2026年中考数学一轮复习检测卷（长沙专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

2026年中考数学一轮复习检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C C D C A A C D D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11． 12．4.2 13．240 14． 15．11 16. 三、解答题（本大题共13小题，满分81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 【详解】解： ······（2分） ······（3分） ．······（6分） 18.（6分） 【详解】解：原式 ；······（3分） 将代入， 原式．······（6分） 19．（6分） 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，······（2分） ∵是的中点， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线；······（4分） （2）证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴线段垂直平分．······（6分） 20.（8分） 【详解】（1）解：本次接受调查的学生共有（人）， ， ， ， 故答案为：200；144；20；······（3分） （2）解：该校优秀人数：（人）， 答：若该校学生有640人，试估计只选选项的学生有128人；······（5分） （3）解：画树状图如下： 两次选中班级的所有情况有：，，，，； 其中两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的结果有：，，，，，，，，，，，，共12种．······（8分） 21．（8分） 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，······（2分） ∵， ∴，即， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线；······（4分） （2）解：设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴，······（6分） ∵是的切线， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中， ， ∴， 解得， ∴．······（8分） 22.（9分） 【详解】（1）解：设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米． 根据题意，得， 解得 答：每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米；······（3分） （2）解：设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装． 根据题意，得 解得． 答：该服装厂最少需要生产60套B款装；······（6分） （3）解：该厂生产这100套服装能实现盈利不低于2190元的目标， 根据题意，得， 解得， 又因为，且为正整数， 所以或61或62． 故共有如下三种生产方案： ①生产40套A款服装，60套B款服装； ②生产39套A款服装，61套B款服装； ③生产38套A款服装，62套B款服装．······（9分） 23．（9分） 【详解】（1）解：过B作于F，过C作于G， 则四边形是矩形，，，， ∴， ∴，，······（2分） ∵， ∴， 解得， ∴， 即点A到点B的距离为；······（4分） （2）解：设小希的位置为M，小福的位置为N，过M作于H， ∵小希与小福同时出发且小希的速度是小福速度的2倍， ∴， 设，则， 根据题意，得，， 在中，，， ∴，······（6分） ∵小希与钟楼D的直线距离恰好是小福离开钟楼D的距离的4倍，即， ∴，即， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：小福离开钟楼D的距离约为42.9米．······（9分） 24.（10分） 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，那么有中位线的性质可得四边相等，且一个内角为直角，所以其中点四边形是正方形；······（1分） （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，，······（2分） ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，．······（3分） （3）如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K，    ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”．······（7分） （4）如图，记、的中点分别为E、F， 连接    ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴．······（10分） 25.（10分） 【详解】（1）解：①由题意可得，即， 得，方程没有实数根， 直线与抛物线没有交点， 所以直线是抛物线的“水平无交线”；不正确； 故答案为：×，······（1分） ②若直线是抛物线的“水平单交线”， 根据新定义可得， 即，得， ∴， ∴，此说法正确； 故答案为：√，······（2分） ③若直线是抛物线的“水平无交线”， 则， ， ， ，此说法不正确； 故答案为：×，······（3分） （2）解：轴是抛物线（为常数且）的“水平无交线”， 理由：∵直线是抛物线（为常数且）的“水平单交线”， ∴即有两个相等的实根， ， ， ， ，······（4分） 当时， ， ∴函数与轴没有交点， ∴轴是抛物线（为常数且）的“水平无交线”．······（6分） （3）解：①如图， ∵直线，轴，直线与抛物线（为常数且）的位置关系均为“水平双交线”， 即有两个不相等的实根， ， ， 即有两个不相等的实根，， ，， ； ；······（8分） ②∵三角形的三个内角的大小之比为， ∴三角形的三个内角的大小分别为，，， ∴该三角形是等腰直角三角形； 结合①同理可得：有两个不相等的实根，， ，， ， 同理：有两个不相等的实根， ， 而， 由①图象可得：，则不是斜边，不是斜边，为斜边， ， ， ， ， ， ，， ， 而，解得：， ∴函数的最小值为．