阶段检测验收卷 函数（综合训练）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 阶段检测验收卷 第三章 函数 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1.如果单项式-3a"b与单项式2ab2*"是同类项，那么在平面直角坐标系中的点m,n位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.2024年11月2日，以“走起来就青春”为主题的第一届全国全民健身大赛“2024湖南（秋季）百公里”从洋 湖湿地公园开启，数千名毅行者沿湘江大堤徒步跨越长株潭三城，活动全程近100km,第一天上午，学生 小毅跟随大部队从白鹭广场出发，匀速徒步至巴溪洲广场，休整后再从巴溪洲广场匀速徒步至湘江保利时代 他徒步的路程yk与其所用时间xh之间的图象如图所示，则当他徒步4小时后（含中途休整时间），他离 终点目标的路程为() ◆y/km 25 10 22.55xi A.83km B.82 km C.81km D.80km 3.对于一次函数y=-2x+3,下列结论正确的是() A.函数值随自变量的增大而增大 B.函数的图象不经过第三象限 C.函数的图象向上平移3个单位长度，得y=-2x的图象 D.函数的图象与x轴的交点的坐标是(0,3】 4.已知点(a,b)在反比例函数y=上，则(-a22b224化简的结果是（) A.-b B.b C.-a D.a 5.反比例函数y=a+4(a为常数)的图象过点Ax,,B(x,),已知x<0<:,下列结论一定正 确的是() A.y<y2 B.>y2 C.y+y2<0 D.y+y2>0 6.如图，已知函数y=2x和y=-x+b的图象交于点P1,),则关于，y的方程组 2x-y=0的解是〈)· x+y=b 1/7 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 v=2x y=-x+b x=1 x=2 A. B. C. x=1 D.x=-2 y=2 y=1 y=-2 y=1 7.若函数y,=(x>0)与函数=-2x+8的图象如图所示，则不等式6≤-2x+8的解集是() 6- 2 3 A.1≤x≤3 B.2≤x≤6 C.0<x≤1 D.x≥3 8.如图，点A是反比例函数y=(x>0)图象上一点，AC1x轴于点C,与反比例函数y=”(x>0)图象交 于点B,AB=2BC,连接OA、OB,若△OAB的面积为2，则m+n的值为() y=m n A.3 B.4 C.6 D.8 9.如图，在单位为1的方格纸上，△AA4,△AA,A,△44A,,是斜边在x轴上，斜边长分别为2， 4,6,的等腰直角三角形，若△AAA,的顶点坐标分别为A(2,0),A,(1,1,A(0,0),则依图中所示规律， A2s的坐标为() 2/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 As A A As A.(-1012,0） B.1014,0 C.(2,-507 D.(1,506 10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①2a-b=0;②abc>0; ③4ac-b2<0;④9a+3b+c>0;⑤关于x的一元二次方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根： ⑥8a+c<0,其中正确的个数是() x=1 A.2 B.3 c.4 D.5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.在平面直角坐标系中，点P(a-2,1+a在第三象限，则a的取值范围是 12.函数y=x-2中，自变量x的取值范围是一 x-3 13.弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的.胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F 的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即F=kx,其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m 的物体重力为mg,其中g为常数.如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米.在其弹性限 度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体 的质量为千克. 3/7 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 14.把抛物线y=(（x-2)2-3向右平移3个单位再向下平移2个单位，得到的抛物线的表达式为一 15,如图所示，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D,G分别在边AB,AC上.已知AC=6, AB=8,BC=I0,设EF=x,矩形DEFG的面积为y,则y关于x的函数关系式为·（不必写出定义 域) A D G B E 16.如图，在反比例函数y=(x>0)的图象上有R,乃，B,,P等点，它们的横坐标依次为1,2， 3,,2025,分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S,S2, S3,,S2024,则S1+S2+S3+…+S2024= ---1-↓--↓-二= 012345 2025x 三、解答题（本大题共8小题，满分2分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(7分)如图(1)所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上食堂离小明家0.6km,图书馆离小明家 0.8km.小明从家出发，匀速步行了8min去食堂吃早餐；吃完早餐后接着匀速步行了3mim去图书馆读报： 读完报以后接着匀速步行了10min回到家图(2)反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对 应关系 4/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y/km↑ 0.8 0.6 小明家 食堂 图书馆 0 8 2528 5868 x/min 图(1) 图(2) 请根据相关信息解答下列问题： (1)填空： ①食堂离图书馆的距离为 .km ②小明从图书馆回家的平均速度是 km/min ③小明读报所用的时间为 min ④小明离开家的距离为km时，小明离开家的时间为 min. (2)当0≤x≤28时，请直接写出y关于x的函数解析式. 18.(7分)已知y-3与4x-2成正比例，且x=1时，y=-1. (1)求y与x的函数关系式. (2)如果y的取值范围为3≤y≤5时，求x的取值范围. 19.8分)已知反比例函数y=-的图象经过点42,3到. (1)求这个反比例函数的解析式； (2)判断点B(-1,-6)是否在这个函数的图象上； (3)当-3<x<-1时，求y的取值范围. 20.(8分)某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元 的价格销售，售价x(元/个)与每天销售量y(个)的对应值表格如下： x(元/个) 52 53 54 55 y(个) 760 740 720 700 (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 21.(9分)如图，反比例函数y=《x>0)与一次函数y=2x+m的图象交于点A1,4),BC1y轴于点D,分别 交反比例函数与一次函数的图象于点B、C. 5/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 衣 (1)求反比例函数和一次函数的表达式： (2)连接AB,若0D=1,求ABC的面积. 22.(9分)2025年湖南省足球联赛正在火热进行，球迷们都穿着主队球服应援球队.商家销售某主队球服，每 件进价为60元，销售价为100元时，每天可售出40件；经市场调查发现若每件降价1元，每天可多售出2 件。 (1)在让利于顾客的情况下，每件球服降价多少元时，商家每天能盈利1750元？ (2)当每件球服降价多少元时，商家每天盈利最大？并求出盈利最大值 23.(12分)阅读下面的材料： 如果函数y=f(x)满足：对于自变量x取值范围内的任意x,x2, (1)若x<x2,都有f(x)<f(x2),则称f(x)是增函数： (2)若x<x2,都有f(x)>f(x2),则称f(x)是减函数. 例题：证明函数f(x)=x2(x>0)是增函数. 证明：任取x<x2,且x>0,x2>0 则f(x)-f(x2)=x-x3=(x1+x2)x1-x2) :x<x2且x>0,x2>0 x+x2>0,x-x2<0 .(x1+x2)x1-x2)<0,即f(x)-f(x2)<0,f(x)<f(x2) .函数f(x)=x2(x>0)是增函数 根据以上材料解答下列问题： (1)函数=x>0,f0月1，f2)=,)=一④= 1 1 (2)猜想f(x)=二(x>0)是函数 (填“增"或“减”)，并证明你的猜想. 24.(12分) 如图(1)，二次函数y=ar2-5x+c的图像与x轴交于A-4,0),B(b,0)两点，与y轴交于点 C(0,-4. 6/7 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A A E B 图(1) 图(2) (1)求二次函数的解析式和b的值. 2在二次函数位于维上方的图像上是香存在点M,使Sr?若存在，请求出点M的坐标，若 不存在，请说明理由。 (3)如图(2)，作点A关于原点O的对称点E,连接CE,作以CE为直径的圆.点E是圆在x轴上方圆弧上 的动点（点E不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE,使点E移动到点 E,线段E的对应线段为AE,连接E'C,AA,AA的延长线交直线EC于点N,求4 的值 CN 7/7 阶段检测验收卷 第三章 函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如果单项式与单项式是同类项，那么在平面直角坐标系中的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义，平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据同类项的定义求出，得到点的坐标为，得出点在第一象限，即可得到答案． 【详解】解：单项式与单项式是同类项， ， ， 点的坐标为， 点在第一象限． 故选：A． 2．年月日，以“走起来就青春”为主题的第一届全国全民健身大赛“湖南（秋季）百公里”从洋湖湿地公园开启，数千名毅行者沿湘江大堤徒步跨越长株潭三城，活动全程近．第一天上午，学生小毅跟随大部队从白鹭广场出发，匀速徒步至巴溪洲广场，休整后再从巴溪洲广场匀速徒步至湘江保利时代．他徒步的路程与其所用时间之间的图象如图所示，则当他徒步小时后（含中途休整时间），他离终点目标的路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，由函数图象可得毅从巴溪洲广场匀速徒步至湘江保利时代的速度为，即可求出他徒步小时后（含中途休整时间）的路程，进而即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可得，小毅从巴溪洲广场匀速徒步至湘江保利时代的速度为， ∴他徒步小时后（含中途休整时间）的路程为， ∴他离终点目标的路程为， 故选：． 3．对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数值随自变量的增大而增大 B．函数的图象不经过第三象限 C．函数的图象向上平移个单位长度，得的图象 D．函数的图象与轴的交点的坐标是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴函数值随自变量的增大而减小，该选项结论错误，不合题意； 、∵，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，该选项结论正确，符合题意； 、函数的图象向上平移个单位长度，得的图象，该选项结论错误，不合题意； 、函数的图象与轴的交点的坐标是，该选项结论错误，不合题意； 故选：． 4．已知点在反比例函数上，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，积的乘方的逆运算，首先得到，然后将变形后整体代入求解即可． 【详解】∵点在反比例函数上， ∴，即 ∴ ． 故选：A． 5．反比例函数（a为常数）的图象过点，，已知，下列结论一定正确的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意得出反比例函数的图象在第一、三象限，结合，判断出、所在象限，即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， ∵点，在反比例函数（为常数）的图象上，且， ∴点位于第三象限，点位于第一象限， ∴， 故选：A． 6．如图，已知函数和的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程（组）的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．将代入，可求得a的值，再根据一次函数与二元一次方程（组）的关系即可解答． 【详解】解：把点代入得：， 所以关于x，y的方程组的解是． 故选A． 7．若函数与函数的图象如图所示，则不等式的解集是(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键．写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵函数与函数的图象的交点为，， 由函数图象可知，不等式的解集是， 故选：A． 8．如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数图象交于点，，连接，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，由题意得，，又，则，故有，因为的面积为，所以，整理得，从而求得，，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数图象交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴，整理得， ∴，， ∴， 故选：． 9．如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点坐标规律探索问题，观察图形可以看出每4个为一组，由于，在x轴正半轴上，纵坐标是0，再根据横坐标变化找到规律即可解． 【详解】解：由图象可以发现，各个点的坐标在四条射线上， ∵，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形， ∴，，…， ∵， ∴点在x轴正半轴，纵坐标是0，横坐标是， ∴的坐标为． 故选：B． 10．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：；；；；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 先根据抛物线的对称轴是可得解答①；再分别判断a，b，c的值，即可解答②；然后根据抛物线与x轴有两个不同的交点，可得，判断③；再根据抛物线的对称性可知点关于对称轴对称的点是，可得当时，，解答④；接下来根据二次函数的图象与有一个交点，解答⑤；对于⑥，先根据当时，，可得，最后结合，可得答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是 ∴， 即． 所以①不正确； ∵抛物线的开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴是， ∴； ∵抛物线交y轴负半轴， ∴， ∴， 所以②正确； 由图象可知抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴， 即， 所以③正确； 根据抛物线的对称性可知点关于对称轴对称的点是， 当时，， 所以时，，即， 所以④正确； ∵二次函数的最小值为， ∴二次函数的图象与有一个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以⑤正确； 由图可知，当时，， ∴． ∵， ∴， 即， ∴⑥不正确． 所以正确的有4个． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中第三象限的点的坐标的符号特点，根据平面直角坐标系中第三象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，列出关于a的不等式组，求解即可． 【详解】解：点在第三象限， ， 解得， 即的取值范围是， 故答案为：． 12．函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由得， 解得：且， 故答案为：且． 13．弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克． 【答案】0.8 【分析】本题主要考查了胡克定律的应用，熟练掌握胡克定律（其中为弹力，为劲度系数，为弹簧伸长或压缩量 ）及重力与质量的关系是解题的关键．先根据已知条件求出弹簧的劲度系数，再利用胡克定律求出弹簧长度为厘米时所挂物体的质量． 【详解】解：不挂物体时弹簧长度厘米，挂质量千克物体时，弹簧长度厘米，则弹簧伸长量(厘米)． 物体重力（为常量），根据胡克定律，可得，即，解得． 当弹簧长度厘米时，弹簧伸长量(厘米)． 设此时所挂物体质量为千克，则，因为，所以，两边同时除以，得． 故答案为： ． 14．把抛物线向右平移个单位再向下平移个单位，得到的抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：把抛物线向右平移个单位再向下平移个单位，得到的抛物线的表达式为，即， 故答案为：． 15．如图所示，矩形的边在的边上，顶点，分别在边，上.已知，，，设，矩形的面积为，则关于的函数关系式为 .（不必写出定义域） 【答案】 【分析】易证得△ADG∽△ABC，那么它们的对应边和对应高的比相等，可据此求出AP的表达式，进而可求出PH即DE、GF的长，已知矩形的长和宽，即可根据矩形的面积公式得到y、x的函数关系式； 【详解】如图，作AH为BC边上的高，AH交DG于点P， ∵AC=6，AB=8，BC=10， ∴三角形ABC是直角三角形， ∴△ABC的高==4.8， ∵矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上， ∴DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC， ∵AH⊥BC， ∴AP⊥DG ∴， ∴， ∴ ∴PH=， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出矩形的边长. 16．如图，在反比例函数的图象上有，，，……，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，……，2025，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，……，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 将面积为的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，再利用矩形的面积差求解即可． 【详解】解：∵的横坐标依次为， ∴阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点轴于点轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为的矩形向左平移到面积为的矩形的下方， 则， 把代入得：，即， ∴， 根据反比例函数中的几何意义，可得：， ∴， 即， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(7分)如图（1）所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上食堂离小明家，图书馆离小明家．小明从家出发，匀速步行了去食堂吃早餐；吃完早餐后接着匀速步行了去图书馆读报；读完报以后接着匀速步行了回到家图（）反映了这个过程中，小明离家的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息解答下列问题： (1)填空： ①食堂离图书馆的距离为__________； ②小明从图书馆回家的平均速度是__________； ③小明读报所用的时间为__________． ④小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为__________． (2)当时，请直接写出关于的函数解析式． 【答案】(1)①；②；③；④或． (2) 【分析】（1）①由图象中的数据，可以直接写出食堂离小明家的距离和小明从家到食堂用的时间；②根据图象中的数据，用路程除以时间即可得解；③用减去即可得解；④设小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为，分小明去时和小明返回时两种情况构造一元一次方程求解即可； （2）根据图象中的数据，利用待定系数法分别求出当、和时三段对应的函数解析式即可． 【详解】（1）解：①， ∴小食堂离图书馆的距离为， 故答案为∶； ②根据题意， ∴小明从图书馆回家的平均速度是， 故答案为：； ③， 故答案为：； ④设小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为， 当去时，小明离开家的距离为时， ∵， ∴小明到食堂时，小明离开家的距离为不足， 由题意得， 解得， 当返回时，离家的距离为时，根据题意，得， 解得； 故答案为：或． （2）解：设时， ∵过， ∴， 解得， ∴时， 由图可知，当时， 设时，， ∵过，， ∴， 解得， ∴， 综上所述，当时，关于的函数解析式为． 【点睛】本题考查函数的图象、一元一次方程的应用以及待定系数法求一次函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 18.(7分)已知与成正比例，且时，． (1)求y与x的函数关系式． (2)如果y的取值范围为时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正比例函数，一次函数的性质，将的取值边界代入函数，解出的值，根据一次函数的性质得到取值范围是解题的关键． （1）根据题意设，，再代入已知点的坐标求出的值，即可求解； （2）将和分别代入，然后根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：与成正比例， 设，， 当时，， ， ， ，即； （2）当时，，解得， 当时，，解得， 因为函数中，随的增大而减小， 所以当时，， 所以的取值范围为． 19.(8分)已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)判断点是否在这个函数的图象上； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的解析式为； (2)点在这个函数的图象上； (3)当时，的取值范围是． 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，判断点是否在函数图象上，根据反比例函数的图象和性质求函数值的取值范围． （1）把点的坐标代入，可得，即可得反比例函数的解析式； （2）在中，令，可得的值，与比较，即可判断点是否在这个函数的图象上； （3）在中，分别令，，计算对应的的值，由反比例函数的图象和性质，即可得的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：在中，当时，， ∴点在这个函数的图象上． （3）解：在中， 当时，， 当时，， 又∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，的取值范围是． 20.(8分)某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可． （2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 21.(9分)如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，若，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）将点A坐标分别代入两个解析式得到k、m值即可； （2）将分别代入两个解析式求出点B、C坐标，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∵的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为：． （2）解：∵轴于点D，， ∴， ∴将代入得， ∴， 将代入得， ∴， ∴， ∴． 22.(9分)2025年湖南省足球联赛正在火热进行，球迷们都穿着主队球服应援球队．商家销售某主队球服，每件进价为60元，销售价为100元时，每天可售出40件；经市场调查发现若每件降价1元，每天可多售出2件． (1)在让利于顾客的情况下，每件球服降价多少元时，商家每天能盈利1750元？ (2)当每件球服降价多少元时，商家每天盈利最大？并求出盈利最大值． 【答案】(1)5或15 (2)当每件球服降价10元时，商家每天盈利最大，最大盈利为1800元 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）设降价x元，根据盈利公式列出一元二次方程求解； （2）设盈利为元，将盈利表示为二次函数，再根据二次函数的性质求解最值即可． 【详解】（1）解：设每件球服降价x元， 由题意得， 整理得， 或 ∴降价5元或15元； （2）解：设盈利为元，由题意得 ∴ ∵， ∴当时，取得最大值， 最大值（元） ∴当降价10元时，最大盈利为1800元． 23.(12分)阅读下面的材料： 如果函数满足：对于自变量取值范围内的任意，， （1）若，都有，则称是增函数； （2）若，都有，则称是减函数． 例题：证明函数是增函数． 证明：任取，且， 则 ∵且， ∴， ∴，即， ∴函数是增函数． 根据以上材料解答下列问题： （1）函数，，，_______，_______； （2）猜想是函数_________（填“增”或“减”），并证明你的猜想． 【答案】（1），；（2）减，证明见解析 【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题； （2）根据题目中例子的证明方法可以证明(1) 中的猜想成立． 【详解】解：（1），                                     （2）猜想：是减函数； 证明：任取，，，则 ∵且， ∴， ∴，即 ∴函数是减函数． 【点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答． 24.(12分) 如图（1），二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求二次函数的解析式和的值． (2)在二次函数位于轴上方的图像上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图（2），作点关于原点的对称点，连接，作以为直径的圆．点是圆在轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，连接，，的延长线交直线于点，求的值． 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）将点，的坐标代入得到二元一次方程组求解可得，的值，可确定二次函数的解析式，再令，解关于的一元二次方程可得点的坐标，从而确定的值； （2）不存在．设，根据，可得，根据，可确定方程无实数根，即可作出判断； （3）根据对称的性质和点的坐标可得，根据等腰三角形的性质及判定可得，，再根据为圆的直径，可得，然后分两种情况：①当点与点不重合时，由平移的性质可得四边形是平行四边形，从而得到，，再证明，可得，可得的值；②当点与点重合时，此时点与点重合，可得，，代入可得结论． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，得：， 解得：，， ∴， ∴二次函数的解析式为，； （2）不存在．理由如下： 如图，设， ∵，，， ∴，，， ∵点在二次函数位于轴上方的图像上，且， ∴， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， ∴不存在符合条件的点；    （3）如图，设交轴于点， ∵，， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∵平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为， ①当点与点不重合时， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当点与点重合时，此时点与点重合， ∴，， ∴， 综上所述，的值为．      【点睛】本题考查用待定系数法确定二次函数解析式，函数图像上点的坐标特征，一元二次方程的应用，直径所对的圆周角为直角，对称和平移的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点，运用了分类讨论的思想．找到全等三角形是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $