第3章 命题点15 二次函数图象与性质的应用-【一战成名新中考】2026数学真题分类分层练

命题点15二次函数图象与性质的应用 (2025年35考，2024年37考，2023年62考)》 1.[2025陕西]在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2-2ax+a-3(a≠0) 的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列 关于该函数的结论正确的是 A.图象的开口向下 B.当x>0时，y的值随x值的增大而增大 C.函数的最小值小于-3 D.当x=2时，y<0 2.[2025南充]已知某函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，y=x2-2x; 当x>2时，y=2x-4.若直线y=x+b与这个函数图象有且仅有四个不 同交点，则实数b的范围是 A.-1<h<0 4 B.、9 1 4 Cfss0 D.6≤寻或6>0 3.[2025德阳]已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a>0)过点(1， 0),(m,0),且2<m<3,该抛物线与直线y=x+c(k,c是常数，k≠0) 相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点（点A在点B左侧）.下列说法： ①r<0:②3a+6>0:③点是点4关于直线=品的对称点.则3< AA'<4;④当x2=4时，不等式ax2+(b-k)x<0的解集为0<x<4.其中 正确的结论个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 4.[2025连云港]已知二次函数y=x2+2(a+1)x+3a2-2a+3,a为常数 (1)若该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点，求a的取值 范围； (2)若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值： (3)求证：该二次函数的图象不经过原点 20 5.[2025云南]已知a是常数，函数y=(x+4)(x-m2+a-3)+1,记T= 24 4 (1)若x=-4,a=1,求y的值； (2)分类论若x=3a+2,y=1,比较T与3的大小. 真题分类分层练·数学 6.[2024宿迁]如图①，已知抛物线y1=x2+bx+c与x轴交于两点0(0， 0)、A(2,0),将抛物线y1向右平移两个单位长度，得到抛物线y2·点 P是抛物线y,在第四象限内一点，连接PA并延长，交抛物线y2于 点Q (1)求抛物线y,的表达式： (2)设点P的横坐标为xp,点Q的横坐标为xo,求xo-xp的值； (3)如图②，若抛物线y3=x2-8x+t与抛物线y1=x2+x+c交于点C, 过点C作直线MW,分别交抛物线y1和y3于点M、N(M、N均不与点 C重合)，设点M的横坐标为m,点V的横坐标为n,试判断lm-nl是 否为定值.若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由 M 图① 图② 第6题图 7.[2025安徽]已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点(4,0) (1)求该抛物线的对称轴； (2)点A(x1,y1)和B(x2,y2)分别在抛物线y=ax2+bx和y=x2-2x上 (A,B与原点都不重合). ①若a=子，且名=，比较与：的大小： ②当2时，若是一个与，无关的定值，求a与6的值 Y xI 8.[2025山东省卷]已知二次函数y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b),其 中a,b为两个不相等的实数 (1)当a=0,b=3时，求此函数图象的对称轴： (2)当b=2a时，若该函数在0≤x≤1时，y随x的增大而减小；在 3≤x≤4时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)若点4a,.8(,C(6,)均在该两数的图象上.是香 存在常数m,使得y1+my2+y3=0?若存在，求出m的值；若不存在， 说明理由. 真题分类分层练·数学 版权归一战成名新中考 《创新考法》) 9.新定义[2025长沙]我们约定：当x1,y1,x2,y2满足(x1+y2)2+(x2+ y1)=0,且x1+y1≠0时，称点(x1,y1)与点(x2,y2)为一对“对偶点” 若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函 数”.请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打 “√”，错误的打“×”)； ①函数y=←(k是非零常数)的图象上存在无数对“对偶点”；() ②函数y=-2x+1一定不是“对偶函数”； () ③函数y=x2+x-1的图象上至少存在两对“对偶点”. () (2)若关于x的一次函数y=k1x+b,与y=k2x+b2(b1,b2都是常数，且 b1·b2<0)均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴 围成的平面图形的面积之和； (3)一题多解若关于x的二次函数y=2ax2-1是“对偶函数”，求实 数a的取值范围. 21对称轴为直线=21，把x=1代人)=ar-2:得0 -2a=-a,顶点为(1，-a),两点A(x1,y1),B(2,y2)在 抛物线y=ax2-2ax(a>0)上，∴.当x,<0且y1·y2<0时，y1> 0(因x<0时抛物线在x轴上方)，故y,<0,此时0<x2<2,故 A选项的结论正确；当x1<0且y1·y2>0时，y2>0,此时： 应满足，<0或x2>2,故B选项的结论错误；当x1<x2<1 时，抛物线在x<1时递减，故3越大，2越小，即y>y2,故 C选项的结论错误；当x1>x2>1时，抛物线在x>1时递增 故x,越大，y1越大，即y>y2,故D选项的结论错误 22.D【解析】二次函数y=ax2+bx+c y 的图象开口向下，与y轴交于正半 轴，对称轴在y轴的右侧，a<0,b> 0,c>0,∴.abc<0,故①正确；顶点P 的坐标为(1，n),.当x=1时，y取-2F1O证，B龙 x=1 得最大值n=a+b+c,当x=m时，y= 第22题解图 am2+bm+c,..a+b+czam2+bm+c,. am2+bm-a-b≤0，故②错误；：二次函数y=axr2+bx+c的部 分图象与x轴的一个交点A位于(-2,0)和(-1,0)之间， 对将精为宜线=1品 =1,当x=-1时，y=a-b+c>0, s、1 宁-6+e>0.动<2，放③正确：如解图， △PAB为等边三角形，设直线x=1与x轴交于点H,则PA =AB=PB,PH⊥AB,HA=HB,∠PAB=60°，.PH=tan60°· AH,记点A,B的横坐标分别为x1,x2,∴.n=3(x2-1)= 月(1-)2n=5(）,即n= 2(x-),当y=x2+ 6+6=0时，离+名=台=2,5，-二 a √(x+)-4西=√4- ，4a-4e=5× 2x√a a-e=B3a-3e V3a'-3ac aa .:n=a+b+c=a-2a+c=c- √3a2-3ac a,∴.c-a= .a(c-a)=-3,n=c-a=-3 ,故④ 正确，综上，①③④正确，故选D. 2丛解：（山设抛物线）了平移后新弛物线的表达式为y 把40，和R(50代人， 5 4 c=- 3 b= 3 得 解得 25 5 3 +5b+c=0, C= 3 一平移后新抛物线的表达式为y=↓_4x-5 33x-3 1 1245 (2)①由题意得Q(m,3m),P(m,3m-3m-3 16 参考答 1 5 .∴.PQ= 45 P0<33m+3<3m<l, 又：m>0,.m的取值范围是0<m<1; 2y时号音-2-3 .平移方式为向右平移2个单位，向下平移3个单位， 由题意可得点P在点B的右边， 如解图①，当BP'PQ时， BP'⊥x轴， .xp,=xg=5, 25 p(5,3) 由平移的性质可得P(5+2, 2 33), 16、 即P(7,3 第23题解图① 如解图②，当P'Q∥BP时，设直线x=m与x轴交于点T,过 点P'作P'S⊥QP于点S, 则∠P'QT=∠BPT,∠P'SQ=∠BTP =90°， aAm祭 设P(a,写).则P(a+2. D jo-3).8(at2.3i).Q(a2 1 1 3(a+2)2), 第23题解图② a23- 1 a+2-51 解得a=1或a=3(不符合题意舍去). 综上，点P的坐标为(7,3， 16、 命题点15二次函数图象与性质的应用 1.D【解析】由题意可得方程ax2-2ax+a-3=0的两根异号， ,=43<0,解得0<a<3二次项系数0>0.函数图 a 象开口向上，故A不符合题意；y=a2-2ax+a-3(a≠0)的 对称轴为直线x1,>0,心当x<1时，y随x的增大 而诚小，当x>1时，y随x的增大而增大，故B不符合题意； 当x=1时，y=-3,最小值为-3，故C不符合题意；当x=2 时，y=4a-4ata-3=a-3,0<a<3,.此时y<0,故D符合题意 2.A【解析】函数图象关于y轴对 称，当0≤x≤2时，y=x2-2x,当x>2 3 时，y=2x-4,.当-2≤x<0时，y=x2 2 +2,当<-2时，y=-2x-4画出函43234 数图象如解图，当0≤x≤2时，y=x2 -2x=(x-1)2-1,这是一个开口向 第2题解图 案·数学 上，顶点为(1，-1)，与x轴交点为(0,0)，(2,0)的抛物线一 部分：当x>2时，y=2x-4,是一条k为2，过(2,0)的射线.根 据对称性画出x<0时的函数图象，当-2≤x<0时，y=x2+2x, 联立42得4-b=0,当4=1+46=0，即6=子时， (v=x+b, 直线y=x+b与y=x2+2x的图象只有一个交点.当直线过(0， 0)时，b=0.结合图象可知，当-1<6<0时，直线y=x+b与这 4 个函数图象有且仅有四个不同交点 3.B【解析】抛物线过点(1,0)和(m,0)(2<m<3),.设抛 物线的解析式为y=a(x-1)(x-m),∴y=ax2-a(1+m)x+ am,.b=-a(1+m）,c=am,a>0且m>2,.b<0,c>0,.bc <0,结论①正确；b=-a(1+m),∴3a+b=3a-a(1+m)=a(2 -m),:2<m<3,.2-m<0,.3a+b<0,结论②错误；抛物 线与直线y=x+c的交点满足ax2+(b-k)x=0,.x=0或x= ,若点A为(0，c),则其关于直线=-=-a+m） a 2a 2a m对称点的横坐标为1+m,AM'=1+m,2<m<3,3 <1+m<4:若点A为（分），其横坐标可能远离对称轴。导 致A4'超出范围，结论③不一定成立，错误；当x,=4时，方程 a2+(b-k)x=0的根为x=0和x=4,即直线y=x+c与抛物 线y=ax+bx+c的交点的横坐标为0和4，由图象可得，不等 式ax2+bx+c<kx+c的解集为0<t<4,即不等式ax2+(b-k)x< 0的解集为0<x<4,结论④正确.综上，正确结论为①④，共2 个. 4.(1)解：二次函数y=x2+2(a+1)x+3a2-2a+3的图象与直 线y=2a2有两个交点， .函数的最小值小于2a2, 则43a2-2a+3)-4(a+1)=2a-4n+2<2a. 4 解得a2 1 (2)解：二次函数的图象与x轴有交点， .4=4(a+1)2-4×1×(3a2-2a+3)=-8a2+16a-8= -8(a-1)2≥0 .8(a-1)2≤0， 又8(a-1)2≥0， .8(a-1)2=0,解得a=1: （3)证明：当=0时y3-2a3=3认a号管0， 所以二次函数的图象不经过原点！ 5.解：(1)把x=-4,a=1代入函数y=(x+4)(x-a2+a-3)+1, 得y=(-4+4)×(-4-12+1-3)+1=1; (2)将x=3a+2,y=1代入函数， 得(3a+2+4)(3a+2-a2+a-3)+1=1, 整理得-3(a+2)(a2-4a+1)=0, ①当a+2=0时，即a=-2, T=-2)2+49 <3; 4(-2)2+15 参考答案 ②当a2-4a+1=0时，a≠0， 则有a2=4a-1,.a2+1=4a,.a+一=4， 4a-1411 ∴T= +=a-4a 115 一=4- 44a 44>3 综上所述，当a=-2时，T<3;当a2-4a+1=0时，T>3. 6.解：(1)将0(0,0)，A(2,0)代入y1=x2+bx+c中， 得0， c=0, {4+2b+c=0,{6=-2, .y1=x2-2x=(x-1)2-1, :将抛物线y1向右平移两个单位长度得到抛物线y2, .y2=(x-1-2)2-1=(x-3)2-1=x2-6x+8: (2)设直线PA的表达式为y=kx+h(k,≠0)， 联立直线PA的表达式与抛物线y,的表达式， 得x2-2x=k1x+h, 整理得x2-(2+k)x-h=0, ..xp+x=2+k1, x4=2,xp=k1, 联立直线PA的表达式与抛物线y2的表达式， 同理得x。=4+k1, .x0-xp=4+h1-k1=4; (3)1m-nl是定值，且1m-nl=6. 7.解：(1)将点(4,0)代入y=ax2+bx, 得16a+4b=0,.b=-4a, b=2 .2a .抛物线的对称轴是直线x=2; (20:a= 结合(1)可得，地物线的解析式为)=乃-2x, 又X1=x2, 1 1 ·%1=(6-2,)-(2行-2)=(x好-2x)-(7-2) 12 2, :抛物线y=宁-2过原点，且点4与原点不重合， 1 0心20，>y ②由题意知，为=a-4ax1,y2=x-2x, x2-2x22 y1x1a(x7-41）x1 两条抛物线均过原点，且A,B与原点都不重合， .x1≠0，x2≠0 x2-2 a(x1-4 =1,即x2=a(1-4)+2, _a(1-4)+22-4a -=a+ 依题意知，a+ ,+24“是与x无关的定值， x1 数学 17 不妨将x,=1和x,=2分别代入a+ -4a 可得2-3a=1-a,解得a=2, 1 经检验，当a 时云2是一个与气无关的定值，符合 =时，= 题意， 六a=2,b=-4如=-2 8.解：(1)当a=0,b=3时，y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)= x(x-0)+(x-0)(x-3)+x(x-3)=3x2-6x, -6=1: “此函数图象的对称轴为直线x=2×3 (2)当b=2a时，y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)=x(x-a) +(x-a）(x-2a)+x(x-2a)=3x2-6ax+2a2, 公抛物线的对称轴为直线x=2X30 .3>0,.抛物线开口向上， :在0≤x≤1时，y随x的增大而减小，a≥1， 在3≤x≤4时，y随x的增大而增大，∴.a≤3， .a的取值范围是1≤a≤3； (3)存在 点A(a,).A),C(6,为均在该函数的图象上. =x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)=3x2-2(a+b)x+ab, .y1=3a2-2a(a+b)+ab=a2-ab, 为=322-2a+6),。 2 tab=3xatb)(a+b)tab 4 =-(a+b) -+ab=- 4 4"24 4 24 1 (a2-2ab+b2)=-(a-b）2, y3=b(b-a)+(b-a)(B-b)+b(b-b)=b2-ab, .'y+my2+y3=0, (云-at子a-6门+(-ab=0, 整理得(a-61-m)=0, a,b为两个不相等的实数，∴.a-b≠0， 1子=0，释得m=4 .存在常数m,使得y1+my2+y3=0,m的值为4. 9.解：(1)①V:②V;③×； (2)由题意可得x2=-y1,2=-x1,则点(x1,y1)与点(-y1, -1)在1≠-y1时是一对“对偶点”， :y=kx+b1是“对偶函数”， .其图象上必存在一对“对偶点”， 两式相减可得k=1, 同理可得k2=1, .两个一次函数为y=x+b1y=x+b2, b1,b2都是常数，且b1·b2<0, 18 参考答 “两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是 有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三 角形，如解图， =x+b yy=x+b, -b. y=x+b, -b /y=x+b 1b 第9题解图 1, 1, 其面积之和$=2+2： (3)解法一：由题意可得a≠0，且x1≠-y1时， 有=2a-1,0 （-x1=2a(-y1)2-1,② 1 1 两式相减可得a心方20 代人①老理可得2a-六1=0， .·关于x的二次函数y=2ax2-1是“对偶函数” 关于的-元二次方程2a-六1-0必有实数根。 而△=1-8a(2a (1-1)=8a-3, 3 当△=0，即8a-3=0时，a=8, 由0可得号 1 3 22-1=3 2 1=4(31 +y1=0,此时不符合题意，这种情况舍去： 3 必有△=-3+8a>0,解得a> 》一题多解 解法二：由题意可得a≠0， 函数y=2a2-1是“对偶函数”， “函数图象上一定存在一对“对偶点”点A(x1,y)与点 B(-y1,-x1)且x1≠-y1, 设直线AB的函数解析式为y=kx+b, 由题意可得k=1,b=y1-x1,即y=x+y1-1, 联立=2ar2-1①， （y=x+y1-x1②， ①-②得2ax2-x+x1-y1-1=0, :直线AB与二次函数图象必有两个不同的交点， .△=1-8a(x1-y1-1)>0, 将A,B两点坐标代入y=2ax2-1, y=2ax,2-1③， 得-，=2a)户-10. ③-④得2a(x1-y1)=1, .4=1-8a(1-y1-1)=1-8a(x1-y1)+8a=1-4+8a>0,解 3 得a78 案·数学