第九章 平面直角坐标系（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级下册

第九章 平面直角坐标系 教学目标 1. 熟练掌握有理数全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 教学重难点 1. 重点 （1）根据点的位置确定坐标及根据坐标确定点的位置； （2）象限及其坐标特点； （3）特殊位置的坐标特点及点到坐标轴的距离； （4）坐标方法的简单应用。 2. 难点 （1）根据相关位置的坐标特点进行求值； （2）用坐标表示平移及其平移中的规律问题 考点01 平面直角坐标系的认识 1. 平面直角坐标系的概念： 如图：平面内两条相互垂直且原点重合的数轴组成平面直角坐标系。 ①坐标轴：水平的数轴称为横轴（x轴）；竖直的数轴称为纵轴（y轴）。 ②坐标原点：两条坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点。 ③坐标平面：坐标轴所在的平面为坐标平面。 2. 点的坐标： 横坐标：过平面内一点做x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数为这个点的横坐标； 纵坐标：过平面内一点做y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数为这个点的纵坐标； 【题型1】确定点的坐标及根据点的坐标确定点的位置 1．如图，在平面直角坐标系中，描出下列各点：A（4，3），B（﹣2，3），C（﹣4，﹣1），D（2，﹣2），并写出图中E，F，G，H各点的坐标． 【答案】描点见解答，E（5，0），F（0，﹣4），G（﹣1，0），H（0，2）． 【解答】解：如图所示： 图中E，F，G，H各点的坐标分别为E（5，0），F（0，﹣4），G（﹣1，0），H（0，2）． 2．如图，写出其中标有字母的各点的坐标，并指出它们的横坐标和纵坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由图可知各点的坐标为： A（﹣5，4），横坐标﹣5，纵坐标4； B（﹣2，2），横坐标﹣2，纵坐标2； C（3，4），横坐标3，纵坐标4； D（2，1），横坐标2，纵坐标1； E（5，﹣3），横坐标5，纵坐标﹣3； F（﹣1，﹣2），横坐标﹣1，纵坐标﹣2； G（﹣5，﹣3），横坐标﹣5，纵坐标﹣3； H（﹣4，﹣1），横坐标﹣4，纵坐标﹣1． 考点02 象限及其坐标特点 1. 象限： 如图，坐标轴把坐标平面分成了四个部分，每一个部分称为象限，从右上角为第一象限；逆时针依次得到第二象限、第三象限以及第四象限。特别地，坐标轴不属于任何一个象限。 2. 象限内的点的坐标特点： 第一象限内的所有点的坐标，横坐标与纵坐标均大于0；可以表示为（+，+）。 第二象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标大于0；可以表示为（－，+）。 第三象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标,小于0；可以表示为（－，－）。 第四象限内的所有点的坐标，横坐标大于0，纵坐标,小于0；可以表示为（+，－）。 【题型1】判断坐标点所在的象限 3．下列各点在第四象限的是（　　） A．（5，﹣2） B．（﹣2，4） C．（4，2） D．（﹣2，﹣3） 【答案】A 【解答】解：A．（5，﹣2）在第四象限，故此选项符合题意； B．（﹣2，4）在第二象限，故此选项不符合题意； C．（4，2）在第一象限，故此选项不符合题意； D．（﹣2，﹣3）在第三象限，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．在平面直角坐标系中，点P（m2+2026，﹣1）一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解答】解：在平面直角坐标系中，点P坐标为：（m2+2026，﹣1）， ∵m2+2026＞0，﹣1＜0， ∴点P在第四象限． 故选：D． 5．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，a2+3）在第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【解答】解∵a2≥0， ∴a2+3＞0， ∵﹣1＜0， ∴点A（﹣1，a2+3）在第二象限． 故选：B． 6．在平面直角坐标系中，已知点P（a+2，3a﹣1）在y轴上，则点Q（a，a+5）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解答】解：∵点P（a+2，3a﹣1）在y轴上， ∴a+2＝0， 解得：a＝﹣2， ∴a+5＝﹣2+5＝3， ∴点Q（﹣2，3）在第二象限， 故选：B． 7．已知平面直角坐标系中有一点P（m，3m﹣2），无论m取何值，点P不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解答】解：当m时，点P（m，3m﹣2）在第一象限； 当0＜m时，点P（m，3m﹣2）在第四象限； 当m＜0时，点P（m，3m﹣2）在第三象限； 当m＜0时，3m﹣2＜0，所以无论m取何值，点P不可能在第二象限． 故选：B． 【题型2】根据点所在的象限求值 8．在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　） A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1） 【答案】C 【解答】解：∵点在第二象限的符号特点是横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴符合题意的只有选项C． 故选：C． 9．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，a）位于第二象限，a的值可能是（　　） A． B．﹣2 C．0 D． 【答案】D 【解答】解：在平面直角坐标系中，点A（﹣2，a）位于第二象限，a的值可能是， 故选：D． 考点03 特殊位置的点的坐标特点 1. 特殊位置的点的坐标特点： （1）坐标轴上的点的坐标特点： ①x轴上的所有点的纵坐标等于0，可表示为（x，0）。 ②y轴上的所有点的横坐标等于0，可表示为（0，y）。 （2）象限角平分线上的点的坐标特点： ①一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等。 ②二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数。 （3）平行于x轴（垂直于y轴）的直线上的点的坐标特点： 平行于x轴（垂直于y轴）的直线上的所有点的坐标纵坐标相等。 （4）平行于y轴（垂直于x轴）的直线上的点的坐标特点： 平行于y轴（垂直于x轴）的直线上的所有点的坐标横坐标相等。 （5）点到坐标轴的距离： 点到横坐标轴的距离等于该点的纵坐标的绝对值。 点到纵坐标轴的距离等于该点的横坐标的绝对值。 【题型1】根据坐标轴上的点的坐标特点求值 10．在平面直角坐标系中，若点A（﹣3，a﹣1）在x轴上，则a的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．4 D．0 【答案】B 【解答】解：∵点A（﹣3，a﹣1）在x轴上， ∴a﹣1＝0， 解得a＝1， 故选：B． 11．点P（﹣m+3，m﹣1）在y轴上，则点P的坐标为（　　） A．（0，﹣4） B．（2，0） C．（0，2） D．（﹣3，0） 【答案】C 【解答】解：∵点P（﹣m+3，m﹣1）在y轴上， ∴﹣m+3＝0， 解得：m＝3， ∴m﹣1＝3﹣1＝2， ∴点P的坐标为：（0，2）， 故选：C． 【题型2】根据象限角平分线上的点的坐标特点进行求值 12．在平面直角坐标系中，点P（m，2﹣2m）在第二、四象限的角平分线上，则m的值是（　　） A．2 B． C． D．﹣2 【答案】A 【解答】解：∵点P（m，2﹣2m）在第二、四象限的角平分线上， ∴m+2﹣2m＝0， 解得：m＝2， 故选：A． 13．已知点P（a，2a﹣1）在一、三象限的角平分线上，则a的值为 　1　 ． 【答案】1 【解答】解：由题意知a＝2a﹣1， 解得a＝1， 故答案为：1． 【题型3】根据平行（或垂直）于坐标轴的直线上的点的坐标特点求值 14．若A（a﹣2，b），B（3，b），且AB＝5，则a的值为（　　） A．10 B．5 C．0 D．0或10 【答案】D 【解答】解：A、B两点纵坐标相同， ∴AB∥x轴， ∴AB＝|（a﹣2）﹣3|＝|a﹣5|， 又∵AB＝5， ∴|a﹣5|＝5， ∴a﹣5＝5或 a﹣5＝﹣5， 解得：a＝10或a＝0， 故选：D． 15．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，3），AB∥x轴，且AB＝2，若点B在点A右侧，则点B的坐标为（　　） A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3） 【答案】D 【解答】解：∵AB∥x轴，A（﹣4，3）， ∴点B的纵坐标为3， ∵AB＝2，且点B在点A右侧， ∴点B的横坐标为2+（﹣4）＝﹣2， ∴若点B在点A右侧，则B（﹣2，3）， 故选：D． 16．已知过点A（2a﹣4，3a+1），B（2，3）两点的直线平行于x轴，则a的值为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解答】解：由题意可知点A和点B的纵坐标相等， ∴3a+1＝3， ∴3a＝2， ∴． 故选：B． 【题型4】根据点的坐标特点判断直线与坐标轴的位置关系 17．若点M（5，m），N（﹣5，m），则直线MN与x轴、y轴的位置关系分别为（　　） A．平行，垂直 B．平行，平行 C．垂直，平行 D．相交，相交 【答案】A 【解答】解：∵点M（5，m），N（﹣5，m）， ∴点M、N的纵坐标相等， ∴直线MN∥x轴，则直线MN⊥y轴， 故选：A． 18．在平面直角坐标系中，A（m+2，﹣1），B（m﹣1，﹣1），则直线AB与y轴的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定（与m的取值有关） 【答案】B 【解答】解：∵A、B两个点的纵坐标相等， ∴直线AB⊥y轴， 故选：B． 【题型5】求点到坐标轴的距离 19．已知点P（﹣3，4），点P到y轴的距离为（　　） A．5 B．3 C．4 D．﹣3 【答案】B 【解答】解：根据点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值可得： 已知P（﹣3，4），则点P到y轴的距离是|﹣3|＝3． 故选：B． 20．点P（3，﹣4）到x轴的距离是（　　） A． B．3 C．5 D．4 【答案】D 【解答】解：点P（3，﹣4）到x轴的距离是：|﹣4|＝4． 故选：D． 【题型6】根据点到坐标轴的距离求点的坐标及求值 21．若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P的坐标为（　　） A．（3，﹣4） B．（4，﹣3） C．（﹣3，4） D．（﹣4，3） 【答案】D 【解答】解：∵P点在第二象限，且点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4， ∴P（﹣4，3）， 故选：D． 22．已知点M（3a﹣2，a+6）．若点M到两坐标轴的距离相等，则a的值为（　　） A．4 B．﹣6 C．﹣1或4 D．﹣1或﹣6 【答案】C 【解答】解：由题意得：|3a﹣2|＝|a+6|， ∴3a﹣2＝±（a+6）， 当3a﹣2＝a+6时，a＝4， 当3a﹣2＝﹣（a+6）时，a＝﹣1， 综上所述：a的值为﹣1或4， 故选：C． 23．已知点Q（5﹣m，4m﹣10）在第四象限，且点Q到两坐标轴的距离相等，那么m的值为（　　） A．3 B．﹣3或3 C． D．3或 【答案】C 【解答】解：∵点Q（5﹣m，4m﹣10）到两坐标轴的距离相等， ∴|5﹣m|＝|4m﹣10|， ∴5﹣m＝4m﹣10或5﹣m＝﹣（4m﹣10）， 解得m＝3或m， ∵点Q（5﹣m，4m﹣10）在第四象限， ∴， 故m＝3不符合题意， 故m． 故选：C． 24．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣4，3）的“长距”为　4　 ； （2）若点B（3﹣2a，﹣1）是“完美点”，求a的值； （3）若点C（﹣2，3b+1）的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为（4﹣2b，﹣8），试说明：点D是“完美点”． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵A（﹣4，3）， ∴点A到x轴的距离数3，到y轴的距离是4， ∴点A（﹣4，3）的“长距”为4； 故答案为：4； （2）∵点B（3﹣2a，﹣1）是“完美点”， ∴|3﹣2a|＝|﹣1|， ∴3﹣2a＝1或3﹣2a＝﹣1， 解得a＝1或a＝2； （3）∵点C（﹣2，3b+1）的长距为5，且点C在第三象限内， ∴3b+1＝﹣5， 解得b＝﹣2， ∴4﹣2b＝4+4＝8， ∵点D的坐标为（4﹣2b，﹣8）， ∴点D的坐标为（8，﹣8）， ∴点D到x轴、y轴的距离都是8， ∴D是“完美点”． 25．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离较大值称为点P的“长距”；点Q到x轴，y轴距离相等时，称点Q为“角平分线点”． （1）点（4，6）的“长距”为 　6　 ； （2）若点B（5﹣3a，﹣3）是“角平分线点”，求a的值； （3）若点C（﹣1，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5）；请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】（1）6； （2）或； （3）是，理由见解析． 【解答】解：（1）∵|4|＝4，|6|＝6， ∴点（4，6）的“长距”为6， 故答案为：6； （2）∵点B（5﹣3a，﹣3）是“角平分线点”， ∴|5﹣3a|＝|﹣3|， |5﹣3a|＝3， 5﹣3a＝±3， 解得：或； （3）点D是“角平分线点”，理由如下： ∵点C（﹣1，3b﹣2）的长距为4， ∴|3b﹣2|＝4， ∵点C在第二象限内， 3b﹣2＝4， 解得：b＝2， ∵点D的坐标为（9﹣2b，﹣5）， ∴9﹣2b＝9﹣2×2＝5， ∴|9﹣2b|＝|﹣5|， ∴点D是“角平分线点”． 26．已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为（m﹣1，5﹣2m）． （1）若点Q的坐标为（5，13）且PQ∥y轴，求点P的坐标； （2）若点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标． 【答案】（1）（5，﹣7）； （2）（1，1）或（3，﹣3）． 【解答】解：（1）∵PQ∥y轴， ∴点P与点Q的横坐标相等， 即m﹣1＝5， 解得m＝6， 将m＝6代入5﹣2m得5﹣2×6＝5﹣12＝5﹣12＝﹣7， ∴点P的坐标为（5，﹣7）； （2）∵点P到两坐标轴的距离相等， ∴根据坐标的性质得，|m﹣1|＝|5﹣2m|， 根据题意，分两种情况讨论： ①当m﹣1＝5﹣2m时，解得m＝2， 将m＝2代入点P的坐标表达式得（2﹣1，5﹣2×2）＝（1，1）； ②当m﹣1＝﹣（5﹣2m）时， 解得m＝4， ∴5﹣2×4＝﹣3，4﹣1＝3， P点坐标为（3，﹣3）； 综上所述，点P的坐标为（1，1）或（3，﹣3）． 考点04 坐标方法的简单应用 1. 用坐标描述简单的几何图形： 建立平面直角坐标系来描述一些简单几何图形，一般只需要用坐标来描述几何图形的关键点的位置即可。 2. 用坐标表示地理位置： （1）建立平面直角坐标系表示地理位置的步骤： 第一步：建立坐标系，选择合适的参照点作为原点，确定x轴与y轴的正方形。 第二步：根据具体问题确定单位长度。 第三步：在平面直角坐标系内画出待表示的点，写出各点的坐标与名称。 （2）经纬度法： 用经度加纬度的方法来表示地理的位置。 （3）方向角和距离表示地理位置： 以一点为参照点，用某个方向加上与该参照点的距离来确定一点的位置。 【题型1】建立适当的坐标系描述几何图形 27．（1）如图，在平面直角坐标系中描出下列各点：A（2，0），B（1，3），C（﹣2，﹣2），D（1，﹣2）； （2）按次序A→B→C→DA将所描出的点用线段连接起来，看看得到的是什么图形； （3）计算所得到的图形面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中描出点A（2，0），B（1，3），C（﹣2，﹣2），D（1，﹣2）如图； （2）按次序A→B→C→DA将所描出的点用线段连接起来得到的是四边形； （3）S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABD10． 28．已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3） （1）在坐标系中描出各点，画出△ABC； （2）求△ABC的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）描点，画出△ABC，如图所示． （2）S△ABC＝3×42×41×22×3＝4． 【题型2】建立适当的坐标系求几何图形关键点的坐标 29．（1）写出图中小鱼身上所标各点的坐标； （2）观察点A与点E，点B与点D的位置，看看它们的坐标有什么特点？ 【答案】（1）A（0，2）、B（2，1）、C（1，0）、D（2，﹣1）、E（0，﹣2）、F（﹣2，0）； （2）它们的横坐标相同纵坐标互为相反数． 【解答】解：（1）各点的坐标为：A（0，2）、B（2，1）、C（1，0）、D（2，﹣1）、E（0，﹣2）、F（﹣2，0）； （2）点A（0，2）与点E（0，﹣2），点B（2，1）与点D（2，﹣1），它们的横坐标相同纵坐标互为相反数． 【题型3】建立适当的坐标系表示相应的地理位置 30．某主题公园完美融合中外经典文化元素，打造了变形金刚、未来水世界等七大主题景区．如图是某些主题景区的分布示意图，小珂和妈妈在游玩的过程中，分别对“侏罗纪世界”和“变形金刚”的位置做出如下描述： 小珂：“侏罗纪世界的坐标是（1，0）”． 妈妈：“变形金刚的坐标为（﹣3，3）”． 实际上，小珂和妈妈描述的位置都是正确的． （1）根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出“未来水世界”的坐标； （2）若“哈利波特魔法世界”的坐标为（8，1），“好莱坞”的坐标为（﹣3，﹣3），请在坐标系中用点M、N分别表示“哈利波特魔法世界”和“好莱坞”这两个主题景区的位置． 【答案】（1）如图，未来水世界的坐标为（5，5） （2）如图所示． 【解答】解：（1）建立平面直角坐标系如图， “未来水世界”的坐标为（5，5）， 故答案为：（5，5）； （2）如图所示． 31．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为（2，2），文化馆的坐标为（﹣1，3）． （1）请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； （2）直接写出体育场，市场，超市的坐标； （3）已知游乐场A，图书馆B的坐标分别为（0，5），（﹣2，﹣2），请在图中标出A，B的位置． 【答案】（1）见解析； （2）体育场（﹣2，5）；市场（6，5）；超市（4，﹣1）； （3）见解析． 【解答】解：（1）根据题意，建立平面直角坐标系如图所示： （2）体育场（﹣2，5）；市场（6，5）；超市（4，﹣1）； （3）如图所示，点A，B即为所求． 【题型4】表示地理位置的其他方法的应用 32．根据下列表述，能确定位置的是（　　） A．北偏东30° B．某电影院2排 C．市二环东路 D．东经120°，北纬35° 【答案】D 【解答】解：A、北偏东30°，不能确定位置； B、某电影院2排，没有明确具体位置； C、市二环东路，没有明确具体位置； D、东经120°，北纬35°，二者相交于一点，位置明确，能确定位置； 故选：D． 33．如图，雷达探测器在一次探测中发现六个目标．若目标A、B的位置分别记为（6，0°）、（3，30°），则目标E的位置记为（　　） A．（4，30°） B．（3，210°） C．（4，210°） D．（5，210°） 【答案】C 【解答】解：因为A、B的位置分别记为（6，0°），（3，30°）， 可知第1个数为从里向外数的圈数，第2个为所在度数， 所以若目标A、B的位置分别记为（6，0°）、（3，30°）， 则目标E的位置为第4圈，度数为210°，记为（4，210°）， 故选：C． 考点05 用坐标表示平移 1. 用坐标表示点的平移： 左右平移：点在平面直角坐标系中进行左右平移时，纵坐标不变，横坐标进行加减。向右平移时加，向左平移时减。即左右平移m各单位后得到。 巧记：左右平移，横加减，纵不变，右加左减。 上下平移：点在平面直角坐标系中进行上下平移时，横坐标不变，纵坐标进行加减。向上平移时加，向下平移时减。即上下平移m各单位后得到。 巧记：上下平移，纵加减，横不变，上加下减。 2. 用坐标表示图形的平移： 图形平移时，把图形的关键点按照点的平移进行平移，然后把平移后的点按照原图形连接。因为图形是整体平移，所以图形上的每一个点都遵循同一个平移规律。 3. 从图形上的点的坐标变化判断如何平移： 在平面直角坐标系中，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，那么相应的新图形可以看做把原图形向左（或向右）平移了a个单位长度得到；如果把一个图形各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，那么相应的新图形可以看做把原图形向上（或向下）平移了a个单位长度得到。 【题型1】求平移后的点的坐标 34．若点A的坐标为（﹣3，4），则点A向左平移2个单位后对应的点A′的坐标为（　　） A．（﹣5，4） B．（﹣1，4） C．（﹣3，2） D．（﹣3，6） 【答案】A 【解答】解：点A（﹣3，4）向左平移2个单位后对应的点A′的坐标为（﹣3﹣2，4），即（﹣5，4）． 故选：A． 35．在平面直角坐标系中，将点（﹣2，2）向右平移2个单位，最后所得点的坐标是（　　） A．（2，4） B．（0，2） C．（2，2） D．（0，﹣2） 【答案】B 【解答】解：根据点的平移规律，点（﹣2，2）向右平移2个单位，平移后点坐标为（0，2）， 故选：B． 【题型2】求平移前的点的坐标 36．已知某点向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到坐标是（﹣1，4），则该点平移前坐标是（　　） A．（﹣4，1） B．（﹣4，7） C．（2，2） D．（2，7） 【答案】A 【解答】解：∵某点向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到坐标是（﹣1，4）， ∴﹣1﹣3＝﹣4，4﹣3＝1， ∴平移前坐标是（﹣4，1）． 故选：A． 37．将点A（m+2，m﹣3）向左平移三个单位后刚好落在y轴上，则平移前点A的坐标是 　（3，﹣2）　 ． 【答案】（3，﹣2）． 【解答】解：点A（m+2，m﹣3）向左平移三个单位得到A′（m﹣1，m﹣3）， ∵A′在y轴上， ∴m﹣1＝0， ∴m＝1， ∴A（3，﹣2）， 故答案为：（3，﹣2）． 【题型3】根据一个点的坐标变化求另一个点平移后的坐标及求值 38．三角形ABC经过平移得到三角形A′B′C′，它们在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）分别写出下列各点的坐标：A　（1，3）　 ，A′　（﹣3，1）　 ，B　（2，0）　 ； （2）连接AA′和CC′，写出线段AA′和CC′的关系； （3）若点P′（x，y）是三角形A′B′C′内部一点，则平移前三角形ABC内部的对应点P的坐标为　（x+4，y+2）　 ． 【答案】（1）（1，3），（﹣3，1），（2，0）； （2）AA′∥CC′，AA′＝CC′； （3）（x+4，y+2）． 【解答】解：（1）由图可知：A（1，3），A′（﹣3，1），B（2，0）； 故答案为：（1，3），（﹣3，1），（2，0）； （2）如图所示，连接AA′和CC′， 由平移得：AA′∥CC′，AA′＝CC′； （3）∵三角形ABC经过平移得到三角形A′B′C′， 平移方式是先向左平移4个单位，再向下平移2个单位， ∴若点P′（x，y）是三角形A′B′C′内部一点，则平移前三角形ABC内部的对应点P的坐标为P（x+4，y+2）． 故答案为：（x+4，y+2）． 39．在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点A（5，2）平移后的对应点为A′（2，﹣2），则点B（﹣3，4）平移后的对应点B′的坐标是（　　） A．（0，8） B．（﹣6，0） C．（﹣7，1） D．（0，0） 【答案】B 【解答】解：∵点A（5，2）平移后的对应点为A′（2，﹣2）， ∴平移方式为向左平移3个单位，向下平移4个单位， ∴B′（﹣6，0）． 故选：B． 40．如图，A、B的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段AB平移至A1B1，A1、B1的坐标分别为（2，a）、（b，3），则a+b的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：由A（1，0）的对应点A1的坐标为（2，a）知，线段AB向右平移了1个单位， 由B（0，2）的对应点B1的坐标为（b，3）知，线段AB向上平移了1个单位， 则a＝2﹣1＝1，b＝3﹣2＝1， ∴a+b＝1+1＝2， 故选：A． 【题型4】根据平移前后点的坐标判断平移情况 41．已知点P（﹣3，5）平移后得到点Q（3，﹣2），则点P的平移情况是（　　） A．先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度 B．先向右平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度 C．先向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度 D．先向右平移6个单位长度，再向下平移7个单位长度 【答案】D 【解答】解：由点P（﹣3，5）平移后得到点Q（﹣3+6，5﹣7），即（3，﹣2）， 知点P的平移情况是：先向右平移6个单位长度，再向下平移7个单位长度， 故选：D． 42．将线段AB在平面直角坐标系中平移，已知点A（﹣2，2），B（0，0），将线段平移后，其两个端点的对应点分别为A'（﹣1，4），B'（1，2），则它的平移情况是（　　） A．向左平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度 B．向右平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度 C．向右平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度 D．向左平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度 【答案】C 【解答】解：由点A（﹣2，2）及其对应点A'（﹣1，4），知向右平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度， 故选：C． 43．定义新运算： ①在平面直角坐标系中，{a，b}表示动点从原点出发，先沿着x轴正方向（a≥0）或负方向（a＜0）平移|a|个单位长度，再沿y轴正方向（b≥0）或负方向（b＜0）平移|b|个单位长度．例如：动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作{﹣2，1}；②加法运算法则：{a，b}+{c，d}＝{a+c，b+d}，其中a，b，c，d为实数． 若动点P从原点出发，平移后记作{m，n}，且满足，则动点P的平移情况是（　　） A．先沿着x轴正方向平移4个单位长度，再沿着y轴正方向平移2个单位长度 B．先沿着x轴负方向平移4个单位长度，再沿着y轴正方向平移2个单位长度 C．先沿着x轴负方向平移4个单位长度，再沿着y轴负方向平移2个单位长度 D．先沿着x轴正方向平移4个单位长度，再沿着y轴负方向平移2个单位长度 【答案】C 【解答】解：∵， ∴， 解得， ∴点P（﹣4，﹣2）， ∴动点P从原点出发，先沿着x轴负方向平移4个单位长度，再沿着y轴负方向平移2个单位长度． 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 平面直角坐标系 教学目标 1. 熟练掌握有理数全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 教学重难点 1. 重点 （1）根据点的位置确定坐标及根据坐标确定点的位置； （2）象限及其坐标特点； （3）特殊位置的坐标特点及点到坐标轴的距离； （4）坐标方法的简单应用。 2. 难点 （1）根据相关位置的坐标特点进行求值； （2）用坐标表示平移及其平移中的规律问题 考点01 平面直角坐标系的认识 1. 平面直角坐标系的概念： 如图：平面内两条相互垂直且原点重合的数轴组成平面直角坐标系。 ①坐标轴：水平的数轴称为横轴（x轴）；竖直的数轴称为纵轴（y轴）。 ②坐标原点：两条坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点。 ③坐标平面：坐标轴所在的平面为坐标平面。 2. 点的坐标： 横坐标：过平面内一点做x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数为这个点的横坐标； 纵坐标：过平面内一点做y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数为这个点的纵坐标； 【题型1】确定点的坐标及根据点的坐标确定点的位置 1．如图，在平面直角坐标系中，描出下列各点：A（4，3），B（﹣2，3），C（﹣4，﹣1），D（2，﹣2），并写出图中E，F，G，H各点的坐标． 2．如图，写出其中标有字母的各点的坐标，并指出它们的横坐标和纵坐标． 考点02 象限及其坐标特点 1. 象限： 如图，坐标轴把坐标平面分成了四个部分，每一个部分称为象限，从右上角为第一象限；逆时针依次得到第二象限、第三象限以及第四象限。特别地，坐标轴不属于任何一个象限。 2. 象限内的点的坐标特点： 第一象限内的所有点的坐标，横坐标与纵坐标均大于0；可以表示为（+，+）。 第二象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标大于0；可以表示为（－，+）。 第三象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标,小于0；可以表示为（－，－）。 第四象限内的所有点的坐标，横坐标大于0，纵坐标,小于0；可以表示为（+，－）。 【题型1】判断坐标点所在的象限 3．下列各点在第四象限的是（　　） A．（5，﹣2） B．（﹣2，4） C．（4，2） D．（﹣2，﹣3） 4．在平面直角坐标系中，点P（m2+2026，﹣1）一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，a2+3）在第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 6．在平面直角坐标系中，已知点P（a+2，3a﹣1）在y轴上，则点Q（a，a+5）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．已知平面直角坐标系中有一点P（m，3m﹣2），无论m取何值，点P不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型2】根据点所在的象限求值 8．在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　） A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1） 9．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，a）位于第二象限，a的值可能是（　　） A． B．﹣2 C．0 D． 考点03 特殊位置的点的坐标特点 1. 特殊位置的点的坐标特点： （1）坐标轴上的点的坐标特点： ①x轴上的所有点的纵坐标等于0，可表示为（x，0）。 ②y轴上的所有点的横坐标等于0，可表示为（0，y）。 （2）象限角平分线上的点的坐标特点： ①一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等。 ②二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数。 （3）平行于x轴（垂直于y轴）的直线上的点的坐标特点： 平行于x轴（垂直于y轴）的直线上的所有点的坐标纵坐标相等。 （4）平行于y轴（垂直于x轴）的直线上的点的坐标特点： 平行于y轴（垂直于x轴）的直线上的所有点的坐标横坐标相等。 （5）点到坐标轴的距离： 点到横坐标轴的距离等于该点的纵坐标的绝对值。点到纵坐标轴的距离等于该点的横坐标的绝对值。 【题型1】根据坐标轴上的点的坐标特点求值 10．在平面直角坐标系中，若点A（﹣3，a﹣1）在x轴上，则a的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．4 D．0 11．点P（﹣m+3，m﹣1）在y轴上，则点P的坐标为（　　） A．（0，﹣4） B．（2，0） C．（0，2） D．（﹣3，0） 【题型2】根据象限角平分线上的点的坐标特点进行求值 12．在平面直角坐标系中，点P（m，2﹣2m）在第二、四象限的角平分线上，则m的值是（　　） A．2 B． C． D．﹣2 13．已知点P（a，2a﹣1）在一、三象限的角平分线上，则a的值为 　 　 ． 【题型3】根据平行（或垂直）于坐标轴的直线上的点的坐标特点求值 14．若A（a﹣2，b），B（3，b），且AB＝5，则a的值为（　　） A．10 B．5 C．0 D．0或10 15．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，3），AB∥x轴，且AB＝2，若点B在点A右侧，则点B的坐标为（　　） A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3） 16．已知过点A（2a﹣4，3a+1），B（2，3）两点的直线平行于x轴，则a的值为（　　） A． B． C．3 D． 【题型4】根据点的坐标特点判断直线与坐标轴的位置关系 17．若点M（5，m），N（﹣5，m），则直线MN与x轴、y轴的位置关系分别为（　　） A．平行，垂直 B．平行，平行 C．垂直，平行 D．相交，相交 18．在平面直角坐标系中，A（m+2，﹣1），B（m﹣1，﹣1），则直线AB与y轴的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定（与m的取值有关） 【题型5】求点到坐标轴的距离 19．已知点P（﹣3，4），点P到y轴的距离为（　　） A．5 B．3 C．4 D．﹣3 20．点P（3，﹣4）到x轴的距离是（　　） A． B．3 C．5 D．4 【题型6】根据点到坐标轴的距离求点的坐标及求值 21．若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P的坐标为（　　） A．（3，﹣4） B．（4，﹣3） C．（﹣3，4） D．（﹣4，3） 22．已知点M（3a﹣2，a+6）．若点M到两坐标轴的距离相等，则a的值为（　　） A．4 B．﹣6 C．﹣1或4 D．﹣1或﹣6 23．已知点Q（5﹣m，4m﹣10）在第四象限，且点Q到两坐标轴的距离相等，那么m的值为（　　） A．3 B．﹣3或3 C． D．3或 24．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣4，3）的“长距”为　 　 ； （2）若点B（3﹣2a，﹣1）是“完美点”，求a的值； （3）若点C（﹣2，3b+1）的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为（4﹣2b，﹣8），试说明：点D是“完美点”． 25．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离较大值称为点P的“长距”；点Q到x轴，y轴距离相等时，称点Q为“角平分线点”． （1）点（4，6）的“长距”为 　 　 ； （2）若点B（5﹣3a，﹣3）是“角平分线点”，求a的值； （3）若点C（﹣1，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5）；请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 26．已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为（m﹣1，5﹣2m）． （1）若点Q的坐标为（5，13）且PQ∥y轴，求点P的坐标； （2）若点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标． 考点04 坐标方法的简单应用 1. 用坐标描述简单的几何图形： 建立平面直角坐标系来描述一些简单几何图形，一般只需要用坐标来描述几何图形的关键点的位置即可。 2. 用坐标表示地理位置： （1）建立平面直角坐标系表示地理位置的步骤： 第一步：建立坐标系，选择合适的参照点作为原点，确定x轴与y轴的正方形。 第二步：根据具体问题确定单位长度。 第三步：在平面直角坐标系内画出待表示的点，写出各点的坐标与名称。 （2）经纬度法： 用经度加纬度的方法来表示地理的位置。 （3）方向角和距离表示地理位置： 以一点为参照点，用某个方向加上与该参照点的距离来确定一点的位置。 【题型1】建立适当的坐标系描述几何图形 27．（1）如图，在平面直角坐标系中描出下列各点：A（2，0），B（1，3），C（﹣2，﹣2），D（1，﹣2）； （2）按次序A→B→C→DA将所描出的点用线段连接起来，看看得到的是什么图形； （3）计算所得到的图形面积． 28．已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3） （1）在坐标系中描出各点，画出△ABC； （2）求△ABC的面积． 【题型2】建立适当的坐标系求几何图形关键点的坐标 29．（1）写出图中小鱼身上所标各点的坐标； （2）观察点A与点E，点B与点D的位置，看看它们的坐标有什么特点？ 【题型3】建立适当的坐标系表示相应的地理位置 30．某主题公园完美融合中外经典文化元素，打造了变形金刚、未来水世界等七大主题景区．如图是某些主题景区的分布示意图，小珂和妈妈在游玩的过程中，分别对“侏罗纪世界”和“变形金刚”的位置做出如下描述： 小珂：“侏罗纪世界的坐标是（1，0）”． 妈妈：“变形金刚的坐标为（﹣3，3）”． 实际上，小珂和妈妈描述的位置都是正确的． （1）根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出“未来水世界”的坐标； （2）若“哈利波特魔法世界”的坐标为（8，1），“好莱坞”的坐标为（﹣3，﹣3），请在坐标系中用点M、N分别表示“哈利波特魔法世界”和“好莱坞”这两个主题景区的位置． 31．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为（2，2），文化馆的坐标为（﹣1，3）． （1）请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； （2）直接写出体育场，市场，超市的坐标； （3）已知游乐场A，图书馆B的坐标分别为（0，5），（﹣2，﹣2），请在图中标出A，B的位置． 【题型4】表示地理位置的其他方法的应用 32．根据下列表述，能确定位置的是（　　） A．北偏东30° B．某电影院2排 C．市二环东路 D．东经120°，北纬35° 33．如图，雷达探测器在一次探测中发现六个目标．若目标A、B的位置分别记为（6，0°）、（3，30°），则目标E的位置记为（　　） A．（4，30°） B．（3，210°） C．（4，210°） D．（5，210°） 考点05 用坐标表示平移 1. 用坐标表示点的平移： 左右平移：点在平面直角坐标系中进行左右平移时，纵坐标不变，横坐标进行加减。向右平移时加，向左平移时减。即左右平移m各单位后得到。 巧记：左右平移，横加减，纵不变，右加左减。 上下平移：点在平面直角坐标系中进行上下平移时，横坐标不变，纵坐标进行加减。向上平移时加，向下平移时减。即上下平移m各单位后得到。 巧记：上下平移，纵加减，横不变，上加下减。 2. 用坐标表示图形的平移： 图形平移时，把图形的关键点按照点的平移进行平移，然后把平移后的点按照原图形连接。因为图形是整体平移，所以图形上的每一个点都遵循同一个平移规律。 3. 从图形上的点的坐标变化判断如何平移： 在平面直角坐标系中，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，那么相应的新图形可以看做把原图形向左（或向右）平移了a个单位长度得到；如果把一个图形各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，那么相应的新图形可以看做把原图形向上（或向下）平移了a个单位长度得到。 【题型1】求平移后的点的坐标 34．若点A的坐标为（﹣3，4），则点A向左平移2个单位后对应的点A′的坐标为（　　） A．（﹣5，4） B．（﹣1，4） C．（﹣3，2） D．（﹣3，6） 35．在平面直角坐标系中，将点（﹣2，2）向右平移2个单位，最后所得点的坐标是（　　） A．（2，4） B．（0，2） C．（2，2） D．（0，﹣2） 【题型2】求平移前的点的坐标 36．已知某点向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到坐标是（﹣1，4），则该点平移前坐标是（　　） A．（﹣4，1） B．（﹣4，7） C．（2，2） D．（2，7） 37．将点A（m+2，m﹣3）向左平移三个单位后刚好落在y轴上，则平移前点A的坐标是 　 　 ． 【题型3】根据一个点的坐标变化求另一个点平移后的坐标及求值 38．三角形ABC经过平移得到三角形A′B′C′，它们在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）分别写出下列各点的坐标：A　 　 ，A′　 　 ，B　 　 ； （2）连接AA′和CC′，写出线段AA′和CC′的关系； （3）若点P′（x，y）是三角形A′B′C′内部一点，则平移前三角形ABC内部的对应点P的坐标为　 　 ． 39．在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点A（5，2）平移后的对应点为A′（2，﹣2），则点B（﹣3，4）平移后的对应点B′的坐标是（　　） A．（0，8） B．（﹣6，0） C．（﹣7，1） D．（0，0） 40．如图，A、B的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段AB平移至A1B1，A1、B1的坐标分别为（2，a）、（b，3），则a+b的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型4】根据平移前后点的坐标判断平移情况 41．已知点P（﹣3，5）平移后得到点Q（3，﹣2），则点P的平移情况是（　　） A．先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度 B．先向右平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度 C．先向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度 D．先向右平移6个单位长度，再向下平移7个单位长度 42．将线段AB在平面直角坐标系中平移，已知点A（﹣2，2），B（0，0），将线段平移后，其两个端点的对应点分别为A'（﹣1，4），B'（1，2），则它的平移情况是（　　） A．向左平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度 B．向右平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度 C．向右平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度 D．向左平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度 43．定义新运算： ①在平面直角坐标系中，{a，b}表示动点从原点出发，先沿着x轴正方向（a≥0）或负方向（a＜0）平移|a|个单位长度，再沿y轴正方向（b≥0）或负方向（b＜0）平移|b|个单位长度．例如：动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作{﹣2，1}；②加法运算法则：{a，b}+{c，d}＝{a+c，b+d}，其中a，b，c，d为实数． 若动点P从原点出发，平移后记作{m，n}，且满足，则动点P的平移情况是（　　） A．先沿着x轴正方向平移4个单位长度，再沿着y轴正方向平移2个单位长度 B．先沿着x轴负方向平移4个单位长度，再沿着y轴正方向平移2个单位长度 C．先沿着x轴负方向平移4个单位长度，再沿着y轴负方向平移2个单位长度 D．先沿着x轴正方向平移4个单位长度，再沿着y轴负方向平移2个单位长度 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $