精品解析：江苏省江阴市2022年第七届“优利信杯”俱乐部竞赛八年级数学试卷

第七届初中数学学科“优利信杯”俱乐部竞赛 八年级试卷（2022.3.25） （本试卷满分150分，考试时间为150分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的括号内） 1. 若直角三角形的两条直角边分别是和则斜边上的中线长为（ ） A. B. C. D. 不能确定 2. 如图，把绕着点C按顺时针旋转，得到，点落在边上，若，交于点D，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，把一块三角板与一把直尺按如图方式摆放，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A在平行四边形的对角线上，试判断S1，S2之间的大小关系（　　） A. S1＝S2 B. S1＞S2 C. S1＜S2 D. 无法确定 5. 若直线y=－2x－4与直线y=4x＋b的交点在第三象限，则b的取值范围是（ ） A. －4<b<8 B. －4<b<0 C. b<－4或b>8 D. －4≤b≤8 6. 如图，是外的一点，，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上．点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为( ) A. B. C. D. 7. 设，，，都是正整数且，，，则（ ）. A. 15 B. 17 C. 18 D. 20 8. 跳格游戏如图所示，人从格外只能进入第1格，在格中，每次可以向前跳1格或3格，那么人从第1格跳到第9格的方法有（ ） A. 11种 B. 13种 C. 15种 D. 17种 二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 9. 比较大小________． 10. 小王的学校举行了一次年级考试，考了若干门课程，后加试了一门，小王考得分，这时小王的平均成绩比最初的平均成绩提高了分．后来又加试了一门，小王考得分，这时小王的平均成绩比最初的平均成绩下降了分，则小王共考了（含加试的两门）________门课程，最后平均成绩为________分． 11. 课堂上，王老师将一副标准三角板如图放置，若，那么点到的距离为_________． 12. 如图，在中，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，，，连接，若，则的度数为________°． 13. 如图，在平面直角坐标系中有一矩形，其中，，．若将沿所在直线翻折，点B落在点E处，则E点的坐标是________． 14. 设a为常数，多项式除以所得的余式为，则________． 15. 已知a+b+c＝0，a>b>c，则的取值范围是_____． 16. 四张卡片，每张写着一个自然数，任取2张，或者3张，或者4张，把卡片上的数求和，可以得到11个不同的和，那么4张卡片上所有数的和最小为________． 三、解答题（本大题共有8小题，共78分．解答时应写出文字说明，推理过程或演算步骤） 17. 如图，已知点坐标为，点坐标为． （1）将点绕着点逆时针旋转得到点，请在方格纸中画出； （2）将平移得三角形，使得点与对应，点与对应，点与对应，其中点的坐标为，画出； （3）平移的距离为________； （4）连接、，四边形面积为________． 18. 计算：． 19. 在中，，于点D，设，，，． （1）求证：； （2）判断以，、h为边的三角形的形状，并说明理由． 20. 如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC，求证：BC=BD+AD． 21. 在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．如图中，过点P分别作x轴、y轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则点P是和谐点． （1）请判断点，是否为和谐点，并说明理由； （2）若和谐点在直线（b为常数）上，求a、b的值． 22. 设整数a，b，c，d满足条件：，，，试求的值． 23. 甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地，再返回A地，如图表示两车离A地的距离s（千米）随时间t（小时）变化的图象，已知乙车到达B地后以30千米/小时的速度返回．请根据图象中的数据回答： （1）甲车出发多长时间后被乙车追上？ （2）甲车与乙车在距离A地多远处迎面相遇？ （3）甲车从B地返回的速度多大时，才能比乙车先回到A地？ 24. 如图，平行四边形中，且，点为平行四边形外一点，连接、，且于点． （1）如图1，若，，则________；________； （2）如图2，延长、交于点，过点作交的延长线于点，若，为的中点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七届初中数学学科“优利信杯”俱乐部竞赛 八年级试卷（2022.3.25） （本试卷满分150分，考试时间为150分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的括号内） 1. 若直角三角形的两条直角边分别是和则斜边上的中线长为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】∵直角三角形两直角边长为5和12， ∴斜边＝＝13， ∴此直角三角形斜边上的中线的长＝＝6.5． 故选：C． 【点睛】此题主要考查勾股定理及直角三角形斜边上的中线的性质；熟练掌握勾股定理，熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解决问题的关键． 2. 如图，把绕着点C按顺时针旋转，得到，点落在边上，若，交于点D，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，再结合求出即可． 【详解】解：由旋转可知，， 又， ，, ． 3. 如图，把一块三角板与一把直尺按如图方式摆放，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和可得，结合平角定理得，再相加即可求解． 【详解】解：如图， ， ， ． 4. 如图，点A在平行四边形的对角线上，试判断S1，S2之间的大小关系（　　） A. S1＝S2 B. S1＞S2 C. S1＜S2 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】S1与S2有一公共边CA，又可证明 与 的高BF与DG相等，进而可得出结论． 【详解】解：如图1，过B、D作分别、， 四边形BCDE是平行四边形， ， 、， ， BF= DG， ， S1=S2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质以及平行四边形对角线上一点所涉及的面积问题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 5. 若直线y=－2x－4与直线y=4x＋b的交点在第三象限，则b的取值范围是（ ） A. －4<b<8 B. －4<b<0 C. b<－4或b>8 D. －4≤b≤8 【答案】A 【解析】 【分析】联立y=－2x－4和y=4x＋b，求解得交点坐标，x和y的值都用b来表示，再根据交点坐标在第三象限表明x、y都小于0，即可求得b的取值范围： 【详解】解：由 解得 ∵交点在第三象限， ∴， 解得 ∴－4＜b＜8． 故选A． 6. 如图，是外的一点，，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上．点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称的性质得出求出，再求出答案即可． 【详解】解：点关于的对称点恰好落在线段上．点关于的对称点落在的延长线上， ，， ，， ， ， ． 7. 设，，，都是正整数且，，，则（ ）. A. 15 B. 17 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】设，，则，，，（m，n均为正整数），根据已知a-c=319，运用因式分解的方法得到关于m，x的方程组，从而求解． 【详解】设，，则，，，（，均为正整数），∵，∴，.又， ∴或∴，（舍去）或，.∴. 【点睛】此题考查分式的加减法，掌握运算法则是解题关键 8. 跳格游戏如图所示，人从格外只能进入第1格，在格中，每次可以向前跳1格或3格，那么人从第1格跳到第9格的方法有（ ） A. 11种 B. 13种 C. 15种 D. 17种 【答案】B 【解析】 【分析】分别讨论每次向前跳几格的方法数量，最后求和即可． 【详解】解：每次向前跳l格，有1种跳法； 仅有一次跳3格，其余每次向前跳l格，有6种跳法； 有两次跳3格，其余每次向前跳l格，有6种跳法． 则人从第1格跳到第9格的方法共有（种）． 二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 9. 比较大小________． 【答案】##小于 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，直接利用平方法进行比较即可，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】∵， ， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 小王的学校举行了一次年级考试，考了若干门课程，后加试了一门，小王考得分，这时小王的平均成绩比最初的平均成绩提高了分．后来又加试了一门，小王考得分，这时小王的平均成绩比最初的平均成绩下降了分，则小王共考了（含加试的两门）________门课程，最后平均成绩为________分． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设不含加试有x门考试，加试了一门，小王考得分，这时小王的平均成绩比最初的平均成绩提高了分，故最初x门的平均成绩是98-（x+1）=97-x，加试一门后平均成绩为98-x；后来又加试了一门，小王考得分，这时小王的平均成绩比最初的平均成绩下降了分,为96-x，则根据总分数相等可得方程，解方程即可. 【详解】解：设不含加试有x门考试 由题意可得: 解得x=8, x+2=10, 96-x=88, 则小王共考了（含加试的两门）10门课程，最后平均成绩为88分． 故答案为:10;88 【点睛】本题主要考查学生对平均数的概念和意义的理解掌握，利用平均数建立等量关系并列方程是解答本题的关键. 11. 课堂上，王老师将一副标准三角板如图放置，若，那么点到的距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，勾股定理求得，根据等腰直角三角形的性质可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】如图，过点作， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 12. 如图，在中，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，，，连接，若，则的度数为________°． 【答案】##30度 【解析】 【分析】连接，由旋转的性质可得，可证为等边三角形，由“”可证，可得，由角的数量关系和等腰三角形的性质可求，再由三角形内角和可求解． 【详解】解：连接与交于点 ∵线段绕逆时针旋转得到线段， 则， ∴为等边三角形， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13. 如图，在平面直角坐标系中有一矩形，其中，，．若将沿所在直线翻折，点B落在点E处，则E点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先连接BE，与AC交于G，作EF⊥AB于F，由A(0，0)，B(8，0)，C(8，4)，易求得AB，BC的长，由勾股定理即可求得AC的长，然后由直角三角形的性质，求得BG的长，继而可得BE的长，又由: AE2-AF2=BE2-BF2，求的AF，即可求得答案. 【详解】过E作轴于点M，过E作于F，连接交于点G，如下图． 由对称性可知，，， 由题意可知， ∵， ∴是等腰三角形，， ∴， ∵，，， ∴，， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∵，，， ∴ ∵， ，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，，， ∴， 解得：， ∵，，， ∴， ∵，， ∴E点坐标为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用. 14. 设a为常数，多项式除以所得的余式为，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据多项式除法的性质，被除式减去余式可被除式整除，据此设出整式乘积，展开后对比对应项系数即可求解a的值． 【详解】解：∵多项式除以所得的余式为． ∴可设，其中为常数． ∴， 根据多项式相等则对应项系数相等，可得 ， ∴． 15. 已知a+b+c＝0，a>b>c，则的取值范围是_____． 【答案】-2<<-． 【解析】 【分析】首先将a+b+c=0变形为b=-a-c．再将b=-a-c代入不等式a>b，b>c，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系，联立求得的取值范围． 【详解】解：∵a+b+c＝0，a>b>c ∴a>0，c<0 ∴b＝-a-c，且a>0，c<0 ∵a>b>c ∴-a-c<a，即2a>-c 解得>-2， 将b＝-a-c代入b>c，得-a-c>c，即a<-2c 解得<， ∴-2<<． 故答案为：-2<<． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用．解决本题的关键是将a+b+c=0变形为b=-a-c，代入后消去b，进而求得a、c的关系． 16. 四张卡片，每张写着一个自然数，任取2张，或者3张，或者4张，把卡片上的数求和，可以得到11个不同的和，那么4张卡片上所有数的和最小为________． 【答案】14 【解析】 【分析】列出所有的组合可能性，分类讨论取值最小，即可得出和最小． 【详解】解：由题意得：4张卡片上的自然数互不相同，设四张卡片上的自然数为， 总和， 2张和：（共6个）， 3张和：，，，（共4个） 4张和：（共1个）， 要满足2张和，3张和不重合， 则，或， 同时， 为了取值最小， 取，， ∵， ∴， ． 三、解答题（本大题共有8小题，共78分．解答时应写出文字说明，推理过程或演算步骤） 17. 如图，已知点坐标为，点坐标为． （1）将点绕着点逆时针旋转得到点，请在方格纸中画出； （2）将平移得三角形，使得点与对应，点与对应，点与对应，其中点的坐标为，画出； （3）平移的距离为________； （4）连接、，四边形面积为________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质即可作出旋转后的图形； （2）利用平移定义即可作出平移后的图形； （3）根据勾股定理求得的长，即可求解； （4）利用补全法，即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：，即平移的距离为 【小问4详解】 解：四边形面积为 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据换元法，令，再代入原式进行计算即可． 【详解】解：令， 则原式 ． 19. 在中，，于点D，设，，，． （1）求证：； （2）判断以，、h为边的三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理和三角形的面积公式得出，进而得出，即可证明； （2）利用勾股定理的逆定理进行证明即可． 【小问1详解】 证明：在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式可知：． ． ． ，， ． 【小问2详解】 解：该三角形是直角三角形，理由如下： 由（1）得：， ． ，h，为边的三角形是直角三角形． 20. 如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC，求证：BC=BD+AD． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由题作辅助线证明△ABD≌△EBD得∠F=80，再证明△DCE≌△DCF（AAS）进而得以证明． 【详解】如图，在BC上截取BE=BA，延长BD到F使BF=BC，连接DE、CF． ∵∠1=∠2，BD是公共边，BE=BA， ∴△ABD≌△EBD ∴∠DEB=∠A=100°，则得∠DEC=80° ∵AB=AC，BD平分∠ABC ∴∠1=∠2=20°，∠3=40° ∵BC=BF，∠2=20°， ∴∠F=∠FCB=（180°-∠2）=80°，则∠F=∠DEC ∴∠4=80°-∠3=40°， ∴∠3=∠4，∠F=∠DEC， 又∵DC=DC， ∴△DCE≌△DCF（AAS） ∴DF=DE=AD ∴BC=BF=BD+DF=BD+AD． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，这是一道一题多解的证明题，不仅考查了三角形的性质，也考查同学们的动手作图能力，应该掌握． 21. 在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．如图中，过点P分别作x轴、y轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则点P是和谐点． （1）请判断点，是否为和谐点，并说明理由； （2）若和谐点在直线（b为常数）上，求a、b的值． 【答案】（1） 如图，过点作轴于点A，作轴于点B， ∴，， ∴，， ∵ 不是和谐点； 过点作轴于点C，作轴于点D， ，， ∴，， ∵ 是和谐点； （2），或， 【解析】 【分析】（1）先画出图形，然后根据“和谐点”的定义，利用长方形的面积和周长公式进行推导证明即可； （2）根据点在直线上，得到，根据点是和谐点，得到，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点在直线上， ， 点是和谐点，且到x轴的距离为，到y轴的距离为， 点与坐标轴围成的长方形面积，周长， ， ∴解方程组，得或． 22. 设整数a，b，c，d满足条件：，，，试求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式可得，进而得到，再结合即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 又， ， ，又， 均为正数， 而，且均为整数， 当，或，，此时，符合题意； 当，或，，此时，不符合题意； 当，或，，此时，不符合题意； 当，或，，此时，不符合题意； 当，或，，此时，不符合题意； 当，或，，此时，不符合题意； 当，或，，此时，不符合题意； 当，或，，此时，不符合题意； ，或，，此时， ， 又，， 或， ． 23. 甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地，再返回A地，如图表示两车离A地的距离s（千米）随时间t（小时）变化的图象，已知乙车到达B地后以30千米/小时的速度返回．请根据图象中的数据回答： （1）甲车出发多长时间后被乙车追上？ （2）甲车与乙车在距离A地多远处迎面相遇？ （3）甲车从B地返回的速度多大时，才能比乙车先回到A地？ 【答案】（1）小时；（2）；（3）48千米/小时. 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数在实际生活中的运用，解答此类问题时要利用数形结合的方法解答． （1）由图知，可设甲车由A地前往B地的函数解析式为，把将代入即可求出此一次函数的表达式，再根据图中即可求出t的值； （2）可设乙车由A地前往B地函数的解析式为，将和代入即可求出此表达式，进而可求出t的值，同理设乙车由B地返回A地的函数的解析式为，把将代入即可求解； （3）求出乙车返回到A地时所需的时间及乙车的速度即可． 【详解】解：（1）由图知，可设甲车由A地前往B地的函数解析式为， 将代入得： ， 解得， ， 由图可知，在距A地30千米处，乙车追上甲车，所以当千米时（小时）． 即甲车出发小时后被乙车追上； （2）由图知，可设乙车由A地前往B地函数的解析式为， 将和代入，得，解得， 所以，当乙车到达B地时，千米．代入，得小时， 又设乙车由B地返回A地的函数的解析式为， 将代入，得，解得， 所以，当甲车与乙车迎面相遇时，有 解得小时代入，得千米，即甲车与乙车在距离A地千米处迎面相遇； （3）当乙车返回到A地时，有，解得小时， 甲车要比乙车先回到A地，速度应大于（千米/小时）． 24. 如图，平行四边形中，且，点为平行四边形外一点，连接、，且于点． （1）如图1，若，，则________；________； （2）如图2，延长、交于点，过点作交的延长线于点，若，为的中点，求证：． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】（1）过点作交的延长线于点，根据平行四边形的面积，得出，勾股定理求得，，再证明，得出，求得，进而勾股定理，即可求解； （2）延长至，使得，证明，即可得出，进而得出，即可得证． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作交的延长线于点， ∵平行四边形中，且，， ∴， ，则 ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ 在中，； 【小问2详解】 证明：如图，延长至，使得， ， ， ， ∵， ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $