阶段检测验收卷 三角形（综合训练）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 阶段检测验收卷 第四章 三角形 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1.下列命题中错误的是() A.两点之间线段最短 B.有两边及一角对应相等的两个三角形全等 C.两点确定一条直线 D.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2.如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若Lα=105°，则 ∠B等() 30 A.105 B.115 C.125° D.135° 3,下列命题是真命题的是() A.五边形的外角和是540° B.有一个角是60°的三角形是等边三角形 C,角平分线上的点到角两边的距离相等D.三角形的外心是三条高的交点 4.如图，已知AB=AD,添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是() D B A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠B=∠D=90 D.∠BCA=∠DCA 5.如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AB=23千米，则点 P到直线AB距离PC为() 1/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 北 309 60° 1 A A.3千米 B.5千米 C.2千米 D.1千米 6.如图，在ABC中，AB=AC,AD,BE分别是ABC的中线和角平分线.若∠CAD=20°，则∠ABE的 度数为() B D A.20° B.35° C.40° D.70° 7.如图，将矩形ABCD直线AC折叠，使得点B落在点E处，AE交CD于点F,若AB=5,AD=3,则 tanZECF的值为() D B A.3 B.4 e. D.3 4 8.如图，在M,N两个小木块之间恰好放入一个等腰直角三角板ABC.已知木块M,N的高分别为6cm, 16cm,点A,B分别与两木块的顶端重合，点C在DE上，则两木块之间的距离为() D A.22cm B.14cm C.11cm D.10cm 9.在课堂上，侯老师发给每人一张印有Rt△ABC(如图)的卡片，然后要求同学们画一个Rt△ABC,使得 Rt△A'B'C'≌Rt△ABC,小赵和小刘同学先画出了∠MBN=90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示.对 这两种画法的描述中错误的是() 2/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 N A C B B M 第一步 第二步 第一步 B第二步M 图1 小赵同学 小刘同学 A.小赵同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据是HL B.小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段A'C'的长 C.小刘同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据是SAS D.小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段A'C'的长 1O.如图，AD是ABC的中线，E,F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF,连接BF,CE,下列 说法：①△ABD和△ACD面积相等；②aBDF≌ACDE;③BFI∥CE;④CE=AE;⑤△ABD和△ACD周长 相等.其中正确的个数有() E D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.如图，北盘江大桥获得过中国建筑工程鲁班奖，是世界上最高的大桥，从桥面到谷底的垂直高度达到 565米.北盘江大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是 12.如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等，从？，B,,P四个点中找出符合条件 的点P的概率是 3/7 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P B P 13.等腰三角形有一条边为4，若另外两条边长a,b是关于x的一元二次方程x2-6x+2+m=0的两个实 数根，则m的值为 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CF是AB边上的中线，D,E分别是AC,BC的中点，若DE=6, 则CF的长为 D F 15.如图，ABC的中线BD,CE相交于点F,点M,N分别是BF,CF的中点，连接MN,己知△BEF的 面积为4，则。MND的面积为 D 16.如图，在ABC中，按下列步骤作图： ①分别以点B,C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧分别交于点，人连接U分别交AC,BC于点三， D: ②以点A为圆心，小于AB的长为半径画弧，分别交AB,AC于点G,F; ③分别以点G,F为圆心，大于，GF的长为半径画弧，两弧交于点H,连接AH并延长交BC于点K,连接 BE,若∠BAK=40°，∠B=70°，则tan ZEBC的值为」 4/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E H B 三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(7分)已知ABC的三边长为a,b,C, (1)若a=3,b=5,求边长c的取值范围； (2)化简a+b-c-a-b+c. 18.(7分)如图，在ABC中，∠ABC=∠ACB,过点C作CD1IAB,在AC上取一点E,使AE=CD,连接 BE,AD.求证：BE=AD· R D 19.(8分)某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A,B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下 两种方案： 甲方案 乙方案 B D D 图1 图2 如图1，先在平地取一个可直接到 如图2，过点B作BD1AB,再由点 达A,B的点C,再连接AC,BC D观测，在AB的延长线上取一点C, 并分别延长AC至D,BC至E,使 使∠BDC=∠BDA,这时只要测出BC DC=AC,EC=BC,最后测出 的长即为A,B的距离. DE的长即为A,B的距离 (1)以上两位同学所设计的方案，可行的有 5/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由. 20.(8分)如图，在RIAABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于点D,BF平分∠ABC,交AD于点E, 交AC于点F. E D (1)求证：△AEF是等边三角形. (2)求证：BE=EF· 21,(9分)如图，ABC中，∠ABC=90°，E为AC的中点，过点C作BE的垂线，过点A作BE的平行线， 两直线相交于点D,连结BD,F是BD的中点，连结EF, D (1)求证：EF⊥BD: (2)如果CD=6,BE+AD=13,求AC的长. 22.(9分)阅读与探究： 勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载.如果一个 直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫作一组“勾股数”， 【探究1】 (1)①如果a、b、c是一组勾股数，即满足a2+b2=c2,则ka、仙、kc(k为正整数)也是一组勾股数.如： 3、4、5是一组勾股数，则 也是一组勾股数， ②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出：a=2n+1, b=2n2+2n,c=2n2+2n+1（n为正整数)是一组勾股数，证明满足以上公式的a、b、C是一组勾股数， 【探究2】 (2)观察3、4、5；5、12、13；7、24、25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且以3起就没有间断 过，并且购为3时，最4×9-，弦5×9+：勾为5时，股12=×25-，孩13×25+. 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： ①如果勾为7时，则股24=」 ；弦25= 6/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②现在将勾用Q表示，股用b表示，弦用c表示，当a=n时，（n23,且n为奇数)则b=一；c= ；(用含有的式子表示)并证明这个规律的合理性. 23.(12分)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题. N M 图1 图2 图3 【模型呈现】 (1)如图1，点M,A,F在同一直线上，∠M=∠GAB=∠F,AG=AB.求证：△GMA≌△AFB. 【模型拓展】 (2)如图2，点E,F,C在同一直线上，LACB=LAEC=LCFB=90°，CA=CB.猜想AE,BF,EF 之间的数量关系，并说明理由. (3)如图3，直线P2经过Rt△ABC的直角顶点C,ABC的边上有两个动点D,E,点D以2cm/s的速 度从点A出发，沿AC→CB移动到点B,点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A,两动 点中有一个点到达终点后另一个点也停止运动.过点D,E分别作DM⊥PQ,EN⊥PQ,垂足分别为点 M,N,若AC=6cm,BC=8cm,设运动时间为ts.当以点D,M,C为顶点的三角形与以点E,N, C为顶点的三角形全等时，直接写出的值， 24.(12分抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A(3,0),交y轴于点B(0,3). B A 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图，点P是线段AB上方抛物线上一动点，当△PAB的面积最大值时，求出此时P点的坐标； (3)在抛物线对称轴上找一点Q,使以点Q、A、B为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出点Q的坐标。 7/7 阶段检测验收卷 第四章 三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列命题中错误的是（    ） A．两点之间线段最短 B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等 C．两点确定一条直线 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】本题考查真假命题的判断，熟练掌握线段、直线、垂线的性质，全等三角形的判定定理是解题的关键， 根据线段、直线的性质以及三角形全等的判定定理、垂线的性质，对选项逐一进行分析． 【详解】A．两点之间线段最短，这是线段的基本性质之一，所以本选项说法正确，故不符合题意； B．三角形全等的判定定理中，两边及一角对应相等分为两种情况： 两边及其夹角对应相等，此时两个三角形全等（判定定理）． 两边及其中一边的对角对应相等，此时两个三角形不一定全等． 所以本选项说法是错误的，故本选项符合题意； C．两点确定一条直线，这是直线的基本性质，是数学中的基本公理，所以本选项说法正确，故不符合题意； D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这是垂线的基本性质，所以本选项说法正确，故不符合题意； 故选：B． 2．如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若，则等（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键．由三角板和直尺可知，，，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：将一块含有角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 3.．下列命题是真命题的是（    ） A．五边形的外角和是 B．有一个角是的三角形是等边三角形 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．三角形的外心是三条高的交点 【答案】C 【分析】依据多边形外角和为，等边三角形的判定，角平分线的性质定理，以及外心的定义进行判断即可． 【详解】解：A、五边形的外角和是，选项说法错误，不符合题意； B、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，选项说法错误，不符合题意； C、角平分线上的点到角两边的距离相等，选项说法正确，符合题意； D、三角形的外心是三条垂直平分线的交点，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形外角和为，等边三角形的判定，角平分线的性质定理，以及外心的定义；解题的关键是熟练掌握相关知识． 4．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵，，，∴，故选项A不符合题意； B、∵，∴，故选项B不符合题意； C、∵，∴，故选项C不符合题意； D、∵，∴不能判定，故选项D符合题意； 故选：D． 5.如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 【答案】A 【分析】本题主要利用方向角、三角形外角性质、等角对等边的性质以及正弦函数的定义来求解，准确计算是解题的关键． 根据题意可得到，，再根据三角形外角性质得到，利用等角对等边得到，再利用正弦值求解即可． 【详解】由题意得：，，， 是的一个外角， ， ， ， 在中，（千米）． 点到直线的距离为千米． 故选：． 6.如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的三线合一的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，掌握相关知识是解题的关键．先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，，再利用角平分线定义即可得出的度数． 【详解】解：是的中线，，， ， ， 是的角平分线， ， 故选：B． 7．如图，将矩形直线折叠，使得点落在点处，交于点，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据题意证明出，得到，设，则，根据勾股定理求出，然后根据正切的概念求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴，， 由折叠可得，， ∴， 又∵ ∴， ∴， 设，则 在中， 解得： ． 故选C． 【点睛】此题考查了勾股定理、矩形的折叠问题、全等三角形的性质和判定、正切的定义等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 8.如图，在M，N两个小木块之间恰好放入一个等腰直角三角板．已知木块M，N的高分别为，，点A，B分别与两木块的顶端重合，点C在上，则两木块之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质等；由等腰三角形的性质得，，由得，由全等三角形的性质即可求解；掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中 ， ()， ， ， ()； 故选：A． 9.在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图）的卡片，然后要求同学们画一个，使得，小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（    ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，三角全等的判定，掌握一般三角全等、直角三角形全等的判定方法是解题的关键． 根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法判断． 【详解】由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为． 故选：D． 10．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤和周长相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由三角形中线的定义可得，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明和全等，判断出②正确，根据②得到，进而证明，判断出③正确，由为任意三角形，判断④⑤错误，问题得解． 【详解】解：是的中线， ， ∵和底边BD，CD上高相同， 和面积相等，故①正确； 在和中， ， ，故②正确； ， ，故③正确； 由为任意三角形，故④⑤错误． 故选：． 【点睛】本题考查了等底等高的三角形的面积相等，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，北盘江大桥获得过中国建筑工程鲁班奖，是世界上最高的大桥，从桥面到谷底的垂直高度达到565米．北盘江大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键；根据三角形的稳定性进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：其蕴含的数学道理是三角形的稳定性； 故答案为：三角形的稳定性． 12．如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，从四个点中找出符合条件的点的概率是 ． 【答案】． 【分析】找到符合条件的点P的个数，再根据概率公式计算可得． 【详解】解：要使△ABP与△ABC全等，点P的位置可以是P1，P2两个， ∴从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查概率公式的应用，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 13．等腰三角形有一条边为4，若另外两条边长a，b是关于x的一元二次方程 的两个实数根，则m 的值为 ． 【答案】6或7/7或6 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解一元二次方程，三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 当4为腰长时，将代入原方程，求出，再解一元二次方程，并检验是否能构成三角形；当4为底边长时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，根据求出，再解一元二次方程，并检验是否能构成三角形． 【详解】解：当4为腰长时，将代入原方程，得， ∴， 原方程为， 解得 ， 又∵， ∴边长为2，4，4的三条边能组成等腰三角形； 当4为底边长时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得， ∴原方程为 ， 解得， 又∵， ∴边长为3，3，4的三条边能组成等腰三角形， 综上所述，m的值为6或7 故答案为：6或7． 14．如图，在中，，是边上的中线，D，E分别是的中点，若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理．易知是的中位线，那么，而是斜边上的中线，应等于的一半． 【详解】解：∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵在中，，是边上的中线， ∴， 故答案为：6． 15．如图，的中线，相交于点F，点M，N分别是，的中点，连接MN，已知的面积为4，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形中线的性质，重心的性质，能够准确地找到所求图形面积与已知图形面积之间的联系是快速解决本题的关键．先根据，是的中线，得出点F为的重心，，，得出，，然后根据三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，进行解答即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，是的中线， ∴点F为的重心，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵M为的中点，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 16．如图，在中，按下列步骤作图： ①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点I，J，连接分别交于点E，D； ②以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点G，F； ③分别以点G，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，连接并延长交于点K，连接，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，判断出可得结论，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 【详解】解：由作图可知：， ， ， ， ∵垂直平分线段， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(7分)已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）直接根据三角形的三边关系求解即可； （2）由三角形三边关系定理得到：，则，再化简绝对值，然后运用整式的加减运算法则化简即可． 【详解】（1）解：， ，即． （2）解：∵的三边长为， ， 原式 ． 18．(7分)如图，在中，，过点作，在上取一点，使，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，根据等角对等边得出，根据平行线的性质得出，根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：， ． ， ． 又， ． ． 19．(8分)某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至至，使，最后测出的长即为的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为的距离． (1)以上两位同学所设计的方案，可行的有___________； (2)请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 【答案】(1)甲方案、乙方案 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是： （1）根据全等三角形的判定与性质可解答甲、乙； （2）结合（1）解答即可． 【详解】（1）解：根据“边角边”证明，可得，所以甲方案可行； 根据“角边角”证明，可得，所以方案乙可行， 故答案为：甲，乙； （2）证明：甲方案：在和中， ， ： 乙方案：， ． 在和中， ， （）． ． 20．(8分)如图，在中，，于点D，平分，交于点E，交于点F． (1)求证：是等边三角形． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握等边三角形的判定是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质，角平分线的定义，证明，即可得答案； （2）根据等角对等边，得，由（1）的结论即可得答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2），， ， ， 由（1）可知是等边三角形， ， ． 21．(9分)如图，中，，为的中点，过点作的垂线，过点作的平行线，两直线相交于点，连结，F是的中点，连结． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查直角三角形性质、等腰三角形性质及勾股定理，解题关键是熟练掌握直角三角形性质和勾股定理． （1）利用平行线性质得，结合直角三角形斜边中线性质证，再由等腰三角形“三线合一”证． （2）设，直角三角形斜边中线定理得，再由表示出，最后在中用勾股定理列方程，求解得的长． 【详解】（1）连结， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵，为的中点， ∴， ∴为等腰三角形， ∵F是的中点， ∴； （2）设，则， ∵ ∴ 在中，， ， ∴， 即， 解得（舍去），， ∴． 22．(9分)阅读与探究： 勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫作一组“勾股数”， 【探究1】 （1）①如果、、是一组勾股数，即满足，则、、（为正整数）也是一组勾股数．如：3、4、5是一组勾股数，则_____________也是一组勾股数． ②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出：，，（为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的、、是一组勾股数． 【探究2】 （2）观察3、4、5；5、12、13；7、24、25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且以3起就没有间断过，并且勾为3时，股，弦；勾为5时，股，弦． 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： ①如果勾为7时，则股_____________；弦_____________． ②现在将勾用表示，股用表示，弦用表示，当时，（，且为奇数）则_________；_________；（用含有的式子表示）并证明这个规律的合理性． 【答案】探究1（1）①6，8，10；②见解析；探究2（2）①，；②，，证明见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，注意由具体例子观察发现规律，证明的时候熟练运用完全平方公式． （1）①根据为正整数举例即可； ②通过计算验证给定公式满足勾股定理即可； （2）①根据奇数勾股数的规律，勾的平方减1除以2得股，加1除以2得弦即可； ②由①得出规律，并证明其满足勾股定理即可． 【详解】解： 探究1：（1）①∵3，4，5是一组勾股数， 又为正整数， ∴当时，，，，且， ∴6，8，10也是一组勾股数（答案不唯一） ②证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴a，b，c是一组勾股数 （2）①如果勾为7，则股，弦， 故答案为：；； ②当（，且n为奇数）时，，； 证明：∵，， ∴， ∴该规律合理． 故答案为：；． 23．(12分)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题． 【模型呈现】 （1）如图1，点，，在同一直线上，，．求证：． 【模型拓展】 （2）如图2，点，，在同一直线上，，．猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点，，点以2cm/s的速度从点出发，沿移动到点，点以3cm/s的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点也停止运动．过点，分别作，，垂足分别为点，．若，，设运动时间为s．当以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等时，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）2或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握一线三等角和一线三直角模型是解题的关键． （1）运用一线三等角的模型直接证明即可； （2）先证明，再用证明得到，，结合即可得到； （3）分①当点在边上，点在边上，即时，②当点在边上，点在边上即时，③当点在边上，点在边上时，即时三种情况讨论，分别列出方程求解即可． 【详解】解：（1）证明：∵，， ∴． ∵，，， ∴． （2）．理由如下： ∵， ∴，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． （3）2或．理由如下： 根据题意，得． ∵，， ∴． ∵， ∴当时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等． ①如图，当点在边上，点在边上，即时，，， ∴， 解得； ②如图，当点在边上，点在边上，即时，，， ∴， 解得； ③如图，当点在边上，点在边上时，即时，，， ∴， 解得(舍去)． 综上所述，的值为2或． 24．(12分)抛物线交轴于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是线段上方抛物线上一动点，当的面积最大值时，求出此时点的坐标； (3)在抛物线对称轴上找一点，使以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】本题考查了抛物线的解析式，根据动点求面积最值问题，坐标系中特殊三角形问题，把握二次函数相关的特征与性质，分析出面积与线段关系，并能够进行准确的计算是解题的关键． （1）将A、B两点的坐标代入解析式求解即可； （2）过点作轴交于点，先利用A、B两点的坐标求出直线的解析式，设，求得，列出与的函数关系式即可求解； （3）设点坐标为，根据两点距离公式可求得、、，再根据等腰三角形有两边相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图1，过点作轴交于点， 设直线的解析式为，将A、B两点的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， 当时，的面积有最大值，， 此时； （3）∵ 抛物线的解析式为， ∴对称轴为， 设点坐标为， 由点，，可得： ，，， 当时，，解得：，，即点，， 当时，，解得：，即点，， 当时，，解得：，即点， 综上所述：点坐标为或或或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $