第 21章 四边形 单元测试卷 2025-2026学年人教版数学八年级下册

2025-2026人教版数学八年级下册第21章单元测试卷 一．选择题（共10小题） 1．下列说法正确的是（　　） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 2．镜，古称“鉴”，如图是六边形镜及其抽象出的正六边形ABCDEF，连接BF，则∠ABF的度数为（　　） A．32.5° B．30° C．27.5° D．25° 3．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（　　） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 4．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则CD的长度为（　　） A．1cm B．3cm C．6cm D．7cm 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别为AB，BC的中点，若AB＝10，MN＝3，则BC的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 6．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形ABCD的BC边上取中点E，以点E为圆心，线段DE长为半径作圆，交BC的延长线于点F，过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，得到矩形CDGF．根据黄金分割的意义：矩形ABFG满足，若AB＝1，则CF的长是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，若AE：ED＝1：2，BE＝12，则OB的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．9 8．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（　　） A．90° B．180° C．270° D．360° 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以AC，AB为边向外作正方形ACDE，正方形ABMN，连结NE，则NE的长为（　　） A．10 B．9 C． D． 10．如图，在△ABC中，点D在AC上，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．小明思考后得出以下结论：①若D是AC的中点，则∠BDC＝3∠ABD；②当E为AB中点时，△ABC是等边三角形；则下列说法正确的是（　　） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 二．填空题（共5小题） 11．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠ACB的度数是　 　 ． 12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交BC、AD于点E、F，若AB＝4，DF＝3，则BC＝　 　 ． 13．如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，则AP＝　 　 ． 14．一副三角板如图叠放，直角顶点F在边AB上，边AC与EF交于点H，边AB与DE交于点G，∠A＝30°，∠D＝45°，若AC＝DE，AC与DE互相平分交于点O，AG＝1，则CH＝ 　 　 ． 15．在正方形ABCD中，点E为边CD上一点（不与点C、D重合），AF⊥BE于点F，CG⊥BE于点G，若AD＝10，BF＝6，线段FD的长是 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．数学课上，在学习了矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形是矩形”后，老师要求同学们用矩形的定义来证明：“对角线相等的平行四边形是矩形．”以下是小强的证明过程（缺图形、求证和证明过程），请你把缺少的内容补充完整． 已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC＝BD． 求证： 证明： 17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，且O是BD的中点．求证：四边形ABCD是平行四边形． 18．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OB，OC上，∠OAE＝∠OBF． （1）求证：△AOE≌△BOF； （2）请判断AE与BF的位置关系，并说明理由． 19．在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AB边上一点，EF∥AD交DC于点F． （1）用无刻度的直尺与圆规作EF；（保留作图痕迹） （2）连接CE，若∠A＝140°，∠D＝100°，∠ECD＝48°，求∠AEC的度数． 20．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在AB，CD边上，且AE＝CF．求证：ED＝FB． 21．如图，已知E，F分别是平行四边形ABCD的边BC，AD的中点，∠BAC＝90°． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若∠B＝60°，AB＝2，求平行四边形ABCD的面积． 22．问题提出 （1）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别在边BC，CD上，连接AE，BF，交于点G，且AE⊥BF，求证：AE＝BF； 问题解决 （2）如图2，某公园有一块正方形ABCD的空地，园区管理员准备在这块空地内修四条小路AE，AG，GF，EF，其余部分种植各种不同的花卉．已知点E，F，G分别在边BC，AB，CD上，且AE⊥GF于点H．若AB＝60m，CE＝2BE，求小路AG+EF的最小值．（小路的宽度均忽略不计） 23．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm．点P在边AD上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边BC上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止，求经过多长时间，四边形ABQP为矩形？ 2025-2026人教版数学八年级下册第21章单元测试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B D D D B C C 一．选择题（共10小题） 1．下列说法正确的是（　　） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 【分析】根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的性质和轴对称图形的性质即可求解． 【解答】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意； B．矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意； C．正方形的每一条对角线平分一组对角，故C选项符合题意； D．平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．镜，古称“鉴”，如图是六边形镜及其抽象出的正六边形ABCDEF，连接BF，则∠ABF的度数为（　　） A．32.5° B．30° C．27.5° D．25° 【分析】根据正六边形的特点得出∠A＝120°，AB＝AF，再根据等腰三角形的性质求出结果即可． 【解答】解：∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴，AB＝AF， ∴， 故选：B． 3．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（　　） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形，依此可得n的值． 【解答】解：根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形， ∴n﹣2＝5，即n＝7． 故选：C． 4．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则CD的长度为（　　） A．1cm B．3cm C．6cm D．7cm 【分析】求出AB＝6cm，AD＝DB＝3cm，根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【解答】解：由题意可知：AB＝7﹣1＝6（cm），AD＝4﹣1＝3（cm），DB＝7﹣4＝3（cm）， ∴CD是△ABC的中线， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴， 故选：B． 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别为AB，BC的中点，若AB＝10，MN＝3，则BC的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】由已知得MN为△ABC的中位线，得AC＝2MN＝6，在Rt△ABC中，根据勾股定理得求解 【解答】解：∵M，N分别为AB，BC的中点， ∴AC＝2MN＝6． 在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝6，． 故选：D． 6．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形ABCD的BC边上取中点E，以点E为圆心，线段DE长为半径作圆，交BC的延长线于点F，过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，得到矩形CDGF．根据黄金分割的意义：矩形ABFG满足，若AB＝1，则CF的长是（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，设CF＝x，根据正方形的性质可得AB＝BC＝1，然后根据黄金分割的意义可得，从而可得，最后进行计算即可解答． 【解答】解：设CF＝x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝1， ∴BF＝BC+CF＝1+x． 由题意，根据黄金分割的意义：矩形ABFG满足， ∴， ∴． 经检验：是原方程的根， ∴． 故选：D． 7．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，若AE：ED＝1：2，BE＝12，则OB的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．9 【分析】先利用平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，则由AE：ED＝1：2得到AE：BC＝1：3，然后证明△AOE∽△COB，再利用相似比可计算出OB的长． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵AE：ED＝1：2， ∴AE：BC＝1：3， ∵AE∥BC， ∴△AOE∽△COB， ∴，即， ∴OB＝9， 故选：D． 8．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（　　） A．90° B．180° C．270° D．360° 【分析】连接CE，根据三角形内角和定理求出∠A+∠B＝∠1+∠2，再根据三角形内角和定理求出即可． 【解答】解： 连接CE， ∵∠1+∠2+∠COE＝180°，∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠AOB＝∠COE， ∴∠A+∠B＝∠1+∠2， ∵∠D+∠DCE+∠DEC＝180°， ∴∠A+∠B+∠DCB+∠D+∠DEA＝180°， 故选：B． 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以AC，AB为边向外作正方形ACDE，正方形ABMN，连结NE，则NE的长为（　　） A．10 B．9 C． D． 【分析】过点E作EP∥AM，交CA的延长线于点P，设AQ交NE于点Q，则∠P＝∠PAN，∠PEQ＝∠ANQ，先由勾股定理求出AB＝5，根据正方形性质得AN＝AB＝5，AE＝AC＝4，∠NAB＝∠EAC＝90°，证明∠PEA＝∠BAC，进而依据“AAS”判定△EPA和△ABC全等，则PE＝AN＝5，进而依据“AAS”判定△PEQ和△ANQ全等，则PQ＝AQPA，EQ＝NQ，然后在Rt△EQA中，由勾股定理求出EQ即可得出NE的长． 【解答】解：过点E作EP∥AM，交CA的延长线于点P，设AQ交NE于点Q，如图所示： ∴∠P＝∠PAN，∠PEQ＝∠ANQ， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， 由勾股定理得：AB＝AC2+BC2＝42+32＝5， ∵四边形ACDE和四边形ABMN都是正方形， ∴AN＝AB＝5，AE＝AC＝4，∠NAB＝∠EAC＝90°， ∴∠EAQ＝180°﹣∠EAC＝90°， ∴∠EAQ＝∠ACB＝90°，△EAP和△EQA都是直角三角形， 在Rt△EAP中，∠PEA+∠P＝90°， ∵∠P＝∠PAN， ∴∠PEA+∠PAN＝90°， 又∵∠PAN+∠BAC＝180°﹣∠NAB＝90°， ∠PEA＝∠BAC， 在△EPA和△ABC中， ， ∴△EPA≌△ABC（AAS）， ∴PE＝AB＝5，PA＝BC＝3， ∴PE＝AN＝5， 在△PEQ和△ANQ中， ， ∴△PEQ≌△ANQ（AAS）， ∴PQ＝AQPA，EQ＝NQ， ∴NE＝EQ+NQ＝2EQ， 在Rt△EQA中，由勾股定理得：EQ， ∴NE＝2EQ． 故选：C． 10．如图，在△ABC中，点D在AC上，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．小明思考后得出以下结论：①若D是AC的中点，则∠BDC＝3∠ABD；②当E为AB中点时，△ABC是等边三角形；则下列说法正确的是（　　） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【分析】连接DE，根据直角三角形斜边的中线的性质得到DE＝AD＝CD，推出∠AED＝∠A，由BE＝CD得到BE＝DE，得到∠ABD＝∠BDE，再利用三角形外角的性质即可判断①正确；根据垂直平分线的性质得到AC＝BC，则△ABC是等腰三角形，可判断②错误，即可得出结论． 【解答】解：如图，连接DE， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， ∵D是AC的中点， ∴EDCA＝DA＝DC， ∴∠DEA＝∠A， ∵BE＝CD， ∴BE＝DE， ∴∠ABD＝∠BDE， ∴∠AED＝∠ABD+∠BDE＝2∠ABD， ∴∠A＝2∠ABD， ∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝3∠ABD， 故①符合题意； ∵E为AB中点时，CE⊥AB， ∴CE垂直平分AB， ∴AC＝BC， ∴△ABC是等腰三角形， 由条件不能证明△ABC是等边三角形， 故②不符合题意； ∴①正确②错误； 故选：C． 二．填空题（共5小题） 11．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠ACB的度数是　52°　 ． 【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC， ∵AD＝AE＝BE， ∴BC＝AE＝BE， ∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB， ∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB， ∴∠ACB＝2∠CAB， ∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°， ∴∠BAC＝26°， ∴∠ACB＝52°， 故答案为：52°． 12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交BC、AD于点E、F，若AB＝4，DF＝3，则BC＝　8　 ． 【分析】连接CF，由矩形的性质得OA＝OC，∠ADC＝90°，AB＝CD＝4，根据勾股定理求出，再由EF⊥AC，可知EF垂直平分AC，则AF＝CF＝5，即可求出BC＝AD＝AF+DF＝8． 【解答】解：连接CF， ∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O， ∴OA＝OC，∠ADC＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC， ∴， ∵EF⊥AC， ∴AF＝CF＝5， ∴AD＝AF+DF＝5+3＝8， ∴BC＝AD＝8， 故答案为：8． 13．如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，则AP＝　　 ． 【分析】根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，比值为可得到，，将AB＝4代入计算即可． 【解答】解：根据已知条件，画图分析： ∵AP＞BP，由题意可得： ∴ 即 ∴． 故答案为：． 14．一副三角板如图叠放，直角顶点F在边AB上，边AC与EF交于点H，边AB与DE交于点G，∠A＝30°，∠D＝45°，若AC＝DE，AC与DE互相平分交于点O，AG＝1，则CH＝ 　　 ． 【分析】连接OF，依题意得点O是DE的中点，AC＝2OA，根据△FDE是等腰直角三角形得OF⊥DE，∠OFD＝∠OFE＝45°，DE＝2OF，由此得OA＝OF，进而得∠OFG＝∠A＝30°，证明∠GOA＝∠A＝30°得OG＝AG＝1，在Rt△FOG中，根据∠OFG＝30°得FG＝2OG＝1，由勾股定理得OF，继而得AC，证明∠AFH＝∠AHF＝75°得AH＝AF，然后根据AH＝AF＝AG+GF＝3即可得出CH的长． 【解答】解：连接OF，如图所示： ∵AC与DE互相平分交于点O， ∴点O是DE的中点，AC＝2OA， ∵△FDE是等腰直角三角形，且∠D＝45°， ∴∠DFE＝90°，DF＝EF， ∴OF⊥DE，∠OFD＝∠OFE＝45°，DE＝2OF， ∴∠FOG＝90°， ∴△FOG是直角三角形， ∵AC＝DE，AC＝2OA，DE＝2OF， ∴OA＝OF， ∴∠OFG＝∠A＝30°， ∴在Rt△FOG中，∠OGF＝90°﹣∠OFG＝60°， ∵∠OGF是△GOA的外角， ∵∠OGF＝∠A+∠GOA， ∴60°＝30°+∠GOA， ∴∠GOA＝30°， ∴∠GOA＝∠A＝30°， ∴OG＝AG＝1， 在Rt△FOG中，∠OFG＝30°， ∴FG＝2OG＝1， 由勾股定理得：OF， ∴OA＝OF， ∴AC＝2OA， ∵∠OFG＝30°，∠OFE＝45°， ∴∠AFH＝∠OFG+∠OFE＝75°， 在△AFH中，∠AHF＝180°﹣（∠A+∠AFH）＝180°﹣（30°+75°）＝75°， ∴∠AFH＝∠AHF＝75°， ∴AH＝AF， 又∵AF＝AG+GF＝1+2＝3， ∴AH＝AF＝3， ∴CH＝AC﹣AH． 故答案为：． 15．在正方形ABCD中，点E为边CD上一点（不与点C、D重合），AF⊥BE于点F，CG⊥BE于点G，若AD＝10，BF＝6，线段FD的长是 　　 ． 【分析】过点F分别作AB，AD的垂线，分别交AB，AD于 点H，N，求得AF的长度，根据 求得FH的长度，根据勾股定理，进而求得AH的长度，进而可求得答案． 【解答】解：如图所示，过点F分别作AB，AD的垂线，分 别交AB，AD于点H，N． ∵在正方形ABCD中，∠BAD＝90°， ∴四边形AHFN是矩形． ∵AF⊥BE，AB＝AD＝10，BF＝6， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴线段DF的长是， 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 16．数学课上，在学习了矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形是矩形”后，老师要求同学们用矩形的定义来证明：“对角线相等的平行四边形是矩形．”以下是小强的证明过程（缺图形、求证和证明过程），请你把缺少的内容补充完整． 已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC＝BD． 求证： 证明： 【分析】由平行四边形的性质得O A＝O C，O B＝O D，再由AC＝BD和等腰三角形的性质、三角形内角和定理得∠ABC＝90°，然后由矩形的判定即可得出结论． 【解答】解：已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC＝BD， 求证：平行四边形ABCD是矩形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AC＝BD， ∴OA＝OC＝OB＝OD， ∴∠ABO＝∠OAB，∠OBC＝∠OCB， ∵∠ABO+∠OAB+∠OBC+∠OCB＝180°， ∴∠ABO+∠OBC＝∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，且O是BD的中点．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】利用全等三角形的性质证明AB＝CD即可解决问题． 【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠ABO＝∠CDO， ∵OB＝OD，∠AOB＝∠COD， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴AB＝CD． 又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 18．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OB，OC上，∠OAE＝∠OBF． （1）求证：△AOE≌△BOF； （2）请判断AE与BF的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）利用ASA易证△AOE≌△BOF； （2）8字型导角即可得解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AO＝BO，∠AOE＝∠BOF＝90°， ∵∠OAE＝∠OBF． ∴△AOE≌△BOF（ASA）； （2）解：AE⊥BF，理由如下： 延长AE交BF于点H，如图， ∵∠AEO＝∠BEH， ∴∠AOE＝∠BHE＝90° ∴AE⊥BF． 19．在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AB边上一点，EF∥AD交DC于点F． （1）用无刻度的直尺与圆规作EF；（保留作图痕迹） （2）连接CE，若∠A＝140°，∠D＝100°，∠ECD＝48°，求∠AEC的度数． 【分析】（1）根据作一个角等于已知角以及平行线的判定进行解答即可； （2）根据四边形的内角和是360°进行计算即可． 【解答】解：（1）用无刻度的直尺与圆规作EF； 做法：①连接EC，以点C为圆心，任意长为半径画弧交BC于点M，交EC于点N， ②以点E为圆心，以CM为半径画弧交EC于点P， ③以点P为圆心，以MN为半径画弧与点E为圆心，EP为半径的弧交于点Q， ④连接EQ并延长交CD于点F， EF就是要求作的线段； （2）在四边形ADCE中， ∵∠A+∠D+∠ECD+∠AEC＝360°，而∠A＝140°，∠D＝100°，∠ECD＝48°， ∴∠AEC＝360°﹣100°﹣140°﹣48°＝72°． 20．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在AB，CD边上，且AE＝CF．求证：ED＝FB． 【分析】根据平行四边形的性质得出AD＝BC，∠A＝∠C，进而利用SAS证明△ADE和△CBF全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△CBF≌△ADE（SAS）， ∴ED＝FB． 21．如图，已知E，F分别是平行四边形ABCD的边BC，AD的中点，∠BAC＝90°． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若∠B＝60°，AB＝2，求平行四边形ABCD的面积． 【分析】（1）由平行四边形性质得到AD∥BC，AD＝BC，结合题意得到AF＝EC，证明四边形AECF是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到AE＝AF，即可得出结论； （2）过点A作AH⊥BC于点H，证△ABE是等边三角形，得出AB＝BE＝2，BC＝4，由勾股定理求出AH的长，再由平行四边形的面积公式即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵E，F分别是平行四边形ABCD的边BC，AD的中点， ∴AD∥BC，AD＝BC，AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，点E为BC的中点， ∴， ∴平行四边形AECF是菱形； （2）解：如图，过点A作AH⊥BC于点H， 由（1）得：四边形AECF是菱形， ∴AE＝EC， ∵点E是边BC的中点， ∴BE＝EC， ∴AE＝BE， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AB＝BE＝2， ∴BC＝2BE＝4， ∵∠AHB＝90°，∠B＝60°， ∴∠BAH＝90°﹣60°＝30°， ∴， 在直角三角形ABH中，由勾股定理得：， ∴． 22．问题提出 （1）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别在边BC，CD上，连接AE，BF，交于点G，且AE⊥BF，求证：AE＝BF； 问题解决 （2）如图2，某公园有一块正方形ABCD的空地，园区管理员准备在这块空地内修四条小路AE，AG，GF，EF，其余部分种植各种不同的花卉．已知点E，F，G分别在边BC，AB，CD上，且AE⊥GF于点H．若AB＝60m，CE＝2BE，求小路AG+EF的最小值．（小路的宽度均忽略不计） 【分析】（1）先证明△ABE≌△BCF（ASA），根据全等三角形性质即可证得结论； （2）过B作AE的垂线，交CD于点M，过点F作FK∥BC，交CD于K，把线段AG平移至A′F，过点A′作A′H⊥BC于H，连接A′E，则AG+EF＝A′F+EF≥A′E，当且仅当A′、F、E三点共线时，AG+EF＝A′E为最小值；再利用勾股定理即可求得答案． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝90°， ∵AE⊥BF， ∴∠AGB＝90°， ∴∠ABF+∠FBC＝∠ABF+∠BAE＝90°， ∴∠FBC＝∠BAE， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE＝BF； （2）解：如图所示：过B作AE的垂线，交CD于点M，过点F作FK∥BC，交CD于K， 把线段AG平移至A′F，过点A′作A′H⊥BC于H，连接A′E， 由（1）可知：CM＝BE＝20m， 由平移得：AG＝A′F， ∴AG+EF＝A′F+EF≥A′E，当且仅当A′、F、E三点共线时，AG+EF＝A′E为最小值； 设BF＝xm， ∵FG∥BM，AB∥CD， ∴四边形BFGM是平行四边形， ∴GM＝BF＝xm， ∴GD＝CD﹣CM﹣GM＝（40﹣x）m， 同理DK＝AF＝（60﹣x）m， ∴GK＝DK﹣DG＝20m， 由平移得：A′H＝60﹣20＝40（m），BH＝60m， ∴EH＝BE+BH＝20+60＝80（m）， ∴A′E40（m）， ∴小路AG+EF的最小值为40m． 23．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm．点P在边AD上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边BC上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止，求经过多长时间，四边形ABQP为矩形？ 【分析】根据矩形性质得BC＝AD＝12cm，∠A＝∠B＝90°，由此得当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，设运动的时间为t秒，再根据点P的运动时间为12秒，点Q从点C到点B的运动时间为3秒得有以下四种情况：①当0＜t＜3时，此时点Q从点C向点B运动，AP＝t（cm），BQ＝（12﹣4t）cm，由此得t＝12﹣4t，解得t；②当3≤t＜6时，此时点Q从点B向点C运动，AP＝t（cm），BQ＝（4t﹣12）cm，由此得t＝4t﹣12，解得t＝4；③当6≤t＜9时，此时点Q从点C向点B运动，AP＝t（cm），BQ＝（36﹣4t）cm，由此得t＝36﹣4t，解得t；④当9≤9≤12时，此时点Q从点B向点C运动，AP＝t（cm），BQ＝（4t﹣36）cm，由此得t＝4t﹣36，解得t＝12，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝12cm， ∴BC＝AD＝12cm，∠A＝∠B＝90°， ∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，设运动的时间为t秒， ∵点P在边AD上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，到达点D时停止， ∴点P的运动时间为：12÷1＝12（秒）， 又∵点Q在边BC上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动， ∴点Q从点C到点B的运动时间为：12÷4＝3（秒）， ∴有以下四种情况： ①当0＜t＜3时，此时点Q从点C向点B运动，AP＝t（cm），BQ＝（12﹣4t）cm， 又∵当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形， ∴t＝12﹣4t， 解得：t， ∴当t秒时，四边形ABQP是矩形； ②当3≤t＜6时，此时点Q从点B向点C运动，AP＝t（cm），BQ＝（4t﹣12）cm， 又∵当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形， ∴t＝4t﹣12， 解得：t＝4， ∴当t＝4秒时，四边形ABQP是矩形； ③当6≤t＜9时，此时点Q从点C向点B运动，AP＝t（cm），BQ＝（36﹣4t）cm， 又∵当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形， ∴t＝36﹣4t， 解得：t， ∴当t秒时，四边形ABQP是矩形； ④当9≤9≤12时，此时点Q从点B向点C运动，AP＝t（cm），BQ＝（4t﹣36）cm， 又∵当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形， ∴t＝4t﹣36， 解得：t＝12， ∴当t＝12秒时，四边形ABQP是矩形， 综上所述：当经过的时间为秒或4秒或秒或12秒时，四边形ABQP是矩形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/24 11:06:39；用户：郭冰；邮箱：guoxinzhong1@163.com；学号：20683928 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $