第3章 命题点17 二次函数的实际应用-【一战成名新中考】2026数学真题分类分层练

命题点17二次函数的实际应用 类型1抛物线型、类抛物线型问题(2025年12烤，2024年Ⅱ考，2023年2考) 1.[2025甘肃省卷]如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形 喷水装置OM,喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛 物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与 水平距离(m)之间的关系式是y=-+2x子(0)，则水流喷出的 最大高度是 A.3 m B.2.75m C.2 m D.1.75m y/m B x/m 第1题图 第2题图 2.[2025连云港]如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a(x-3)2+ 2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的 高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m,则铅球掷出的水平 距离OB为 m. 3.[2025陕西]某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1, 左、右门洞L2,L,均呈抛物线型，水平横梁AC=16m,L1的最高点B 到AC的距离B0=4m,L2,L,关于B0所在直线对称.MW,MP,NQ 为框架，点M,N在L,上，点P,Q分别在L2,L3上，MN∥AC,MP⊥ AC,NQ⊥AC.以O为原点，以AC所在直线为x轴，以B0所在直线为 y轴，建立平面直角坐标系 (1)求抛物线L,的函数表达式： (2)已知抛物线L,的函数表达式为)=。(-4)2,0=弓m,求MN 5 16 的长 第3题图 24 4.[2025山西]综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线。我国某科研团 队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳 后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合 青蛙的运动路线 仿青蛙机器人 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运 动路线的最高点距地面60cm,起跳点与落地点的距离为160cm. 数学建模：如图①，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶 点为N,对称轴为直线1，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O, 落地点为M.以0为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在 水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系， (1)请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即 抛物线的形状不变， (2)如图①，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为 Q,点P的坐标为(0,75)，点Q在x轴的正半轴上.求起跳点P与落 地点Q的水平距离OQ的长； (3)实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每 个点在竖直方向上的距离不少于3cm,才能安全通过.如图②，水平 地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD,其中∠ABC= ∠BCD=90°，AB=57cm,BC=40cm,CD=48cm.仿青蛙机器人从距 离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物.若团 队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚 好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不 计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内). y/cm N M O x/cm 图① B 图② 第4题图 真题分类分层练·数学 5.[2025内蒙古]问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设 计的效果图如图所示。 6 cm 保温 温度健康节能 加热D调节抑简休职心 B (0) 4 cm 8 cm- 图① 图② 第5题图 外形参数： 如图①，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线L,中间 的矩形ABCD和下方的抛物线L,组成.抛物线L,的高度为8cm,矩 形ABCD的边AB=8cm,BC=6cm,抛物线L,的高度为4cm.在装置 内部安装矩形电子显示屏EFGH,点E,F在抛物线L2上，点H,G在 拋物线L1上 问题解决： 如图②，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线 为x轴，以AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.请结合外 形参数，完成以下任务： (1)直接写出B,C,D三点的坐标； (2)直接写出抛物线L,和L2的顶点坐标，并分别求出抛物线L,和 L,的函数表达式； (3)为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求，需要EH边的长为 15cm,求此时EF边的长. 类型2利润最值问题(2025年烤，2024年12考，2023年0考) 6.[2025内江]2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》 刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念 品.已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元：购进A款 100个，B款200个，需花费8000元 (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资 金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪 念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200 个，售价每增加1元，销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价 a(60≤a≤100)元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位： 元)，求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值， 类型3面积最值问题(2025年烤，2024年2考，2023年6考) 7.[2025连云港]一块直角三角形木板，它的一条直角边BC长2m,面 积为1.5m2. (1)甲、乙两人分别按图①、图②用它设计一个正方形桌面，请说明 哪个正方形面积较大； E 图① 图② (2)丙、丁两人分别按图③、图④用它设计一个长方形桌面.请分别 求出图③、图④中长方形的面积y(m2)与DE的长x(m)之间的函数 表达式，并分别求出面积的最大值 E 图③ 图④ 第7题图 真题分类分层练·数学 版权归一战成名新中考 《创新考法》 8.学科融合[2025兰州门]综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物 种子发芽率的影响”的研究.请你阅读以下材料，解决“数学建模”中 的问题 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度 过高抑制种子发芽.探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可 以借助数学模型进行解决， 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度 x(标准单位)为自变量，种子的发芽率y(%)为因变量，进行“生长素 浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度： 0 0.6 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 x(标准单位) 发芽率y(%)35.0049.2856.0062.3763.0061.2559.5756.0051.1735.0029.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平 面直角坐标系中描出相应的点. 1y(%) 80-- 三自然发芽率3 60-士 o40- 20- 0123456x(标准单位) 第8题图 说明：①当生长素浓度x=0时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子 发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该 函数的表达式； (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围. 25.∴.∠EAP=∠FAQ, .△EAP≌△FAQ(SAS) .PE=OF=1. .F的轨迹是以Q(1,-25)为圆心，1为半径的圆， .B(4,0),.BQ=21 当F在线段QB上时，BF最小，此时BF=BQ-QF=√2I-1, 当Q在线段BF上时，BF最大，此时BF=BQ+QF=√2I+1, .BF的取值范围是√21-1≤BF≤√21+1. 命题点17二次函数的实际应用 1.B2.8 3.解：(1)B0=4m, .抛物线L,的顶点B坐标为(0,4)， 设抛物线L,的函数表达式为y=ax2+4, .:AC=16m, .结合二次函数的对称性得A(-8,0),C(8,0), 将C(8,0)代入y=a2+4, 1 得0=64a+4,∴.a= 16 6+4, ·抛物线L,的函数表达式为y=- (2)由（1)得抛物线L的函数表达式y=16+4, M/AC,MPLAC,.0LAC0=m,且抛物线L,的函 3 数表达式为y=6(x-4), 0w64[x4门2 1 整理得x2-3(x-4)2=24, .x2-3x2+24x-48=24, .x2-12x+36=(x-6)2=0 解得x1=x2=6, .∴.MWN=2×6=12(m). 4.解：(1)顶点N的坐标为(80,60)； 设该抛物线的函数表达式为y=a(x-80)2+60, 图象过原点， 六a(0-80)2+60=0,解得a=320 3 320x-80)2+60: y= (2):抛物线的形状不变，点P的坐标为(0,75)， .第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线向上平移75 个单位长度得到的， 3 3 新的抛物线的表达式为)=320x-80)+60+75=320(x -80)2+135, 3（x-80)2+135=0, 当y=0时，3 解得x1=200,x2=-40(舍去)， 故起跳点P与落地点Q的水平距离0Q的长为200cm; (3)该平台的高度为6cm. 22 参考答 5.解：(1)B(8,0),C(8,6),D(0,6): (2)抛物线L1和L2的顶点坐标分别 为(4,14)(4，-4)；【解法提示】如解 图，作出对称轴，分别交抛物线L,于 点M,交抛物线L2于点Q,交矩形 ABCD于点N,P,则AP=BP=2AB= 4cm,∠DNP=∠APW=90°，.四边形(O)AN DAPV是矩形.NP=AD=6cm,抛 物线L,的高度为8cm,抛物线L,的 Q 高度为4cm,直线MQ是抛物线L,和 第5题解图 L,的对称轴，..MP=MN+NP=8+6=14(cm),QP=4cm,∴. 抛物线L1和L2的顶点坐标分别为M(4,14),Q(4,-4). 分别设抛物线L1和L2的表达式为y=a1(x-4)2+14,y=a2(x -4)2-4. 将D(0,6)代入y=a,(x-4)2+14,解得a=2 1 范物线L,的表达式为y=子-42414：之+46： 1 将4(0,0)代入y=a(x-4)2-4,解得a=4 抛物线L的表达式为y红-4小-4=子-2江 (3)·装置整体图案为轴对称图形」 .∴.EF⊥MQ,HG⊥MQ, ·MQ⊥x轴，.EF∥HG∥x轴 :四边形EFGH是矩形， HE⊥EF,.HE⊥x轴，xE=xH, 设xg=xH=几 1 yh=2n2+4n+6,e=4-2n, 3 BH=y4e=-4n+6+6=15, 解得n=2或n=6(在对称轴右侧，舍去)， ∴.xE=2, 由抛物线对称性可得EF=2×(4-2)=4. 6.解：(1)设A款“哪吒”纪念品每个进价x元，B款“哪吒”纪 念品每个进价为y元， 200x+300y=14000, 由题意得 100x+200y=8000, 解得/40， (y=20, 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念 品每个进价为20元； (2)设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品 (400-m)个， 由题意得40(400-m)+20m≤12000， 解得m≥200， .∴.m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； (3)由题意得W=(a-40)[200-5(a-60)]=500a-20000- 案·数学 5a2+200a=-5(a-70)2+4500 .-5<0,60≤a≤100， .当a=70时，W最大，最大值为4500. 7.解：(1)BC=2m,面积为1.5m2, 六AC=1.5x2=1.5(m). 2 .AB=√BC+AC=2.5(m). 设正方形的边长为xm, :在图①中，四边形CDEF是正方形， .DE/CF,∠ADE=∠C=90°，DE=CD=x,AD=1.5-x .:∠A=∠A,.Rt△ADE∽Rt△ACB, DE AD x 1.5-x CBAC2=1.5, 解得= ·在图②中，四边形GDEF是正方形， .DE∥GF,.∠CED=∠B,∠EDC=∠A. .Rt△DEC∽Rt△ABC, DC AC 1.5 3 3 小0EB2写亏c=弓， 33 ·AD=AC-DC=25, .·∠A=∠A,∠AGD=∠C=90°， .Rt△ADG∽Rt△ABC, DG BC. DAAB·335 25 解得x一37 30 器 .图①的正方形面积较大： (2)在图③中，四边形CDEF是长方形， .DE/CF,∠ADE=∠C=90°，DE=x, .∠A=∠A, .Rt△ADE∽Rt△ACB, “ .AD=x.DC=AC-AD=6-3x 4, y=DE·DC=x6-3x=3 、44(2-x)=-3 3 (-1)2+ 4 当x=1时，长方形的面积有最大值为3m2 4 在图④中，同理(1)得Rt△DEC∽Rt△ABC, DE AB 5 DC-AC3' DC=5*,DA=AC-DC= 33 25, 同理(1)得Rt△ADG∽RL△ABC, DG BC 4 DA BA5 .DG=5 433 A=525), .y=DE·DG=xx 433 12 5 525)=25 x- 4 12 250, 当=时长方形的面积有氟大值为子 8.解：(1)观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次 函数， 设该二次函数的表达式为y=ax2+bx+c, 将(0,35)，(1,56)，(2,63)代入， [c=35, a=-7, 得{a+b+c=56,解得b=28, 4a+2b+c=63. c=35, .该二次函数的表达式为y=-7x2+28x+35; (2)当x=0时，y=35, .种子自然发芽率为35%， .当y=35时，-7x2+28x+35=35, 解得x1=0,x2=4, 当y=0时，-7x2+28x+35=0, 解得1=-1（舍去），x2=5, .抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4<x≤5. 第四章三角形 命题点18线段、角、相交线与平行线 1.两点之间，线段最短2.C3.B4.A 5.C【解析】解法一：∠C=90°，∠B=30°，.∠CAB=60°， 在△ABC中，anB=4C. 3 ×6=25,AD平分 ∠CAB,∴.∠CAD= 2×60=30°，在R△ACD中，lan∠C4D= AC..cD= C 3 ×23=2,AD平分∠CAB,且DC⊥AC,点 D到AB边的距离等于线段CD的长，即线段DE长度的最 小值为2. 》一题多解 解法二：当DE⊥AB时，DE最小.AD平分∠CAB,∠C= 90°，DE⊥AB,.CD=DE,令DC=DE=x,则BD=6-x,∠B =30°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB,.∠DAB=7×60 =30°，∠B=∠DAB,DA=DB=6-x,在R△DAE中， DE sin∠DAB= E=行40，则（6)，解得=2 ∴.DE=2. 6.A7.C8.C9.A10.A 11.2<AB<8【解析】∠A=60°，AC=4,如解图，当CB,⊥AB 时，此时AB最短，AB,=4C=2,当B,C14C时，此时AB 考答案·数学 23