······（10分） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学一轮复习检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1.化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 2. 下面四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（　　） A．北京大学 B．中国人民大学 C．北京体育大学 D．北京林业大学 3．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4.“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某校随机抽查了50名八年级学生的视力情况，得到的数据如表： 视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 8 7 9 14 12 则本次调查中视力的众数和中位数分别是（   ） A．4.9和4.8 B．4.8和4.9 C．4.8和4.8 D．4.9和4.9 5.如图，在中，，，点在边上，按照下列步骤作图：①以点为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，与②中所作的弧相交于点，作射线交于点则的大小是（    ） A． B． C． D． 6.如图所示，是的直径，点A，C在上，，与交于点G，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7.若关于x的分式方程无解，则m的值是（   ） A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．3或0 8.如图，在菱形中，点是与的交点，，垂足为，若，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 9.已知整点（横纵坐标都是整数）在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋“日”字形跳跃）．例如在图1中，从点做一次“跳马运动”，可以到点也可以到达点．如图2，点沿轴正方向向右上方做跳马运动，若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置．称为做一次“正竖跳马”．当点连续做了次“正横跳马”和次“正竖跳马”后，到达点，求的值为（   ）． A．5 B．6 C．7 D．8 10.长江高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．上午点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 D．水温不低于的时间为 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．小俊利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，请结合图形，帮助小俊补全因式分解：______． 12．如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此他可以估计不规则图案的面积为_________． 13．一机器人以的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为_____s． 14．如图，在中，，D，E分别是，上的点，将沿着折叠，使点A落在边的中点（记为）处．若，，则的长为 ________ ．    15．如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则_______． 16．如图，在菱形中，点B、C在x轴上，点A的坐标为，分别以点A、B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点E、F，直线恰好经过点D，则点B的坐标为______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算：． 18．（本题6分）先化简再求值，其中． 19．（本题6分）如图，，点E为的中点，平分，过点E作，垂足为F，连接、． (1)求证：是的平分线． (2)求证：线段垂直平分． 20．（本题8分）“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷．为了解我校“双减”政策的实施情况，校学生会在全校范围内随机对一些学生进行了问卷调查，问卷共设有五个选项：A：学校作业有明显减少；B：学校作业没有明显减少；C：课外辅导班数量明显减少；D：课外辅导班数量没有明显减少；E：没有关注．已知参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中一个选项，将所有的调查结果绘制成如图不完整的统计图． 请你根据以上信息，回答下列问题： (1)本次接受调查的学生共有 人； ； ； (2)若该校学生有640人，试估计只选C选项的学生有多少人？ (3)该校计划在某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共5个，其中有2个为八年级班级（分别用A、B表示），3个为九年级班级（分别用C、D、E表示），由于报名参加观摩课堂教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动．请列举出两次选中班级的所有情况（例：第一周选A班，第二周选B班，记作；第一周选B班，第二周选A班，记作），数一数两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的有多少种． 21．（本题8分）如图，是的直径，点在的延长线上，点在上，连接，，，已知． (1)求证：是的切线； (2)过点作的切线，与的延长线交于点，若，，求的长． 22．（本题9分）某中学因运动会开幕式演出需要，向某服装厂定制A，B两种不同款式的服装．已知该厂用相同的布料生产这两款服装，且生产相同款式的服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料，3套A款服装和1套B款服装需用布料． (1)每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ (3)在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂生产这100套服装能否实现盈利不低于2190元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 23．（本题9分）寒假期间，我校以“寻访古迹，知行合一”为主题开展历史文化系列研学活动，打造沉浸式的移动学习场景．如图是本次游学涉及的古城区域示意图，已知文庙B位于书院A的南偏东方向，且位于箭楼C的正西方100米处；钟楼D位于箭楼C的东北方向且与其正西方的书院A相距240米；牌坊E位于钟楼D的北偏西方向． (1)求点A到点B的距离；（结果保留根号） (2)小希与小福均在该古城游学，小希从书院A出发沿AE方向行走，小福从钟楼D出发沿DE方向行走．若小希与小福同时出发且小希的速度是小福速度的2倍，当小希与钟楼D的直线距离恰好是小福离开钟楼D的距离的4倍时，求小福离开钟楼D的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，） 24．（本题10分）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形        B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 25．（本题10分）在平面直角坐标系中，对于直线（为常数）与抛物线为常数且，根据它们的公共点个数，可分为三种类型，我们不妨约定： I．若有2个公共点，称该直线是抛物线的“水平双交线”，连接两个公共点的线段称为“水平弦”； II．若有1个公共点，称该直线是抛物线的“水平单交线”； III．若没有公共点，称该直线是抛物线的“水平无交线”． 请你根据该约定，解决下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的横线上，正确的打“√”，错误的打“×”）． ①直线是抛物线的“水平双交线”：__________． ②若直线是抛物线的“水平单交线”，则；__________． ③若直线是抛物线的“水平无交线”，则．__________． (2)若直线是抛物线（为常数且）的“水平单交线”，则轴是该抛物线的“__________”从约定的三种类型中选一种填入），请说明理由； (3)若直线轴，直线均是抛物线为常数且的“水平双交线”，记它们的“水平弦”分别为． ①求的长度的取值范围： ②请问是否存在实数，使得这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出的值和此时二次函数的最小值；若不存在，请说明理由．（注：表示一条长度等于的倍的线段） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学一轮复习检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1.化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正数与负数，绝对值的计算；熟练掌握相关的知识点是解题的关键．求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的砝码． 【详解】解：通过求4个砝码的绝对值得： ； 的绝对值最小，所以这个砝码是最接近标准的砝码； 故选：B． 2. 下面四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（　　） A．北京大学 B．中国人民大学 C．北京体育大学 D．北京林业大学 【答案】C 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 3．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的运算、幂的乘方、平方差公式以及单项式除以单项式，运用相关知识求出各选项的答案即可得解． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能计算，故选项A计算错误，不符合题意； B、，故选项B计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，故选项D计算错误，不符合题意； 故选：C． 4.“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某校随机抽查了50名八年级学生的视力情况，得到的数据如表： 视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 8 7 9 14 12 则本次调查中视力的众数和中位数分别是（   ） A．4.9和4.8 B．4.8和4.9 C．4.8和4.8 D．4.9和4.9 【答案】D 【分析】本题考查众数与中位数的概念，众数是一组数据中出现次数最多的数，将数据从小到大排序后，数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数，根据概念求解即可． 【详解】解：∵总共有50个数据，其中视力为4．9的人数最多，为14人， ∴众数是4.9． 将数据按从小到大排序，累加前3组人数得：，因此第25个和第26个数据都是4.9， ∴中位数为． 因此众数和中位数分别是4.9和4.9， 5.如图，在中，，，点在边上，按照下列步骤作图：①以点为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，与②中所作的弧相交于点，作射线交于点则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，作一个角等于已知角，平行线的判定和性质，由作图可知，所以，得，然后通过三角形内角和定理求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，， ∴， ∴， ∵，，, ∴， ∴， 故选：． 6.如图所示，是的直径，点A，C在上，，与交于点G，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题的关键．根据直径所对的圆周角为，可知，根据，可得，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，可得，最后根据三角形外角的定义和性质即可求出的度数． 【详解】解：∵是的直径 ， ∴， ∵ ， ， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 7.若关于x的分式方程无解，则m的值是（   ） A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．3或0 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到，由于关于x的分式方程无解，分最简公分母为0分式方程有增根和化简后的整式方程无解两种情况可求得m． 【详解】解： 去分母，得， ． ∵关于x的分式方程无解， 当时，原方程无解， ∴， 当最简公分母， ， 当时，得， 综上m的值为1或， 故选A． 8.如图，在菱形中，点是与的交点，，垂足为，若，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，以及直角三角形的性质，根据题意可得，利用勾股定理求出的长度．再根据直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：在菱形中，点是与的交点，，， ，， ，点为的中点， ， ， 是直角三角形， ， 故选：C． 9.已知整点（横纵坐标都是整数）在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋“日”字形跳跃）．例如在图1中，从点做一次“跳马运动”，可以到点也可以到达点．如图2，点沿轴正方向向右上方做跳马运动，若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置．称为做一次“正竖跳马”．当点连续做了次“正横跳马”和次“正竖跳马”后，到达点，求的值为（   ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由题意可得，做一次“正横跳马”横坐标增加2，纵坐标增加1，做一次“正竖跳马”横坐标增加1，纵坐标增加2，据此列方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，当点先连续做了次“正横跳马”，再连续做次“正竖跳马”后，到达点，则： ， ①②，得：， ， 10.长江高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．上午点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握函数解析式的确定及函数值的计算是解题的关键． 先分析加热阶段的时间，再确定降温阶段的反比例函数解析式，然后逐一验证每个选项． 【详解】解：∵水温从加热到，升温幅度为，加热速度是每分钟 ∴所需时间为，故项错误． ∵加热到时，用时，即此时，降温阶段与成反比例， ∴设，代入得，解得，即，故项错误． 上午点接通电源，距离接通电源的时间为． 当时，代入，得，即后水温降至，然后饮水机再次加热后，水温再次升到，， 当时，，故上午点接通电源，可以保证当天不能喝到不超过的水，故项错误． 加热阶段：水温从到，当时，，解得，加热阶段满足的时间是． 降温阶段：代入到，得，降温阶段满足的时间是． ∴总时间为，故项正确． 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．小俊利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，请结合图形，帮助小俊补全因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与几何图形面积的综合应用，解题的关键是将代数式转化为图形各部分面积的和，再通过整体观察图形的边长得到因式分解的结果． 长方形的面积长宽，所以 【详解】解：； 故答案为： 12．如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此他可以估计不规则图案的面积为_________． 【答案】4.2 【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率．根据图2可得，小球落在不规则图案内的概率约为0.35，再根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积小球落在不规则图案内的概率，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为0.35，长方形的面积为， 则不规则图案的面积为：， 故答案为：4.2． 13．一机器人以的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为_____s． 【答案】 【分析】本题中由于机器人最后必须回到起点，可知此机器人一共转了，得出机器人的行走路线是沿着一个正八边形的边长行走一周． 【详解】解：依据题中的图形，可知机器人一共转了， ∵， ∴机器人一共行走． ∴该机器人从开始到停止所需时间为． 14．如图，在中，，D，E分别是，上的点，将沿着折叠，使点A落在边的中点（记为）处．若，，则的长为 ________ ．    【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、相似三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接交于点F，证明，进而求解． 【详解】解：如图，连接交于点F，    由题意知，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则_______． 【答案】11 【分析】根据前几个图形圆的个数，找出一般求出规律，得出第n个图形中圆的个数，然后列出方程，解方程即可． 【详解】解：因为第1个图形中一共有个圆， 第2个图形中一共有个圆， 第3个图形中一共有个圆， 第4个图形中一共有个圆； 可得第n个图形中圆的个数是； ， 解得（舍），， 故答案为：11． 【点睛】本题主要考查了图形规律探索，一元二次方程的应用，解题的关键是找出一般规律，列出方程． 16．如图，在菱形中，点B、C在x轴上，点A的坐标为，分别以点A、B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点E、F，直线恰好经过点D，则点B的坐标为______． 【答案】 【分析】由题可知，垂直平分，得到，推出，利用菱形的性质求得，根据代入数据求解即可． 【详解】解：如图， 由题可知，垂直平分， 设交于点G，则， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，零次幂和特殊角的余弦值，熟知相关知识点是解题的关键． 依次根据乘方的概念、二次根式的乘法运算法则、零次幂和角的余弦值计算即可． 【详解】解： ． 18．（本题6分）先化简再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 将代入， 原式． 19．（本题6分）如图，，点E为的中点，平分，过点E作，垂足为F，连接、． (1)求证：是的平分线． (2)求证：线段垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先利用证出，得到，再利用证出，得到，即可证明结论； （2）由（1）知，得到，再利用，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴线段垂直平分． 20．（本题8分）“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷．为了解我校“双减”政策的实施情况，校学生会在全校范围内随机对一些学生进行了问卷调查，问卷共设有五个选项：A：学校作业有明显减少；B：学校作业没有明显减少；C：课外辅导班数量明显减少；D：课外辅导班数量没有明显减少；E：没有关注．已知参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中一个选项，将所有的调查结果绘制成如图不完整的统计图． 请你根据以上信息，回答下列问题： (1)本次接受调查的学生共有 人； ； ； (2)若该校学生有640人，试估计只选C选项的学生有多少人？ (3)该校计划在某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共5个，其中有2个为八年级班级（分别用A、B表示），3个为九年级班级（分别用C、D、E表示），由于报名参加观摩课堂教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动．请列举出两次选中班级的所有情况（例：第一周选A班，第二周选B班，记作；第一周选B班，第二周选A班，记作），数一数两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的有多少种． 【答案】(1)200，144，20 (2)128人 (3)两次选中班级的所有情况有：，，，，；既有八年级班级又有九年级班级的有种 【分析】（1）用选择的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数；用乘以本次调查中选择的学生所占的百分比，即可求得；用本次调查中选择的学生人数除以调查总人数再乘以百分之百，可求得，即可得出答案； （2）由样本估计总体即可得到答案； （3）画树状图得出所有等可能的结果数和两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的结果数． 【详解】（1）解：本次接受调查的学生共有（人）， ， ， ， 故答案为：200；144；20； （2）解：该校优秀人数：（人）， 答：若该校学生有640人，试估计只选选项的学生有128人； （3）解：画树状图如下： 两次选中班级的所有情况有：，，，，； 其中两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的结果有：，，，，，，，，，，，，共12种． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，样本估计总体；能够理解条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 21．（本题8分）如图，是的直径，点在的延长线上，点在上，连接，，，已知． (1)求证：是的切线； (2)过点作的切线，与的延长线交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由是的直径得，即可得，由得，结合得，可证，结合是的半径即可证明； （2）设的半径为，在中利用勾股定理列方程求得半径，进而得长，由是的切线得，即可得，由得，即可得，进而得，设，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中， ， ∴， 解得， ∴． 【点睛】证明是的切线时，必须注明是的半径；求长，先设半径，用勾股定理求半径、得长，再通过等角的余角相等证，设未知数后在中用勾股定理列方程求解． 22．（本题9分）某中学因运动会开幕式演出需要，向某服装厂定制A，B两种不同款式的服装．已知该厂用相同的布料生产这两款服装，且生产相同款式的服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料，3套A款服装和1套B款服装需用布料． (1)每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ (3)在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂生产这100套服装能否实现盈利不低于2190元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 【答案】(1)每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米； (2)60套； (3)三种生产方案：①生产40套A款服装，60套B款服装；②生产39套A款服装，61套B款服装；③生产38套A款服装，62套B款服装． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式以及方程组是解题的关键． （1）每套款服装用布料米，每套款服装需用布料米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设服装厂需要生产套款服装，则生产套款服装，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解； （3）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装．根据该厂这100套服装能否实现盈利不低于元列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米． 根据题意，得， 解得 答：每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米； （2）解：设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装． 根据题意，得 解得． 答：该服装厂最少需要生产60套B款装； （3）解：该厂生产这100套服装能实现盈利不低于2190元的目标， 根据题意，得， 解得， 又因为，且为正整数， 所以或61或62． 故共有如下三种生产方案： ①生产40套A款服装，60套B款服装； ②生产39套A款服装，61套B款服装； ③生产38套A款服装，62套B款服装． 23．（本题9分）寒假期间，我校以“寻访古迹，知行合一”为主题开展历史文化系列研学活动，打造沉浸式的移动学习场景．如图是本次游学涉及的古城区域示意图，已知文庙B位于书院A的南偏东方向，且位于箭楼C的正西方100米处；钟楼D位于箭楼C的东北方向且与其正西方的书院A相距240米；牌坊E位于钟楼D的北偏西方向． (1)求点A到点B的距离；（结果保留根号） (2)小希与小福均在该古城游学，小希从书院A出发沿AE方向行走，小福从钟楼D出发沿DE方向行走．若小希与小福同时出发且小希的速度是小福速度的2倍，当小希与钟楼D的直线距离恰好是小福离开钟楼D的距离的4倍时，求小福离开钟楼D的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，） 【答案】(1) (2)42.9米 【分析】（1）过B作于F，过C作于G，根据矩形的判定与性质求出，，在和中，根据正切的定义求出，，结合可得出，求出，在中，根据正弦的定义求解即可； （2）设小希的位置为M，小福的位置为N，过M作于H，设，则，在中，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，结合小希与钟楼D的直线距离恰好是小福离开钟楼D的距离的4倍，即，得出即，解方程即可求解． 【详解】（1）解：过B作于F，过C作于G， 则四边形是矩形，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 即点A到点B的距离为； （2）解：设小希的位置为M，小福的位置为N，过M作于H， ∵小希与小福同时出发且小希的速度是小福速度的2倍， ∴， 设，则， 根据题意，得，， 在中，，， ∴， ∵小希与钟楼D的直线距离恰好是小福离开钟楼D的距离的4倍，即， ∴，即， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：小福离开钟楼D的距离约为42.9米． 24．（本题10分）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形        B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2），；（3）见解析；（4），理由见解析 【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）如图，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）如图，记、的中点分别为E、F，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，那么有中位线的性质可得四边相等，且一个内角为直角，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，． （3）如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K，    ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （4）如图，记、的中点分别为E、F， 连接    ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 25．（本题10分）在平面直角坐标系中，对于直线（为常数）与抛物线为常数且，根据它们的公共点个数，可分为三种类型，我们不妨约定： I．若有2个公共点，称该直线是抛物线的“水平双交线”，连接两个公共点的线段称为“水平弦”； II．若有1个公共点，称该直线是抛物线的“水平单交线”； III．若没有公共点，称该直线是抛物线的“水平无交线”． 请你根据该约定，解决下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的横线上，正确的打“√”，错误的打“×”）． ①直线是抛物线的“水平双交线”：__________． ②若直线是抛物线的“水平单交线”，则；__________． ③若直线是抛物线的“水平无交线”，则．__________． (2)若直线是抛物线（为常数且）的“水平单交线”，则轴是该抛物线的“__________”从约定的三种类型中选一种填入），请说明理由； (3)若直线轴，直线均是抛物线为常数且的“水平双交线”，记它们的“水平弦”分别为． ①求的长度的取值范围： ②请问是否存在实数，使得这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出的值和此时二次函数的最小值；若不存在，请说明理由．（注：表示一条长度等于的倍的线段） 【答案】(1)①×；②√；③×； (2)水平无交线，理由见详解； (3)①；②存在，的值为，此时二次函数的最小值 【分析】（1）①根据新定义可得没有实数根，从而可得答案； ②根据新定义可令的判别式为0，从而可得答案； ③根据新定义可令的判别式小于0，从而可得答案； （2）根据新定义可得有两个相等的实根，可得，再进一步可得答案； （3）①根据新定义可得，求解，可得； ②证明该三角形是等腰直角三角形；求解，，而，结合①图象可得：，则不是斜边，不是斜边，为斜边，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：①由题意可得，即， 得，方程没有实数根， 直线与抛物线没有交点， 所以直线是抛物线的“水平无交线”；不正确； 故答案为：×， ②若直线是抛物线的“水平单交线”， 根据新定义可得， 即，得， ∴， ∴，此说法正确； 故答案为：√， ③若直线是抛物线的“水平无交线”， 则， ， ， ，此说法不正确； 故答案为：×， （2）解：轴是抛物线（为常数且）的“水平无交线”， 理由：∵直线是抛物线（为常数且）的“水平单交线”， ∴即有两个相等的实根， ， ， ， ， 当时， ， ∴函数与轴没有交点， ∴轴是抛物线（为常数且）的“水平无交线”． （3）解：①如图， ∵直线，轴，直线与抛物线（为常数且）的位置关系均为“水平双交线”， 即有两个不相等的实根， ， ， 即有两个不相等的实根，， ，， ； ； ②∵三角形的三个内角的大小之比为， ∴三角形的三个内角的大小分别为，，， ∴该三角形是等腰直角三角形； 结合①同理可得：有两个不相等的实根，， ，， ， 同理：有两个不相等的实根， ， 而， 由①图象可得：，则不是斜边，不是斜边，为斜边， ， ， ， ， ， ，， ， 而，解得：， ∴函数的最小值为． 【点睛】熟知二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，准确计算，灵活应用根的判别式是解本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $