第2章 图形与坐标（复习讲义）数学新教材湘教版八年级下册

第二章 图形与坐标（复习讲义） （一）基础目标 1. 能复述平面直角坐标系的定义，明确x轴、y轴、原点、象限的划分规则。 2. 能建立适当的平面直角坐标系，写出三角形、矩形、正方形、平行四边形等简单凸多边形的顶点坐标。 3. 能复述点关于x轴、y轴、原点对称的坐标变化规律，能复述点沿x轴、y轴平移的坐标变化规律。 （二）进阶目标 1. 能根据实际情境建立平面直角坐标系，用坐标描述物体位置，理解原点、单位长度变化对坐标的影响。 能解决坐标系中与图形位置、距离相关的计算问题。 2. 能推导连续多次平移、对称变换的坐标变化规律，求出图形整体变换后的顶点坐标。能利用坐标法证明简单几何结论。 3.能理解“数（坐标）”与“形（图形）”的对应关系，运用数形结合思想分析坐标系中的几何问题。 （三）拓展目标 1. 能分析坐标系中组合图形（如多边形与三角形、矩形组合）的坐标特征，计算复杂图形的面积、周长。 能结合勾股定理、三角形/四边形性质，解决坐标系中的线段长度、角度计算、图形判定问题。 2. 能从点的坐标序列、图形运动轨迹中抽象出坐标变化规律（如循环、递变规律），用代数式表示规律并推导任意点坐标。能解决坐标系中的动态问题，分析坐标随运动的变化趋势。 3.能将现实定位、导航、测量等实际问题转化为坐标系问题，建立数学模型并求解。 知识点 重点归纳 常见易错点 平面直角坐标系的概念与点的坐标 ① 由公共原点且互相垂直的两条数轴（x轴、y轴）组成，分为四个象限； ② 平面内点与有序实数对一一对应，为横坐标，为纵坐标； ③ 各象限点的符号特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限； ④ 坐标轴上点的特征：轴上点，轴上点，原点。 ① 混淆横纵坐标，将写成； ② 记错象限符号，如将第二象限记为； ③ 误将坐标轴上的点归为某一象限内； ④ 书写坐标时遗漏括号或逗号。 点到坐标轴与原点的距离 ① 点到轴的距离：； ② 点到轴的距离：； ③ 点到原点的距离：（勾股定理推导）； ④ 平行于轴的直线上点纵坐标相等，平行于轴的直线上点横坐标相等。 ① 搞反距离与坐标：到轴距离用，到轴距离用； ② 计算距离时遗漏绝对值符号，直接写或； ③ 混淆平行于坐标轴直线的坐标特征。 图形在坐标系中的平移 ① 点的平移规律：左右平移：左减右加横坐标（）；上下平移：上加下减纵坐标（）； ② 图形平移本质：所有顶点按同一规律平移，平移后图形形状、大小、方向不变； ③ 作图步骤：找顶点→平移顶点→顺次连接。 ① 平移方向与坐标变化搞反：向左平移横坐标加，向右平移减； ② 误将上下平移改变横坐标，左右平移改变纵坐标； ③ 多次平移时跳步计算，导致坐标变换错误。 图形在坐标系中的对称 ① 点的对称坐标规律：关于轴对称：（横同纵反）；关于轴对称：（纵同横反）；关于原点对称：（横纵都反）； ② 图形对称本质：顶点对称后连接，对称前后图形全等。 ① 关于轴对称时错变横坐标，或同时变横纵坐标； ② 关于轴对称时错变纵坐标，混淆为原点对称； ③ 原点对称时只变一个坐标，导致符号错误。 坐标系中图形的表示与面积计算 ① 建立坐标系：根据图形对称性选原点、坐标轴与单位长度，写出多边形顶点坐标； ② 规则图形面积：直接用公式（如三角形、矩形面积公式）； ③ 不规则图形面积：割补法（分割为规则图形求和，或补成大图形减多余部分）。 ① 建立坐标系时单位长度不统一，导致坐标计算复杂； ② 求底和高时忽略坐标符号，未用绝对值算长度； ③ 不规则图形直接硬算，不会用割补法转化。 坐标确定位置与实际应用 ① 用坐标描述实际场景（地图、棋盘等）中物体的位置； ② 理解坐标法是平面定位的核心方法，体会数形结合思想； ③ 能根据实际需求调整原点与单位长度。 ① 实际问题中混淆坐标顺序，将行、列对应错横、纵坐标； ② 忽略单位长度变化对坐标的影响，导致定位偏差； ③ 不能将实际问题转化为坐标模型。 题型一 有序数对 【例1】王伟坐在教室的第5列、第6排，用数对表示，李林坐在教室的第7列、第2排，用数对表示．张乐与李林在同一列，在王伟的前一排，张乐的位置用数对表示是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·四川成都·期中）根据下列表述，能确定准确位置的是（    ） A．天府大道中段 B．万达影城1号厅3排 C．北纬，东经 D．南偏东 【变式1-2】如图是古诗《登飞来峰》，如果“云”用表示，“千”用表示，则“升”表示为__________． 登 飞 来 峰 飞 来 山 上 千 寻 塔 ， 闻 说 鸡 鸣 见 日 升 ． 不 畏 浮 云 遮 望 眼 ， 自 缘 身 在 最 高 层 ． 题型二 写出平面直角坐标系中点的坐标 【例1】在平面直角坐标系中，点A在第二象限，距离轴2个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图所示，等边三角形的边长为4，则点C的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】已知点的坐标为，线段，且轴，则点的坐标为______． 【变式1-3】（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为25，点A的坐标为，则点C的坐标为（______，______）． 【例2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知点，且点A的纵坐标比横坐标大2，求点A的坐标． 【变式2-1】（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)若点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； 【变式2-2】在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点P在y轴上，求x的值； (2)若点P在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点P的坐标． 题型三 判断点所在的象限 【例1】若点在第一象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-1】若，，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-2】在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-3】点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型四 根据点所在现象求参数 【例1】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）若点M的坐标为，点N的坐标为，轴，则的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【变式1-1】（25-26七年级上·山东威海·期末）点在y轴的负半轴上，则（   ） A．1 B． C． D．3 【变式1-2】若点在第二象限，那么的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级上·陕西汉中·期末）若点在第二象限，则点所在象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型五 点到坐标轴、原点的距离 【例1】已知点，则点A到x轴的距离为________，到y轴的距离为________． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，已知第一象限内的点到x轴的距离为2，则a的值为______． 【变式1-2】在平面直角坐标系中，点，点，若轴，且，则______． 【例2】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）在平面直角坐标系中，已知点P在第二象限，距离x轴3个单位长度，距离y轴1个单位长度，则P的坐标为(    ) A． B． C． D． 【变式2-1】如图，将5个边长均为3的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，且点到两坐标轴的距离之和为7，写出一个符合条件的点的坐标： ． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，点在y轴上，距离原点3个单位长度，则点A的坐标为________． 题型六 确定物体的位置 【例1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，雷达探测器在一次探测中发现六个目标．若目标A、B的位置分别记为、，则目标E的位置记为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·河北保定·期末）北京时间2025年10月23日20时28分06秒，台湾南投县发生4级地震，震源深度28千米．以下能够准确表示这次地震震中位置的是（   ） A．北纬 B．东经 C．台湾中部偏西方向 D．北纬，东经 【变式1-2】（25-26七年级上·重庆北碚·期末）如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线成角，则射线表示的方向是（    ） A．北偏西方向 B．北偏东方向 C．南偏东方向 D．南偏东方向 【变式1-3】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）以下是小莹和小亮关于家、学校、图书馆位置的对话： 小莹：学校在我家的北偏东方向，与我家的距离为米；图书馆在我家的正北方向． 小亮：学校在图书馆的正东方向；我家在你家和学校连线的中点处． 请根据以上信息，用方向和距离表示图书馆相对于小亮家的位置为___________． 题型七 在坐标系中画图及写出点的坐标 【例1】（1）如图，写出平面直角坐标系内点M，N，L，O，P的坐标； （2）在平面直角坐标系内描出点，，，． 【变式1-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知在平面直角坐标系中，有点和点，且，． (1)在平面直角坐标系中描出三个点； (2)点的坐标为_____． 【变式1-2】（1）写出图中A，B，C，D各点的坐标； （2）描出下列各点：； （3）顺次连接A，B，C，D各点，再顺次连接E，F，G，H，点A，B，C，D围成的封闭图形是什么图形？ 题型八 坐标系中的平移 【例1】将向右平移3个单位后得到点B，则点B坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，将“笑脸”图标先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，则在“笑脸”图标中的点P的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】将点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，则点的坐标为______． 【例2】在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】的顶点A坐标为，若将沿轴平移5个单位长度，则A点坐标变为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式2-2】（25-26八年级上·山东淄博·期末）若点，向右平移3个单位长度后得到点，则a，b的值分别为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，将平移后得到，若平移后点B的对应点D的坐标为，则点A的对应点C的坐标为__________． 【例3】在平面直角坐标系中，将点平移到点处，则下列方法正确的是（    ） A．向右平移6个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向左平移6个单位长度 D．向左平移4个单位长度 【变式3-1】将点先向__________平移__________个单位长度，再向__________平移__________个单位长度，可得到点． 【变式3-2】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）象棋是中国传统棋类，其中“馬”走“日”，如图，“帥”位于点，“馬”位于点，若“馬”要“将军”（一方的棋子要在下一招棋把对方的“将”或“帥”吃掉），可以走到，则其平移过程是_______． 【变式3-3】苹果熟了，一个苹果从树上掉下来．如图，苹果从处落到了处．（网格单位长度为1） (1)写出，两点的坐标； (2)苹果由处落到处，可看作由哪两次平移得到的？ 【例4】在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后与点重合，则点A坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后所得点的坐标是，则m，n的值分别是________． 【例5】已知，直线平行于轴，，那么点的坐标为________． 【变式5-1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）线段平行于轴，点的坐标为，点在点的右侧，且，则点的坐标是__________． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，点，，若直线轴，则的值为_______． 题型九 坐标系中的对称 【例1】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，点A关于原点的中心对称点是（   ） A．点P B．点Q C．点K D．点R 【变式1-2】如图，的对角线相交于坐标原点，若点的坐标为，则点的坐标为_____． 【例2】已知点与点是关于原点O的对称点，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-1】在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·山东日照·期末）已知点与点关于原点对称，则_____． 【变式2-3】（25-26九年级上·广东惠州·期末）已知点与点关于原点对称，则________． 【例3】在平面直角坐标系中，有，，，四点，其中关于原点对称的两点为（　　） A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点D和点A 【变式3-1】在平面直角坐标系中，已知点和点，则A、两点（  ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【变式3-2】在平面直角坐标系中，点与点是关于某点成中点对称的两点，则对称中心的坐标为___________ 【例4】（25-26七年级上·山东泰安·期末）已知在直角坐标系中的位置如图所示，如果与关于轴对称，那么点的对应点的坐标为（　　）． A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26七年级上·山东淄博·期末）春节是中华民族的传统节日，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，在平面直角坐标系中，，两处灯笼的位置关于直线对称，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26八年级上·江西吉安·期末）如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以镜面为轴，镜面侧面为（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶点点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则________． 题型十 坐标系中的旋转 【例1】（2025·湖北鄂州·一模）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，将线段绕点旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（    ） A．或 B．或 C． D．或 【变式1-2】在平面直角坐标系中，已知点，若将绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标是___________． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为______． 【例2】如图，三个顶点的坐标分别为，，，将绕点C按顺时针方向旋转，得到，则点D的坐标为（　  ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点B按顺时针方向旋转，则点A的对应点的坐标为________． 【变式2-2】如图，将线段AB绕点B顺时针旋转，得到线段，则点A的对应点的坐标是______． 【例3】（25-26九年级上·云南玉溪·期中）平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕原点顺时针旋转得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转所得点的坐标是___． 【变式3-2】将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型十一 坐标系中的平移、对称、旋转作图问题 【例1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，． (1)已知与关于轴对称，作出； (2)请求出的长度． 【变式1-1】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)画出关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)将绕点A顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【变式1-2】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)画出向上平移4个单位，再向右平移5个单位得到的； (2)作出点关于轴的对称点．若把点向右平移个单位长度后落在的内部(不包括顶点和边界)，请写出满足条件的的取值范围______； (3)在轴上画出点，使的值最小． 【变式1-3】（25-26九年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于点O成中心对称的； (2)作出绕点O顺时针旋转后的． 题型十二 坐标系中的图形的面积计算 【例1】如图，在平面直角坐标系内，点的坐标为，点与点关于轴对称． (1)请在图中标出点和点； (2)求出的面积： (3)若在轴上有一点，且，求点的坐标． 【变式1-1】已知：，，． (1)在坐标系中描出各点，画出； (2)求四边形的面积（写出求解过程）； (3)设点P在y轴上，且与四边形面积相等，直接写出点P的坐标______． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是．    (1)的面积是________； (2)如果的三个顶点的纵坐标不变，横坐标增加3个单位长度，得到，在图中画出； (3)求平移到过程中横扫的面积； (4)图中与的大小、形状有什么关系？ 题型十三 坐标与几何综合 【例1】如图所示，，点在轴正半轴上运动，点在轴负半轴上运动，且．若点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·河南濮阳·期中）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限且，，过点B，点C向x轴作垂线，垂足分别为点F，点E．则点C的坐标为______． 【例2】如图，的三个顶点位置分别是，，，线段与y轴交于． (1)求的面积； (2)若点A、B的位置不变，当点P在坐标轴上什么位置时，使？ 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，点为轴负半轴上一点，点为轴正半轴上一点，其中满足：． (1)求点的坐标； (2)点为坐标轴上一点，且的面积为，求点的坐标． 【变式2-2】如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，点C的坐标为． (1)求a，b及的值； (2)若点M在y轴上，且，试求点M的坐标． 【例3】沿轴正方向平移10个单位长度得到，的顶点坐标如图所示． (1)点的坐标是________，点的坐标是________； (2)求四边形的面积． 【变式3-1】如图，在四边形中，，，已知． (1)点的坐标为 ； (2)在轴上找一点，使得． 【变式3-2】如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动 (1)求点的坐标． (2)当点移动4秒时，请求出点的坐标． (3)当点移动到距离轴3个单位长度时，求点移动的时间． 题型十四 坐标系中的规律探究 【例1】如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按点 点点点的线路移动，照此规律移动到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，点根据这个规律，探究可得点，，，…根据这个规律，探究可得点的坐标是______． 【例2】如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，…，那么点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】某校某班共有45名学生，在校广播操比赛中排成方阵，先把每名学生都进行编号，号码为1至45号，然后把各自的位置固定下来．如图，在平面直角坐标系中，每个编号都对应着一个点，例如1号的对应点是，3号的对应点是，16号的对应点是⋯⋯若该校全体学生（不少于2520名）按照上述规律排成一个大方阵，则编号是2025号的学生所在位置对应点是________． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…，依次扩展下去，则点的坐标为________________． 【例3】如图，光标起始时位于处，沿图中所示的方向移动，光标的运动轨迹如图所示，光标第1次改变方向时，光标的位置是，那么光标第2025次改变方向时，光标的位置是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点…按这样的规律，经过第2025次运动后，小蚂蚁的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，已知，…，依此规律，则点的坐标为___________． 【变式3-3】如图，弹性小球从点出发，沿箭头所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第1次碰到正方形的边时接触的点为，第2次碰到正方形的边时接触的点为…，第n次碰到正方形的边时接触的点为，则点的坐标为______． 【例4】（25-26九年级上·山西朔州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，…，若点，，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2025秒时，点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·甘肃临夏·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2026次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为_________． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别落在轴正半轴和轴正半轴上，．若将正方形绕点按顺时针方向依次旋转后得到正方形、正方形、正方形、正方形……则点的坐标是_____． 题型十五 用坐标表示位置的实际应用 【例1】下图是一个动物园游览示意图，以南门为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向． (1)请按要求建立平面直角坐标系． (2)写出图中动物园四个游览位置的坐标． 【变式1-1】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为． (1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，市场，超市的坐标； (3)已知游乐场A，图书馆B的坐标分别为，，请在图中标出A，B的位置． 【变式1-2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）2025国庆节中秋假期，中牟县文旅累计17次登陆央视多频道．几个网红景点的大致位置如图所示（1个单位长度表示），小亮想和来访的朋友介绍各个景点的位置，他在景点图上建立平面直角坐标系，用表示电影小镇的位置． (1)请你帮助小亮画出平面直角坐标系，并写出只有河南，奥特莱斯和绿博园的坐标． (2)请用方向角和距离的方式介绍牟山公园在电影小镇的哪个位置（）？ 【变式1-3】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）2025年9月3日举行了纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵，某校航空小组在操场上用5架无人机模拟阅兵中的空中梯队飞行，在预设的平面直角坐标系下，其中三架无人机在某一时刻的坐标分别为． (1)请你根据题目条件，在图中建立平面直角坐标系； (2)已知另外的两架无人机在这一时刻的坐标分别为，请在图中标出的位置．（用小实心圆表示） 【例2】你玩过五子棋吗？它的比赛规则是：两人各拥有一种颜色的棋子，每人每次在正方形网格（设每个网格的边长为1）的格点处下一子，两人轮流下，只要连续的同色的5个棋子先排成一条直线（横、竖、斜均可）就算获胜．如图，是两位同学正在玩的一盘棋，若棋盘上白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为． (1)请你根据题意，画出相应的平面直角坐标系； (2)在平面直角坐标系中找出坐标为的棋子，并在棋子上用数字3表示出来； (3)现轮到黑棋下，要使黑棋这一步获胜，请写出这一步黑棋的坐标（写出所有满足条件的坐标）． 【变式2-1】如图，x轴的正向表示东，y轴的正向表示北，每单位长为50米．请在直角坐标系中画出下列各地点的位置． (1)学校的餐厅． (2)学校的图书馆B，位于餐厅A的正北方向200米处． (3)学校的教学楼，位于餐厅北偏东 方向的250米处． (4)学校的体育馆，位于餐厅北偏西 方向的 米处． 【变式2-2】如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B，C，D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如：从A到B记为，从B到A记为，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中（____，_____），（____，_____），______ (2)若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为，，，，请在图中标出P的位置． (3)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程． 基础巩固通关测 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（   ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， 2．（25-26八年级上·山东聊城·期末）在“探索与发现展厅”有一个雷达探测器，如图，雷达探测器测得六个目标点，，，，，按照规定的目标表示方法，目标点，的位置分别表示为，，按照此方法在表示目标，，，的位置时，其中表示正确的是（   ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建漳州·期末）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落幕．如图是冬运会的会徽，将其放在平面直角坐标系中，、，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在直角坐标系中，先将点作关于x轴对称的点，再将点向下平移1个单位，得到的点的纵坐标是（   ） A．0 B．1 C． D． 5．（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，已知，，点的坐标是，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知点在第四象限，且点到两坐标轴的距离相等，那么的值为（    ） A． B．或 C． D．或 7．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图所示，阴影部分的匀质薄板置于平面直角坐标系中（单位：），原点为薄板左下角顶点，该匀质薄板的重心坐标为（  ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）和在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A，B的坐标分别为，点在x轴上，且．则点的坐标为______． 9．（25-26九年级上·广西钦州·期末）如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针方向旋转后得到，点A的对应点是点C，则点C的坐标是_____． 10．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴距离的较小值称为点的“短距”，点到轴，轴的距离相等时，称点为“等距点”． (1)求点的“短距”． (2)若点是“等距点”，求的值． 11．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，O为直角坐标系的原点，三个顶点坐标分别为． (1)以O为旋转中心，将逆时针旋转，请在网格中画出旋转后的； (2)画出与关于原点对称的； (3)直接写出点和点的坐标． 12．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点位于第二象限，且横、纵坐标都是整数，求点的坐标； (2)若将点向右平移3个单位，再向上平移5个单位，恰好横纵坐标相等，求点的坐标． 13．（25-26八年级上·浙江台州·期末）台州轨道交通实现了从无到有，畅通了城市发展脉络，逐步融入台州市民生活．下图是台州轨道交通线网图（部分）示意图，图中每个小正方形边长均为1个单位长度．若泽国站的坐标为，城南站的坐标为，请按要求解答下列问题： (1)在图中建立合适的平面直角坐标系； (2)温岭第一人民医院站的坐标为_______，万昌路的坐标为________； (3)若泽国站在万昌路站的北偏西方向上，则万昌路站在泽国站的什么方向上？ 能力提升进阶练 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 4．（2025·黑龙江·一模）在平面直角坐标系中，点不可能在第_____象限． 5．（2026·浙江·模拟预测）七巧板是我国古代著名的益智玩具，由一个正方形分割成七块几何图形组成，现把正方形边长为的图1七巧板拼成“小天鹅”形状，并放置在图2所示的直角坐标系中，则最高点的坐标为_________． 6．（2025·安徽滁州·二模）如图，网格中的每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫格点，的每个顶点都在格点上． (1)将向左平移个单位长度，得到，画出． (2)在平面直角坐标系中，与关于原点成中心对称，请画出． (3)请在轴上找一点，使的长度最短． 7．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数时，称点P为“完美点”． (1)点______（填“是”或“否”）“完美点”； (2)若点，，求a的值并判断点B是否为“完美点”； (3)若n为整数，点，求证：点C为“完美点”． 8．（2025·河南安阳·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，且a，b满足，将线段先向上平移，再向右平移，点A的对应点D的坐标为． (1)点A的坐标为_______，点B的坐标为_______，点B平移后的对应点C的坐标为_______； (2)已知线段与x轴交于点．若点P是线段右侧x轴上的一动点，连接平分交于点F，请仅就图1思考，，之间有什么样的数量关系，并写出你的证明过程． (3)若线段与y轴交于点，在y轴上是否存在点M，使得的面积是四边形面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2025·广西防城港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，，，点、分别为边、上的动点（不与端点重合），且，连接． (1)如图1，设的中点为，则点的坐标为 ． (2)如图2，将线段绕点逆时针旋转后得到线段（点的对应点为点），连接． ①当点的坐标为时，求线段的长； ②设点的坐标为的面积为，求关于的函数表达式． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 图形与坐标（复习讲义） （一）基础目标 1. 能复述平面直角坐标系的定义，明确x轴、y轴、原点、象限的划分规则。 2. 能建立适当的平面直角坐标系，写出三角形、矩形、正方形、平行四边形等简单凸多边形的顶点坐标。 3. 能复述点关于x轴、y轴、原点对称的坐标变化规律，能复述点沿x轴、y轴平移的坐标变化规律。 （二）进阶目标 1. 能根据实际情境建立平面直角坐标系，用坐标描述物体位置，理解原点、单位长度变化对坐标的影响。 能解决坐标系中与图形位置、距离相关的计算问题。 2. 能推导连续多次平移、对称变换的坐标变化规律，求出图形整体变换后的顶点坐标。能利用坐标法证明简单几何结论。 3.能理解“数（坐标）”与“形（图形）”的对应关系，运用数形结合思想分析坐标系中的几何问题。 （三）拓展目标 1. 能分析坐标系中组合图形（如多边形与三角形、矩形组合）的坐标特征，计算复杂图形的面积、周长。 能结合勾股定理、三角形/四边形性质，解决坐标系中的线段长度、角度计算、图形判定问题。 2. 能从点的坐标序列、图形运动轨迹中抽象出坐标变化规律（如循环、递变规律），用代数式表示规律并推导任意点坐标。能解决坐标系中的动态问题，分析坐标随运动的变化趋势。 3.能将现实定位、导航、测量等实际问题转化为坐标系问题，建立数学模型并求解。 知识点 重点归纳 常见易错点 平面直角坐标系的概念与点的坐标 ① 由公共原点且互相垂直的两条数轴（x轴、y轴）组成，分为四个象限； ② 平面内点与有序实数对一一对应，为横坐标，为纵坐标； ③ 各象限点的符号特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限； ④ 坐标轴上点的特征：轴上点，轴上点，原点。 ① 混淆横纵坐标，将写成； ② 记错象限符号，如将第二象限记为； ③ 误将坐标轴上的点归为某一象限内； ④ 书写坐标时遗漏括号或逗号。 点到坐标轴与原点的距离 ① 点到轴的距离：； ② 点到轴的距离：； ③ 点到原点的距离：（勾股定理推导）； ④ 平行于轴的直线上点纵坐标相等，平行于轴的直线上点横坐标相等。 ① 搞反距离与坐标：到轴距离用，到轴距离用； ② 计算距离时遗漏绝对值符号，直接写或； ③ 混淆平行于坐标轴直线的坐标特征。 图形在坐标系中的平移 ① 点的平移规律：左右平移：左减右加横坐标（）；上下平移：上加下减纵坐标（）； ② 图形平移本质：所有顶点按同一规律平移，平移后图形形状、大小、方向不变； ③ 作图步骤：找顶点→平移顶点→顺次连接。 ① 平移方向与坐标变化搞反：向左平移横坐标加，向右平移减； ② 误将上下平移改变横坐标，左右平移改变纵坐标； ③ 多次平移时跳步计算，导致坐标变换错误。 图形在坐标系中的对称 ① 点的对称坐标规律：关于轴对称：（横同纵反）；关于轴对称：（纵同横反）；关于原点对称：（横纵都反）； ② 图形对称本质：顶点对称后连接，对称前后图形全等。 ① 关于轴对称时错变横坐标，或同时变横纵坐标； ② 关于轴对称时错变纵坐标，混淆为原点对称； ③ 原点对称时只变一个坐标，导致符号错误。 坐标系中图形的表示与面积计算 ① 建立坐标系：根据图形对称性选原点、坐标轴与单位长度，写出多边形顶点坐标； ② 规则图形面积：直接用公式（如三角形、矩形面积公式）； ③ 不规则图形面积：割补法（分割为规则图形求和，或补成大图形减多余部分）。 ① 建立坐标系时单位长度不统一，导致坐标计算复杂； ② 求底和高时忽略坐标符号，未用绝对值算长度； ③ 不规则图形直接硬算，不会用割补法转化。 坐标确定位置与实际应用 ① 用坐标描述实际场景（地图、棋盘等）中物体的位置； ② 理解坐标法是平面定位的核心方法，体会数形结合思想； ③ 能根据实际需求调整原点与单位长度。 ① 实际问题中混淆坐标顺序，将行、列对应错横、纵坐标； ② 忽略单位长度变化对坐标的影响，导致定位偏差； ③ 不能将实际问题转化为坐标模型。 题型一 有序数对 【例1】王伟坐在教室的第5列、第6排，用数对表示，李林坐在教室的第7列、第2排，用数对表示．张乐与李林在同一列，在王伟的前一排，张乐的位置用数对表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可知，数对中第一个数表示列，第二个数表示排， ∵张乐与李林在同一列，李林在第7列， ∴张乐在第7列， ∵张乐在王伟的前一排，王伟在第6排， ∴张乐的排数为，即张乐在第5排， ∴张乐的位置用数对表示是． 【变式1-1】（25-26八年级上·四川成都·期中）根据下列表述，能确定准确位置的是（    ） A．天府大道中段 B．万达影城1号厅3排 C．北纬，东经 D．南偏东 【答案】C 【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置，逐项判断即可，熟练掌握用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置是解题的关键． 【详解】解： A． 天府大道中段，只是一个路段，不能确定具体点； B． 万达影城1号厅3排，缺少座位号，不能确定具体座位； C． 北纬，东经，是经纬度坐标，能唯一确定位置； D． 南偏东，只有方向，没有距离和起点，不能确定位置． 故选：C． 【变式1-2】如图是古诗《登飞来峰》，如果“云”用表示，“千”用表示，则“升”表示为__________． 登 飞 来 峰 飞 来 山 上 千 寻 塔 ， 闻 说 鸡 鸣 见 日 升 ． 不 畏 浮 云 遮 望 眼 ， 自 缘 身 在 最 高 层 ． 【答案】 【分析】本题考查了数对表示位置，即用数对（列数，行数）来确定平面内物体的位置．解题的关键是先明确数对中两个数分别对应“列”和“行”（通常先列后行），再通过已知的“云”“千”的数对确定列与行的计数规则，最后找到“升”所在的列和行，从而写出其数对表示．根据已知点“云”和“千”的坐标，以及古诗表格中“升”与“千”的位置关系，通过平移变换确定“升”的坐标． 【详解】解：观察古诗表格，“升”的位置相当于“千”的位置向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度得到的， 已知“千”用表示，因此“升”的横坐标为，纵坐标为，即坐标为． 故答案为：． 题型二 写出平面直角坐标系中点的坐标 【例1】在平面直角坐标系中，点A在第二象限，距离轴2个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平面直角坐标系中的点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，结合第二象限点的符号特征求解即可． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵点A距离x轴2个单位长度， ∴， ∴， ∵点A距离y轴3个单位长度， ∴， ∴， ∵点A在第二象限， ∴点A的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∴，即点A的坐标为． 【变式1-1】如图所示，等边三角形的边长为4，则点C的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得到高的长度，进而可以算出点的坐标． 本题考查了平面直角坐标系，等边三角形的性质，掌握概念是解题关键． 【详解】解：过点C作于点D， ∵等边三角形的边长为4， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 【变式1-2】已知点的坐标为，线段，且轴，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】根据轴，可知点的纵坐标为，分点在点左侧和点在点右侧两种情况求出点的坐标． 【详解】解：如下图所示， 点的坐标为，线段，且轴， 点的纵坐标为， 当点在点左侧时，点的横坐标为， 点的坐标为； 当点在点右侧时，点的横坐标为， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【变式1-3】（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为25，点A的坐标为，则点C的坐标为（______，______）． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形；由正方形的面积得正方形的边长为5，结合点A的坐标得点D的坐标，即可求得点C的坐标． 【详解】解：∵正方形的面积为25， ∴正方形的边长为5，即， ∵点A的坐标为， ∴点D的坐标为， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【例2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知点，且点A的纵坐标比横坐标大2，求点A的坐标． 【答案】点A的坐标是 【分析】本题考查了求点的坐标． 根据点，且点A的纵坐标比横坐标大2求出a的值，即可求出点A的坐标． 【详解】解：点，且点A的纵坐标比横坐标大2， ， ， ，， 点A的坐标是． 【变式2-1】（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)若点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平面直角坐标系点的坐标特征，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键． （1）根据轴上点的纵坐标为0，求出的值，再计算出横坐标即可； （2）根据与轴平行的直线上点的横坐标相同，求出的值，再计算出纵坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意得，点P在x轴上， 则，解得， 将代入得， ， 因此，点P的坐标为； （2）解：根据题意得，点Q的坐标为，直线轴， 则，解得， 将代入， 因此，点P的坐标为． 【变式2-2】在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点P在y轴上，求x的值； (2)若点P在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，点到坐标轴的距离，第一象限内点的坐标特点， （1）在y轴上的点横坐标为，据此列出方程求解即可； （2）根据第一象限内的点横纵坐标都为正，且点P到两坐标轴的距离和为9建立方程求出解即可得到答案． 【详解】（1）解：点在y轴上， ∴， 解得； （2）解：∵点在第一象限， 点P到x轴的距离为，到y轴的距离为， 点P到两坐标轴的距离之和为9， ∴， 解得， ∴， 点P的坐标为． 题型三 判断点所在的象限 【例1】若点在第一象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．直接利用第一象限点的坐标特点得出的符号，进而得出答案． 【详解】解：点在第一象限， ，则， 则点在第二象限． 故选：B． 【变式1-1】若，，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了判断点所在象限，由得，即横坐标为正；由得，即纵坐标为负，故点在第四象限，熟练掌握点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴点在第四象限， 故选：D． 【变式1-2】在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了判断点所在象限，根据轴上点的纵坐标为，求出的值，再代入点的坐标，根据坐标符号判断所在象限． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴点的坐标为，即， ∵点的横坐标，纵坐标， ∴点在第二象限． 故选：B． 【变式1-3】点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0． 点P的纵坐标恒为正，横坐标恒为负，故点P在第二象限． 【详解】解：点P的坐标为，其中纵坐标， ∵， ∴， ∴， 即横坐标， ∴点P在第二象限． 故选：B． 题型四 根据点所在现象求参数 【例1】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）若点M的坐标为，点N的坐标为，轴，则的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，根据该性质列方程即可求解． 【详解】解： 轴， 点和点的横坐标相等， 点的横坐标为，点N的横坐标为， ，解得． 【变式1-1】（25-26七年级上·山东威海·期末）点在y轴的负半轴上，则（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据y轴上点横坐标为0、负半轴上点纵坐标小于0这两个条件列方程和不等式求解． 【详解】解：∵点A在y轴的负半轴上， ∴且， 解，得或， 解，得， ∴． 【变式1-2】若点在第二象限，那么的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第二象限的点的横坐标为负，纵坐标为正列出不等式组即可求解． 【详解】∵点在第二象限， ∴， 解得：， 综上，． 【变式1-3】（25-26八年级上·陕西汉中·期末）若点在第二象限，则点所在象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查各象限内点的坐标的符号特征，解题的关键是掌握各象限的坐标特征． 需根据第二象限点的坐标符号判断a、b的正负性，再推导点B横纵坐标的符号，从而确定其所在象限． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∵，， ∴（异号两数相乘得负），（正数的相反数为负数）， ∴点的坐标符号为，对应第三象限， 故选：C． 题型五 点到坐标轴、原点的距离 【例1】已知点，则点A到x轴的距离为________，到y轴的距离为________． 【答案】 6 3 【分析】本题考查了点的坐标，解答本题的关键在于熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值． 根据平面直角坐标系中点的坐标几何意义进行解答即可． 【详解】解：点的坐标为，则点到轴的距离为，到轴的距离为． 故答案为：，． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，已知第一象限内的点到x轴的距离为2，则a的值为______． 【答案】6 【分析】本题考查了点的坐标特征，熟练掌握点的坐标特征是解此题的关键． 根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，结合点在第一象限，纵坐标为正，建立方程求解． 【详解】解：∵点到x轴的距离为2 ∴． ∵点P在第一象限， ∴， ∴， 解得． 故答案为6． 【变式1-2】在平面直角坐标系中，点，点，若轴，且，则______． 【答案】 或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，掌握平行于y轴的直线的特点，两点之间距离的计算是关键． 由与y轴平行可得点P和点Q横坐标相等，即；再根据，利用两点间距离公式求出n的值，进而计算． 【详解】解：∵点，点，且轴， ∴； 又∵， ∴，即， ∴或， 解得或； 当时，； 当时，； 故答案为：或． 【例2】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）在平面直角坐标系中，已知点P在第二象限，距离x轴3个单位长度，距离y轴1个单位长度，则P的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，解题的关键是明确第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正，以及点到坐标轴的距离与坐标的对应关系． 根据点到轴的距离为纵坐标的绝对值，到轴的距离为横坐标的绝对值，第二象限内点的横坐标，纵坐标求解即可． 【详解】解：∵ 点距离轴个单位长度， ∴ 的纵坐标的绝对值为， ∵ 点距离轴个单位长度， ∴ 的横坐标的绝对值为， 又∵ 点在第二象限，第二象限内点的横坐标，纵坐标， ∴ 点的坐标为． 故选：C． 【变式2-1】如图，将5个边长均为3的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图形可得轴，，轴，可求正方形的边长，即可求解． 【详解】解：∵顶点M、N的坐标分别为、， ∴轴，，轴， ∴正方形的边长为3， ∴， ∴， ∵ ， ∴轴， ∴． 故选：A． 【变式2-2】（25-26七年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，且点到两坐标轴的距离之和为7，写出一个符合条件的点的坐标： ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查平面直角坐标系中第二象限内点的坐标特征及点到坐标轴距离的定义，关键是牢记：第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正；点到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴点的横坐标，纵坐标； 又∵点到两坐标轴的距离之和为7，即， 不妨取，则， ∴， 又， ∴， ∴符合条件的点的坐标为； 故答案为：(答案不唯一)． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，点在y轴上，距离原点3个单位长度，则点A的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据题意，得，解答即可． 本题考查了点在y轴上的坐标特点，距离的意义，熟练掌握特点和意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 故或， 故答案为：或． 题型六 确定物体的位置 【例1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，雷达探测器在一次探测中发现六个目标．若目标A、B的位置分别记为、，则目标E的位置记为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用方向角和距离确定物体的位置，用有序数对表示位置等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据A、B的位置记法的意义，得出目标E的位置记法． 【详解】解：因为A、B的位置分别记为、， 可知第个数为从里向外数的圈数，第2个为所在度数， 所以目标E的位置为第4圈，度数为，记为 ， 故选：C． 【变式1-1】（25-26八年级上·河北保定·期末）北京时间2025年10月23日20时28分06秒，台湾南投县发生4级地震，震源深度28千米．以下能够准确表示这次地震震中位置的是（   ） A．北纬 B．东经 C．台湾中部偏西方向 D．北纬，东经 【答案】D 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解坐标的定义是解题的关键．根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可． 【详解】解：A．北纬无法确定这次地震震中位置，故此选项不合题意； B．东经无法确定这次地震震中位置，故此选项不合题意； C．台湾中部偏西方向无法确定这次地震震中位置，故此选项不合题意； D．北纬，东经能确定这次地震震中位置，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（25-26七年级上·重庆北碚·期末）如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线成角，则射线表示的方向是（    ） A．北偏西方向 B．北偏东方向 C．南偏东方向 D．南偏东方向 【答案】D 【分析】本题考查了方位角，根据概念，结合射线的方位角以及的度数，求出，进而确定的方位角． 【详解】解：射线与射线成角， ， 是北偏东方向的一条射线， ， ， ， 即射线表示的方向是南偏东． 故选：D． 【变式1-3】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）以下是小莹和小亮关于家、学校、图书馆位置的对话： 小莹：学校在我家的北偏东方向，与我家的距离为米；图书馆在我家的正北方向． 小亮：学校在图书馆的正东方向；我家在你家和学校连线的中点处． 请根据以上信息，用方向和距离表示图书馆相对于小亮家的位置为___________． 【答案】北偏西方向，距小亮家500米 【分析】本题主要考查方位角表示地理位置，根据对话建立坐标系，以小莹家为原点，北为y轴正方向，东为x轴正方向，通过坐标计算和小亮家位置，确定图书馆相对于小亮家的方向和距离． 【详解】解：如图所示，一个单位长度表示米， ∴设小莹家为点，学校为点A，图书馆为点B，小亮家为点C，， ∵学校在图书馆的正东方向， ∴轴，即， ∵小亮家在小莹家和学校连线的中点处，即点为的中点， ∴， ∴（米），， ∵小亮家所在方向的正北方与平面直角坐标系的y轴平行， ∴点B在点C的北偏西方向，距小亮家500米处， ∴图书馆相对于小亮家的位置为北偏西方向，距小亮家500米处， 故答案为：北偏西方向，距小亮家500米． 题型七 在坐标系中画图及写出点的坐标 【例1】（1）如图，写出平面直角坐标系内点M，N，L，O，P的坐标； （2）在平面直角坐标系内描出点，，，． 【答案】（1）所求各点的坐标为；（2）见解析 【分析】（1）根据点在平面直角坐标系中的位置，写出点的坐标即可； （2）根据点的坐标，在坐标系中描点即可． 【详解】解：如图，所求各点的坐标为： （2）A，B，C，D各点的位置如图所示． 【变式1-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知在平面直角坐标系中，有点和点，且，． (1)在平面直角坐标系中描出三个点； (2)点的坐标为_____． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查平面直角坐标系，两点间距离，熟练掌握平面直角坐标系中两点间的距离是解题的关键． （1）根据坐标的特征标出点即可； （2）根据坐标系中两点的距离，即可得到点D的坐标． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：，， 或，即或． 故答案为：或． 【变式1-2】（1）写出图中A，B，C，D各点的坐标； （2）描出下列各点：； （3）顺次连接A，B，C，D各点，再顺次连接E，F，G，H，点A，B，C，D围成的封闭图形是什么图形？ 【答案】（1）；（2）见解析；（3）正方形 【分析】本题考查平面直角坐标系，掌握在平面直角坐标系中写出点的坐标与根据坐标描点是解题的关键． （1）由图直接写出各点的坐标即可； （2）根据各点的坐标的坐标直接描点； （3）根据图形即可解答． 【详解】解：（1）各点坐标分别为； （2）所求各点如图所示； （3）如图所示，围成的封闭图形是是正方形． 题型八 坐标系中的平移 【例1】将向右平移3个单位后得到点B，则点B坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标的平移，根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减列式计算即可得解． 【详解】解：将点向右平移3个单位得到点B， ，即． 故选：A． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的平移规律，掌握点的平移规律：“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”是解题的关键． 根据点的平移规律解答即可． 【详解】将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度， 得到点的坐标是，即． 故选：D． 【变式1-2】如图，将“笑脸”图标先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，则在“笑脸”图标中的点P的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据坐标与图形变化中平移的特征即可求解． 【详解】解：由题意，向右平移个单位，再向下平移个单位， 点的对应点的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标中图形平移的特征，熟练掌握相关性质是解题关键． 【变式1-3】将点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】点的横坐标减，纵坐标减即可得到平移后点的坐标． 【详解】解：点的横坐标为，纵坐标为， 所以点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查点的平移规律，用到的知识点为：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减． 【例2】在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据点平移后的对应点为，得出平移的方式，再根据平移的规律，即可得出答案． 【详解】解：∵点平移后的对应点为， ∴平移方式为向左平移个单位，向下平移4个单位， ∴点平移后的对应点的坐标是． 【变式2-1】的顶点A坐标为，若将沿轴平移5个单位长度，则A点坐标变为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，沿x轴平移时纵坐标不变，横坐标遵循“右加左减”的规则，需分向右平移和向左平移两种情况计算． 【详解】解：点沿x轴平移时，纵坐标保持不变，横坐标右移加、左移减， 分两种情况： 当沿轴向右平移5个单位长度时，A点坐标变为，即； 当沿轴向左平移5个单位长度时，A点坐标变为，即； 综上，A点坐标变为或， 故选：C． 【变式2-2】（25-26八年级上·山东淄博·期末）若点，向右平移3个单位长度后得到点，则a，b的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点的平移规律，解题的关键是掌握该规律． 根据点向右平移时横坐标增加、纵坐标不变的规律，结合平移后点的坐标列等式求解即可． 【详解】解：∵ 点向右平移3个单位长度后，新点坐标为，即， 又∵ 平移后得到点， ∴ ，且， 解得 ， 故选：B． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，将平移后得到，若平移后点B的对应点D的坐标为，则点A的对应点C的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，掌握坐标平移变化规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 先根据平移后点的对应点D的坐标为，得出是向右平移2个单位，向上平移1个单位得到，再由坐标平移变化规律“左减右加，上加下减”得出点C的坐标即可． 【详解】解：∵将平移后得到，平移后点的对应点D的坐标为， ∴是向右平移2个单位，向上平移1个单位得到， ∴点是向右平移2个单位，向上平移1个单位得到点C， ∴点C的坐标为，即． 【例3】在平面直角坐标系中，将点平移到点处，则下列方法正确的是（    ） A．向右平移6个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向左平移6个单位长度 D．向左平移4个单位长度 【答案】C 【分析】根据 “左减右加、上加下减”的平移规律，结合平移前后点的坐标变化确定平移方向与距离． 【详解】解：∵平移前点P的坐标为，平移后点的坐标为， ∴纵坐标保持不变，横坐标的变化量为， ∴根据“左减右加”的平移规律，点P需向左平移6个单位长度． 【变式3-1】将点先向__________平移__________个单位长度，再向__________平移__________个单位长度，可得到点． 【答案】 左 5 上 4 【分析】本题考查了坐标系中点的平移规律，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．掌握以上知识点是解题的关键． 根据点平移时坐标的变化规律，横坐标左减右加，纵坐标下减上加，计算从点到点的总变化，再分解为两次平移即可． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， 横坐标从变为，减少了，纵坐标从变为，增加了， 因此点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，可得到点， 故答案为左，，上，． 【变式3-2】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）象棋是中国传统棋类，其中“馬”走“日”，如图，“帥”位于点，“馬”位于点，若“馬”要“将军”（一方的棋子要在下一招棋把对方的“将”或“帥”吃掉），可以走到，则其平移过程是_______． 【答案】向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度或向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移；根据两点的坐标即可确定平移过程． 【详解】解：“馬”位于点，若“馬”要“将军”可以走到，则平移过程为向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度或向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度． 故答案为：向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度或向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度． 【变式3-3】苹果熟了，一个苹果从树上掉下来．如图，苹果从处落到了处．（网格单位长度为1） (1)写出，两点的坐标； (2)苹果由处落到处，可看作由哪两次平移得到的？ 【答案】(1)    (2)先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度． （或者先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度）． 【分析】此题主要考查了作图平移变换，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． （1）根据平面直角坐标系写出坐标即可，注意横坐标在前，纵坐标在后； （2）根据、的坐标可得平移方法． 【详解】（1）解：，． （2）解：先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度． （或者先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度）． 【例4】在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—平移．根据平移的逆变换求解点M的坐标，即可． 【详解】解：∵向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合， ∴点的坐标为，即． 故选：C． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后与点重合，则点A坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，逆向思考，把点先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后可得到A点坐标． 【详解】解：在坐标系中，点先向右平移4个单位得，再把向下平移2个单位后的坐标为，则A点的坐标为． 故选：A． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后所得点的坐标是，则m，n的值分别是________． 【答案】， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键． 根据坐标平移的规律，向左平移使横坐标减少，向上平移使纵坐标增加；从平移后的点坐标逆推原坐标，可列方程求解 【详解】解：∵点 先向左平移个单位长度，横坐标减少，变为 ；再向上平移个单位长度，纵坐标增加，变为， ∴平移后点坐标为， ∵与给定点相等， ， 解得 ， 故答案为：，． 【例5】已知，直线平行于轴，，那么点的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据点坐标及直线轴可知点和点的横坐标相等，再由，分类讨论求出的纵坐标即可． 【详解】∵，直线平行于轴，， ∴分类：①点在点的上方，则，即； ②点在点的下方，则，即． 综上，点的坐标或． 【变式5-1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）线段平行于轴，点的坐标为，点在点的右侧，且，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，关键是熟练应用坐标特征解题； 由于线段平行于轴，点和点的纵坐标相同，根据点在点的右侧求解即可． 【详解】解：∵点的坐标为，线段平行于轴， ∴点的纵坐标与点相同为； 设点的横坐标为， ∴， ∵点在点右侧，， ∴， 解得， 故点的坐标为， 故答案为：． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，点，，若直线轴，则的值为_______． 【答案】1 【分析】本题考查了坐标与图形性质，平行于轴的直线上点的纵坐标相等．熟练掌握平面直角坐标系中平行于轴的直线上点的特征是解题的关键． 根据平行于轴的直线上点的纵坐标相等列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：直线轴， 点和点的纵坐标相等， ， 解得， 故答案为：1． 题型九 坐标系中的对称 【例1】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据原点对称，横坐标相反，纵坐标也相反解答即可． 本题考查了原点对称，熟练掌握对称的特点是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得点关于原点对称的点的坐标为， 故选：A． 【变式1-1】如图，点A关于原点的中心对称点是（   ） A．点P B．点Q C．点K D．点R 【答案】C 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【详解】解：由图知A点的坐标为 ∴A关于原点的中心对称点，即K点． 故选：C． 【变式1-2】如图，的对角线相交于坐标原点，若点的坐标为，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据题意利用平行四边形性质及关于原点对称的点坐标特点即可求解． 【详解】解：∵点A的坐标为，， ∴C点与A点关于原点对称， ∴． 【例2】已知点与点是关于原点O的对称点，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了已知两点关于原点对称求参数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据“关于原点对称的两个点的横、纵坐标分别互为相反数”求解． 【详解】解：∵点与点关于原点O对称， ∴，， 故选：A． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用关于原点对称的点的坐标特征，即横纵坐标互为相反数，先求出和的值，再代入代数式计算结果即可． 【详解】解：点，关于原点对称， ，， 将，，代入， 可得：． 【变式2-2】（25-26九年级上·山东日照·期末）已知点与点关于原点对称，则_____． 【答案】1 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，用到的知识点为：两点关于原点对称，这两点的横纵坐标均互为相反数． 利用关于原点对称点的坐标性质，让所给两点的横纵坐标互为相反数求得，的值，即可得出答案． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， 则． 故答案为：． 【变式2-3】（25-26九年级上·广东惠州·期末）已知点与点关于原点对称，则________． 【答案】 2026 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握“两点关于原点对称时，它们的横、纵坐标均互为相反数”这一性质． 根据关于原点对称的坐标性质，得到与互为相反数，与互为相反数；求出、的值后，计算mn的乘积． 【详解】解：∵ 点与点关于原点对称， ∴ ． ∴ ． 故答案为：2026． 【例3】在平面直角坐标系中，有，，，四点，其中关于原点对称的两点为（　　） A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点D和点A 【答案】D 【分析】根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：A、点与点关于原点不对称，故此选项不符合题意； B、点与点关于原点不对称，故此选项不符合题意； C、点与点关于原点不对称，故此选项不符合题意； D、点与点关于原点对称，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标，解题关键是掌握点关于原点O的对称点是． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，已知点和点，则A、两点（  ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】C 【分析】根据这两点的坐标特点，即可判定． 【详解】解：点和点的横纵坐标都互为相反数， A、两点关于原点对称， 故选：C． 【点睛】本题考查了关于坐标轴及原点对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用关于坐标轴及原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，点与点是关于某点成中点对称的两点，则对称中心的坐标为___________ 【答案】 【分析】根据两个点的横纵坐标均为相反数，得到两个点关于原点对称，即可． 【详解】解：∵，，两个点的横纵坐标均为相反数， ∴点关于原点对称， ∴对称中心的坐标为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与中心对称．解题的关键是掌握关于原点对称的两个点的横纵坐标均为相反数． 【例4】（25-26七年级上·山东泰安·期末）已知在直角坐标系中的位置如图所示，如果与关于轴对称，那么点的对应点的坐标为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标系中对称点的坐标特征，关键掌握关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数． 先与关于轴对称推出点和点也关于轴对称，再通过平面直角坐标系得到点坐标，然后求解点的坐标即可． 【详解】解： ∵与关于轴对称， ∴点和点也关于轴对称， ∵由图可知点的坐标为， ∴点的坐标为． 故选：B． 【变式4-1】（25-26七年级上·山东淄博·期末）春节是中华民族的传统节日，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，在平面直角坐标系中，，两处灯笼的位置关于直线对称，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称，先求出点、的中点坐标为，再结合点、的纵坐标相同，两点的连线平行于轴，得出其垂直平分线是垂直于轴的直线，从而得出直线为直线，即可得出结果，正确求出点、的中点坐标为是解此题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，，两处灯笼的位置关于直线对称， ∴点、的中点坐标为，即 ， ∵点、的纵坐标相同，两点的连线平行于轴， ∴其垂直平分线是垂直于轴的直线， ∵点、的中点坐标为， ∴直线为直线， ∴直线一定经过点， 故选：B． 【变式4-2】（25-26八年级上·江西吉安·期末）如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以镜面为轴，镜面侧面为（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶点点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则________． 【答案】1 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 根据平面镜成像原理，点与关于轴对称，根据对称的性质可列方程求出的数值，代入计算即可求解． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 题型十 坐标系中的旋转 【例1】（2025·湖北鄂州·一模）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形，旋转性质，先作出平面直角坐标系，根据旋转性质，得出，根据同角的余角相等，得出，得证，结合点，即可作答． 【详解】解：如图：过点P和分别作轴，作轴， 由点得，， 由旋转性质得， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴的坐标为， 故选：B． 【变式1-1】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，将线段绕点旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． 当顺时针旋转时，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，由点的坐标可得：，，由旋转可得：，，证明，得到，，即可求解； 当逆时针旋转时，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，由点的坐标可得：，，由旋转可得：，，证明，得到，，即可求解． 【详解】 解：①当线段顺时针旋转时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，连接， 点的坐标为， ， 由旋转可得：， ， ， 轴 在和中 点的坐标为 ②当线段逆时针旋转时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，连接 点的坐标为， ， 由旋转可得： ，， 轴 在和中， 的坐标为 故选：B． 【变式1-2】在平面直角坐标系中，已知点，若将绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查了求绕原点旋转的点的坐标，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，过点作轴于，过点作轴于，进而证明是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于， ∵绕坐标原点逆时针旋转至， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查图形旋转，根据题意画出图形旋转后的位置，确定对应点的坐标． 【详解】解：位置如图． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 【例2】如图，三个顶点的坐标分别为，，，将绕点C按顺时针方向旋转，得到，则点D的坐标为（　  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质．直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，轴， ∵绕点C按顺时针方向旋转，得到， ∴，， ∴B，C，D三点在一条直线上， ∴， 故选：B． 【变式2-1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点B按顺时针方向旋转，则点A的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转作图，旋转性质，点的坐标，根据题意，建立平面直角坐标系，再结合旋转的性质，得出点的位置，最后读取点的坐标，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点B按顺时针方向旋转， ∴点A的对应点的坐标为， 故答案为：． 【变式2-2】如图，将线段AB绕点B顺时针旋转，得到线段，则点A的对应点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、旋转的性质，根据旋转的性质作图即可． 【详解】解：将线段AB绕点B顺时针旋转得到线段如图所示， 点A的对应点的坐标是 故答案为： 【例3】（25-26九年级上·云南玉溪·期中）平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕原点顺时针旋转得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点坐标的变换，掌握点关于原点对称的特点是关键． 线段绕原点O旋转，相当于点A关于原点中心对称，坐标变为相反数． 【详解】解：∵点绕原点O旋转， ∴点与点A关于原点对称， 即x坐标和y坐标均取相反数， ∴， 故选：C． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转所得点的坐标是___． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化-旋转，根据绕原点旋转后两点关于原点对称，再根据关于坐标原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数解答． 【详解】解：∵点绕原点旋转后所得点与点A关于坐标原点对称， ∴所得的点的横坐标为3，纵坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【变式3-2】将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化和旋转求出旋转后与轴夹角为，然后求出点的横坐标与纵坐标，从而得解． 【详解】如图， 三角板绕原点顺时针旋转， 旋转后与轴夹角为， ， ， 点的横坐标为 ， 纵坐标为 ， 所以，点的坐标为． 故选：C． 题型十一 坐标系中的平移、对称、旋转作图问题 【例1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，． (1)已知与关于轴对称，作出； (2)请求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系、轴对称、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图， 由勾股定理可知，． 【变式1-1】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)画出关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)将绕点A顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和中心对称，正确找到对应点的位置是解题的关键． （1）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）根据网格的特点和旋转方式找到点的位置，描出点，再顺次连接点即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则点的坐标为； （2）解：如图所示，即为所求，则点的坐标为． 【变式1-2】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)画出向上平移4个单位，再向右平移5个单位得到的； (2)作出点关于轴的对称点．若把点向右平移个单位长度后落在的内部(不包括顶点和边界)，请写出满足条件的的取值范围______； (3)在轴上画出点，使的值最小． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析 【分析】本题考查平面直角坐标系中的图形平移、关于轴对称的点的坐标特征、平移后点的位置范围以及最短路径问题． （1）根据“上加下减纵坐标，右加左减横坐标”的平移规则，计算出各顶点平移后的坐标，再顺次连接即可得到平移后的图形； （2）先根据关于轴对称的点的坐标特征求出的坐标，再写出平移后点的坐标，结合的顶点坐标分析该点在内部时横坐标的范围，进而求解的取值范围； （3）利用将军饮马模型，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，此时的值最小，依据是两点之间线段最短． 【详解】（1）解：根据平移规则：向上平移4个单位则纵坐标加4，向右平移5个单位则横坐标加5． 点，平移后的坐标为； 点，平移后的坐标为； 点，平移后的坐标为； 顺次连接、、，得到如图所示： （2）解：点关于轴的对称点； 将向右平移个单位长度后得到的点坐标为； 要使该点落在的内部(不包括顶点和边界)，观察的顶点坐标、、： 当纵坐标为2时，内部的点横坐标需满足，解得； 故答案为：． （3）解：作点关于轴的对称点；连接，与轴交于点，点即为所求． 【变式1-3】（25-26九年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于点O成中心对称的； (2)作出绕点O顺时针旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图——旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 题型十二 坐标系中的图形的面积计算 【例1】如图，在平面直角坐标系内，点的坐标为，点与点关于轴对称． (1)请在图中标出点和点； (2)求出的面积： (3)若在轴上有一点，且，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，解题的关键是掌握坐标平面点的特征，灵活运用所学知识解决问题． （1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点C的坐标，再在坐标系中描出点A和点C即可； （2）根据求解即可； （3）根据题意可得，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点与点关于轴对称， ∴点C的坐标为， 如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，； （3）解：由（2）可知， ∴， ∵， ∴， ∴点D的坐标为或． 【变式1-1】已知：，，． (1)在坐标系中描出各点，画出； (2)求四边形的面积（写出求解过程）； (3)设点P在y轴上，且与四边形面积相等，直接写出点P的坐标______． 【答案】(1)见详解 (2) (3)， 【分析】本题考查了平面直角坐标系中作图，割补法求不规则图形面积等； （1）根据坐标描出各点，连线，即可求解； （2）由即可求解； （3）由三角形面积得，可得，即可求解； 能熟练作图，并利用割补法求面积是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 为所求作； （2）解：如图， ， 故四边形的面积为； （3）解：由题意得 ， ， 解得：， ， ， 解得：或， 点P的坐标，； 故答案为：，． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是．    (1)的面积是________； (2)如果的三个顶点的纵坐标不变，横坐标增加3个单位长度，得到，在图中画出； (3)求平移到过程中横扫的面积； (4)图中与的大小、形状有什么关系？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)30 (4)大小、形状相同． 【分析】（1）利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解； （2）根据网格结构，找出点A、B、C向右平移3个单位的对应点的位置，然后顺次连接即可； （3）利用计算即可求解； （4）根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小解答． 【详解】（1）解：∴； 故答案为：15； （2）解：如图所示，    （3）解：平移到过程中横扫的面积为； （4）解：与的大小、形状相同． 【点睛】本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，平移变换的性质，熟练掌握网格结构，找出对应点的位置是解题的关键． 题型十三 坐标与几何综合 【例1】如图所示，，点在轴正半轴上运动，点在轴负半轴上运动，且．若点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，过点P作 轴于E，作轴于F，根据点P的坐标可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形性质得出，，然后求出，再写出点B的坐标即可． 【详解】解：过点P作轴于E，作轴于F，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， 故选：D． 【变式1-1】用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据题意列出二元一次方程组，求出，从而可得点的坐标为，即可解答． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，根据题意，得， 解得， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 故选：B． 【变式1-2】（25-26八年级上·河南濮阳·期中）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限且，，过点B，点C向x轴作垂线，垂足分别为点F，点E．则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定．坐标与图形，先证明，得出，即可求解． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例2】如图，的三个顶点位置分别是，，，线段与y轴交于． (1)求的面积； (2)若点A、B的位置不变，当点P在坐标轴上什么位置时，使？ 【答案】(1)6 (2)或或或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的特征及三角形的面积，掌握三角形的面积公式及点在平面直角坐标系中的位置是解题的关键． （1）根据点A，B，C三个点的坐标，求出的长、点B到的距离，利用三角形面积公式列式计算即可得解； （2）根据得到，然后分两种情况，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵、、， ∴，点B到的距离为3， ∴的面积是； （2）解：由题意得，， 当P点在x轴上， ∴ 解得， ∵ ∴点P坐标为或； 当点在轴上时，记线段与y轴交于， ∵ ∴ ∴， ∴点P坐标为或， 综上：点P坐标为或或或． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，点为轴负半轴上一点，点为轴正半轴上一点，其中满足：． (1)求点的坐标； (2)点为坐标轴上一点，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】本题考查了二次根式和绝对值的非负性、二元一次方程组的解： （1）根据二次根式和绝对值的非负性求解即可； （2）分情况讨论即可． 【详解】（1） 解得： （2）当点为轴上一点 设 的面积为 解得：或 或 当点为轴上一点 设 的面积为 解得：或 或 综上，点的坐标为：或或或． 【变式2-2】如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，点C的坐标为． (1)求a，b及的值； (2)若点M在y轴上，且，试求点M的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形、非负数的性质等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）根据非负数的性质解得的值，再根据三角形面积公式求得的值即可； （2）设点的坐标为，则，由题意可得，可得，解方程即可获得点的坐标． 【详解】（1）解：∵，, ∴， ∴，， ∴，， ∴点，点， 又∵点， ∴，， ∴； （2）解：设点的坐标为，则， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得 或， 故点的坐标为或． 【例3】沿轴正方向平移10个单位长度得到，的顶点坐标如图所示． (1)点的坐标是________，点的坐标是________； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)   (2)四边形ACED的面积为63 【分析】本题主要考查了图形的平移，点的坐标，四边形的面积等知识点，掌握平移的性质，是解答本题的关键． （1）平移前后两个三角形全等，对应边相等，由此可得点的坐标； （2）根据即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴，， ∵沿轴正方向平移个单位长度得到， ∴，，， ∴点的坐标是，点的坐标是； （2）解：四边形可看作是一个长方形和一个三角形的面积之差， ． 【变式3-1】如图，在四边形中，，，已知． (1)点的坐标为 ； (2)在轴上找一点，使得． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了坐标与平面综合，坐标系中三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据平行于轴的直线上两点纵坐标相等，横坐标差的绝对值即为两点的距离求解即可； （2）根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解： ∵， ∴， ∴， ∴或． 【变式3-2】如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动 (1)求点的坐标． (2)当点移动4秒时，请求出点的坐标． (3)当点移动到距离轴3个单位长度时，求点移动的时间． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】本题考查坐标与图形的性质，非负性的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）利用非负数的性质可以求得的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标； （2）根据题意点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，可以得到当点P移动4秒时，点P的位置和点P的坐标； （3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可． 【详解】（1）解：∵a、b满足， ∴， 解得， ∴点B的坐标是； （2）解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动， ∴点移动4秒时，点P的路程：， ∵ ∴当点P移动4秒时，在线段上， 即当点P移动4秒时，此时点P的坐标是； （3）解：由题意可得，在移动过程中，当点P到y轴的距离为3个单位长度时，存在两种情况： 第一种情况，当点P在上时， 点P移动的时间是：（秒）， 第二种情况，当点P在上时． 点P移动的时间是：（秒）， 综上分析可知：在移动过程中，当点P到y轴的距离为3个单位长度时，点P移动的时间是秒或秒． 题型十四 坐标系中的规律探究 【例1】如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按点 点点点的线路移动，照此规律移动到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标规律，根据题意总结出点的坐标变换规律是解题的关键．根据已知点的坐标寻找规律并应用解答即可． 【详解】解：由题意得：，，，，，，， 以此类推，可知，每运动4次为一个循环， 照此规律移动到点，则点的横坐标始终是n，即， 纵坐标为，0，2，0循环， ， 则点的横坐标为2025，纵坐标为，即， 故选：B． 【变式1-1】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点坐标规律问题，找准首次变化点的坐标以及变化规律是解题的关键．依次分析每次变化后横坐标和纵坐标的取值，找出规律即可求解． 【详解】解：由运动规律可知，每运动一次都向右移动了一个单位， 因此第2023次运动后的横坐标为2023， 观察纵坐标可知，从第一次运动到的点开始，依次为1，0，2，0四个数循环， 由可知第2023次运动后的纵坐标为2， 经过第2023次运动后，动点P的坐标是． 故选：B． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，点根据这个规律，探究可得点，，，…根据这个规律，探究可得点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律． 由图形得出点的横坐标依次是1、2、3、4、、，纵坐标依次是2、0、、0、2、0、、，四个一循环，继而求得答案． 【详解】解：观察图形可知，点，，，的横坐标依次是1、2、3、4、、，纵坐标依次是2、0、、0、2、0、、，四个一循环， 而， 故点坐标是． 故答案为：． 【例2】如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，…，那么点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，观察可得，每4个点为一个循环，纵坐标依次为1，1，0，0，每个循环横坐标增加2，计算出的商和余数即可得到答案． 【详解】点、、、、、、、、、…， ∴每4个点为一个循环，纵坐标依次为1，1，0，0，每个循环横坐标增加2， ∵， ∴点纵坐标为1，横坐标为， 点的坐标为． 故选：B． 【变式2-1】某校某班共有45名学生，在校广播操比赛中排成方阵，先把每名学生都进行编号，号码为1至45号，然后把各自的位置固定下来．如图，在平面直角坐标系中，每个编号都对应着一个点，例如1号的对应点是，3号的对应点是，16号的对应点是⋯⋯若该校全体学生（不少于2520名）按照上述规律排成一个大方阵，则编号是2025号的学生所在位置对应点是________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，找到所有奇数的平方数所在位置是解题的关键．观察图的结构，发现所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上，即可得到答案． 【详解】解：观察图的结构，发现所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上． ∵， ∴． ∴． ∴编号是2025号的学生的位置对应的坐标是． 故答案为：． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…，依次扩展下去，则点的坐标为________________． 【答案】 【分析】本题考查了点的规律，根据图中信息以及点的分布情况，得每一象限一类，周期为4，则点在第四象限，再结合点，，，且这些点的横坐标都是下标与1的和除以4得到的，纵坐标与横坐标互为相反数，所以的横坐标为，纵坐标为，即可作答． 【详解】解：根据点的特征，把这些点分为4类，每一象限一类，周期为4， 则， 点在第四象限． 点，，，且这些点的横坐标都是下标与1的和除以4得到的，纵坐标与横坐标互为相反数， 点的横坐标为，纵坐标为， 的坐标为． 故答案为： 【例3】如图，光标起始时位于处，沿图中所示的方向移动，光标的运动轨迹如图所示，光标第1次改变方向时，光标的位置是，那么光标第2025次改变方向时，光标的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查点坐标规律的探索，掌握移动的规律是解题的关键．由题知光标移动5次又回到点处，结合即可求解． 【详解】根据题意，光标移动5次又回到点处， ， 光标第2025次改变方向时，光标的位置是． 故选：D． 【变式3-1】如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点…按这样的规律，经过第2025次运动后，小蚂蚁的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点坐标的规律，找出每运动2次，小蚂蚁的横坐标增加1，纵坐标增加1是解题的关键． 先找出规律，再根据规律求解即可． 【详解】解：观察图形可得，每运动2次，小蚂蚁的横坐标增加1，纵坐标增加1， ∵， ∴经过第2025次运动后，小蚂蚁的横坐标为，纵坐标为， ∴小蚂蚁的坐标是， 故选：D． 【变式3-2】如图，已知，…，依此规律，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，，据此可求得的坐标． 【详解】解：∵，，，，，，，…，， ∴可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为， ∵， ∴的坐标为． 故答案为：． 【变式3-3】如图，弹性小球从点出发，沿箭头所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第1次碰到正方形的边时接触的点为，第2次碰到正方形的边时接触的点为…，第n次碰到正方形的边时接触的点为，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，点的坐标．解题的关键是能够正确找到循环数值，从而得到规律． 按照反弹规律依次画图再长出坐标的变化规律即可． 【详解】解：如图： 根据反射角等于入射角画图，可知小球从反射后到，再反射到，再反射到，再反射到P点之后，再循环反射，每6次一循环， …3， 点的坐标是 故答案为：． 【例4】（25-26九年级上·山西朔州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，…，若点，，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变换-旋转，解题的关键是根据题意找到坐标变化的规律．求出和的周长，观察旋转的规律可得答案． 【详解】解：， ， 的周长为， 由图可知，， 根据旋转的规律可得，， 当时，； 即； 故选：C． 【变式4-1】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2025秒时，点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标规律探索，找出一般规律，是解题的关键．根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：B． 【变式4-2】（25-26九年级上·甘肃临夏·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2026次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点对应点的坐标，发现规律是解题的关键． 根据旋转的性质可得点的坐标与点的坐标相同，利用已知条件求出即可得解． 【详解】正方形绕点逆时针旋转， ，每旋转次回到原来位置， 余， 点的坐标与点的坐标相同， 已知点，则点，旋转后点，再旋转后点， 点的坐标为． 故答案是． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别落在轴正半轴和轴正半轴上，．若将正方形绕点按顺时针方向依次旋转后得到正方形、正方形、正方形、正方形……则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了旋转规律探究，坐标与图形，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；根据题意得出规律为每旋转次后点回到初始位置，点的坐标与的坐标相等，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵将正方形绕点按顺时针方向依次旋转， ∴每旋转次后点回到初始位置， ∵ ∴点的坐标与的坐标相等， 如图，过点作轴的垂线，垂足为点， ∵ ∴ ∴，即点的坐标是 故答案为：． 题型十五 用坐标表示位置的实际应用 【例1】下图是一个动物园游览示意图，以南门为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向． (1)请按要求建立平面直角坐标系． (2)写出图中动物园四个游览位置的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)马，狮子，飞禽，两栖动物 【分析】此题主要考查平面直角坐标系中点坐标的相关知识，正确的建立坐标系是解答的关键． （1）根据题意建立平面直角坐标系即可； （2）再根据平面直角坐标系直接写出四个景点位置的坐标即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示． （2）解：由平面直角坐标系可得， 马，狮子，飞禽，两栖动物． 【变式1-1】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为． (1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，市场，超市的坐标； (3)已知游乐场A，图书馆B的坐标分别为，，请在图中标出A，B的位置． 【答案】(1)图见解析 (2)体育场坐标，市场，超市坐标 (3)图见解析 【分析】本题考查平面直角坐标系的建立与点的坐标表示，解题的关键是根据已知点的坐标确定平面直角坐标系的原点、坐标轴方向和单位长度． （1）根据已知点的坐标确定原点的坐标，确定出平面直角坐标系； （2）根据（1）的图形写出两个点的坐标； （3）根据坐标系分别标A，B的位置，即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示： （2）解：根据坐标系可得：体育场坐标，市场，超市坐标． （3）解：如图所示，点A，B即为所求． 【变式1-2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）2025国庆节中秋假期，中牟县文旅累计17次登陆央视多频道．几个网红景点的大致位置如图所示（1个单位长度表示），小亮想和来访的朋友介绍各个景点的位置，他在景点图上建立平面直角坐标系，用表示电影小镇的位置． (1)请你帮助小亮画出平面直角坐标系，并写出只有河南，奥特莱斯和绿博园的坐标． (2)请用方向角和距离的方式介绍牟山公园在电影小镇的哪个位置（）？ 【答案】(1)图见解析，只有河南，奥特莱斯，绿博园； (2)牟山公园在电影小镇的东南方向，距离约． 【分析】本题主要考查平面直角坐标系及等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键是理解题意； （1）根据“表示电影小镇的位置”可建立平面直角坐标系，然后问题可求解； （2）连接电影小镇和牟山公园，由图可知：，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：所建平面直角坐标系如图所示： 只有河南，奥特莱斯，绿博园； （2）解：连接电影小镇和牟山公园，由图可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 答：牟山公园在电影小镇的东南方向，距离约． 【变式1-3】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）2025年9月3日举行了纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵，某校航空小组在操场上用5架无人机模拟阅兵中的空中梯队飞行，在预设的平面直角坐标系下，其中三架无人机在某一时刻的坐标分别为． (1)请你根据题目条件，在图中建立平面直角坐标系； (2)已知另外的两架无人机在这一时刻的坐标分别为，请在图中标出的位置．（用小实心圆表示） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了用坐标表示位置等知识，熟知根据题意建立坐标系是解题关键． （1）根据点确定原点，即可建立坐标系； （2）根据点即可得到点的位置． 【详解】（1）解：如图，建立平面直角坐标系如图： ； （2）解：如图，点的位置如图． 【例2】你玩过五子棋吗？它的比赛规则是：两人各拥有一种颜色的棋子，每人每次在正方形网格（设每个网格的边长为1）的格点处下一子，两人轮流下，只要连续的同色的5个棋子先排成一条直线（横、竖、斜均可）就算获胜．如图，是两位同学正在玩的一盘棋，若棋盘上白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为． (1)请你根据题意，画出相应的平面直角坐标系； (2)在平面直角坐标系中找出坐标为的棋子，并在棋子上用数字3表示出来； (3)现轮到黑棋下，要使黑棋这一步获胜，请写出这一步黑棋的坐标（写出所有满足条件的坐标）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形，理解题意，正确建立平面直角坐标系是解此题的关键． （1）根据棋盘上白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为，建立平面直角坐标系即可； （2）根据坐标找出棋子即可； （3）根据平面直角坐标系即可得解． 【详解】（1）解：∵棋盘上白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为， ∴建立平面直角坐标系如图所示： ； （2）解：根据坐标找出棋子如图所示： （3）解：由题意可得当黑棋下在或时，能形成连续的个黑棋排成一条直线，从而使黑棋获胜． 【变式2-1】如图，x轴的正向表示东，y轴的正向表示北，每单位长为50米．请在直角坐标系中画出下列各地点的位置． (1)学校的餐厅． (2)学校的图书馆B，位于餐厅A的正北方向200米处． (3)学校的教学楼，位于餐厅北偏东 方向的250米处． (4)学校的体育馆，位于餐厅北偏西 方向的 米处． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了用坐标表示地理位置，用方向角和距离确定物体的位置，理解用坐标表示地理位置，用方向和距离确定物体的位置是解题的关键． （1）描出点A的位置即可； （2）根据描述得到点B的位置； （3）根据方位角和距离得到点C的位置； （4）根据方位角和距离得到点D的位置. 【详解】（1）解：如图，点A即为所作； （2）解：如图，点B即为所作； （3）解：如图，点C即为所作， （4）解：如图，点D即为所作． 【变式2-2】如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B，C，D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如：从A到B记为，从B到A记为，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中（____，_____），（____，_____），______ (2)若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为，，，，请在图中标出P的位置． (3)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程． 【答案】(1)，，，，D (2)见解析 (3)10 【分析】本题主要考查了利用坐标确定点的位置的方法，解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示． （1）根据表示向右走3，向上走4即可表示；表示向右走2，向上走0，即可表示；表示向右走1，向下走，即可判断； （2）按题目所示平移规律分别向右平移2个格点，向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个格点，向下平移2个格点，即可得到点P的坐标，在图中标出即可； （3）根据点的运动路径，表示出运动的距离，相加即可得到行走的总路径长． 【详解】（1）解：由图可知表示向右走3，向上走4，即 ； 表示向右走2，向上走0，即 ； 表示C向右走1，向下走，到点D， 故答案为：，，，，D； （2）解：点P位置如图所示； （3）解：根据条件可知，，， ∴甲虫走过的路程为． 基础巩固通关测 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（   ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， 【答案】B 【分析】本题考查坐标与平移，根据点的平移规则，向下平移时y坐标减少，向右平移时x坐标增加，由点和平移后的点，列方程求解． 【详解】解：将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∵将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∴， 解得， 故选：B． 2．（25-26八年级上·山东聊城·期末）在“探索与发现展厅”有一个雷达探测器，如图，雷达探测器测得六个目标点，，，，，按照规定的目标表示方法，目标点，的位置分别表示为，，按照此方法在表示目标，，，的位置时，其中表示正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标确定位置，理解有序数对的两个数表示的实际意义是解题的关键． 根据题意和图形，可以写出各点的坐标，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由图可得， 目标的坐标为，故选项A错误，不符合题意； 目标的坐标为，故选项B错误，不符合题意； 目标的坐标为，故选项C正确，符合题意； 目标的坐标为，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·福建漳州·期末）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落幕．如图是冬运会的会徽，将其放在平面直角坐标系中，、，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件建立直角坐标系，确定点B坐标即可． 【详解】解：根据条件建立如图所示的直角坐标系， 由直角坐标系可知点的坐标为． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在直角坐标系中，先将点作关于x轴对称的点，再将点向下平移1个单位，得到的点的纵坐标是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的对称与平移变换．先根据关于x轴对称的点的坐标特征求出的坐标，再根据平移规律求出平移后点的纵坐标． 【详解】解：∵点的坐标是，关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴的坐标为， ∵将向下平移1个单位，平移时纵坐标减1， ∴平移后点的纵坐标为， ∴故选：D． 5．（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，已知，，点的坐标是，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，解题关键是通过添加辅助线，利用一线三等角证全等三角形求解．作轴于点C，轴于点D，通过证明求解． 【详解】解：作轴于点C，轴于点D，如图 ∴， ， ∴， 在与中， ， ． 又B的坐标是， ， ∴点A的坐标为． 故选C． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知点在第四象限，且点到两坐标轴的距离相等，那么的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】结合第四象限点的坐标特征（横坐标为正、纵坐标为负），以及点到两坐标轴距离相等的条件（横、纵坐标的绝对值相等），列不等式组与方程求解的值，同时验证解的合理性． 【详解】解：点在第四象限， ， 解不等式组得， 点到两坐标轴的距离相等， ， 又，， ， 即， 移项得， 解得， ，符合条件， 的值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离、解一元一次不等式组、解一元一次方程，解题关键是熟练掌握平面直角坐标系的相关知识． 7．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图所示，阴影部分的匀质薄板置于平面直角坐标系中（单位：），原点为薄板左下角顶点，该匀质薄板的重心坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，分别为的中点，为的中点，则为该匀质薄板的重心 依题意，，， ∴， ∴即 8．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）和在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A，B的坐标分别为，点在x轴上，且．则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得出，即可求出结论． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为， ， ， ， ∴点的坐标为． 9．（25-26九年级上·广西钦州·期末）如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针方向旋转后得到，点A的对应点是点C，则点C的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，准确掌握这一知识点是解题的关键．关于原点对称的两个点，对应横、纵坐标互为相反数，由，以及点A与点C关于原点对称，可得点C坐标． 【详解】解：∵点A与点C关于原点对称，， ∴． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴距离的较小值称为点的“短距”，点到轴，轴的距离相等时，称点为“等距点”． (1)求点的“短距”． (2)若点是“等距点”，求的值． 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）根据新定义，进行判断即可； （2）根据新定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：点到轴的距离为，到轴的距离为1，， ∴点的“短距”为1； （2）解：由题意，， 即：或， 解得或． 11．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，O为直角坐标系的原点，三个顶点坐标分别为． (1)以O为旋转中心，将逆时针旋转，请在网格中画出旋转后的； (2)画出与关于原点对称的； (3)直接写出点和点的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）根据已作图形求解即可． 【详解】（1）解：作图如下； （2）解：作图如下： （3）解：由图可得，点和点的坐标分别为． 12．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点位于第二象限，且横、纵坐标都是整数，求点的坐标； (2)若将点向右平移3个单位，再向上平移5个单位，恰好横纵坐标相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，平移的性质，正确掌握相关特征是解题的关键． （1）根据第二象限中点的符号特点，列出不等式，解得a的取值范围，再根据横、纵坐标都是整数，即可求解； （2）根据平移的性质，易得平移后点的坐标为，再根据横纵坐标相等，列出方程，求出a的值即可求解． 【详解】（1）解：点位于第二象限， ，， ， 横、纵坐标都是整数， ， ，， 的坐标为； （2）将点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得到新的坐标为 横纵坐标相等， ，解得， 点． 13．（25-26八年级上·浙江台州·期末）台州轨道交通实现了从无到有，畅通了城市发展脉络，逐步融入台州市民生活．下图是台州轨道交通线网图（部分）示意图，图中每个小正方形边长均为1个单位长度．若泽国站的坐标为，城南站的坐标为，请按要求解答下列问题： (1)在图中建立合适的平面直角坐标系； (2)温岭第一人民医院站的坐标为_______，万昌路的坐标为________； (3)若泽国站在万昌路站的北偏西方向上，则万昌路站在泽国站的什么方向上？ 【答案】(1)见详解 (2)， (3)南偏东 【分析】该题考查了平面直角坐标系、方位角，解题的关键是正确建立合适的平面直角坐标系． （1）泽国站的坐标为，城南站的坐标为，建立坐标系即可； （2）根据（1）中坐标系描点即可； （3）由泽国站在万昌路站的北偏西方向上，结合题干图片求解即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示： （2）解：温岭第一人民医院站的坐标为，万昌路的坐标为， 故答案为：，． （3）解：∵泽国站在万昌路站的北偏西方向上， ∴万昌路站在泽国站的南偏东方向上． 能力提升进阶练 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，坐标系中图形的平移，根据等边三角形的性质求出点坐标是解题关键． 过点B作的垂线，通过点A，C的坐标确定与坐标轴的位置关系，再利用等边三角形的性质求出点B的坐标，利用坐标系中图形的平移规律求解即可． 【详解】解：如图，过点B作，垂足为D， ∵，， ∴轴， ∴轴， ∵是等边三角形，， ∴， 又， ∴，， ∴， ， ∴， ∴在向左平移1个单位长度后，点B的坐标为， 故选：A． 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，过作轴于点，过作轴于点，则，然后通过同角的余角相等得出，证明，故有，，然后根据坐标特点即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，则， 由旋转性质可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：． 3．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键； 根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数），再逐项判断即可. 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 4．（2025·黑龙江·一模）在平面直角坐标系中，点不可能在第_____象限． 【答案】四 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键． 根据点P的坐标，通过讨论m的取值范围，分析点P可能所在的象限，并判断不可能出现的象限． 【详解】解：点P的坐标为．平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征为：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 分情况讨论： 当时，，点P在第一象限； 当时，且，点P在第二象限； 当时，且，点P在第三象限； 不存在m使得且，因此点P不可能在第四象限． 故答案为：四． 5．（2026·浙江·模拟预测）七巧板是我国古代著名的益智玩具，由一个正方形分割成七块几何图形组成，现把正方形边长为的图1七巧板拼成“小天鹅”形状，并放置在图2所示的直角坐标系中，则最高点的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据七巧板图形性质即可求解． 【详解】解：由图可知，正方形边长为， 所以最小三角形最长边为2，高为，平行四边形长边长为2，小正方形可由两个最小三角形拼成， 且点在负半轴， 则点的坐标为． 6．（2025·安徽滁州·二模）如图，网格中的每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫格点，的每个顶点都在格点上． (1)将向左平移个单位长度，得到，画出． (2)在平面直角坐标系中，与关于原点成中心对称，请画出． (3)请在轴上找一点，使的长度最短． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中图形的平移变换，中心对称变换，轴对称的性质，准确作图是解题的关键． （）根据平移性质即可得到图形； （）画出关于原点的对称点，然后连接即可； （）作点关于轴的对称点，连接交x轴于点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交x轴于点，点即为所求； 理由：由画图可知，， ∴， ∵三点共线， ∴此时最短， 故点即为所求． 7．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数时，称点P为“完美点”． (1)点______（填“是”或“否”）“完美点”； (2)若点，，求a的值并判断点B是否为“完美点”； (3)若n为整数，点，求证：点C为“完美点”． 【答案】(1)是 (2)，点B是“完美点”； (3)见解析 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据勾股定理求出的值，再根据新定义进行判断即可； （3）根据新定义进行证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点到轴的距离为3，到轴的距离为4， ∴点到原点的距离为， ∴点分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数， ∴点是“完美点”； （2）解：由题意，， 解得， ∴，， ∴点到轴的距离为12，到轴的距离为5，到原点的距离为13，均为整数， ∴点B是“完美点”； （3）证明：∵， ∴点到原点的距离为， ∵为整数， ∴，均为整数， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为，到原点的距离为，均为整数， ∴点C为“完美点”． 8．（2025·河南安阳·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，且a，b满足，将线段先向上平移，再向右平移，点A的对应点D的坐标为． (1)点A的坐标为_______，点B的坐标为_______，点B平移后的对应点C的坐标为_______； (2)已知线段与x轴交于点．若点P是线段右侧x轴上的一动点，连接平分交于点F，请仅就图1思考，，之间有什么样的数量关系，并写出你的证明过程． (3)若线段与y轴交于点，在y轴上是否存在点M，使得的面积是四边形面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 (3)存在，点M的坐标为或． 【分析】本题主要考查了非负数的应用，点的坐标的特征，平移的性质，平行线的性质，三角形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用非负数的性质求得a，b的值，再利用平移的性质解答即可得出结论； （2）证明轴得，证明轴得．根据平分得，由可得结论； （3）求出四边形的面积为12，设交y轴于点N，运用面积法求出．再分点M在点N上方和下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵将线段先向上平移，再向右平移，点A的对应点D的坐标为 ∴点的坐标为， 故答案为：；；； （2）解：． 证明：∵，， ∴轴， ∴， ∵CD是由AB平移得到的， ∴． ∴轴， ∴． ∴ ∵平分， ∴． ∵， ∴， 整理得：． （3）解：存在，点M的坐标为或． 根据题意得，向上平移了3个单位长度． ∵，， ∴， ∴四边形的面积为． 设交y轴于点N，， 则， 解得，即． 当点M在点N上方时，，则； 当点M在点N下方时，，则． 9．（2025·广西防城港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，，，点、分别为边、上的动点（不与端点重合），且，连接． (1)如图1，设的中点为，则点的坐标为 ． (2)如图2，将线段绕点逆时针旋转后得到线段（点的对应点为点），连接． ①当点的坐标为时，求线段的长； ②设点的坐标为的面积为，求关于的函数表达式． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）设，则，然后根据四边形是矩形，表示点E的坐标，再用线段中点坐标公式计算即可； （2）①过点作于点，过点作于点，证出，求出F的坐标，再利用两点间的距离公式即可； ②当时，过点作于点，过点作交的延长线于点，可证，再利用三角形面积计算公式计算即可；当时，过点作于点，过点作于点，可证，再利用三角形面积计算公式计算即可． 【详解】（1）解：设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为：； （2）解：①，四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于点，过点作于点，如图2，则， ，， ， ，即， ， 又∵， ∴， ， ， ； ②由①可得，， ， ， ， ， ， ， 当时，如图3-1， 过点作于点，过点作交的延长线于点，则， ， ， ，即， ， 又∵， ∴， ， 当时，如图3-2， ， ， ， ， ， ， 过点作于点，过点作于点， 则， ， ， ∵，即， ∴， 又∵， ∴， ， ； 综上可知，关于的函数表达式为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，旋转的性质，三角形的综合． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $