21.2.3 《三角形的中位线》知识点讲解&同步练习--2025-2026学年人教版数学八年级下册第二十一章

21.2.3 三角形的中位线 总结回忆平行四边形的判定方法 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形． （3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形． （5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 思考并探究： 在研究平行四边形时，经常采用把平行四边形转化为三角形的问题来研究，那么反过来能否用平行四边形来研究三角形呢？ 画任意△ABC中，画AB，AC边中点D，E，连接DE． 像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 那一个三角形有几条中位线？ 三角形的中位线定义的两层含义． （1）∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线． （2）∵DE为△ABC的中位线，∴D、E分别为AB、AC的中点． 观察图，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗？（度量一下） 猜想：DE∥BC，． 如图，已知：D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点． 求证：DE∥BC，且． 证明：延长DE到F，使EF＝DE，连接AF、CF、DC． ∵AE＝EC，DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形． ∴CFAD．∴CFBD． ∴四边形DBCF是平行四边形．∴DFBC． 又，∴DE∥BC，． 得到三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 符号语言： 若D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，则DE∥BC，且． 例题精析 求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：在△ABC中，中位线EF与中线AD相交于点O， 求证：AD与EF互相平分． 证明：连接DE，DF． ∵点D，E分别是BC，AB的中点，∴DE∥AC． 同理得DF∥AB． ∴四边形AEDF是平行四边形．∴AD与EF互相平分． 巩固练习 如图，AD是△ABC的中线，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点， 求证：EG与DF互相平分． 练习 1．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点． （1）若DE＝5，则BC＝______________； （2）若∠B＝65°，则∠ADE＝________°（3）若DE＋BC＝12，则BC＝________． 2．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样量出A，B两点间的距离？根据是什么？ 检测 1．如图，在□ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E，F分别是AD，DC的中点．若EF＝7，则四边形EACF的周长是（ ）． A．20 B．22 C．29 D．31 2．如图，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（ ）． A．7＋ B．10 C．4＋2 D．12 作业 1．如图，已知四边形ABCD，连接AC，BD，点E，F，M，N分别为AB，CD，BD，AC的中点，连接EM，MF，FN，EN．求证：四边形EMFN为平行四边形． 2．如图，□ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD＝12，求△DOE的周长是多少？ 答案 巩固练习： 证明：如图，∵AD是△ABC的中线，∴点D是BC的中点． 又∵点E是AB的中点，∴DE是△ABC的中位线． ∴ED∥AC，且ED＝AC． 同理证得FG是△ADC的中位线． ∴FG∥AC，且ED＝AC．∴ED∥FG，且ED＝FG． ∴四边形EFGD是平行四边形．∴EG与DF互相平分． 练习： 1、（1）10；（2）65；（3）8． 2、分别画出AC，BC中点M，N，量出M，N两点间距离， 则AB＝2MN． 根据：三角形中位线定理． 检测： 1、 C．2、B． 作业： 1．证明：∵点E、F、M、N分别为AB、CD、BD、AC的中点， ∴EN、MF分别为△ABC、△DBC的中位线． ∴EN//BC，MF//BC，且EN＝BC，MF＝BC． ∴EN//MF，EN＝MF．∴四边形EMFN为平行四边形． 2．解：∵□ABCD的周长为36， ∴2（BC＋CD）＝36，则BC＋CD＝18． ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12， ∴OD＝OB＝BD＝6． 又∵点E是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线，DE＝CD． ∴OE＝BC． ∴△DOE的周长＝OD＋OE＋DE＝BD＋（BC＋CD）＝6＋9＝15， 即△DOE的周长为15． 学科网（北京）股份有限公司 $