第1章 整式的乘除（章节复习检测提升卷）-2025-2026学年北师大版数学七年级下册章节复习优选题检测卷

2025-2026学年北师大版数学七年级下册章节复习闯关自测卷（新教材） 第1章 整式的乘除●能力提升 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.43 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．下列运算正确的是（ ）． A． B． C． D． 2．深度求索（）是一家专注实现的中国人工智能公司．在研发人工智能模型时，常需处理一些数据，例如权重参数0.0000034．将数据0.0000034用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．如图，把一个平行四边形纸板，分割成四个大小和形状完全相同的四边形，如图1；拼成一个边长为的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，如图2．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A．； B．； C．； D． 4．如图，有正方形，，现将放在的内部得图1，将，并列放置后构造新的正方形得图2，若图1、图2中阴影部分的面积分别为9，80．下列说法正确的个数是（    ） ①正方形和的面积和是84；②图2中新的正方形的面积是225；③正方形和的面积差是39；④正方形的边长是8． A．1 B．2 C．3 D．4 5．若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列四个算式中，正确的有（   ） ①；②；③；④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（24-25七年级上·河南周口·期末）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·全国·期中）下列计算中①；②；③；④，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形和两个正方形，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 10．若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）若，，则______． 12．计算：______． 13．已知，这四个数中最大数和最小数的积为 _______ ． 14．如图，两个正方形的边长分别为，，已知，，则阴影部分的面积为__________． 15．（25-26七年级下·全国·单元测试）在把，的值代入（，均为常数）计算时，小明把的值看错了，其结果等于9；小红把正确的，的值代入计算，结果恰好也是9．为了找出原因，小红又把的值换成了2025，结果竟然还是9．根据以上信息可知，____________． 16．（25-26七年级下·全国·单元测试）计算：____________． 17．如图，学校劳动课实践基地由两块边长分别为、的正方形秧田、，其中不能使用的面积为．用含、的代数式表示中能使用的面积 _________ ；若，，则比多出来的使用面积为 _______ ． 18．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，34…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）； 请依据上述规律，写出展开式中含x2015项的系数是 __________． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25七年级下·全国·课后作业）简便计算： (1)； (2)． 20．（本题6分）（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，和谐广场有一块长为米、宽米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） (1)用含有的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (2)若，，求出绿化的总面积． 21．（本题8分）（24-25七年级下·江苏苏州·月考）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 22．（本题8分）（24-25七年级下·四川成都·期中）【观察思考】 ， ， ， 【规律发现】 （1）根据规律可得 ；（其中n为正整数） 【规律应用】； （2）①计算：； ②若，求的值． 23．（本题8分）（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）【知识技能】 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来） 图1表示：____________________； 图2表示：____________________； 【解决问题】 （2）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积是______． 【拓展提升】 （3）①若x满足；求______． ②若x满足；则______． 24．（本题8分）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图①，可以得到．请解答下列问题： (1)写出图②中所表示的数学等式：___________________________． (2)小明同学用图③中张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片，张长为、宽为的长方形纸片拼出一个面积为的长方形图形，则____________． (3)如图④，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一条直线上，连接和．若两个正方形的边长满足，，请求出图中阴影部分的面积． 25．（本题10分）【项目化学习】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为a，宽为b的长方形． (1)若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要A，B，C，各型号卡片各多少张？ (2)若要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取A型卡片9张，再取B型卡片4张，还需C型卡片__________张． (3)用一张A型卡片，一张B型卡片，一张C型卡片紧密拼接成如题图所示的图形，若阴影部分的面积为32，C型卡片的面积为48，求的值． 26．（本题10分）“杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为_______． （2）将展开后，各项的系数和为_______． （3）写出的展开式． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行     第二行     第三行     第四行     第五行           ．．．．．． （4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律． （5）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是多少？ 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版数学七年级下册章节复习闯关自测卷（新教材） 第1章 整式的乘除●能力提升 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.43 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．下列运算正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了同底数幂的除法运算，合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据同底数幂的除法运算，合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方运算的法则，需根据各运算法则逐一判断选项的正误． 【规范解答】解：，故A选项正确． ，故B选项错误． ，故C选项错误． ，故D选项错误． 故选：A． 2．深度求索（）是一家专注实现的中国人工智能公司．在研发人工智能模型时，常需处理一些数据，例如权重参数0.0000034．将数据0.0000034用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，需遵循科学记数法的形式（其中，为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数），确定与的值是解题关键． 【规范解答】解：∵科学记数法表示绝对值较小的数的形式为，其中，为原数左边第一个非零数字前面的0的个数， ∴对于，，原数左边第一个非零数字3前面有6个0，即， ∴， 故选：A． 3．如图，把一个平行四边形纸板，分割成四个大小和形状完全相同的四边形，如图1；拼成一个边长为的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，如图2．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A．； B．； C．； D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了平方差公式的几何验证，解题的关键是通过计算两个图形中阴影部分的面积，利用面积相等验证等式． 【规范解答】解：计算图1中拼成的平行四边形面积，其长为，高为，面积为； 计算图2中阴影部分面积，为大正方形面积减去小正方形面积，即， 由于阴影部分面积不变，故可验证等式． 故选：D． 4．如图，有正方形，，现将放在的内部得图1，将，并列放置后构造新的正方形得图2，若图1、图2中阴影部分的面积分别为9，80．下列说法正确的个数是（    ） ①正方形和的面积和是84；②图2中新的正方形的面积是225；③正方形和的面积差是39；④正方形的边长是8． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】本题考查了完全平方公式、平方差公式在几何图形中的应用，数形结合，灵活应用平方差公式和完全平方公式进行变形是解决问题的关键．设正方形的边长为，正方形的边长为，分别表示出图和图中阴影部分的面积，结合完全平方公式得到，，然后逐个说法利用完全平方公式和平方差公式进行变形计算即可． 【规范解答】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，图中阴影部分是边长为的正方形， ， ， ， 则， 图中阴影部分的面积为， ， 正方形和的面积和是，故不正确； 图中新的正方形的面积是，故不正确； 由知，，则正方形和的面积差是，故正确； 联立，解得，则正方形的边长是8，故正确； 综上所述，正确的有③④，共2个． 故选：B． 5．若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【思路引导】本题考查多项式乘法法则及多项式相等的条件，通过展开左边多项式，对比等式两边对应项的系数，建立方程求解和的值，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解此题的关键． 【规范解答】解：， ∵， ∴，， ∴，， 故选：C． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列四个算式中，正确的有（   ） ①；②；③；④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【思路引导】本题考查了幂的乘方运算法则与符号处理，掌握幂的乘方指数相乘，以及多层符号的化简规则是解题的关键． 根据指数运算法则和符号规则，逐一判断每个算式的正确性． 【规范解答】解：① ∵ ，而原式写为 ，错误，不符合题意； ② ∵ ，且指数相乘过程正确，正确，符合题意； ③ ∵ ，∴ ，正确，符合题意； ④ ∵ ，∴ ，错误，不符合题意； ∴正确的有②和③，共个． 故选：C． 7．（24-25七年级上·河南周口·期末）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查列代数式、多项式乘多项式与图形的面积，根据阴影部分面积写出不同的代数式是解题的关键． 首先根据阴影部分的面积写出代数式，再结合图形进行不同的化简，最终逐一判断选项的正误即可． 【规范解答】解：， 故选：D． 8．（24-25七年级下·全国·期中）下列计算中①；②；③；④，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】本题考查整式的运算，涉及积的乘方、同底数幂的除法、单项式乘单项式等，需逐一验证每个计算的正误即可 【规范解答】解：①，故①错误； ②，故②错误； ③，故③正确； ④，故④错误． ∴仅③正确，正确的有1个． 故选：A． 9．有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形和两个正方形，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，平方差公式的应用，设正方形，正方形的边长分别为，由甲可得，由乙可得，即得，进而可得，再根据图形解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【规范解答】解：设正方形，正方形的边长分别为， 由甲得：，即， 由乙得：，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由丙得知：， 故选：． 10．若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了平方差公式．利用平方差公式，通过凑出的形式逐步化简连乘式，进而计算出的值． 【规范解答】解：∵， ∴ 则． 故选：D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）若，，则______． 【答案】 60或68/68或60 【思路引导】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，通过对完全平方公式变形求值，运用完全平方公式进行运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用完全平方公式将表示为，再根据求出的值，代入计算． 【规范解答】解：∵， ∴， 又， ∵， ∴， ∴或， 当时， ； 当时，， 故答案为：或． 12．计算：______． 【答案】10 【思路引导】本题考查负整数指数幂与零指数幂的运算，掌握知识点是解题的关键． 依据负整数指数幂、零指数幂的运算法则分别计算各项，再进行加法运算即可． 【规范解答】解：． 故答案为：10． 13．已知，这四个数中最大数和最小数的积为 _______ ． 【答案】 【思路引导】分别计算a、b、c、d的值，比较大小后再计算即可求解． 【规范解答】解：∵，，，， ∴最大数为，最小数为， ∴最大数和最小数的积为 ． 14．如图，两个正方形的边长分别为，，已知，，则阴影部分的面积为__________． 【答案】24 【思路引导】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．根据代入计算即可． 【规范解答】解：，， ． 故答案为：24． 15．（25-26七年级下·全国·单元测试）在把，的值代入（，均为常数）计算时，小明把的值看错了，其结果等于9；小红把正确的，的值代入计算，结果恰好也是9．为了找出原因，小红又把的值换成了2025，结果竟然还是9．根据以上信息可知，____________． 【答案】 【思路引导】本题考查整式的化简求值，解题的关键是读懂题意，列出关于的方程． 根据题意，表达式在取不同值时结果恒为，说明表达式与无关，因此的系数和的系数均为，结合，可求解和的值． 【规范解答】解：展开并化简表达式： ∵表达式值恒为， ∴与无关， 则，, ∴ ∴ 解得： 因此，, 故答案为：． 16．（25-26七年级下·全国·单元测试）计算：____________． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的乘方和同底数幂的运算，掌握同底数幂的运算法则是解题的关键． 利用指数法则和有理数运算规则，先将负数的偶次幂化为正，再合并底数相同的指数项进行计算． 【规范解答】解：原式为． 由于指数2026是偶数，因此． 原式化为． 根据指数运算法则，，得． 故答案为：． 17．如图，学校劳动课实践基地由两块边长分别为、的正方形秧田、，其中不能使用的面积为．用含、的代数式表示中能使用的面积 _________ ；若，，则比多出来的使用面积为 _______ ． 【答案】 【思路引导】本题考查了列代数式，平方差公式，掌握图形面积的计算方法以及面积之间的和差关系是正确解答的前提． ①根据面积之间的关系，从边长为的正方形面积中，减去不能使用的面积即可； ②用代数式表示比多出的使用面积，再利用平方差公式进行分解因式，最后带入式子的值计算即可． 【规范解答】解：①中能使用的面积大正方形的面积不能使用的面积，即； ②比多出的使用面积为： ∵，， ∴原式 ， 故答案为：；． 18．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，34…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）； 请依据上述规律，写出展开式中含x2015项的系数是 __________． 【答案】 【思路引导】本题考查多项式乘法运算、杨辉三角，规律探究等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题，属于中考常考题型． 首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题． 【规范解答】解：展开式中含项的系数， 由 可知，展开式中第二项为， 展开式中含项的系数是， 故答案为：． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25七年级下·全国·课后作业）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【思路引导】本题考查了幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据相关运算法则计算即可； （2）根据相关运算法则计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（本题6分）（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，和谐广场有一块长为米、宽米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） (1)用含有的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (2)若，，求出绿化的总面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【思路引导】本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式在几何图形中的应用，掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）根据绿化的总面积等于大长方形面积减去小正方形面积，即可求解； （2）把，代入（1）所求结果中，即可求解． 【规范解答】（1）解：根据题意， ， 绿化的总面积为平方米． （2）解：当，时，平方米， 绿化的总面积为平方米． 21．（本题8分）（24-25七年级下·江苏苏州·月考）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 【答案】(1)； (2)； 【思路引导】（1）先根据幂的乘方、同底数幂相乘，零次幂法则进行化简，再合并同类项，得出，然后把代入，进行计算，即可作答； （2）根据完全平方公式与平方差公式，单项式乘以多项式化简，然后合并同类项，最后将代入进行计算即可求解． 【规范解答】（1）解： ； 当时， ； （2）解： ， 当时， ． 22．（本题8分）（24-25七年级下·四川成都·期中）【观察思考】 ， ， ， 【规律发现】 （1）根据规律可得 ；（其中n为正整数） 【规律应用】； （2）①计算：； ②若，求的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【思路引导】（1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）①把原式化为，再结合（1）中发现的规律进行计算即可； ②由结合条件可得x的值，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：因为， ， ， 所以（其中n为正整数）； （2）②解：原式 ； ②解：因为， 则，即， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故，． 23．（本题8分）（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）【知识技能】 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来） 图1表示：____________________； 图2表示：____________________； 【解决问题】 （2）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积是______． 【拓展提升】 （3）①若x满足；求______． ②若x满足；则______． 【答案】（1）；；（2）32；（3）①4；②． 【思路引导】本题考查了完全平方公式以及其变形公式，熟练掌握公式是解题的关键． （1）对于图1，根据大正方形的面积等于两个长方形面积与两个正方形面积之和，得到；对于图2，根据大正方形面积等于小正方形面积与四个长方形面积之和，得到； （2）设，，则，，根据完全平方公式的变形公式，计算出图中阴影部分面积； （3）①由，，以及完全平方公式的变形公式，计算得出答案； ②由，，以及完全平方公式的变形公式，计算得出答案． 【规范解答】（1）解：由图1可知，， 由图2可知，． （2）解：设，， ∵， ∴， ∵四边形，四边形都是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）①解：∵，， ∴． ②解：∵，， ∴， ∴， ∴． 24．（本题8分）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图①，可以得到．请解答下列问题： (1)写出图②中所表示的数学等式：___________________________． (2)小明同学用图③中张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片，张长为、宽为的长方形纸片拼出一个面积为的长方形图形，则____________． (3)如图④，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一条直线上，连接和．若两个正方形的边长满足，，请求出图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)9 (3)20 【思路引导】（1）图②是一个边长为的大正方形，可通过整体面积等于各部分面积之和来得到等式； （2）先展开多项式，再与图③中各类纸片的面积对应，求出、、的值； （3）阴影部分面积可通过两个正方形的面积之和减去两个空白三角形的面积来计算． 【规范解答】（1）解：大正方形的边长为，其面积为． 同时，大正方形由个边长为的正方形、个边长为的正方形、个边长为的正方形，以及个、个 、个的长方形组成． 因此，面积和为． ∴图②表示的数学等式为：． （2）解：先展开多项式： ． 与图③中各类纸片面积对应： 边长为的正方形面积为，需要张，故； 边长为的正方形面积为，需要张，故； 长为、宽为的长方形面积为，需要张，故． 因此，． （3）解：阴影部分面积可表示为： ． 代入面积公式： =． 已知，， ∴． 将，代入阴影面积表达式： ． 【考点剖析】本题考查了完全平方公式的几何背景、多项式乘多项式以及代数式求值。解题关键是利用“面积法”，通过对图形面积的不同表示方法，推导出代数恒等式或进行计算． 25．（本题10分）【项目化学习】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为a，宽为b的长方形． (1)若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要A，B，C，各型号卡片各多少张？ (2)若要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取A型卡片9张，再取B型卡片4张，还需C型卡片__________张． (3)用一张A型卡片，一张B型卡片，一张C型卡片紧密拼接成如题图所示的图形，若阴影部分的面积为32，C型卡片的面积为48，求的值． 【答案】(1)需要A型卡片3张，B型卡片2张，C型卡片7张； (2)12 (3)， 【思路引导】本题考查了整式乘法的几何应用，三角形、正方形、长方形的面积公式，解题的关键是掌握整式乘法的运算法则． （1）计算出拼成的长方形面积即可求解； （2）根据完全平方式的特点，即可求解； （3）由题意可得，根据，求出，进而求出即可． 【规范解答】（1）解：拼成的长方形面积为：， 需要A型卡片3张，B型卡片2张，C型卡片7张； （2）解：∵A型卡片9张，再取B型卡片4张的面积之和为， ∴添加能与组成一个完全平方式， 即是一个完全平方式，故， ∴要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，还需C型卡片12张； 故答案为：12； （3）解：∵C型卡片的面积为48， ∴， ， 又阴影部分的面积为32， ∴， 解得：（负值已舍去）， 又， ∴， ∴，． 26．（本题10分）“杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为_______． （2）将展开后，各项的系数和为_______． （3）写出的展开式． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行     第二行     第三行     第四行     第五行           ．．．．．． （4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律． （5）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是多少？ 【答案】（1）4；（2）；（3）；（4）见解析；（5） 【思路引导】（1）根据规律可知：将展开后，各项的系数和为4； （2）根据规律可得结论； （3）把展开，即可得出答案； （4）著名的“莱布尼茨三角形”，规律是：①下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，②每一行的第一个数都是； （5）利用（4）得到的规律，经过计算可得结论． 【规范解答】解：（1）， ， 故答案为：4； （2）第二行：，各项系数和为， 第三行：，各项系数和为， 第四行：，各项系数和为， 第五行：，各项系数和为， … 第行：展开后各项系数和为； 故答案为：； （3）由（2）得：， 故答案为：； （4）由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是； （5）由规律可知，分子总是1， 第n行的第一个数的分母就是n， 第二个数的分母是第一个数的倍， 第三个数的分母是第二个数的分母的倍， 第四个数的分母是第三个数的分母的倍， ....， 根据图表的规律，可得第8行第6列为， 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了对于规律性，杨辉三角和莱布尼茨三角是比较常见的数字变化类，要求学生通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $