第4章 命题点18 线段、角、相交线与平行线-【一战成名新中考】2026数学真题分类分层练

第四章 三角形 命题点18 线段、角、相交线与平行线 A基础分点练 考向1 线段与直线 1.真实情境[2024吉林省卷]如图，从长春站去往胜利公园，与其它道 路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 长春站 人 民 街 胜利公园 第1题图 第2题图 考向2角与角平分线(2025年20*，2024年33考，2023年7考) 2.真实情境[2024广西]如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角 为 ( A.20° B.40° C.60° D.80° 3.[2025广安]若∠A=25°，则∠A的余角为 A.25° B.65 C.75° D.155o 4.[2025眉山]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=6,BC=10.按下列 步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于 E、F两点：②分别以点E、F为圆心，大于}EF的长为半径画弧，两孤 相交于点P;③作射线AP交BC于点G,则CG的长为 A.4 B.5 C.6 D.8 第4题图 第5题图 5.一题多解[2024南充]如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， BC=6,AD平分∠CAB交BC于点D,点E为边AB上一点，则线段 DE长度的最小值为 ( A.√2 B.√3 C.2 D.3 考向3 相交线 类型1相交线求角度(2025年烤，2024年5考，2023年烤) 6.[2025贵州]下列图中能说明∠1=∠2一定成立的是 2 12 02 B C D 7.[2025河南]如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量 出该零件内角的度数，则所量内角的度数为 () A.100° B.110° C.120° D.130 0609 集热板 太阳光线 支架 B水平面 第7题图 第8题图 8.学科融合[2025兰州]如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂 直时，光能利用率最高.春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角B 为54°.若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α度数是() A.26° B.30° C.36 D.54° 9.[2025陕西]如图，点0在直线AB上，0D平分∠A0C.若∠1=52°，则 ∠2的度数为 () A.76° B.74° C.64 D.52 1K2 0 B 起跳线BC B 第9题图 第10题图 第12题图 类型2垂线与垂线段(2025年3考，2024年考，2023年3考) 10.真实情境[2025广西]在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在 沙池留下的脚印如图所示，测量线段AB的长度作为他此次跳远成 绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是() A.垂线段最短 B.两点确定一条直线 C.两点之间，线段最短 D.两直线平行，内错角相等 11.[2024资阳]在△ABC中，∠A=60°，AC=4.若△ABC是锐角三角形， 则边AB长的取值范围是 类型3线段的垂直平分线(2025年8考，2024年20考，2023年0烤) 12.[2025达州]如图，在△ABC中，AB=AC=8,BC=5,线段AB的垂直平 分线交AB于点E,交AC于点D,则△BDC的周长为 () A.21 B.14 C.13 D.9 真题分类分层练·数学 考向④平行线 类型1平行线的性质(2025年30烤，2024年2考，2023年73考) 13.真实情境[2025苏州]如图，在A,B两地间修一条笔直的公路，从 A地测得公路的走向为北偏东70°.若A,B两地同时开工，要使公 路准确接通，则∠的度数应为 () A.100° B.105° C.110° D.115° 北 北 B K0 --D 第13题图 第14题图 14.真实情境[2025湖南省卷]如图，一条排水管连续两次转弯后又回 到与原来相同的方向，若第一次转弯时∠CAB=145°，则∠ABD 15.学科融合[2025广安]光线在不同介质中的传播速度是不同的，因 此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以 在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，b为两条平行的 光线，∠1=45°，则∠2的度数为 第15题图 第16题图 16.[2025长沙]如图，AB∥CD,直线EF与直线AB,CD分别交于点E,F, 直线EG与直线CD交于点G.若∠1=70°，∠2=50°，则∠GEF的度 数为 () A.50 B.60° C.65 D.70° 17.[2025绥化]如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC,∠B=38°，则∠C 的度数是 () A.16° B.30° C.38 D.76 D E 0 A 第17题图 第18题图 18.真实情境[2025深圳]如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线 OA经平面镜后反射入眼，若CB∥OA,∠CB0=122°，∠B0N=90°， 则入射角∠AON的度数为 () A.22° B.32° C.35 D.122° 19.学科融合[2025达州]如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜 后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F.若∠1+∠2= 35°，则∠AFB的度数为 ( A.35° B.55° C.70° D.145° B D 第19题图 第20题图 20.[2025辽宁]如图，点C在∠AOB的边OA上，CD⊥OB,垂足为D,DE∥ OA,若∠EDB=40°，则∠ACD的度数为 A.50° B.120 C.130° D.140° 21.[2025齐齐哈尔]将一个含30°角的三角尺和直尺按如图摆放，若 ∠1=50°，则∠2的度数是 A.50° B.60° C.70° D.80° 30 4△X3 第21题图 第22题图 22.[2025自贡]如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若∠1= 115°，则∠2的度数为 ( A.75° B.90° C.100° D.115° 23.[2025凉山州]如图，DF∥AB,∠BAC=120°，∠ACE=100°，则∠CED ( A.30° B.409 C.60 D.809 A 第23题图 第24题图 24.[2025福建]某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角 尺按如图所示的方式摆放，其中点A,E,C,F在同一条直线上， ∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠DEF=60°.当AD∥BC时，∠ADE 的大小为 ( A.5° B.15° C.25° D.35° 类型2平行线的判定(2025年6考，2024年烤，2023年考) 25.[2025甘肃省卷]如图①，三根木条a,b,c相交成∠1=80°，∠2= 110°，固定木条b,c,将木条a绕点A顺时针转动至如图②所示，使 木条a与木条b平行，则可将木条a旋转 ( 图( 图② 第25题图 A.30° B.40° C.60° D.80° 26.[2025江西]如图，已知点C在AE上，ABCD,∠1=∠2.求证：AEDF: 第26题图 27.[2024南通]如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点 E,且EF=DE.求证：CF∥AB. 第27题图 考向5定义、命题与定理(2025年6烤，2024年5考，2023年13考) 28.[2025凉山州]下列说法正确的是 ( A.若1a1=1b1,则a=b B.若am<bm,则a<b C.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 29.开放性试题[2025北京]能说明命题“若a2>4b2,则a>2b”是假命 题的一组实数a,b的值为a= ,b= 真题分类分层练·数学 版权归一战成名新中考 B能力提升练 30.与解直角三角形结合[2025扬州]如图①，棱长为9cm的密封透明正 方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM=7cm.将此正方体 放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图 如图②所示，则tana= D A(M) B 图① 图② 第30题图 《创新考法●》> 31.项目式学习[2025达州]开启作角平分线的智慧之窗 问题：作∠AOB的平分线OP 甲同学 乙同学 丙同学 工人师傅 第31题图 作法：甲同学用尺规作出了角平分线：乙同学用圆规和直角三角板 作出了角平分线：丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带 刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上，即 得OP为∠AOB的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑.认为判断角平 分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形 全等，AAS,ASA或HL,② 对丙同学的作法陷入了沉思， 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证 已知∠AED=∠AOB,EP=EO,求证：OP平分∠AOB. 275a2+200a=-5(a-70)2+4500 .-5<0,60≤a≤100， .当a=70时，W最大，最大值为4500. 7.解：(1)BC=2m,面积为1.5m2, 六AC=1.5x2=1.5(m). 2 .AB=√BC+AC=2.5(m). 设正方形的边长为xm, :在图①中，四边形CDEF是正方形， .DE/CF,∠ADE=∠C=90°，DE=CD=x,AD=1.5-x .:∠A=∠A,.Rt△ADE∽Rt△ACB, DE AD x 1.5-x CBAC2=1.5, 解得= ·在图②中，四边形GDEF是正方形， .DE∥GF,.∠CED=∠B,∠EDC=∠A. .Rt△DEC∽Rt△ABC, DC AC 1.5 3 3 小0EB2写亏c=弓， 33 ·AD=AC-DC=25, .·∠A=∠A,∠AGD=∠C=90°， .Rt△ADG∽Rt△ABC, DG BC. DAAB·335 25 解得x一37 30 器 .图①的正方形面积较大： (2)在图③中，四边形CDEF是长方形， .DE/CF,∠ADE=∠C=90°，DE=x, .∠A=∠A, .Rt△ADE∽Rt△ACB, “ .AD=x.DC=AC-AD=6-3x 4, y=DE·DC=x6-3x=3 、44(2-x)=-3 3 (-1)2+ 4 当x=1时，长方形的面积有最大值为3m2 4 在图④中，同理(1)得Rt△DEC∽Rt△ABC, DE AB 5 DC-AC3' DC=5*,DA=AC-DC= 33 25, 同理(1)得Rt△ADG∽RL△ABC, DG BC 4 DA BA5 .DG=5 433 A=525), .y=DE·DG=xx 433 12 5 525)=25 x- 4 12 250, 当=时长方形的面积有氟大值为子 8.解：(1)观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次 函数， 设该二次函数的表达式为y=ax2+bx+c, 将(0,35)，(1,56)，(2,63)代入， [c=35, a=-7, 得{a+b+c=56,解得b=28, 4a+2b+c=63. c=35, .该二次函数的表达式为y=-7x2+28x+35; (2)当x=0时，y=35, .种子自然发芽率为35%， .当y=35时，-7x2+28x+35=35, 解得x1=0,x2=4, 当y=0时，-7x2+28x+35=0, 解得1=-1（舍去），x2=5, .抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4<x≤5. 第四章三角形 命题点18线段、角、相交线与平行线 1.两点之间，线段最短2.C3.B4.A 5.C【解析】解法一：∠C=90°，∠B=30°，.∠CAB=60°， 在△ABC中，anB=4C. 3 ×6=25,AD平分 ∠CAB,∴.∠CAD= 2×60=30°，在R△ACD中，lan∠C4D= AC..cD= C 3 ×23=2,AD平分∠CAB,且DC⊥AC,点 D到AB边的距离等于线段CD的长，即线段DE长度的最 小值为2. 》一题多解 解法二：当DE⊥AB时，DE最小.AD平分∠CAB,∠C= 90°，DE⊥AB,.CD=DE,令DC=DE=x,则BD=6-x,∠B =30°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB,.∠DAB=7×60 =30°，∠B=∠DAB,DA=DB=6-x,在R△DAE中， DE sin∠DAB= E=行40，则（6)，解得=2 ∴.DE=2. 6.A7.C8.C9.A10.A 11.2<AB<8【解析】∠A=60°，AC=4,如解图，当CB,⊥AB 时，此时AB最短，AB,=4C=2,当B,C14C时，此时AB 考答案·数学 23 最长，AB2=2AC=8,.边AB长的取值范围是2<AB<8. 1B2 B A 4 C 第11题解图 12.C13.C14.145°15.45°16.B17.C18.B19.A 20.C21.C22.D23.B24.B25.A 26.证明：略. 27.证明：略 28.C29.-3(答案不唯一)，1（答案不唯一） 304 9 【解析】如解图，延长AN,交直线BC于点E,由题意得 AD=BC=CD=9cm,∠D=90°，AD∥BC,AN∥FG,设DN= xcm,则CN=CD-DW=(9-x)cm,:密封透明正方体容器 水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜坡上，容器里水的 体积不变，且放在坡角为α的斜坡上时，水的体积等于长 为9cm、宽为9cm、高为(9-x)cm的长方体的体积与长为 9cm、宽为9cm、高为xcm的长方体的体积的一半之和， 9x9(9-x)+2×9x9x=9x9x7,解得x=4,即DN=4cm, .·AN∥FG,.∠AEF=∠F=,.AD∥BC,.∠DAN=∠AEF a an a=an DAN=DN_4 AD 9 D A(M) a B G 第30题解图 31.(1)解：SSS;等腰三角形的三线合一； （2)证明：略 命题点19三角形的边角关系及重要线段 1.三角形具有稳定性2.B 3.4(答案不唯一)变式2（或3或4或5或6） 4.D5.A6.B7.C 8.10【解析】如解图，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点 E,AD平分∠CAB,.∠CAD=∠DAB,cOS∠CAD= 12 13 12 coS∠DAB= 5:BE LAD,AB=26六AE=AB·s∠DAB= 24,.BE=√AB2-AE=√26-24=10，点B到AD的距 离为10. 第8题解图 24 参考答 9.B10.C11.612.100°13.12 14.D【解析】AD是角平分线，.∠BAD=∠EAD,AD1 BE,.∠AFB=∠AFE=90°，又.：AF=AF,∴.△AFB≌△AFE (ASA),故A选项正确，不符合题意；：△AFB≌△AFE, .AB=AE,.·∠BAD=∠EAD,AD=AD,.△ADB≌△ADE (SAS),∴.∠ADB=∠ADE,故B选项正确，不符合题意； BE是中线，CE=EA,G为DC的中点，.CG=GD, BG是△Cn中位线sG=号n,GAD5品又 △AFB≌△AFE,.BF=FE,.BD=GD,.DF是△BEG 的中位线0F=宁5C0F=子40，A0=E0F= 4BE,故C选项正确，不符合题意；在△CBG和△CBE中， ∠C为公共角，但∠CEG和∠CBE,∠CGE和∠CEB均不相 等，相应边不成比例，故△CEG和△CBE不相似，故D选项 错误，符合题意， 15m【解析】由题意知∠E,A0=了∠CB,∠EB0= 1 ∠CBD,设∠E,AD=&,LEBD=B,则∠C4B=3a, 1 ∠CBD=3B,由三角形的内外角关系得B=a+∠E1,3B=3a +∠C,.∠E1=B-a,∠C=3B-3a=3(B-a),.∠E1= 号4C,同理可得∠=行∠E,∠=（宁2C,,∠E 1 1 =(兮2，当∠c=m时，∠E.=m 1 16.D【解析】设AB=a.在图甲中，∠A=∠B=60°， △ABC是等边三角形，.AC=BC=AB=a,甲所行走的路 程l年=AC+BC=2a;在图乙中，AE+BE=AB=a,:∠A= ∠AED=∠FEB=∠B=6O°，∴.△DAE和△FEB都是等边三 角形，∴.AD=DE=AE,EF=FB=EB,∴.乙所行走的路程I2= AD+DE+EF+FB=2(AE+BE)=2a;在图丙中，延长AG,BH 交于点P,如解图所示，∠A=∠B=60°，.△ABP是等边 三角形，∴.AP=BP=AB=a,根据三角形的三边关系得GH< PC+PH,.丙所行走的路程l万=AG+GH+HB<AG+PG+PH+ HB=AP+BP=2a..l甲=lz>l丙： D G AA6060AB X60° 第16题解图 命题点20 等腰（边）三角形 1922.1003B4C52642.45 9 8.∠BCE=∠B(答案不唯一)9.√310.12 11.5-1变式D 12.证明：略 13.（1)解：.·△ABC是等边三角形， .∠ACB=60°，AC=BC. 案·数学