2026年九年级中考数学压轴几何模型 专题02 “PA＋k·PB”型的最值问题（胡不归与阿氏圆）

专题02 “PA＋k·PB”型的最值问题（胡不归与阿氏圆） 胡不归、阿氏圆是中考几何最值问题的经典模型，重点考查垂线段转化与加权线段和最小值求解。作为中考高频压轴考点，胡不归、阿氏圆模型侧重几何构造与转化思想，是提升区分度的关键题型。本专题从知识精讲、典例分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析胡不归、阿氏圆的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 ( 知识精讲 ) 1． 当点P在直线上（胡不归问题） 从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他得知在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路。由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A--B（如图所示：A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带），当他赶到父亲眼前时，老人已去世了，邻舍告诉小伙子说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归?胡不归？ “PA＋k·PB”型的最值问题，当k＝1时通常为轴对称之最短路径问题，而当k＞0时，若以常规的轴对称的方式解决，则无法进行，因此必须转换思路． 如图，直线BM，BN交于点B，P为BM上的动点，点A在射线BM，BN同侧，已知sin∠MBN＝k．过点A作AC⊥BN于点C，交BM于点P，此时PA＋k·PB取最小值，最小值即为AC的长． 证明 如图，在BM上任取一点Q，连结AQ，作QD⊥BN于点D． 由sin∠MBN＝k，可得QD＝ k·QB． 所以QA＋k·QB＝QA＋QD≥AC，即得证． 2． 当点P在圆上（阿氏圆问题） 如图，⊙O的半径为r，点A，B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r＝k·OB． 在OB上取一点C，使得OC＝ k·r，连结AC交⊙O于点P，此时PA＋k·PB取最小值，最小值即为AC的长． 证明 如图，在⊙O上任取一点Q，连结AQ，BQ，连结CQ，OQ． 则OC＝ k·OQ，OQ＝ k·OB． 而∠COQ＝∠QOB，所以△COQ∽△QOB， 所以QC＝ k·QB． 所以QA＋ k·QB ＝QA＋QC≥AC，即得证． ( 典型例题 ) 1：PA+k•PB（胡不归） 例1．如图①，已知抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为Q，连接BC． （1）求直线BC的解析式； （2）点P是直线BC上方抛物线上的一点，过点P作PD⊥BC于点D，在直线BC上有一动点M，当线段PD最大时，求PM+MB最小值； 【解答】解：（1）令y＝0，﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1和4， ∴A（﹣1，0），B（4，0）， 令x＝0，y＝2， ∴C（0，2）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2． （2）如图1中，作PM∥y轴交BC于M． ∵∠DPM是定值， ∴当PM的值最大时，PD的值最大，设P（m，﹣m2+m+2），则M（m，﹣m+2）， ∴PM＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2， ∵﹣＜0， ∴m＝2时，PM的值有最大值，即PD的值最大，此时P（2，3）． 在y轴上取一点G，使得sin∠GBC＝，作GK⊥BC于K， ∵sin∠GBK＝＝，设GK＝k，BG＝3k，则BK＝2k， ∵∠GCK＝∠BCO，∠GKC＝∠BOC＝90°， ∴△CKG∽△COB， ∴＝＝， ∴＝＝， ∴CK＝k，CG＝k， ∵CK+BK＝BC， ∴k+2k＝2， ∴k＝， ∴OG＝OC﹣CG＝， ∴G（0，）， ∴直线BG的解析式为y＝﹣x+， ∵PM+BM＝PM+ME， ∴当P．M，E共线，且PE⊥BG时，PM+PE的值最小， ∵PE⊥BG， ∴直线PE的解析式为y＝y＝x﹣2， 由，解得， ∴E（，）， ∴PE＝＝， ∴PM+BM的最小值为． ( 课堂随练 ) 练1.1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D，B（﹣3，0），A（0，） （1）求抛物线解析式及D点坐标； （2）如图1，P为线段OB上（不与O、B重合）一动点，过点P作y轴的平行线交线段AB于点M，交抛物线于点N，点N作NK⊥BA交BA于点K，当△MNK与△MPB的面积相等时，在X轴上找一动点Q，使得CQ+QN最小时，求点Q的坐标及CQ+QN最小值； 【解答】解：（1）把B（﹣3，0），A（0，）的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得到， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+， 顶点D的坐标为（﹣1，）． （2）如图1中，设P（m，0）则N（m，＝﹣m2﹣m+）． ∵A（0，），B（﹣3，0）， ∴直线AB的解析式为y＝x+，AB用PN的交点M（m，m+）， ∵∠NMK＝∠BMP，∠NKM＝∠MPB＝90°， ∴△NMK∽△BMN， ∵△MNK与△MPB的面积相等， ∴△NMK≌△BMN， ∴MN＝BM， 在Rt△ABO中，tan∠ABO＝＝， ∴∠ABO＝30°， ∴BM＝2PM＝MN， ∴﹣m2﹣m+﹣m﹣＝2（m+）， 解得m＝﹣2或﹣3（舍弃）， ∴N（﹣2，）， 在y轴上取一点F，使得∠OCF＝30°，作QH⊥CF于H， ∵QH＝CQ， ∴NQ+CQ＝NQ+QH， 根据垂线段最短可知，当N、Q、H共线，且NH⊥CF时，NQ+CQ＝NQ+QH的值最小． ∵直线CF的解析式为y＝x﹣，直线NH的解析式为y＝﹣x﹣， ∴Q（﹣1，0）， 由，解得， ∴H（﹣，﹣）， ∴NH＝＝3， ∴NQ+CQ＝NQ+QH的最小值为3． 练1.2 如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝cm，对角线AC、BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED．若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1．5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间． 解：由题意可得，点Q运动到带你A的时间为 过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F 则EF＝3cm，AF＝cm ∴AE＝cm，从而sin∠EAF＝＝ 过点P作PG⊥AD于点G，则有PG＝PA 过点O作OH⊥AD于点H，则OH＝CD＝3 而OP＋PA＝PO＋PG≥OH，所以t最小＝3s 显然AH＝AF，所以AP＝AE＝cm 综上所述，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，AP的长为cm，点Q走完全程所需的时间为3s． 2：PA+k•PB（阿氏圆） 例1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（    ）      A．7 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题． 答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM． ∵PC＝3，CM＝1，CA＝9， ∴PC2＝CM•CA， ∴， ∵∠PCM＝∠ACP，    ∴△PCM∽△ACP， ∴， ∴PMPA， ∴AP+BP＝PM+PB， ∵PM+PB≥BM， 在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7， ∴BM5， ∴AP+BP≥5， ∴AP+BP的最小值为5． 故选：B． ( 课堂随练 ) 练1.1．如图所示，，半径为2的圆O内切于．P为圆O上一动点，过点P作、分别垂直于的两边，垂足为M、N，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形．过点M作于H，作于F，推出，进而有，由四边形是矩形得出，因此当与相切时，取得最大和最小，进而确定的最大值和最小值即可解答． 【详解】解：过点M作于H，作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当与相切时，取得最大和最小， 如图，    连接，，， 可得：四边形是正方形， ， 在中，， ， 在中，， ， ∴． 如图，    由上知：，， ， ， ， ∴． 故答案为：． 练1.2如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称求最短线段，矩形和正方形的性质，圆的定义，勾股定理等知识，利用对称的性质作线段的等量转移是解题关键．作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，、与交于点、，则，，，当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长，过点作于点，求出，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为2，点O是边的中点， ，，， 如图，作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，与与交于点、， 则，，， ， 当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ，， ， ， 的最小值为， 的最小值为，即， 故答案为：． ( 巩固提高 ) 一、胡不归专项练习 1．如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 2．如图，矩形，，，点是边上的动点，点F是射线BC上的动点，且，连接，．若，则m的最小值为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（    ） A．4 B．2＋2 C．2 D． 7．如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（    ） A． B． C． D． 2、 阿氏圆专项练习 1．如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 ． 2．如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ． 3．如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ． 4．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为 ． 5．如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 ． 6．如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是 ． 7．如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是 ． 8．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为 ． 9．问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值； (2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值． 10．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 一、胡不归专项参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A C A D A A B 1．A 【知识点】利用矩形的性质证明、线段垂直平分线的性质、折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】连接，，延长到J，使得，连接，证明，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：连接，，延长到J，使得，连接． 由翻折变换的性质可知垂直平分线段，， ， ，G，N三点共线， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，翻折变换，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换的性质解决最短问题． 2．C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、最短路径问题 【分析】延长到G，使，连接、，得到，从而可得，再利用勾股定理即可求出最小值． 【详解】解：如图，延长到G，使，连接、，    在矩形，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴，即， ∵， ∴， ∴当G、E、C三点共线时，m取最小值为GC， ， ∴m的最小值为． 故选C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．本题通过构造，得到，利用两点间线段最短解决m取最小值的问题． 3．A 【知识点】解直角三角形的相关计算、垂线段最短、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】作射线，作于E，作于F，交y轴于，可求得，从而得出，进而得出，进一步得出结果． 【详解】解：如图， 作射线，作于E，作于F，交y轴于， 抛物线的对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，当点P在时，最小，最大值等于， 在中，，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造． 4．D 【知识点】等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长． 【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示： 在中，， ∴， ∵ ＝， ∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为12， 故选：D． 【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题． 5．A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、垂线段最短、求抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式 【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H，根据，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：连接BC，过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H． ∵二次函数的图像与x轴交于点， ∴b＝2， ∴二次函数的解析式为，令y＝0，-x2+2x+3＝0， 解得x＝﹣1或3， ∴A（﹣1，0）， 令x＝0，y=3， ∴B（0，3）， ∴OB＝OC＝3， ∵∠BOC＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵D（0，-1）， ∴OD＝1，BD＝4， ∵DH⊥BC， ∴∠DHB＝90°， 设，则, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵PJ⊥CB， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴DP+PJ的最小值为， ∴的最小值为4． 故选：A． 【点睛】 本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC＝∠OCB＝45°，是解题的关键． 6．A 【知识点】线段周长问题(二次函数综合) 【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H． ∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3）， ∴c＝﹣3， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝﹣1或3， ∴A（﹣1，0），B（0，-3）， ∴OB＝OC＝3， ∵∠BOC＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵D（0，1）， ∴OD＝1，BD＝4， ∵DH⊥BC， ∴∠DHB＝90°， 设，则, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵PJ⊥CB， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴DP+PJ的最小值为， ∴的最小值为4． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 7．B 【分析】作点A关于BC的对称点A'，连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E，易得2DE = CD，AD= A'D，从而得出AD+ DE = A'D+ DE，当A'，D, E在同一直线上时，AD + DE的最小值等于A' E的长是3，进而求出2AD十CD的最小值． 【详解】如图所示，作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E ∵∠BAC = 90o，∠B = 60o，AB= 2 ∴BH=1,AH=,AA'=2，∠C= 30o ∴DE =CD,即2DE = CD ∵A与A'关于BC对称 ∴AD= A'D ∴AD+ DE = A'D+ DE ∴当A'，D, E在同一直线上时 AD + DE的最小值等于A' E的长, 在Rt△AA' E中：A' E= sin60o×AA'=×2= 3 ∴AD十DE的最小值为3 ∴2AD十CD的最小值为6 故选B 【点睛】本题主要考查了三角形的动点最值问题，做完辅助线后先求出AD + DE的最小值是解题关键． 二、阿氏圆专项参考答案 1． 【知识点】两点之间线段最短、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．延长到T，使得，连接，．利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．利用两点之间线段最短得到，利用勾股定理求出即可解题． 【详解】解：延长到T，使得，连接，． ， ， 点D是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 2． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、坐标与图形 【分析】取点，连接，．根据，有，即可证明，即有，进而可得，则有，利用勾股定理可得，则有，问题得解． 【详解】解：如图，取点，连接，． ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，（当B、P、T三点共线时取等号） 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 3． 【知识点】圆与四边形的综合(圆的综合问题)、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形构造PB即可解答． 【详解】解：设⊙O半径为r， OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2， 取OB的中点I，连接PI， ∴OI＝IB＝， ∵， ， ∴ ，∠O是公共角， ∴△BOP∽△POI， ∴， ∴PI＝PB， ∴AP＋PB＝AP＋PI， ∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋PB最小， 作IE⊥AB于E， ∵∠ABO＝45°， ∴IE＝BE＝BI＝1， ∴AE＝AB−BE＝3， ∴AI＝， ∴AP＋PB最小值＝AI＝， ∵PA＋PB＝（PA＋PB）， ∴PA＋PB的最小值是AI＝． 故答案是． 【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形． 4． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆的基本概念辨析 【分析】如图，连接，在上取一点，使得，进而证明,则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得． 【详解】如图，连接，在上取一点，使得， ， 在△PDM中，PD-PM＜DM， 当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值， 四边形是正方形 在中， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的关键． 5．5 【知识点】利用同角三角函数关系求值、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】连接AC、AQ，先证明△BCP∽△ACQ得即AQ＝2，在AD上取AE＝1，证明△QAE∽△DAQ得EQ＝QD，故DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，求出CE即可． 【详解】解：如图，连接AC、AQ， ∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ， ∴∠ACB＝∠PCQ＝45°， ∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝，cos∠PCQ＝， ∴∠ACB=∠PCO， ∴△BCP∽△ACQ， ∴ ∵BP＝， ∴AQ＝2， ∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上， 在AD上取AE＝1， ∵，，∠QAE＝∠DAQ， ∴△QAE∽△DAQ， ∴即EQ＝QD， ∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE， 连接CE， ∴， ∴DQ+CQ的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键在于能够连接AC、AQ，证明两对相似三角形求解. 6． 【知识点】相似三角形的综合问题、切线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BHAC，接着证明△BPD∽△BCP得到PDPC，所以PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA的最小值． 【详解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图， ∵AC为切线， ∴BH为⊙B的半径， ∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2， ∴ACBA＝2， ∴BHAC， ∴BP， ∵，， 而∠PBD＝∠CBP， ∴△BPD∽△BCP， ∴， ∴PDPC， ∴PAPC＝PA+PD， 而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号）， 而AD， ∴PA+PD的最小值为， 即PA的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线段PDPC．也考查了等腰直角三角形的性质． 7．． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明，推出＝＝，推出PT＝PB，推出PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题． 【详解】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT． ∵PA＝2．AT＝1，AB＝4， ∴PA2＝AT•AB， ∴＝， ∵∠PAT＝∠PAB， ∴， ∴＝＝， ∴PT＝PB， ∴PB+CP＝CP+PT， ∵PC+PT≥TC， 在Rt中， ∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4， ∴CT＝＝， ∴PB+PC≥， ∴PB+PC的最小值为． 故答案为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键． 8．5 【知识点】圆与四边形的综合(圆的综合问题)、相似三角形的判定与性质综合 【详解】分析: 由PD−PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝5． 详解: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图， ∵，， ∴， ∵∠PBG＝∠PBC， ∴△PBG∽△CBP， ∴， ∴PG＝PC， 当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝＝5． 故答案为5 点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题． 9．(1)见解析 (2) (3)13 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆的基本概念辨析、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）连接，得到当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长．求出的长即可； （2）连接，在上取点D，使，连接，，证明．得到．则．当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长，进一步求出的长即可； （3）延长到点E，使，连接，．证明．得到．．当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长．进一步求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ，要使最小，即最小． 当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长． 在中，，，． 的最小值为． （2）如图，连接，在上取点D，使，连接，，． ， ． ． ． ． 当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长， 在中，． 的最小值为． （3）如图，延长到点E，使，连接，． ． ，， ． ， ． ． ． ． 当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长． 在中，． 的最值为13． 10．(1)， (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、圆的基本概念辨析、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】（1）解：， 点坐标为， 将，代入， 得， 解得， （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则， ， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $