ=90°-60°=30° 00=0c=6x-3. PQ=00·tan∠Po0=3x 33 .点P的坐标为P(3,3); (2)根据题意可知，BN=√3t,OM=t, 104 参考答 如解图①，过点M作MK⊥OB于点K, C N H 第12题解图① 由(1)知，∠P0Q=30°，PQ=√3，∠PQ0=90°， ·Mk=2,0P=25, 过点B作BH⊥x轴于点H, 四边形OABC为菱形，∴.ABOC,AB=OA=6, .∠BAH=∠C0A=60°，∠ABH=90°-60°=30°， 在R△4ABH中，6H=AB·c0 sLABH=6X)=3,3 在Rt△B0H中，∠P0Q=30°， ·.0B=2BH=3√3×2=63， .PB=0B-0P=63-25=43, 当0<1<4时，点N在PB上运动，PW=PB-BN=4√3-3L, △w的面积S号K,PN分·(4万-5 -t2+3t. 4 当4<≤6时，点N在0P上运动，PN=BW-PB=√3-43， aPwN的面积s宁w:m子·之(-4)=- 11 √3， 当t=4时，点N与点P重合，△PMW不存在，故不符合 题意 综上所述，△PMW的面积S关于运动时间t的函数解析式 +3(0<K4), 4 为S= 5-3(41≤6)： 4 (3)存在，点E的坐标为(0,0)或(3,5)或(933 2 33.【解法提示】如解图②，当1=3时，0M=3,点M和 点Q重合，BW=3√3，OW=3√3，又.·OM=MA,.MN是 △0AB的中位线，MN=AB=0W=3.∠0NM= ∠NOM=30°，假设在对角线OB上存在一点E,使得△MNE 是含30°角的等腰三角形，当∠EMN为顶角时，点E,与点 0重合，E,(0,0),当∠MEN为顶角时，点E2与点P重合， E,(3,3),当∠EWM为顶角时，NE,=NM=OM=3,设E3 (5a,a),则0E3=2a,0E+WE3=0N,.2a+3=35,.a 当- 2 2,2 ·数学 时，在对角线OB上存在一点E,使得△MNE是含30°角的 等腰三角形，E(0,0),5,(35,E,9-35,35-3 2’2 E,(O) M(Q) 第12题解图② 题型八几何探究题 1（1)解：相等，垂直： (2)证明：如解图①，过点G作GM⊥BC于点M,过点G作 NT⊥GM分别交AB、CD于点T、N, D AOE B 第1题解图① .四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠ACB=45°，∠B=∠BCD=90°， ..∠TGM=∠B=∠GMB=∠GMC=∠BCD=∠NGM=90°， .四边形TBMG为矩形，四边形GMCW为正方形， .∴.GN=GM=CM=CW=BT,∠CWT=∠BTG=90°，BM=GT ..∠DNG=∠GTE=90°， ∴.DC-CW=BC-CM,即DN=BM=GT, FG⊥AC,∠ACB=45°， ..∠ACB=∠CFG=45°， CG=GF,CM=MF,(三线合-) ∴.CM=MF=BT=GN, ·.·AE=BF,∴.AB-AE-BT=BC-BF-MF .ET=GN. ADNG兰AGTE(SAS),(-线三垂直全等) DG=GE,∠NDG=∠TGE 又←NDG+∠NGD=90 ∠TCE+∠NGD=90° ∠DGE=90°.DG⊥GE; (3)解：.四边形ABCD是正方形 .AB=AD,∠DAE=∠ABF=90°， 又·AE=BF ADAE岁△ABF(SAS,(十字模型全等) ∠ADE=∠BAF,AF=DE ∠ADE+∠DEA三∠BAF+∠DEA=90°， ∠40E=90°AF4DE: 在Rt△DAE中，AD=3,AE=1, AF=DE=√AE+AD=√+3=√10， 2A0DE= AE·AD 2 AA 参考答案 1 40x 10=- ×1x3, 1 10,(等面积法 3√/10 .A0= ÷在B△0AE中，0E=VAE-A0=,1-(30: 10 10 10 由(2)可知DG=GE,DG1GE, .∠GED=45 .△EOQ为等腰直角三角形， ·00=06=0 10 ÷0F=AF-A0-00=1030Vo310 1010 5； (4)32-3.【解法提示】如解图②，构造ADPC的外接圆 ⊙H,连接DHPH,CH,过点H作HR LAC于点R,设⊙H的 半径为r,过点D作DT LAC于T,(关键点：∠GDP是定值， 点D到AC的距离即△DPG的边PG上的高是定值，可构造 定角定高辅助圆)由(2)可知DG=GE,DG⊥GE,.∠GDP= 45°，.∠PHG=2∠GDP=90°，HP=HG,△HPG是等腰 直角三角形，HR=PR=GR=PG-PH2, 21 V22…PG=2 .·正方形ABCD中，AD=3,△ACD是等腰直角三角形，·.AC 2AD=3.DT-AT-CT=7ACS.0mPG c. 2=4PG,心当G最小时，ADPG的面积 最小PG=2r·当r最小时，ADPG的面积最小，DH+ ，-(1，受)当DH+R最小时，△DPG的商积 R=r 最小当点D,HR三点共线，且DK4AC时，DH+最小 此时，点T与点R重合，（关键点：利用定角定高模型，将面 积最值间题转化成线段最值问题)则此时DR=(1+ 2)r 3,解得-3-3，PR=,6=35 2 2 AP=AR-PR= 3√26-3√2 AT-PR= =32-3. 22 D E 第1题解图② 2.解：探究发现：SABc,PD,PE; 实践应用：如解图①，过点C,F分别作AB,CG的垂线，垂足 分别为M,N, ·△ABC是等边三角形，AC=3, 数学 105