21.2.3三角形的中位线同步培优讲义 2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

21.2.3三角形的中位线 （5知识点+6题型+过关检测） 【题型1 与三角形中位线有关的求角度问题】 2 【题型2 与三角形中位线有关的求线段长度】 5 【题型3 与三角形中位线有关的求面积】 7 【题型4 与三角形中位线有关的证明】 9 【题型5 三角形中位线的实际应用】 13 【题型6 利用三角形中位线添加辅助线解决问题】 15 · 理解三角形中位线的定义，精准区分三角形中位线和三角形中线，杜绝概念混淆，明确中位线的位置特征。 · 熟练掌握并背诵三角形中位线定理，理解定理的推导过程，能灵活运用定理进行线段长度计算、角度推导、面积求解和几何证明。 · 学会识别中位线模型，掌握中位线相关辅助线的添加方法，解决几何综合题和实际应用问题，提升几何推理和转化能力。 · 能结合平行四边形、全等三角形知识，综合运用中位线定理，解决多图形结合的综合题型，夯实几何证明的规范步骤。03 知识•梳理 知识点1：三角形中位线的定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 中位线与中线的核心区分（高频易错） · 中位线：连接两边中点，一条三角形有3条中位线； · 中线：连接一个顶点和对边中点，一条三角形也有3条中线； · 二者端点不同，位置不同，性质完全不同，严禁混淆。 知识点2：三角形中位线定理（核心考点，必背） 定理口诀：中位线，平行第三边，长度等于它一半 定理内容 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 数学语言（标准书写） 知识点3：定理推导思路（构造平行四边形） 延长中位线DE至点F，使EF=DE，连接CF，通过证明△ADE≌△CFE，推导出AD平行且等于CF，进而得到BD平行且等于CF，四边形BCFD是平行四边形，从而得出DE∥BC，DE=BC。 知识点4：重要推论与拓展 1. 三角形的三条中位线围成的小三角形，周长是原三角形周长的一半； 2. 三角形的三条中位线将原三角形分成四个全等的小三角形，面积是原三角形面积的四分之一； 3. 经过三角形一边中点且平行于另一边的直线，必平分第三边（中位线定理的逆用）。 知识点5：易错警示 · 混淆中位线和中线，误用定理； · 只记线段一半，忽略平行关系，漏写平行结论； · 找不到题目中的中位线，无法构造中位线模型； · 面积计算失误，误将中位线围成的三角形面积当成原三角形的一半（实际是四分之一）。 04 题型•汇总 【题型1 与三角形中位线有关的求角度问题】 解题思路： 核心利用中位线平行于第三边的性质，将三角形中的角度转化为同位角、内错角、同旁内角，结合平行线的性质、三角形内角和、外角性质求解角度，关键是找准中位线对应的平行线。 解题口诀：求角度，用平行，同位内错来转换，内角和定理来帮忙 【典例1】．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的内角和定理，结合三角形中位线定理可得，由平行线的性质可得的度数，根据三角形的内角和定理以及等边对等角，计算即可得的度数． 【详解】解：∵是对角线的中点，点、分别是、的中点， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 跟随训练1-1．在中，已知、分别是边、的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据、是、中点，判定为的中位线，由中位线定理得出，再依据平行线的同位角相等，得出与相等，从而求出的度数． 【详解】解：∵、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴． 跟随训练1-2．如图，为的角平分线，于，为中点，连接，若，，则_____． 【答案】 【分析】延长交于G，容易证出，得到，因此是的中位线．由中位线定理可得，，得到，最后用三角形外角的性质计算出即可． 【详解】解：如图，延长交于G， ∵， ∴， ∵为的角平分线，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，平行线的性质，三角形内角和定理与外角的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键． 【题型2 与三角形中位线有关的求线段长度】 解题思路： 本节最基础、最高频题型，核心直接套用定理：中位线长度=第三边的一半，或第三边长度=中位线×2；先找准中点，确定中位线，找到对应的第三边，代入公式计算，复杂题型结合周长、边长关系求解。 解题口诀：求线段，记定理，中点连线是中位线，一半关系算清晰 【典例2】．如图，在平行四边形中，，对角线交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由平行四边形性质可得，即为中点，又是的中点，所以是中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即为中点， ∵是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵，点P是的中点， ∴，即． 跟随训练2-1．如图，在中，，点分别是的中点，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先根据平行四边形的性质得到，再证明是的中位线，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 跟随训练2-2．如图，在中，，，，是的角平分线，E是斜边的中点，过点B作于点G，延长交于点F，连接，则线段______． 【答案】/ 【分析】先利用勾股定理求得，再证明，利用全等三角形的性质可得，，然后利用中位线定理求得． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴，， 又， ， ，， 又E是斜边的中点， 是的中位线， ， 【题型3 与三角形中位线有关的求面积】 解题思路： 核心利用拓展结论：中位线截得的小三角形与原三角形相似，相似比为1:2，面积比为1:4；先求原三角形面积，再除以4得到小三角形面积；多个中位线时，利用全等三角形分割面积求解。 解题口诀：算面积，相似比，一比二，面积一比四，找准分割小三角 【典例3】．如图，在中，C是上一点，且，若E、F分别是、的中点，的面积为24，则的面积为___________． 【答案】4 【分析】由，可得，，结合、分别是、的中点，可得，进一步可得答案． 【详解】解：连接．    ∵的面积为24，， ∴，， 、分别是、的中点， ，，， ． 跟随训练3-1．如图，是的边上任意一点，、分别是线段、的中点，且的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．利用三角形中线平分面积(等底同高的三角形面积相等)的核心性质，从已知的面积出发，先推出的面积(是中点，故)，再推出的面积(是中点，故)，逐步递推得出结果． 【详解】解：∵是的中点， ∴和的面积相等(等底同高)， ∵ 的面积为， ∴ ∵是的中点， ∴和的面积相等，和的面积相等， 即． 故选：A． 跟随训练3-2．如图，、、分别是三条边上的中点，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了三角形面积，理解题意是解决本题的关键． 设的面积分别为，根据D、E、F是三边的中点，可得，进而求解即可． 【详解】解：设的面积分别为， ∵D、E、F是三边的中点， ∴， ∵的面积是12， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积和是6， 故选B． 【题型4 与三角形中位线有关的证明】 解题思路： 几何证明核心题型，先根据中点条件，确定三角形中位线，利用定理得出线段平行、线段倍分关系，再结合平行四边形、全等三角形、平行线性质，证明线段相等、角相等、线段平行、图形是平行四边形等结论，证明步骤严谨，注明定理依据。 解题口诀：证明题，找中点，连中位线，用定理，平行倍分推结论 【典例4】．如图，已知点在四边形的边上，且，平分，与交于点，分别与、交于点、．（1）；（2）；（3）；（4）四边形的周长最大值为10．以上说法正确的是个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等边对等角得，再根据角平分线的定义得，然后根据三角形外角的性质得，即可得，进而解答（1）；根据“边角边”解答（2）即可；结合已知条件不能得出该结论，判断（3）；先说明是的垂直平分线，再设则，根据勾股定理得，进而得出，然后根据中位线的性质得，接下来结合四边形的周长为，最后结合完全平方公式的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴，则（1）正确； ∵平分， ∴． ∵， ∴，则（2）正确； 只有都是等边三角形，可得，由已知条件不能得出该结论，所以（3）不正确； ∵， ∴． ∵，， ∴是的垂直平分线，即． 设则， ∵， 即， 解得， ∴． ∵， ∴， ∴四边形的周长为， 当时，四边形的周长最大值为10，则（4）正确． 所以正确的有3个，C符合题意． 跟随训练4-1．如图，矩形中，，E为线段延长线上一点，且，对角线，相交于点O，过O点作于点G，连接交于点F，连接．则下列结论：①；②；③当时，；④当时，是等腰三角形．其中正确的结论有 ________ ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】①证明是的中位线得，，进而得，进而可判定和全等，由此可对结论①进行判断；②根据和全等，得，由此可对结论②不正确；③当时，则，再根据得是线段的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质即可对，结论③进行判断；④当时，根据，由勾股定理得，则，进而得，再由勾股定理得求出得，进而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①在矩形中，，，， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，故结论①正确； ②∵，， ∴，故结论②不正确； ③当时，则， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴，故结论③正确； ④当时， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故结论④正确， 综上所述：正确的结论有①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，化为最简二次根式，三角形的中位线的性质，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理是解决问题的关键． 跟随训练4-2．如图，在四边形中，点是的中点，，交于点，，．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据中位线定理，易证，再根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，即可求证． 【详解】证明：，     点是的中点， 点是的中点， ，即 ， 四边形为平行四边形． 【题型5 三角形中位线的实际应用】 解题思路： 将实际问题转化为三角形中位线模型，常见场景：测量池塘两端距离、测量河宽、物体长度测量等，无法直接测量的线段，通过构造三角形，测量中位线长度，再利用定理计算原线段长度，贴合生活实际，关键是构建三角形，找准中位线。 解题口诀：实际题，构三角，找中点，测中位，乘二得原长 【典例5】．如图，为测量池塘两端、的距离，小明在池塘外选取了一个点，使得点可以直接到达、，他分别找到、的中点、，并且测得的长为米，则池塘两端、的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【答案】D 【分析】本题考查三角形中位线的定义，三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题关键． 根据题意判定是的中位线，再利用三角形中位线定理，得出“”然后代入的长度计算出的距离． 【详解】解：、分别为、的中点， 是的中位线， ， 米， （米）． 故选：． 跟随训练5-1．游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为____________． 【答案】100 【分析】由题意可知，是的中点，且、都与地面垂直，因此．根据三角形中位线定理，在中，是中位线，利用中位线性质即可求出的长度． 【详解】解：∵ 是的中点，且，， ∴． ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． ∴小朋友离地的最大距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题关键是识别出是的中位线，从而利用中位线性质求出的长度． 跟随训练5-2．【综合与实践】 任务 如图1，测出水池A，B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺 皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2，在水池外选点C，用皮尺测得，； （2）分别在AC，BC上用皮尺测得，，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的_______． ∵， ∴_______m． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离的依据是_______． 【答案】(1)中位线， (2)三角形中位线定理 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用． （1）根据小明的求解过程补充即可； （2）根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】（1）由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的中位线． ∵， ∴． 故答案为：中位线，； （2）小明测出水池A，B两点间的距离的依据是三角形中位线定理． 故答案为：三角形中位线定理． 【题型6 利用三角形中位线添加辅助线解决问题】 解题思路： 几何综合题难点题型，题目中出现单边中点，优先构造中位线：取另一边中点，连接两点形成中位线；出现多个中点，直接连接中点得中位线；出现平行线+中点，逆用定理构造中位线，将分散的线段、角集中，转化为中位线基础题型求解。 解题口诀：遇中点，构中线，缺中位线，补中点，构造模型变简单 【典例6】．如图，在中，M是的中点，平分，，，，求的长． 【答案】 【分析】延长交于点E，可证明，得到，，则可证明是的中位线，得到，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点E， ∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴，，即D为的中点， ∴ 又∵M是的中点， ∴是的中位线， ∴． 跟随训练6-1．已知中，为的平分线，，交的延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为腰作等腰，且，，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）延长交的延长线于点H，取的中点，连接，证明，得，，从而得出，，再证明，即可由得出结论． （2）过点C作于点N，证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出，，设，则，由勾股定理建立方程求出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，延长交的延长线于点H，取的中点，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图2所示，过点C作于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由乘法法则可知或， ∴（舍去）或， ∴． 跟随训练6-2．在中，，点在上，且，的平分线交于，点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若四边形的面积为，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形中位线定理的运用； （1）依据等腰三角形的性质，即可得到是的中点，再根据三角形中位线定理，即可得到； （2）依据是的中位线，即可得到，，进而得到，再依据是的中点，继而得出，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴； （2）解：∵是的中位线， ∴，， 如图，连接，则， 又∵四边形的面积为6， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴的面积为． 05 过关•检测 1．如图，在中，对角线相交于点，是的中点，若的周长为，，则的周长为（    ） A．16 B．21 C．13 D．18 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质以及三角形中位线定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，且周长为， ∴，， ∵点是的中点， ∴，为的中位线， ∴， ∴的周长． 2．如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，则的长为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质．关键是通过中位线的平行关系，结合角平分线的定义推导出等腰三角形，进而计算线段长度．首先根据三角形中位线定理，确定的长度、与的平行关系及的长度；接着利用平行线的内错角相等和角平分线的定义，证明为等腰三角形，得到；最后通过减去的长度，求出的长． 【详解】解：∵是的中位线，，， ∴，，； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 3．如图，在中，F，E分别是和的中点，连接，点G是的中点，连接并延长，交的延长线于点D．若，则的长为（　　） A．12 B．8 C．10 D．6 【答案】B 【分析】由三角形中位线定理可得，，由平行线的性质可得，证明，可得，从而得到的长度． 【详解】解：分别是和的中点， ，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ． 4．如图，在中，，D是的中点，P是边上的点，连接．若，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理、三角形中位线定理，取的中点E，连接，根据三角形中位线定理得到，，得到，设，，得到，，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，取的中点E，连接， ∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 设，，则，， 由勾股定理得：，即， ∴， 在中，， 则， 故选：B． 5．如图，是等边三角形，的平分线交于点D，过点D作于点E，延长和交于点F，若，则的长为（  ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，易得，证明为等边三角形，三线合一求出，线段的和差求出的长． 【详解】解： 取的中点，连接， ∵是等边三角形，的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，中，D，E分别是，的中点，若，则________． 【答案】 【分析】利用中位线的性质求解即可. 【详解】解：∵，分别是，的中点，， ∴是的中位线， ∴． 7．如图，的对角线，交于点，点是的中点，若，则的长是______. 【答案】3 【分析】证明是的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可． 【详解】解：∵的对角线，交于点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∵， ∴． 8．如图，在四边形中，，，分别是边的中点，则四边形的周长是______． 【答案】 【分析】由题意可得分别为的中位线，则有，，然后通过周长公式即可求解． 【详解】解：∵四边形中，，，分别是边的中点， ∴分别为的中位线， ∴，， ∴四边形的周长为：． 9．如图，在中，对角线、相交于点，为的中点，．若，则的长为_____________． 【答案】1 【分析】取的中点并连接，先借助平行四边形对角线互相平分的性质，结合三角形中位线定理确定为的中位线，求出的长度，再根据线段比例关系推出是的中点，结合为的中点，再次运用三角形中位线定理判定为的中位线，最终求出的长． 【详解】解：取的中点，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴是的中点． ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，且． ∵，是的中点， ∴，， ∴是的中点． 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴． 10．如图，已知中，，，，以为一边在的外部作等边，以为一腰在的外部作等腰，且． ①的度数为__________°； ②连接，取线段的中点，则点到线段的距离为__________． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． ①根据等边三角形的性质得到，然后根据周角的定义解答即可； ②以为边向外作等边，连接，则G，A，C三点共线，然后根据等边三角形的性质，利用得到，即可得到，然后取的中点K，连接，过点G作于点M，则点到线段的距离为长，过点作于点，证明，即可得到，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：①∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：； ②如图，以为边向外作等边，连接，则G，A，C三点共线， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 取的中点K，连接，过点G作于点M，则点到线段的距离为长，过点作于点， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，则， 在和中，，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 11．如下图，在四边形中，，，分别是，的中点，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，，则的度数为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，取的中点，连接，，根据中位线的性质得到，，通过两直线平行，内错角相等得到，同理得到；根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论； （2）由（1）可知，、、，通过平行线的性质，结合三角形外角的性质得到，最后通过等腰三角形的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：如图，连接，取的中点，连接，． 是的中点，是的中点， 是的中位线， ，， ． 同理，， ． ， ， ， ． （2）． 由（1）知， ， ． 由（1）知， ，， ． 由（1）知， ， ． 【点睛】本题考查了中位线，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 12．如图，已知： 是 内任意一点，、、、 分别是 、、、 的中点． 求证： 四边形 是一个平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，根据三角形中位线定理证，，再根据平行四边形的定义判定即可． 【详解】证明：分别是的中点， ，且（三角形中位线定理）， 同理，可得，且， 且， 四边形是一个平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 13．如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，，，从而得到，，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）过点作，交于点．由含的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质，结合三角形的中位线即可求得结果． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， ，． ，分别是，的中点， ，， ，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，过点作，交于点． 在中，由，，得， ． 在中，由，，得， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，含角的直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记定理是解题的关键． 14．如图，在四边形中，，，，且，，，分别为，，，的中点． (1)求证：． (2)若连接，交于点，则，有何关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)且平分   见解析 【分析】（1）如图，连接，利用三角形中位线定理证得结论； （2）利用全等三角形的判定定理证得，则其对应角相等：，由等腰“三线合一”的性质推知且平分． 【详解】（1）证明：如图，连接． ，分别为，的中点， 是的中位线， ． 同理可得是的中位线， ， ． （2）且平分．理由如下： 如图，连接，交于点． ，， ． 在与中， ， ， 又∵， 且平分． 【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一，掌握上述知识点是解题的关键． 15．如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线定理与定义，平行四边形的判定与性质，解题关键是掌握以上概念．本题先利用中位线的定义与性质得到，再得到四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】证明：连接， 点分别为的中点，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 16．【知识回顾】 是等边三角形，于点，是射线上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，． （1）如图，当时， ； （2）如图，点在线段的延长线上，连接，当点在线段上，时，求的长； 【变式应用】 （3）如图，在中，，，点是的中点，点在线段上，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，，点是的中点，连接并延长交于点，求证：． 【答案】（1）； （2）； （3）详见解析． 【分析】（1）先利用等边三角形的性质得，，再通过旋转得，，然后证明，最后利用全等三角形的性质来求解的长度； （2）先通过旋转得，，证明是等边三角形，再结合等边三角形，证明，则，根据三角形内角和定理得出，进而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，证明根据勾股定理，即可求解； （3）在上截取，连接，证明，进而得出是等边三角形，则，进而证明是的中位线，得出，，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可得证． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段， ∴，， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段， ∴，， ∴是等边三角形，， ∵，是等边三角形， ∴，， ∵， ， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，； （3）证明：如图，在上截取，连接， ∵，，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵，是等边三角形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴，即， 又∵点是的中点， ∴， ∴， 而， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，通过证明三角形全等是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2.3三角形的中位线 （5知识点+6题型+过关检测） 【题型1 与三角形中位线有关的求角度问题】 2 【题型2 与三角形中位线有关的求线段长度】 3 【题型3 与三角形中位线有关的求面积】 4 【题型4 与三角形中位线有关的证明】 5 【题型5 三角形中位线的实际应用】 6 【题型6 利用三角形中位线添加辅助线解决问题】 7 · 理解三角形中位线的定义，精准区分三角形中位线和三角形中线，杜绝概念混淆，明确中位线的位置特征。 · 熟练掌握并背诵三角形中位线定理，理解定理的推导过程，能灵活运用定理进行线段长度计算、角度推导、面积求解和几何证明。 · 学会识别中位线模型，掌握中位线相关辅助线的添加方法，解决几何综合题和实际应用问题，提升几何推理和转化能力。 · 能结合平行四边形、全等三角形知识，综合运用中位线定理，解决多图形结合的综合题型，夯实几何证明的规范步骤。03 知识•梳理 知识点1：三角形中位线的定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 中位线与中线的核心区分（高频易错） · 中位线：连接两边中点，一条三角形有3条中位线； · 中线：连接一个顶点和对边中点，一条三角形也有3条中线； · 二者端点不同，位置不同，性质完全不同，严禁混淆。 知识点2：三角形中位线定理（核心考点，必背） 定理口诀：中位线，平行第三边，长度等于它一半 定理内容 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 数学语言（标准书写） 知识点3：定理推导思路（构造平行四边形） 延长中位线DE至点F，使EF=DE，连接CF，通过证明△ADE≌△CFE，推导出AD平行且等于CF，进而得到BD平行且等于CF，四边形BCFD是平行四边形，从而得出DE∥BC，DE=BC。 知识点4：重要推论与拓展 1. 三角形的三条中位线围成的小三角形，周长是原三角形周长的一半； 2. 三角形的三条中位线将原三角形分成四个全等的小三角形，面积是原三角形面积的四分之一； 3. 经过三角形一边中点且平行于另一边的直线，必平分第三边（中位线定理的逆用）。 知识点5：易错警示 · 混淆中位线和中线，误用定理； · 只记线段一半，忽略平行关系，漏写平行结论； · 找不到题目中的中位线，无法构造中位线模型； · 面积计算失误，误将中位线围成的三角形面积当成原三角形的一半（实际是四分之一）。 04 题型•汇总 【题型1 与三角形中位线有关的求角度问题】 解题思路： 核心利用中位线平行于第三边的性质，将三角形中的角度转化为同位角、内错角、同旁内角，结合平行线的性质、三角形内角和、外角性质求解角度，关键是找准中位线对应的平行线。 解题口诀：求角度，用平行，同位内错来转换，内角和定理来帮忙 【典例1】．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．在中，已知、分别是边、的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．如图，为的角平分线，于，为中点，连接，若，，则_____． 【题型2 与三角形中位线有关的求线段长度】 解题思路： 本节最基础、最高频题型，核心直接套用定理：中位线长度=第三边的一半，或第三边长度=中位线×2；先找准中点，确定中位线，找到对应的第三边，代入公式计算，复杂题型结合周长、边长关系求解。 解题口诀：求线段，记定理，中点连线是中位线，一半关系算清晰 【典例2】．如图，在平行四边形中，，对角线交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 跟随训练2-1．如图，在中，，点分别是的中点，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 跟随训练2-2．如图，在中，，，，是的角平分线，E是斜边的中点，过点B作于点G，延长交于点F，连接，则线段______． 【题型3 与三角形中位线有关的求面积】 解题思路： 核心利用拓展结论：中位线截得的小三角形与原三角形相似，相似比为1:2，面积比为1:4；先求原三角形面积，再除以4得到小三角形面积；多个中位线时，利用全等三角形分割面积求解。 解题口诀：算面积，相似比，一比二，面积一比四，找准分割小三角 【典例3】．如图，在中，C是上一点，且，若E、F分别是、的中点，的面积为24，则的面积为___________． 跟随训练3-1．如图，是的边上任意一点，、分别是线段、的中点，且的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 跟随训练3-2．如图，、、分别是三条边上的中点，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【题型4 与三角形中位线有关的证明】 解题思路： 几何证明核心题型，先根据中点条件，确定三角形中位线，利用定理得出线段平行、线段倍分关系，再结合平行四边形、全等三角形、平行线性质，证明线段相等、角相等、线段平行、图形是平行四边形等结论，证明步骤严谨，注明定理依据。 解题口诀：证明题，找中点，连中位线，用定理，平行倍分推结论 【典例4】．如图，已知点在四边形的边上，且，平分，与交于点，分别与、交于点、．（1）；（2）；（3）；（4）四边形的周长最大值为10．以上说法正确的是个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 跟随训练4-1．如图，矩形中，，E为线段延长线上一点，且，对角线，相交于点O，过O点作于点G，连接交于点F，连接．则下列结论：①；②；③当时，；④当时，是等腰三角形．其中正确的结论有 ________ ．（填写所有正确结论的序号） 跟随训练4-2．如图，在四边形中，点是的中点，，交于点，，．求证：四边形为平行四边形． 【题型5 三角形中位线的实际应用】 解题思路： 将实际问题转化为三角形中位线模型，常见场景：测量池塘两端距离、测量河宽、物体长度测量等，无法直接测量的线段，通过构造三角形，测量中位线长度，再利用定理计算原线段长度，贴合生活实际，关键是构建三角形，找准中位线。 解题口诀：实际题，构三角，找中点，测中位，乘二得原长 【典例5】．如图，为测量池塘两端、的距离，小明在池塘外选取了一个点，使得点可以直接到达、，他分别找到、的中点、，并且测得的长为米，则池塘两端、的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 跟随训练5-1．游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为____________． 跟随训练5-2．【综合与实践】 任务 如图1，测出水池A，B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺 皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2，在水池外选点C，用皮尺测得，； （2）分别在AC，BC上用皮尺测得，，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的_______． ∵， ∴_______m． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离的依据是_______． 【题型6 利用三角形中位线添加辅助线解决问题】 解题思路： 几何综合题难点题型，题目中出现单边中点，优先构造中位线：取另一边中点，连接两点形成中位线；出现多个中点，直接连接中点得中位线；出现平行线+中点，逆用定理构造中位线，将分散的线段、角集中，转化为中位线基础题型求解。 解题口诀：遇中点，构中线，缺中位线，补中点，构造模型变简单 【典例6】．如图，在中，M是的中点，平分，，，，求的长． 跟随训练6-1．已知中，为的平分线，，交的延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为腰作等腰，且，，若，，求的长度． 跟随训练6-2．在中，，点在上，且，的平分线交于，点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若四边形的面积为，求的面积． 05 过关•检测 1．如图，在中，对角线相交于点，是的中点，若的周长为，，则的周长为（    ） A．16 B．21 C．13 D．18 2．如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，则的长为（   ） A． B．1 C． D．2 3．如图，在中，F，E分别是和的中点，连接，点G是的中点，连接并延长，交的延长线于点D．若，则的长为（　　） A．12 B．8 C．10 D．6 4．如图，在中，，D是的中点，P是边上的点，连接．若，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 5．如图，是等边三角形，的平分线交于点D，过点D作于点E，延长和交于点F，若，则的长为（  ） A． B．3 C． D． 6．如图，中，D，E分别是，的中点，若，则________． 7．如图，的对角线，交于点，点是的中点，若，则的长是______. 8．如图，在四边形中，，，分别是边的中点，则四边形的周长是______． 9．如图，在中，对角线、相交于点，为的中点，．若，则的长为_____________． 10．如图，已知中，，，，以为一边在的外部作等边，以为一腰在的外部作等腰，且． ①的度数为__________°； ②连接，取线段的中点，则点到线段的距离为__________． 11．如下图，在四边形中，，，分别是，的中点，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，，则的度数为 ． 12．如图，已知： 是 内任意一点，、、、 分别是 、、、 的中点． 求证： 四边形 是一个平行四边形． 13．如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 14．如图，在四边形中，，，，且，，，分别为，，，的中点． (1)求证：． (2)若连接，交于点，则，有何关系？请说明理由． 15．如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接交于点．求证：． 16．【知识回顾】 是等边三角形，于点，是射线上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，． （1）如图，当时， ； （2）如图，点在线段的延长线上，连接，当点在线段上，时，求的长； 【变式应用】 （3）如图，在中，，，点是的中点，点在线段上，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，，点是的中点，连接并延长交于点，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $