第1章 整式的乘除 挑战压轴题-2025-2026学年北师大版数学七年级下册同步培优讲义

2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 专项复习六 挑战压轴题 （第一章 整式的乘除） 【北师大版七下●新教材】 题型分类讲练 2 压轴题型讲练一 同底数幂相乘与逆用 2 压轴题型讲练二 用科学记数法表示绝对值大于1或小于1的数 3 压轴题型讲练三 幂的乘方运算与逆用 3 压轴题型讲练四 积的乘方运算与逆用 4 压轴题型讲练五 同底数幂的除法运算与逆用 5 压轴题型讲练六 零指数冪与负整数指数冪 5 压轴题型讲练七 幂的混合运算 5 压轴题型讲练八 计算单项式乘多项式及求值 6 压轴题型讲练九 单项式乘多项式的应用 7 压轴题型讲练十 多项式乘多项式与图形面积 7 压轴题型讲练十一 (x+p)(x+q）型多项式乘法 8 压轴题型讲练十二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 8 压轴题型讲练十三 利用单项式乘多项式求字母的值 9 压轴题型讲练十四 已知多项式乘积不含某项求字母的值 10 压轴题型讲练十五 多项式乘法中的规律性问题 10 压轴题型讲练十六 平方差公式与几何图形 12 压轴题型讲练十七 完全平方公式在几何图形中的应用 13 压轴题型讲练十八 整式乘法混合运算 15 压轴题型讲练十九 多项式乘多项式一化简求值 16 压轴题型讲练二十 通过对完全平方公式变形求值 17 压轴题型讲练二十一 求完全平方式中的字母系数 18 压轴题型讲练二十二 整式四则混合运算 19 压轴题型讲练二十三 整式的混合运算 20 能力提升训练 21 压轴题型讲练一 同底数幂相乘与逆用 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】．例如因为，所以【2，8】． (1)根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，125】； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 压轴题型讲练二 用科学记数法表示绝对值大于1或小于1的数 【典例精讲】（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了秒．已知电磁波的传播速度为米/秒，则该时刻飞机与雷达站的距离为_______米．(结果用科学记数法表示) 【变式训练】（23-24七年级下·河北唐山·期中）某种电子计算机每秒可进行次运算． (1)它工作秒，可进行多少次运算？（结果用科学记数法表示） (2)该计算机进行次运算需要多少秒？ 压轴题型讲练三 幂的乘方运算与逆用 【典例精讲】（2026七年级下·江苏苏州·专题练习）“整体思想”在数学运算中有着重要的作用：请解决以下问题： (1)以下是小明计算的过程． 解：原式① ．② 小明的计算过程是从第______步开始出现错误（填序号），请写出正确的过程． (2)若，求的值． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，，用含的代数式表示为____________． 压轴题型讲练四 积的乘方运算与逆用 【典例精讲】（23-24七年级下·江苏无锡·月考）计算： (1)简便计算：； (2)已知，求n的值． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 压轴题型讲练五 同底数幂的除法运算与逆用 【典例精讲】（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）运算法则或性质从右到左也是成立的，比如：由积的乘方，可以得到．已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出m，n，p之间的数量关系 ． 压轴题型讲练六 零指数冪与负整数指数冪 【典例精讲】（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）计算题： (1) ； (2)； 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 压轴题型讲练七 幂的混合运算 【典例精讲】（25-26八年级上·江西宜春·期末）计算： (1) ； (2) 【变式训练】（25-26八年级上·河北廊坊·月考）计算： (1) (2) 压轴题型讲练八 计算单项式乘多项式及求值 【典例精讲】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【变式训练】［知识回顾] 有这样一类题： 代数式的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法； 把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． ［理解应用] (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值； （能力提升） (3)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 压轴题型讲练九 单项式乘多项式的应用 【典例精讲】两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积______． 【变式训练】在长方形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为_______．（用a、b的代数式表示） 压轴题型讲练十 多项式乘多项式与图形面积 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏徐州·月考）教材中，在计算如图①所示的正方形ABCD的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作： 角度一：把它看成是一个大正方形，则它的面积为． 角度二：把它看成是2个小长方形和2个小正方形组成的，则它的面积为．因此，可得到等式：． (1)类比教材中的方法，由图②中的大正方形可得等式：___________； (2)利用①中得到的结论，解决下面的问题：若，，则的值为___________； (3)代数式展开、合并同类项后，得到的多项式的项数一共有___________项． (4)若将代数式展开后合并同类项，得到多项式N，则多项式N一共有___________项． 【变式训练】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）在长方形中，将两张边长分别为和的正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长、面积分别为，，图2中阴影部分的周长、面积分别为，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 压轴题型讲练十一 (x+p)(x+q）型多项式乘法 【典例精讲】若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【变式训练】（24-25七年级下·山东青岛·月考）已知，则_____． 压轴题型讲练十二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【变式训练】（23-24六年级下·山东青岛·月考）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 压轴题型讲练十三 利用单项式乘多项式求字母的值 【典例精讲】（2024七年级下·浙江·专题练习）设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 【变式训练】（23-24八年级上·河南周口·月考）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 压轴题型讲练十四 已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南·期末）若展开合并后不含的一次项，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练】若的积中不含有与项． (1)直接写出的值，即___________， ___________； (2)求代数式的值． 压轴题型讲练十五 多项式乘法中的规律性问题 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）“杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为_______． （2）将展开后，各项的系数和为_______． （3）写出的展开式． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行     第二行     第三行     第四行     第五行           ．．．．．． （4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律． （5）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是多少？ 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】（1）由此可得______； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算______； （3）计算______； （4）若，求的值． 压轴题型讲练十六 平方差公式与几何图形 【典例精讲】（24-25六年级下·全国·单元测试）推理能力如图①所示，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图②所示． 【探究】 （1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为___________，图②中阴影部分的面积为___________；根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式___________． 【应用】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，求的值． ②计算：． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2，图3阴影部分面积分别能解释的数学公式． 图1：________；图2：________；图3：________． (2)通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度    方法二：从“形”的角度 解：，        解：， ，即：，    又， 又        ， ．        ． 即．        即． 根据所给材料，解决以下问题： 如图，点是线段上的一点，以，为边向两侧作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 压轴题型讲练十七 完全平方公式在几何图形中的应用 【典例精讲】（25-26八年级上·山西临汾·期末）【项目化学习】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为a，宽为b的长方形． (1)若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要A，B，C，各型号卡片各多少张？ (2)若要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取A型卡片9张，再取B型卡片4张，还需C型卡片__________张． (3)用一张A型卡片，一张B型卡片，一张C型卡片紧密拼接成如题图所示的图形，若阴影部分的面积为32，C型卡片的面积为48，求的值． 【变式训练】（25-26六年级上·山东济南·期末）数形结合思想是一种非常重要的数学思想方法．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．某数学兴趣小组探究图1、图2，分别用两种不同的方法列代数式表示了阴影图形的面积． (1)知识探究 观察图1，方法一：______，方法二：______； 观察图2，方法一：______，方法二：______； (2)尝试应用：观察图3，解决下面的问题：若，，求的值； (3)拓展延伸：若，求的值． 压轴题型讲练十八 整式乘法混合运算 【典例精讲】（25-26八年级上·北京·期中）定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①    ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 【变式训练】．（2024·重庆沙坪坝·一模）按顺序排列的8个单项式，，，，，，，中，任选个互不相邻的单项式（其中至少包含一个系数为1的单项式和一个系数为的单项式）相乘，计算得单项式M，然后在剩下的单项式中再任选若干个单项式相乘，计算得单项式N，最后计算，称此为“积差操作”．例如：当时，可选互不相邻的，，相乘，得，在剩下的单项式，，，，中可选，相乘，得，此时，．下列说法中正确的个数是（    ） ①存在“积差操作”，使得为五次二项式； ②共有3种“积差操作”，使得； ③共有12种“积差操作”，使得． A．0 B．1 C．2 D．3 压轴题型讲练十九 多项式乘多项式一化简求值 【典例精讲】观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… （1）第5个等式是________； （2）根据上述规律猜想第n个等式是________（用含n的等式表示）． 【变式训练】两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示； (2)若，求的值； (3)当时，求出图3中阴影部分的面积． 压轴题型讲练二十 通过对完全平方公式变形求值 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北随州·期末）很多同学在学习整式乘法及乘法公式时，容易机械记忆．为了帮助同学们直观理解公式的几何意义，老师设计了一节“拼图与公式”实验课： 【知识重现】 观察图①，用等式表示图中图形面积的运算： 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分的面积为__________． 【拓展应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，则__________． （3）若实数满足，求． 【学习致用】 （4）如图③，两块完全相同的直角三角板与按图示放置，点在同一直线上．连接，已知，且，求一块直角三角板的面积． 【变式训练】（2026七年级下·全国·专题练习）（1）请同学们观察：用4个长为宽为的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：__________； （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题： ①若，求的值； ②已知，请利用上述等式求的值． 压轴题型讲练二十一 求完全平方式中的字母系数 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）若是一个完全平方式，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，代数式． (1)化简代数式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 压轴题型讲练二十二 整式四则混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图1是一个长4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的图形． (1)观察图形，写出一个、、三者之间的等量关系式是______； (2)运用（1）中的结论，当，时，求的值； (3)若，求的值． (4)如图①，已知长方形的周长为12，分别以、为边，向外作正方形、，且正方形、的面积和为20． ①求长方形的面积； ②如图②，连接、、，求的面积． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）欢欢在计算时，因抄错运算符号，将乘号错写为加号，得到的结果是． (1)求正确的计算结果B． (2)若，在（1）的条件下，计算的结果． 压轴题型讲练二十三 整式的混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期中）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【变式训练】（23-24八年级上·河南南阳·月考）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它们的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到．    请解答下列问题： (1)类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：___________． (2)若，用上面得到的数学等式求的值． (3)小明同学用图3中的张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长、宽分别为、的长方形拼出一个面积为的长方形，求的值． 1．（25-26六年级下·全国·课后作业）计算：（   ） A．1 B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海闵行·期末）设，，下列三者之间的关系式正确的是（） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式中，结果错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26六年级下·全国·课后作业）下面计算正确的是（     ） A．原式 B．原式 C．原式 D．原式 5．（25-26八年级上·江西南昌·期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1： ，系数分别为1，2，1；… 请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过天后是（　　） A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天 6．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，阴影部分是两个正方形．若两个正方形面积的和与周长的和分别为5，12，则图中两个空白长方形的面积之和等于_______． 7．（25-26七年级下·全国·期中）小明将展开后得到 ，小亮将展开后得到 若两人计算过程无误，则的值为___________． 8．（2026七年级下·江苏·专题练习）计算：______． 9．（25-26八年级上·湖南岳阳·月考）计算： ________． 10．（24-25七年级上·上海·期中）式子，此时，叫做以为底的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则叫做以为底的对数，记为，则，同理，．由此可以得到下列式子：，根据以上的信息及运算关系，若，则______ 11．（25-26七年级下·重庆·开学考试）计算： (1)； (2) 12．（23-24七年级下·贵州黔南·月考）已知n为正整数，且． (1)求的值； (2)求的值． 13．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）【知识技能】 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来） 图1表示：____________________； 图2表示：____________________； 【解决问题】 （2）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积是______． 【拓展提升】 （3）①若x满足；求______． ②若x满足；则______． 14．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，体现出形与数的紧密联系．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式． (1)请你根据等积法，利用图1，图2，图3可以得到一些等式： 利用图1，可以得到等式：________________； 利用图2，可以得到等式：________________； 利用图3，可以得到等式：________________． (2)请你根据等积法，利用图4，写出你得到的一个等式__________； (3)结合用（2）中你得到的等式解决问题：若实数，，满足，，求的值； 15．对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的等式．例如：计算图1的面积可以得到等式．请解答下列问题： (1)观察图2，写出所表示的等式： = ； (2)已知上述等式中的三个字母，，可取任意实数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 专项复习六 挑战压轴题 （第一章 整式的乘除） 【北师大版七下●新教材】 题型分类讲练 2 压轴题型讲练一 同底数幂相乘与逆用 2 压轴题型讲练二 用科学记数法表示绝对值大于1或小于1的数 4 压轴题型讲练三 幂的乘方运算与逆用 4 压轴题型讲练四 积的乘方运算与逆用 6 压轴题型讲练五 同底数幂的除法运算与逆用 8 压轴题型讲练六 零指数冪与负整数指数冪 9 压轴题型讲练七 幂的混合运算 9 压轴题型讲练八 计算单项式乘多项式及求值 11 压轴题型讲练九 单项式乘多项式的应用 13 压轴题型讲练十 多项式乘多项式与图形面积 14 压轴题型讲练十一 (x+p)(x+q）型多项式乘法 16 压轴题型讲练十二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 17 压轴题型讲练十三 利用单项式乘多项式求字母的值 19 压轴题型讲练十四 已知多项式乘积不含某项求字母的值 21 压轴题型讲练十五 多项式乘法中的规律性问题 22 压轴题型讲练十六 平方差公式与几何图形 26 压轴题型讲练十七 完全平方公式在几何图形中的应用 29 压轴题型讲练十八 整式乘法混合运算 31 压轴题型讲练十九 多项式乘多项式一化简求值 34 压轴题型讲练二十 通过对完全平方公式变形求值 36 压轴题型讲练二十一 求完全平方式中的字母系数 38 压轴题型讲练二十二 整式四则混合运算 39 压轴题型讲练二十三 整式的混合运算 42 能力提升训练 45 压轴题型讲练一 同底数幂相乘与逆用 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3)1 (4) 【思路引导】本题考查幂的运算、有理数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）根据同底数的乘除运算法则计算即可； （2）先利用幂的乘方运算法则计算，再根据同底数幂的乘除运算法则计算即可； （3）先计算括号内的幂的运算，再进行同底数幂的除法运算即可； （4）先分别计算绝对值、有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂，再进行乘法和加减原式即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】．例如因为，所以【2，8】． (1)根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，125】； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 【答案】(1)3，0， (2)①证明见详解；②【，】 【思路引导】本题通过新定义考查了乘方的灵活运用、观察和猜想能力，回归定义是解决新定义题型的关键． （1）根据乘方的意义即可得到答案； （2）①模仿材料中的证明方法设【7，5】，【7，6】，再根据乘方的意义即可得到答案； ②根据【，】【3，4】和【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论即可猜想答案． 【规范解答】（1）解：， 【4，64】， ， 【5，1】， ， 【5，125】． 故答案为：3，0，． （2）①证明：设【7，5】，【7，6】， 则，， ， 【7，30】， 【7，5】【7，6】【7，30】． ②由【，】【3，4】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】， 【，】【，】， 【，】【，】 【，】【，】， 由【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】【，】， ∴【，】【，】【，】， 故答案为：【，】． 压轴题型讲练二 用科学记数法表示绝对值大于1或小于1的数 【典例精讲】（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了秒．已知电磁波的传播速度为米/秒，则该时刻飞机与雷达站的距离为_______米．(结果用科学记数法表示) 【答案】 【思路引导】本题考查了幂的运算，解题关键是明确同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 根据距离等于速度乘以时间计算即可． 【规范解答】解：（m）， 故答案为：． 【变式训练】（23-24七年级下·河北唐山·期中）某种电子计算机每秒可进行次运算． (1)它工作秒，可进行多少次运算？（结果用科学记数法表示） (2)该计算机进行次运算需要多少秒？ 【答案】(1)次运算 (2)5秒 【思路引导】本题主要考查科学记数法—表示较大的数，有理数混合运算，读懂题意是解题的关键． （1）根据工作总量工作效率工作时间，即可作答； （2）根据工作时间工作总量工作效率，即可作答． 【规范解答】（1）解：（次， 答：它工作秒，可进行次运算． （2）解：（秒， 答：该计算机进行次运算需要5秒． 压轴题型讲练三 幂的乘方运算与逆用 【典例精讲】（2026七年级下·江苏苏州·专题练习）“整体思想”在数学运算中有着重要的作用：请解决以下问题： (1)以下是小明计算的过程． 解：原式① ．② 小明的计算过程是从第______步开始出现错误（填序号），请写出正确的过程． (2)若，求的值． 【答案】(1)①，正确过程见解析 (2) 【思路引导】（1）化为同底数后进行运算，即可求解； （2）由同底数幂的乘法及幂的乘方公式得，即可求解. 【规范解答】（1）解：小明的计算过程是从第①步开始出现错误， ； （2）解： 解得 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，，用含的代数式表示为____________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的逆应用等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 由解出 ，再将中的化为，代入的表达式即可． 【规范解答】解：由，得， ， ， 代入，得， 所以， 故答案为：． 压轴题型讲练四 积的乘方运算与逆用 【典例精讲】（23-24七年级下·江苏无锡·月考）计算： (1)简便计算：； (2)已知，求n的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质； （1）把式子变形成进而可求解； （2）根据，再由，进而可解答； 【规范解答】（1）解： （2）解：， ， 【变式训练】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 【答案】(1)①；② (2) 【思路引导】本题考查定义新运算，幂的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，得到，即可得出结果；②根据新定义，列出方程组进行求解即可； （2）根据，推出，进而得到，根据，得到，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 两式相乘可得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵为正整数，为常数，为任意非零有理数， ∴； 综上：． 压轴题型讲练五 同底数幂的除法运算与逆用 【典例精讲】（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解：A、，故选项A计算错误，不符合题意； B、，故选项B计算错误，不符合题意； C、，故选项C计算错误，不符合题意； D、，故选项D计算正确． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）运算法则或性质从右到左也是成立的，比如：由积的乘方，可以得到．已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出m，n，p之间的数量关系 ． 【答案】(1)8 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法法则，将转化为，再代入已知值计算． （2）依据同底数幂除法法则和幂的乘方法则，把变形为，然后代入求值． （3）先把转化为以为底的幂，即，再结合的结果，找出、、的数量关系． 【规范解答】（1）解： ∵，， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴ （3）解：∵，且， ∴， ∴． 压轴题型讲练六 零指数冪与负整数指数冪 【典例精讲】（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）计算题： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先计算乘方、零次幂，再合并即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式相乘，最后合并同类项即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了新定义运算，负指数幂的应用，正确的计算是解题的关键． 根据新定义运算，先分别计算出，，的值，再求和即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 故选：B． 压轴题型讲练七 幂的混合运算 【典例精讲】（25-26八年级上·江西宜春·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂、幂的混合运算及合并同类项等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值，然后再计算减法即可； （2）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，然后再合并同类项即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练】（25-26八年级上·河北廊坊·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），解题关键是熟练掌握幂的各种运算法则并准确运算． （1）先分别用幂的乘方、积的乘方化简各项，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项； （2）同理，先化简幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项． 【规范解答】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ， ． 压轴题型讲练八 计算单项式乘多项式及求值 【典例精讲】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】A 【思路引导】本题考查代数式的运算，包括多项式乘法、幂的运算、单项式乘多项式及指数运算，需逐一验证各选项的正确性 【规范解答】解：A： ，正确； B：，错误； C：，错误； D：由，，得：，错误； 故选A 【变式训练】［知识回顾] 有这样一类题： 代数式的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法； 把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． ［理解应用] (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值； （能力提升） (3)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1)； (2)； (3) 【思路引导】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． （1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）先根据整式的加减化简整式，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【规范解答】（1）解： 关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2）解： ， ∵的值与x无关， ， 解得； （3）解：设， 由图可知，，， 则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 压轴题型讲练九 单项式乘多项式的应用 【典例精讲】两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积______． 【答案】30 【思路引导】由正方形和长方形的面积公式得出 和，再由可以得出，再用割补法求出，再整体代入求值即可； 【规范解答】解：由题意得， ，， ， ， ， ． 【变式训练】在长方形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为_______．（用a、b的代数式表示） 【答案】 【思路引导】本题考查了列代数式和整式的混合运算，解题的关键是：能灵活运用整式的运算法则进行计算．设，则，根据图形得出，再根据整式的运算法则即可求出答案． 【规范解答】解：设，则， 故答案为：． 压轴题型讲练十 多项式乘多项式与图形面积 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏徐州·月考）教材中，在计算如图①所示的正方形ABCD的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作： 角度一：把它看成是一个大正方形，则它的面积为． 角度二：把它看成是2个小长方形和2个小正方形组成的，则它的面积为．因此，可得到等式：． (1)类比教材中的方法，由图②中的大正方形可得等式：___________； (2)利用①中得到的结论，解决下面的问题：若，，则的值为___________； (3)代数式展开、合并同类项后，得到的多项式的项数一共有___________项． (4)若将代数式展开后合并同类项，得到多项式N，则多项式N一共有___________项． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）根据图②，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式； （2）由（1）中结论可得，将所给式子的值整体代入即可； （3）由，共有项，， 共有项，进而找出规律，即可做答； （4）根据（3）中规律作答即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知，； （2）解：由（1）知， ∵，， ∴ ； （3）解：，共有项， 共有项， 可知展开后合并同类项共项， ∴展开后合并同类项共项； （4）解：由（3）知，展开后合并同类项共项． 【变式训练】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）在长方形中，将两张边长分别为和的正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长、面积分别为，，图2中阴影部分的周长、面积分别为，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】本题考查了整式的加减运算，整式的乘法运算，乘法分配律的应用，解题关键是掌握整式的混合运算． （1）结合长方形的性质分别表示即可． （2）利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差，再进一步求解即可． 【规范解答】（1）证明：由题意可得：，， ， ， ∴． （2）解： ， ， ∴， ∵， ∴． 压轴题型讲练十一 (x+p)(x+q）型多项式乘法 【典例精讲】若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了多项式乘多项式以及作差法比较代数式的大小，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 本题可通过计算的值，根据其正负性来判断与的大小关系．需要先分别展开和的表达式，然后作差，再对差进行化简，最后根据化简结果判断大小． 【规范解答】解：∵，， ∴ ， 因为，即， 所以 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·山东青岛·月考）已知，则_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了多项式乘多项式，先利用多项式乘多项式法则计算，与对比即可得出a的值． 【规范解答】解：， 又， ， ， 故答案为：． 压轴题型讲练十二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 【变式训练】（23-24六年级下·山东青岛·月考）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义： （1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【规范解答】（1）解：， ∵与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式． 压轴题型讲练十三 利用单项式乘多项式求字母的值 【典例精讲】（2024七年级下·浙江·专题练习）设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 【答案】B 【思路引导】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设，则，可得：，，，再代入计算即可． 【规范解答】解：根据题意，设， ， ， ，，， ， 故选：B． 【变式训练】（23-24八年级上·河南周口·月考）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式是， (3) 【思路引导】本题主要考查了整式的乘法； （1）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于p、n的方程，求解即可； （2）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于k、n的方程，求解即可； （3）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于m、n、b的方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：设二次三项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， 解得， 答：p的值为6； （2）设关于x的多项式的另一个因式是， 则， 即， ∴， 解得， ∴关于x的多项式的另一个因式是，； （3）设关于x的多项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， ∴， 即． 压轴题型讲练十四 已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南·期末）若展开合并后不含的一次项，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查多项式乘多项式的运算，解题的关键是理解“不含x的一次项”意味着一次项的系数为0． 通过展开多项式、合并同类项后令一次项系数为0求解n的值． 【规范解答】解：∵ 又∵展开合并后不含x的一次项， ∴一次项系数， 解得， ∴常数n的值为2． 故选：A． 【变式训练】若的积中不含有与项． (1)直接写出的值，即___________， ___________； (2)求代数式的值． 【答案】(1)1， (2) 【思路引导】（1）根据多项式乘多项式法则计算，然后根据积中不含有与项可以求解的值． （2）将的值代入代数式求值即可． 【规范解答】（1）解： = =， ∵积中不含有与项， ∴，， 解得，． 故答案为：1，． （2）解：当，时， ． 【考点剖析】本题考查多项式乘多项式以及代数式求值，解题关键是熟知多项式乘多项式的计算法则． 压轴题型讲练十五 多项式乘法中的规律性问题 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）“杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为_______． （2）将展开后，各项的系数和为_______． （3）写出的展开式． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行     第二行     第三行     第四行     第五行           ．．．．．． （4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律． （5）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是多少？ 【答案】（1）4；（2）；（3）；（4）见解析；（5） 【思路引导】（1）根据规律可知：将展开后，各项的系数和为4； （2）根据规律可得结论； （3）把展开，即可得出答案； （4）著名的“莱布尼茨三角形”，规律是：①下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，②每一行的第一个数都是； （5）利用（4）得到的规律，经过计算可得结论． 【规范解答】解：（1）， ， 故答案为：4； （2）第二行：，各项系数和为， 第三行：，各项系数和为， 第四行：，各项系数和为， 第五行：，各项系数和为， … 第行：展开后各项系数和为； 故答案为：； （3）由（2）得：， 故答案为：； （4）由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是； （5）由规律可知，分子总是1， 第n行的第一个数的分母就是n， 第二个数的分母是第一个数的倍， 第三个数的分母是第二个数的分母的倍， 第四个数的分母是第三个数的分母的倍， ....， 根据图表的规律，可得第8行第6列为， 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了对于规律性，杨辉三角和莱布尼茨三角是比较常见的数字变化类，要求学生通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】（1）由此可得______； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算______； （3）计算______； （4）若，求的值． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【思路引导】本题考查了多项式乘多项式及其应用，理解题意、找到规律是解题的关键； （1）由前面三个算式得到规律，根据规律即可求解； （2）算式乘，即可利用所得结论计算； （3）算式改写为，算式再乘，即可利用所得结论计算； （4）等式两边同乘，左边可利用所得结论计算，进而求得x的值，舍去不合题意的值，代入即可求值． 【规范解答】解：（1）①； ②； ③； 所以． 故答案为． （2） ． 故答案为：． （3） ． 故答案为：． （4）因为， 所以． 所以． 因为， 当时， 所以，． 所以． 压轴题型讲练十六 平方差公式与几何图形 【典例精讲】（24-25六年级下·全国·单元测试）推理能力如图①所示，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图②所示． 【探究】 （1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为___________，图②中阴影部分的面积为___________；根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式___________． 【应用】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，求的值． ②计算：． 【答案】（1），，；（2）①8，② 【思路引导】本题主要考查了列代数式，平方差公式的几何背景及应用，熟练掌握平方差公式的推导过程和构造使用条件是解题的关键． （1）图①阴影部分的面积用大正方形面积减去小正方形面积表示；图②阴影部分的面积用长方形面积公式表示；根据面积相等推导出平方差公式； （2）①直接代入（1）中得到的平方差公式计算；②先在算式前乘以构造平方差公式的使用条件，再连续应用平方差公式逐步化简计算． 【规范解答】解：（1）由题意得，图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为， 根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式． 故答案为：，，． （2）①因为，，且， 所以，即． ② ． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2，图3阴影部分面积分别能解释的数学公式． 图1：________；图2：________；图3：________． (2)通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度    方法二：从“形”的角度 解：，        解：， ，即：，    又， 又        ， ．        ． 即．        即． 根据所给材料，解决以下问题： 如图，点是线段上的一点，以，为边向两侧作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)；； (2)12 【思路引导】本题考查了完全平方公式、平方差公式与图形面积的结合，解题的关键是通过图形的分割、拼接，将代数式与几何图形的面积建立联系，利用“数形结合”的思想进行转化求解； （1）图1：通过面积和列等式，得到完全平方和公式；图2：通过大正方形减去两个矩形，再加上重叠的小正方形，得到完全平方差公式；图3：通过面积相等得到平方差公式； （2）设，，根据完全平方公式及条件求出的值，再根据阴影部分是直角三角形，根据三角形面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：设，， 则． 因为， 即， ， 即阴影部分的面积为12． 压轴题型讲练十七 完全平方公式在几何图形中的应用 【典例精讲】（25-26八年级上·山西临汾·期末）【项目化学习】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为a，宽为b的长方形． (1)若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要A，B，C，各型号卡片各多少张？ (2)若要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取A型卡片9张，再取B型卡片4张，还需C型卡片__________张． (3)用一张A型卡片，一张B型卡片，一张C型卡片紧密拼接成如题图所示的图形，若阴影部分的面积为32，C型卡片的面积为48，求的值． 【答案】(1)需要A型卡片3张，B型卡片2张，C型卡片7张； (2)12 (3)， 【思路引导】本题考查了整式乘法的几何应用，三角形、正方形、长方形的面积公式，解题的关键是掌握整式乘法的运算法则． （1）计算出拼成的长方形面积即可求解； （2）根据完全平方式的特点，即可求解； （3）由题意可得，根据，求出，进而求出即可． 【规范解答】（1）解：拼成的长方形面积为：， 需要A型卡片3张，B型卡片2张，C型卡片7张； （2）解：∵A型卡片9张，再取B型卡片4张的面积之和为， ∴添加能与组成一个完全平方式， 即是一个完全平方式，故， ∴要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，还需C型卡片12张； 故答案为：12； （3）解：∵C型卡片的面积为48， ∴， ， 又阴影部分的面积为32， ∴， 解得：（负值已舍去）， 又， ∴， ∴，． 【变式训练】（25-26六年级上·山东济南·期末）数形结合思想是一种非常重要的数学思想方法．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．某数学兴趣小组探究图1、图2，分别用两种不同的方法列代数式表示了阴影图形的面积． (1)知识探究 观察图1，方法一：______，方法二：______； 观察图2，方法一：______，方法二：______； (2)尝试应用：观察图3，解决下面的问题：若，，求的值； (3)拓展延伸：若，求的值． 【答案】(1)，；， (2)； (3)． 【思路引导】本题考查完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式与几何图形的面积．熟练掌握完全平方公式以及多项式乘以多项式的法则，是解题的关键． （1）用两种不同的方法表示出阴影图形的面积，即可得出结论； （2）用两种不同的方法表示出阴影图形的面积，得到，再整体代入求解即可； （3）设，，根据题意得到，，再利用（1）得到公式，再整体代入求解即可． 【规范解答】（1）解：观察图1，方法一：，方法二：； 观察图2，方法一：，方法二：； 故答案为：，；，； （2）解：观察图3，方法一：，方法二：； ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：设，， ∴，， 由（1）得， ∴， ∴，即． 压轴题型讲练十八 整式乘法混合运算 【典例精讲】（25-26八年级上·北京·期中）定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①    ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 【答案】(1)②④ (2)2 (3) 【思路引导】本题考查了整式加减法的应用，解题关键是理解反对称式的定义． （1）根据反对称式的定义，交换字母位置后值变为相反数，判断各代数式是否满足条件． （2）将代数式化简后，根据反对称式的定义，交换m和n后令其值等于原式的相反数，解方程求k． （3）由反对称式的定义可得：代数式中两个字母交换位置后两个代数式的和为0，可得，进而可得，，由此得出m和n奇偶性不同，，结合两者条件得到的值． 【规范解答】（1）解：①交换和后，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ②交换和后，，是相反数，故是反对称式． ③交换和后，(n-m)²=(m-n)²，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ④交换和后，（因为2025是奇数），是相反数，故是反对称式． 故答案为②④． （2）∵， ∴ 交换m和n得， 由反对称式的定义可得： ． 整理得： ， 由于且 不一定为0， 故， 解得． （3）交换m和n后可得． 由反对称式的定义可得： ， 又∵，， ∴ ∴， 因此，当且和奇偶性不同时，整个代数式为反对称式． 此时，由于和奇偶性不同，为奇数， 故． 【变式训练】．（2024·重庆沙坪坝·一模）按顺序排列的8个单项式，，，，，，，中，任选个互不相邻的单项式（其中至少包含一个系数为1的单项式和一个系数为的单项式）相乘，计算得单项式M，然后在剩下的单项式中再任选若干个单项式相乘，计算得单项式N，最后计算，称此为“积差操作”．例如：当时，可选互不相邻的，，相乘，得，在剩下的单项式，，，，中可选，相乘，得，此时，．下列说法中正确的个数是（    ） ①存在“积差操作”，使得为五次二项式； ②共有3种“积差操作”，使得； ③共有12种“积差操作”，使得． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路引导】本题考查了整式的加减乘除运算，新定义“积差操作”．根据已知条件和“积差操作”的定义，通过举例可知：说法①正确；通过举例可知：说法②不正确、说法③正确． 【规范解答】解：①存在“积差操作”，使得为五次二项式说法正确，如取、相乘得单项式，在剩下的单项式中任选5个单项式如：、、、、相乘得单项式，则是五次二项式； ②共有3种“积差操作”，使得说法错误，因为使得的“积差操作”有：、， 、， 、， 、共有4种； ③共有12种“积差操作”，使得说法正确，因为使得的“积差操作”有：、， 、， 、， 、， 、， 、， 、， 、， 、， 、 、， 、， 共12种， 综上所述，已知说法中正确的个数是2． 故选：C． 压轴题型讲练十九 多项式乘多项式一化简求值 【典例精讲】观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… （1）第5个等式是________； （2）根据上述规律猜想第n个等式是________（用含n的等式表示）． 【答案】 【思路引导】（1）结合题意，发现数字规律即可求解； （2）由变化规律可知，第n个等式左边的被减数为，减数为，右边均为，即可求解． 【规范解答】解：（1）依据规律可知， 第5个等式：， 故答案为：； （2）由变化规律可知，第n个等式左边的被减数为，减数为，右边均为， 猜想第n个等式：， ， 故猜想成立， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了数字规律的探索，完全平方公式和多项式的乘法；解题的关键是通过示例归纳出数字变化规律． 【变式训练】两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示； (2)若，求的值； (3)当时，求出图3中阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【思路引导】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示S1、S2； （2）根据S1+S2=a2-b2+2b2-ab=a2+b2-ab，将a+b=16，ab=40代入进行计算即可； （3）根据S3=（a2+b2-ab），S1+S2=a2+b2-ab=76，即可得到阴影部分的面积S3． 【规范解答】（1）解：由图可得，， ； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：由图可得，， ∵， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，根据图形之间的面积关系进行推导计算是解决问题的关键． 压轴题型讲练二十 通过对完全平方公式变形求值 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北随州·期末）很多同学在学习整式乘法及乘法公式时，容易机械记忆．为了帮助同学们直观理解公式的几何意义，老师设计了一节“拼图与公式”实验课： 【知识重现】 观察图①，用等式表示图中图形面积的运算： 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分的面积为__________． 【拓展应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，则__________． （3）若实数满足，求． 【学习致用】 （4）如图③，两块完全相同的直角三角板与按图示放置，点在同一直线上．连接，已知，且，求一块直角三角板的面积． 【答案】（1）；（2）108；（3）15；（4）58 【思路引导】考查了完全平方公式的几何背景及应用，熟练掌握完全平方公式的变形与几何意义是解题的关键． （1）观察图②，用整体与部分的面积关系推导等式，即大正方形面积减去空白部分面积得到阴影部分面积，或者用各部分阴影小图形面积相加来表示． （2）根据类比探究得出的公式，将与的值代入计算 ． （3）把和看作整体，利用类比探究的公式，结合已知条件计算 ． （4）设出直角三角板的两条直角边，根据线段和与面积和的条件，结合完全平方公式变形求解单块三角板面积 ． 【规范解答】解：（1）大正方形边长，面积，空白是两个长宽的长方形，两个小正方形的面积分别为，， ∴阴影面积； （2）由，，， ∴； （3）设，，则， ． ， ∴； （4）设，，则 ． ，即 ． ∵， ∴， 解得 ． ∴一块直角三角板面积 ． 【变式训练】（2026七年级下·全国·专题练习）（1）请同学们观察：用4个长为宽为的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：__________； （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题： ①若，求的值； ②已知，请利用上述等式求的值． 【答案】（1），；（2）①；②1 【思路引导】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据正方形的面积公式即可得到结论； （2）①根据完全平方公式即可得到结论；②根据完全平方公式即可得到结论． 【规范解答】解：（1） ； 故答案为：，； （2）①，， ， ； ②，， ， ． 压轴题型讲练二十一 求完全平方式中的字母系数 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）若是一个完全平方式，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 利用完全平方式的特征判断即可确定出的值． 【规范解答】解：由完全平方公式的形式：， 可知，， 即，， 故， 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，代数式． (1)化简代数式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 【答案】(1) (2)． 【思路引导】本题主要考查了乘法公式，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，整式的加减，是解题关键． （1）根据完全平方公式，平方差公式，去括号，合并即得； （2）根据完全平方式特征，知，得，代入A即可求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：是一个完全平方式， ， ， ． 压轴题型讲练二十二 整式四则混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图1是一个长4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的图形． (1)观察图形，写出一个、、三者之间的等量关系式是______； (2)运用（1）中的结论，当，时，求的值； (3)若，求的值． (4)如图①，已知长方形的周长为12，分别以、为边，向外作正方形、，且正方形、的面积和为20． ①求长方形的面积； ②如图②，连接、、，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)9 (4)①8；②14 【思路引导】（1）根据两个图形中四个长方形的面积之和相等，即可得出答案； （2）根据，先求出，再求出的值即可； （3），，得出，，根据求出结果即可． （4）①由题意得，，根据完全平方公式变形求值即可； ②根据的面积列式计算即可． 【规范解答】（1）解：图1中四个长方形的面积之和为， 图2中四个长方形的面积之和为， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∴． （3）解：令，， 则， ， ． （4）解：①由题意得，， ∴， ∴，即， ∴， 得，即长方形的面积为8； ②的面积 ． 【考点剖析】本题主要考查了完全平方公式的变形计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）欢欢在计算时，因抄错运算符号，将乘号错写为加号，得到的结果是． (1)求正确的计算结果B． (2)若，在（1）的条件下，计算的结果． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先根据错误的运算（加号）求出整式，再通过正确的运算（乘号）计算结果； （2）先求出的表达式，再与进行整式乘法运算． 【规范解答】（1）解：根据题意，可得， 则正确的计算结果． （2）解： ． 【考点剖析】本题考查了整式的加减与整式乘法运算，解题关键是先通过错误运算逆向求出整式，再按照整式运算的法则逐步计算． 压轴题型讲练二十三 整式的混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期中）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1），；（2） ①；②；（3） 【思路引导】本题考查了完全平方公式的几何背景、整式的混合运算-化简求值，熟练掌握以上知识点是关键； （1）根据几何图形面积计算方法填空即可； （2）利用图1图2的计算公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可． 【规范解答】解：（1）图1中，，组成大正方形四部分面积之和， 即：， 图2中，， 即：， 故答案为：，； （2）①由图2可得， ，， ， ②由图1可得：， ， ， ， 故答案为：①；②13； （3）由题意可得， ， ， ， ， 【变式训练】（23-24八年级上·河南南阳·月考）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它们的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到．    请解答下列问题： (1)类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：___________． (2)若，用上面得到的数学等式求的值． (3)小明同学用图3中的张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长、宽分别为、的长方形拼出一个面积为的长方形，求的值． 【答案】(1) (2)40 (3)104 【思路引导】（1）整体计算正方形的面积和分部分求和，二者相等； （2）依据，进行计算即可； （3）依据所拼图形的面积为：，而，可得，，的值，从而得解． 【规范解答】（1）解：图2中正方形的面积有两种算法：①；②． ． 故答案为：． （2）， 故答案为：40． （3）由题可知，所拼图形的面积为：， ， ，， ． 故答案为：104． 【考点剖析】本题属于整式乘法公式的几何表示及其相关应用，属于基础题目，难度不大． 1．（25-26六年级下·全国·课后作业）计算：（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．根据平方差公式解答即可． 【规范解答】解：∵ ∴原式 故选：B． 2．（25-26七年级上·上海闵行·期末）设，，下列三者之间的关系式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，完全平方公式的应用． 由得，根据同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用可得，再进一步分析即可． 【规范解答】解：∵，∴ ∵ ∴，即，A正确 对于B∶，但，故，所以B错误 对于C∶，不是常数，且不等于2，故C错误 对于D∶，而，所以，故D错误 故选A． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式中，结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 对每个选项运用多项式乘法法则展开计算，对比左右两边是否相等，从而找出结果错误的选项． 【规范解答】解：A、与右边相等，正确，不符合题意； B、与右边相等，正确，不符合题意； C、而选项右边是，错误，符合题意； D、与右边相等，正确，不符合题意． 故选：C． 4．（25-26六年级下·全国·课后作业）下面计算正确的是（     ） A．原式 B．原式 C．原式 D．原式 【答案】C 【思路引导】本题考查平方差公式的应用； 先将原式变形为符合平方差公式的形式，再利用公式计算判断选项即可． 【规范解答】解：∵， 又∵平方差公式为，令，， ∴原式， ∴故选：C． 5．（25-26八年级上·江西南昌·期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1： ，系数分别为1，2，1；… 请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过天后是（　　） A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天 【答案】B 【思路引导】本题主要考查整式乘法的规律探究，依题意得，求得的余数．结合一个星期天，利用所给规律求得天的余数，即可获得答案． 【规范解答】解：∵，系数为1； ，系数分别为1，1： ，系数分别为1，2，1；… ∴展开后系数分别为1，3，… ∴展开后系数分别为1，4，… ∴展开后系数分别为1，10，… ∵， 依题意，， ∵， ∴的余数为2，即的余数为2， ∴今天是星期三，则经过天后是星期五． 故选：B． 6．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，阴影部分是两个正方形．若两个正方形面积的和与周长的和分别为5，12，则图中两个空白长方形的面积之和等于_______． 【答案】4 【思路引导】本题考查完全平方公式的变形．设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，根据题意得，，然后得出的值即可． 本题考查完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【规范解答】解：设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵空白部分的面积为， ∴空白部分的面积共等于4． 故答案为：4． 7．（25-26七年级下·全国·期中）小明将展开后得到 ，小亮将展开后得到 若两人计算过程无误，则的值为___________． 【答案】4047 【思路引导】本题考查了完全平方公式，平方差公式． 根据完全平方公式将两式展开后得到、的值，进而根据平方差公式计算即可． 【规范解答】解：，即， ，即， ∴． 故答案为：4047． 8．（2026七年级下·江苏·专题练习）计算：______． 【答案】 【思路引导】本题考查积的乘方逆运算，利用指数运算法则，将原式化为同指数幂的乘积，再计算底数乘积的幂． 【规范解答】解： 故答案为：． 9．（25-26八年级上·湖南岳阳·月考）计算： ________． 【答案】 【思路引导】此题考查了有理数的混合运算，涉及了整式的乘法．观察式子结构，发现存在大量重复的分数和，可通过换元法简化运算，将重复部分设为字母，再利用多项式乘法法则展开，合并同类项后得到结果． 【规范解答】解：设，则： 原式 ． 10．（24-25七年级上·上海·期中）式子，此时，叫做以为底的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则叫做以为底的对数，记为，则，同理，．由此可以得到下列式子：，根据以上的信息及运算关系，若，则______ 【答案】/ 【思路引导】本题考查新定义，同底数幂的乘法，设，，，则，，，再根据同底数幂的乘法及新定义得到，和的关系，求解即可．正确理解新定义是解题的关键． 【规范解答】解：设，，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 11．（25-26七年级下·重庆·开学考试）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并同类项即可得到结果； （2）根据平方差公式连续两次进行计算即可求解． 【规范解答】（1）解：原式； （2）原式 12．（23-24七年级下·贵州黔南·月考）已知n为正整数，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则对原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【规范解答】（1）解：， ； （2）解：， ． 13．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）【知识技能】 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来） 图1表示：____________________； 图2表示：____________________； 【解决问题】 （2）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积是______． 【拓展提升】 （3）①若x满足；求______． ②若x满足；则______． 【答案】（1）；；（2）32；（3）①4；②． 【思路引导】本题考查了完全平方公式以及其变形公式，熟练掌握公式是解题的关键． （1）对于图1，根据大正方形的面积等于两个长方形面积与两个正方形面积之和，得到；对于图2，根据大正方形面积等于小正方形面积与四个长方形面积之和，得到； （2）设，，则，，根据完全平方公式的变形公式，计算出图中阴影部分面积； （3）①由，，以及完全平方公式的变形公式，计算得出答案； ②由，，以及完全平方公式的变形公式，计算得出答案． 【规范解答】（1）解：由图1可知，， 由图2可知，． （2）解：设，， ∵， ∴， ∵四边形，四边形都是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）①解：∵，， ∴． ②解：∵，， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，体现出形与数的紧密联系．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式． (1)请你根据等积法，利用图1，图2，图3可以得到一些等式： 利用图1，可以得到等式：________________； 利用图2，可以得到等式：________________； 利用图3，可以得到等式：________________． (2)请你根据等积法，利用图4，写出你得到的一个等式__________； (3)结合用（2）中你得到的等式解决问题：若实数，，满足，，求的值； 【答案】(1)；； (2) (3)3 【思路引导】本题考查了平方差公式、完全平方式的几何背景、求代数式的值，解决本题的关键是用不同的方法表示同一个图形的面积，得到相等关系． （1）用两种不同的方式表示大正方形的面积， （2）根据这两个面积相等列出等式即可； （3）根据（2）得结论，可得，再代入已知计算，即可求解． 【规范解答】（1）解：利用图1，可以得到等式：； 利用图2，可以得到等式：； 利用图3，可以得到等式：； （2）类比（1）可得： （3）， ， 即： ， ， 解得． 15．对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的等式．例如：计算图1的面积可以得到等式．请解答下列问题： (1)观察图2，写出所表示的等式： = ； (2)已知上述等式中的三个字母，，可取任意实数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查整式乘法与图形面积.根据图形面积总结规律，关键是运用规律解决问题． （1）直接根据图形写出等式； （2）将所求式子与（1）的结论对比，得出变形的式子，代入求值即可． 【规范解答】（1）由图形可得等式：； 故答案为：，； （2） ，，，且， ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $