第1章 整式的乘除高频易错题考点讲练-2025-2026学年北师大版数学七年级下册同步培优讲义

2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 专项复习五 高频易错题考点讲练 （第一章 整式的乘除） 【北师大版七下●新教材】 题型分类讲练 2 易错题型讲练一 同底数幂相乘与逆用 2 易错题型讲练二 幂的乘方运算与逆用 3 易错题型讲练三 积的乘方运算与逆用 4 易错题型讲练四 同底数幂的除法运算与逆用 5 易错题型讲练五 零指数冪与负整数指数冪 6 易错题型讲练六 用科学记数法表示绝对值大于1或小于1的数 7 易错题型讲练七 幂的混合运算 8 易错题型讲练八 计算单项式乘多项式及求值 9 易错题型讲练九 单项式乘多项式的应用 10 易错题型讲练十 多项式乘多项式与图形面积 12 易错题型讲练十一 (x+p)(x+q）型多项式乘法 15 易错题型讲练十二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 16 易错题型讲练十三 利用单项式乘多项式求字母的值 17 易错题型讲练十四 已知多项式乘积不含某项求字母的值 18 易错题型讲练十五 多项式乘法中的规律性问题 19 易错题型讲练十六 平方差公式与几何图形 21 易错题型讲练十七 完全平方公式在几何图形中的应用 22 易错题型讲练十八 整式乘法混合运算 25 易错题型讲练十九 多项式乘多项式一化简求值 26 易错题型讲练二十 通过对完全平方公式变形求值 27 易错题型讲练二十一 求完全平方式中的字母系数 28 易错题型讲练二十二 整式四则混合运算 29 易错题型讲练二十三 整式的混合运算 30 能力提升训练 31 易错题型讲练一 同底数幂相乘与逆用 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3)1 (4) 【思路引导】本题考查幂的运算、有理数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）根据同底数的乘除运算法则计算即可； （2）先利用幂的乘方运算法则计算，再根据同底数幂的乘除运算法则计算即可； （3）先计算括号内的幂的运算，再进行同底数幂的除法运算即可； （4）先分别计算绝对值、有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂，再进行乘法和加减原式即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式训练】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【思路引导】（1）根据乘方，零次幂，负整数指数幂计算即可； （2）逆用同底数幂的乘法法则，积的乘方计算即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 易错题型讲练二 幂的乘方运算与逆用 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是________． (2)若，求的值． (3)比较大小：已知，，，，则，，，的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么） 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的运算的逆运算，是解题的关键： （1）逆用积的乘方进行计算即可； （2）利用幂的乘方，以及同底数的乘法法则进行求解即可； （3）先将各数化为同指数的形式，再比较底数的大小即可． 【规范解答】（1）解：； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， 解得． （3）解：，， ，， 又∵， ， ． 【变式训练】．（25-26七年级下·河北张家口·月考）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】利用幂的乘方性质，将三个数化为同指数的幂，再通过比较底数大小判断a，b，c的大小即可． 【规范解答】解：首先将a，b，c变形为指数相同的幂，50、75、100的最大公约数为25． ∵， ， ， 又∵，指数， ∴，即． 易错题型讲练三 积的乘方运算与逆用 【典例精讲】（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）计算题： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先计算乘方、零次幂，再合并即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式相乘，最后合并同类项即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知：，求的值． 【答案】 【思路引导】利用积的乘方的逆应用求出的值，利用幂的乘方，同底数幂的乘法以及同底数幂相除法则化简整式，最后代数求值． 【规范解答】解：∵ ， ∴， 解得， 将代入上式得， 原式． 【考点剖析】注意掌握幂的运算的法则． 易错题型讲练四 同底数幂的除法运算与逆用 【典例精讲】（25-26七年级下·河北张家口·月考）下列式子中，正确的有（   ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【思路引导】按照运算法则逐个计算判断每个式子是否正确，统计正确个数即可得到答案． 【规范解答】解：① ∵ ，式子右边为， ∴①错误． ② ∵，式子右边为， ∴②错误． ③ ∵，，左右两边相等， ∴ ③正确． ④ ∵，左右两边相等， ∴ ④正确． 综上，正确的式子共2个． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若，则的值为______． 【答案】 【思路引导】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的逆用．利用指数运算法则，将所求表达式分解为已知条件的组合，然后代入数值计算． 【规范解答】解：由已知，根据幂的乘方法则，得． 由，且，得， 再根据幂的乘方法则，得． 因此，． 故答案为：． 易错题型讲练五 零指数冪与负整数指数冪 【典例精讲】（2026七年级下·江苏苏州·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】（1）先分别计算乘方、负整数指数幂、零指数幂，再依次进行加减运算； （2）直接将转化为以3为底数的幂后计算． 【规范解答】（1）解：． （2）解：． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知，则k的值为（   ） A．2 B．2或4 C．0或2或4 D．0或4 【答案】D 【思路引导】根据初中幂运算中结果为1的三种情况分类讨论，分别计算k的值，排除无意义的情况即可得到答案. 【规范解答】解：由题意分3种情况： ①当时，解得，此时，不符合题意，舍去； ②，解得，此时，原式化为，满足题意； ③，解得，此时，原式化为，满足题意； 综上：或，故D正确. 易错题型讲练六 用科学记数法表示绝对值大于1或小于1的数 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）光年是一种距离单位，光在真空中一年内走过的路程为1光年，一般被用于计算恒星间的距离． (1)已知光的速度约为，如果按1年为365天、每天为计算，1光年约等于多少千米？（可以借助计算器计算） (2)太阳系以外离地球最近的恒星是比邻星，它与地球的距离大约为．比邻星与地球的距离约合多少光年？（可以借助计算器计算） 【答案】(1) 千米 (2)光年 【思路引导】本题考查了科学记数法的定义，有理数的运算． （1）利用路程等于速度乘以时间的公式，计算光在一年内走过的距离； （2）将比邻星与地球的距离除以1光年的距离，得到对应的光年数． 【规范解答】（1）解：光速为千米/秒，一年时间为秒， ， 所以一年时间为秒， 1光年等于千米， 约等于千米； （2）解：比邻星与地球的距离为千米，1光年约千米， （光年）． 答：比邻星与地球的距离约合光年 【变式训练】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台”是唐代诗人李白《北风行》中的诗句．据测定，新降雪的密度约为0.05，将数据“0.05”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了科学记数法，将0.05克每立方厘米转换为千克每立方厘米，需利用单位换算关系，并结合科学记数法表示． 【规范解答】解：1克（g） 千克（kg）， 因此，， ， 故选：A． 易错题型讲练七 幂的混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了单项式乘多项式、整式的加减运算，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算； （2）先算单项式乘多项式，再合并同类项即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练】（25-26七年级下·四川达州·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先计算负整数指数幂、有理数的乘方运算、零指数幂、绝对值，再计算加减运算即可； （2）先利用积的乘方、单项式乘以多项式法则进行计算，再合并同类项即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 易错题型讲练八 计算单项式乘多项式及求值 【典例精讲】两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积______． 【答案】30 【思路引导】由正方形和长方形的面积公式得出 和，再由可以得出，再用割补法求出，再整体代入求值即可； 【规范解答】解：由题意得， ，， ， ， ， ． 【变式训练】（25-26八年级上·河北邢台·期末）已知，，． (1)先化简，再计算当时，求该式子的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】（1）把分别代入后再化简，然后代入求值； （2）把代入等式后再解方程即可． 【规范解答】（1）解：原式 ， 当时，原式． （2）解：由题意可得：， 解得：． 易错题型讲练九 单项式乘多项式的应用 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏徐州·月考）若，，a为有理数，则的值是（　　） A．为正数 B．为负数 C．为非正数 D．不能确定 【答案】B 【思路引导】计算后，根据平方的非负性判断结果的符号即可得到结论． 【规范解答】解：∵， ∴ ∵为有理数， ∴ ∴ ∴， 即的值为负数． 【变式训练】（2026七年级下·全国·专题练习）小亮学习多项式，研究了多项式值为的问题，发现当或时，多项式的值为，把此时的值称为多项式的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为 ； (2)小亮继续研究，及等，发现在数轴上表示这些多项式零点的两个点关于表示的点对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若多项式是“系多项式”，求的值． 【答案】(1)或； (2) 【思路引导】本题考查了多项式乘多项式的运算，正确进行计算是解题的关键． ()根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案； ()根据‘系多项式’的定义求出的值，再根据多项式恒等，通过比较系数求出的值． 【规范解答】（1）解：由多项式零点的概念可得：或， 解得：或， ∴此多项式的零点为或； 故答案为：或； （2）解：∵，解得：或， ∴的两个零点分别是或， 由系多项式的定义可得：，解得：， 把代入得：， ∵， ∴， ∴， ∴的值分别是． 易错题型讲练十 多项式乘多项式与图形面积 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）有边长分别为，（）的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含，的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的面积； (2)将一张边长为的正方形卡片和两张边长为的正方形卡片按如图放置，用含，的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的面积； (3)将两种正方形卡片各一张按如图放置在一个边长为（）的大正方形内，左下角长方形的面积为，两张卡片重叠部分的面积为．若，请直接用等式写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】此题考查了多项式乘法和图形面积． （1）根据正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据大正方的面积减去小正方形的面积，即可得出阴影部分的面积； （2）正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b，得，再根据得，则，由此可得出阴影部分的面积； （3）根据正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为b， ，即可得到结论． 【规范解答】（1）解：如图2所示： ∵正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∴阴影部分的面积为：； （2）如图3所示： ∵正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； （3）与的数量关系是：，理由如下： 如图4所示： ∵正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·四川乐山·期末）我们知道对于一个几何图形，可以采用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个数学等式．如图，可以得到的数学等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了整式乘法的几何意义，体现数形结合的思想．图中的面积可表示为一个大的正方形的面积或所分成的9个图形的面积之和，由此可得到答案． 【规范解答】解：图中的面积可表示为：， 或， 故可以得到的数学等式是：， 故选：D． 易错题型讲练十一 (x+p)(x+q）型多项式乘法 【典例精讲】（24-25七年级下·山东青岛·月考）已知，则m，n的值分别是______． 【答案】， 【思路引导】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用多项式乘多项式法则计算即可求得答案． 【规范解答】解： ， 则，， 那么，， 故答案为：，． 【变式训练】（24-25七年级下·广东河源·月考）解方程：． 【答案】 【思路引导】本题考查整式的乘法及一元一次方程的解法，掌握知识点是解题的关键． 先去括号，再根据一元一次方程的解题步骤，逐步计算即可． 【规范解答】解：， 去括号，得 ， 移项，得     合并同类项，得 ， 系数化为1，得 易错题型讲练十二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 【典例精讲】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 1 【思路引导】先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【规范解答】解： ， 当时，原式． 【考点剖析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方和代数式求值，正确计算是解题的关键． 【变式训练】如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为_______ 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是_________ 平方厘米． 【答案】 4 【思路引导】（1）根据正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等可得②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，进而计算即可； （2）观察图形，②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，②号长方形纸片的长的3倍是①号长方形纸片的长，进而计算即可． 【规范解答】解：（1）由图知，②号长方形纸片的宽为（厘米）， 故答案为：4； （2）设①长方形纸片的长为a，宽为b，则， 由图知，②长方形纸片的长为，宽为， ∴②号长方形纸片的面积是（平方厘米）， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查整式的乘法运算的应用，利用图形，正确列出式子是解答的关键． 易错题型讲练十三 利用单项式乘多项式求字母的值 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·周测）一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是______． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，解题的关键是利用多项式乘法将分解的结果展开，再通过对比确定M的表达式． 根据因式分解与整式乘法互为逆运算，先将展开；再与原式进行对比，通过移项求出M表示的式子． 【规范解答】解：∵多项式因式分解的结果是， ∴将右边展开可得：． 又∵，移项可得． 故答案为：． 【变式训练】．（24-25八年级上·河南周口·期中）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了整式的乘法，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【规范解答】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴ ∴， 故选：B． 易错题型讲练十四 已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若关于x的多项式化简后不含有x一次项，则实数k的值为________． 【答案】5 【思路引导】先将多项式展开并合并同类项，再根据不含x一次项的条件，令一次项系数为0，从而求解k的值． 【规范解答】解： ， 由化简后不含一次项，得一次项系数为， 解得． 【变式训练】（25-26七年级上·河北沧州·期末）定义一种新运算：对任意有理数，都有．例如：． (1)求的值． (2)化简并求值：，其中，互为相反数，是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【思路引导】本题主要考查了新定义运算、整式的化简求值、多项式中不含某一项的条件应用，熟练掌握根据新运算定义转化为常规运算，以及利用多项式不含某一项则其系数为0的性质是解题的关键． （1）根据新运算定义，直接代入和进行计算． （2）先按照新运算定义展开，再通过去括号、合并同类项化简，最后利用、互为相反数及是最大的负整数的条件代入求值． （3）先根据新运算定义分别表示出与，再计算它们的差，合并同类项后，根据差中不含项，令项的系数为0，解方程求出的值． 【规范解答】（1）解：． （2）解： ， 由题意得，， 原式． （3）解：由题意得 ， 与的差中不含项， ， 解得． 易错题型讲练十五 多项式乘法中的规律性问题 【典例精讲】（24-25七年级下·广东深圳·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：________． (2)猜想：_______． (3)利用（2）中的结论，求的值． (4)已知，化简 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）根据已知等式写成第5个等式即可； （2）观察可知第个式子左边的第一个多项式为，第二个多项式中是按照字母的指数降序排列的，且每一项只含有两个字母，每一项的系数都为 1 ，字母的指数之和为，等式右边是，据此可得答案； （3）令式子中，得到，据此可得答案． （4）将变形得到，根据（ 2 ）的结论得，再代入求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，第五个等式为； （2）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． ， 以此类推可知，； （3）解：由（2）可知， ． （4）解： ， 根据（ 2 ）的结论，， ∴ ． 【变式训练】我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（   ） A．2015 B．2016 C．435 D．436 【答案】C 【思路引导】先找到展开式中第三项的系数的规律为，再进行求解即可. 【规范解答】解：由图可知：的第三项的系数为； 的第三项的系数为； 的第三项的系数为； 故展开式中第三项的系数的规律为， ∴的展开式中第三项的系数为. 易错题型讲练十六 平方差公式与几何图形 【典例精讲】（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了平方差公式的图形推导，根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可得到答案； 【规范解答】解：由图形可得， ， 故选：A． 【变式训练】（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，从边长为的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为_____． 【答案】 【思路引导】观察图形，根据面积的和差，可得大长方形的面积，根据大长方形的面积公式，可得大长方形的长． 【规范解答】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， 拼成的大长方形的面积为， 大长方形的宽为4， 大长方形的长为． 易错题型讲练十七 完全平方公式在几何图形中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读材料并回答问题： 我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如就可以用图①或图②中图形的面积表示． (1)请写出图③所表示的代数恒等式． (2)试画一个几何图形，使它的面积可用表示． (3)请依照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出它对应的几何图形． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)，作图见解析（答案不唯一，合理即可） 【思路引导】本题考查了多项式乘多项式，考查几何意义，抓住面积不变是解题的关键． （1）大长方形的长为，宽为，所以面积表示为；大长方形的面积还可以表示为6个图形面积的和，从而得到等式； （2）设计一个长方形的长为，宽为的大长方形即可； （3）可以写一个恒等式为：，图形是长为，宽为的大长方形． 【规范解答】（1）解：． （2）解：如图1所示： （3）解：代数恒等式是：，如图2所示： 【变式训练】（25-26八年级上·福建福州·期末）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为 ． 【应用】 (2)根据图②所得的公式，若，，求的值． (3)若满足，求的值． 【拓展】 (4)如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米，求的长． 【答案】(1) (2) (3) (4)长为米 【思路引导】本题考查完全平方公式的实际应用，利用完全平方式的变形求值是解题关键． （1）阴影面积为两个小正方形，也可以看作大正方形减去两个矩形，由此得到等式； （2）利用（1）的结论进行计算即可； （3）将看作，看作，则，，利用（1）的结论进行计算即可． （4）设，，由题意可得，，利用完全平方公式计算得． 【规范解答】（1）解：观察图②可知，阴影部分为两个小正方形，面积和为，也可以用大正方形减去两个矩形得到，即， ∴运算为：； （2）解：由（1）的结论得：， 又∵，， ∴； （3）解：设，，则， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论得：， ∴， ∴； （4）解：设，， ∵于点， ∴（平方米），（平方米），（平方米），平方米， ∵种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ∴， ∴，即米， 答：长为米． 易错题型讲练十八 整式乘法混合运算 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得解； （2）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算加减即可得解． 【规范解答】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式训练】（2025七年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】；6 【思路引导】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是关键． 去括号，合并同类项进行化简，非负性求出，的值，再代入化简后的结果中计算即可． 【规范解答】解：， ，，解得，． 原式 ． 当，时， 原式． 易错题型讲练十九 多项式乘多项式一化简求值 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏徐州·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【思路引导】利用完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，最后代入已知值计算即可． 【规范解答】解：原式 ， 把代入得： 原式 ． 【变式训练】（25-26九年级上·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【思路引导】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用完全平方公式，多项式乘多项式法则展开，然后去括号并合并同类项，最后将已知数值代入计算即可． 【规范解答】解： ， 当时，原式． 易错题型讲练二十 通过对完全平方公式变形求值 【典例精讲】（25-26八年级上·江西南昌·月考）已知：多项式，整式．若是关于x的一个完全平方式，请写出一个满足条件的多项式M． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了整式的化简，完全平方式特点，熟练掌握整式的混合运算法则以及完全平方式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式的结构特征解答即可； 【规范解答】解：∵，， ∴， ， ∵是关于x的一个完全平方式， ∴则可以使其等于， ∴ ， ∴（答案不唯一）． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于________． (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． ①________；②________． (3)观察图2你能写出三个代数式之间的等量关系________． (4)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)； (3) (4) 【思路引导】（1）根据阴影部分正方形的边长等于小长方形的长减去宽解答； （2）①根据正方形面积公式求解，②用总面积减去四个相等的长方形面积即可． （3）阴影部分的面积相等，结合（2）可得出答案． （4）由（3）得：，再代入计算即可． 【规范解答】（1）解：由图可知，阴影部分小正方形的边长为：； （2）解：①根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为， ②还可以用总面积减去四个相等的长方形的面积，即表示为； （3）解：阴影部分的面积相等，结合（2）可得出； （4）解：由（3）得：， ∵，， ∴， ∴． 易错题型讲练二十一 求完全平方式中的字母系数 【典例精讲】．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）已知代数式是一个完全平方式，则t的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．或 【答案】D 【思路引导】利用完全平方公式的结构特征求解． 【规范解答】解：∵代数式是完全平方式， 又∵， ∴， ∴， 当时，解得； 当时，解得； ∴t的值为或． 【变式训练】（25-26八年级上·福建泉州·期末）小明利用完全平方公式进行因式分解“ ”时，“ ”中的运算符号被墨迹染黑了，则的取值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式分解因式即可． 【规范解答】解：， ∴， 故选D． 易错题型讲练二十二 整式四则混合运算 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期末）化简：． 【答案】 【思路引导】本题考查的是整式的化简，灵活运用完全平方公式、平方差公式以及多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．先根据公式展开并合并同类项，再进行除法运算，进而求出式子化简后的结果． 【规范解答】解：原式 ． 【变式训练】化简求值：，其中，． 【答案】； 【思路引导】先利用完全平方公式和平方差公式展开括号内的整式，再合并同类项，最后进行多项式除以单项式的运算，再代入给定的x与y的值计算即可． 【规范解答】解： 当，时， 易错题型讲练二十三 整式的混合运算 【典例精讲】（24-25六年级下·全国·单元测试）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，求代数式的值． （3）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1），；（2）；（3）， 【思路引导】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据整式混合运算法则进行化简，然后代入数据求值即可； （2）先根据整式混合运算法则进行化简，然后整体代入求值即可； （3）先根据整式混合运算法则进行化简，然后代入数据求值即可． 【规范解答】解：（1）， 当，时，原式． （2）， 因为，所以，所以原式． （3） ， 当，时，原式． 【变式训练】先化简，再求值 (1)，其中，． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】（1）先去括号，然后合并同类项，再代入求值即可； （2）利用完全平方公式和多项式乘以多项式法则计算，再进行整式的加减计算，最后代入求值． 【规范解答】（1）解： ， 当，时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 1．（25-26六年级下·全国·课后作业）计算：（   ） A． B．1 C．4048 D．4050 【答案】B 【思路引导】本题考查平方差公式，熟练掌握该公式是解题的关键．将式子变形后利用平方差公式计算即可． 【规范解答】解： ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查积的乘方与单项式乘单项式，先利用积的乘方法则计算各部分的乘方，再单项式乘单项式法则计算即可． 【规范解答】解： 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查幂的乘方与积的乘方的运算法则，先利用相关法则计算括号内的乘方，再与前面的单项式相乘得到结果． 【规范解答】解：， 故选：C． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 利用单项式乘以单项式的运算法则逐项判断即可． 【规范解答】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．，故该选项错误，不符合题意；     D．，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 5．（24-25八年级上·四川眉山·期末）已知，则的值为（   ） A．27 B．9 C．6 D．1 【答案】B 【思路引导】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘、除法法则是解决问题的关键． 利用幂的乘方法则，同底数幂的乘、除法法则进行计算，即可得出答案． 【规范解答】解：， ， ， 故选：B． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）若是正整数，且，，则________． 【答案】900 【思路引导】本题考查了求代数式的值，积的乘方和幂的乘方综合应用，将原式化为，代值计算，即可求解． 【规范解答】解：， 故答案为． 7．北京冬奥会短道速滑男女米混合接力决赛中，中国队在冲线时仅凭一个刀尖的距离，以秒的优势取胜，将用科学记数法表示为________． 【答案】 【思路引导】根据科学记数法的定义，绝对值小于的正数可以表示为，其中，为原数左边起第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前的），对于，左边第一个非零数字为，其前共有个零，因此，. 【规范解答】解：. 8．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图所示，边长为的正方形边长增加b得到新正方形，新正方形的面积为；边长为a的正方形一边增加2b，另一边减小b得到的长方形，此长方形的面积为；则__________．（填“”、“”或“”） 【答案】＞ 【思路引导】此题考查了整式的乘法公式和混合运算的应用，分别求出，，作差比较大小即可． 【规范解答】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·广东珠海·期末）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，给出了二项式的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）及其系数规律．如图所示： 观察这些规律，请写出展开式中项的系数为_________． 【答案】10 【思路引导】本题考查了杨辉三角与二项式系数规律，解题的关键是根据杨辉三角的性质，推导出展开式的各项系数． 根据杨辉三角的规律，依次写出和的系数行；的系数为1，4，6，4，1，的系数为1，5，10，10，5，1；在的展开式中，项对应系数行中的第4个数，即10． 【规范解答】解：由杨辉三角的规律可知的系数为：1，4，6，4，1． 的系数为：1，5，10，10，5，1．在的展开式中，项的系数为10． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将原式变形为，利用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可； （2）将原式变形为，利用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可； （3）将原式变形为，利用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 11．先化简：，然后选取一个你喜欢的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式（答案不唯一） 【思路引导】先计算完全平方公式，多项式的乘法，再合并同类项，最后选择合适的的值代入化简结果计算即可． 【规范解答】解：原式 ， 当时，原式（答案不唯一）． 12．（24-25七年级下·广西桂林·月考）[背景阅读]在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． [问题解决] （1）填空：根据图1所示图形的面积关系．可以写出的一个乘法公式是 ； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； [拓展应用] （3）如图3，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y（），且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和28．现将三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）62 【思路引导】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图1的面积即可； （2）根据图2可得，再将，代入计算即可； （3）由图甲和乙中阴影部分的面积分别为6和28得到，，再根据代入计算即可． 【规范解答】解：（1）图1中大正方形的边长为，因此面积为， 拼成图1的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）图2中，大正方形的边长为，因此面积为， 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为， 所以有， ∵图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和28，即，， ∴， ∴ ． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法．①比较，的大小．当时，，当底数相同时，指数越大值越大．②比较和的大小．，，，．可以将其先化为同指数，再比较大小，指数相同时，底数越大值越大．根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：________（填写“＞”“＜”或“＝”）． (2)已知，，，试比较，，的大小． 【答案】(1)＜ (2) 【思路引导】本题考查了有理数大小比较，有理数的乘方运算，幂的乘方的逆用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）化为相同指数，再比较底数的大小，来确定原数的大小关系； （2）先化为相同指数，再比较底数的大小，从而可确定原数的大小关系 【规范解答】（1）解：∵，， ， ， ∴， 故答案为：＜； （2）解：，，，， ， ． 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则______． (2)如果是一个完全平方式，则的值为______． (3)若x满足，求的值． (4)如图所示，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和． ①______，______；（用含的式子表示） ②若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)①，；② 【思路引导】本题考查完全平方公式的应用，利用完全平方公式变形求值，矩形与正方形的性质，掌握好相关知识是关键． （1）利用完全平方公式变形求值即可； （2）对比完全平方公式确认与，再计算出的值即可； （3）设，，利用完全平方公式求值即可； （4）①根据线段和差关系进行填空； ②由矩形的面积为，可得，利用完全平方公式变形求得，根据正方形面积公式求出阴影面积． 【规范解答】（1）解：， ∵， ∴， ∴； （2）解：在完全平方式中，，， ∴， 当时， ， ∴， 当时， ， ∴； 综上所述，或； （3）解：设，， ∴，， ， ∴， ∴； （4）解：①∵四边形是矩形， ∴，， ∴，； ②∵长方形的面积为， ∴． ∵， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，体现出形与数的紧密联系．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式． (1)请你根据等积法，利用图1，图2，图3可以得到一些等式： 利用图1，可以得到等式：________________； 利用图2，可以得到等式：________________； 利用图3，可以得到等式：________________． (2)请你根据等积法，利用图4，写出你得到的一个等式__________； (3)结合用（2）中你得到的等式解决问题：若实数，，满足，，求的值； 【答案】(1)；； (2) (3)3 【思路引导】本题考查了平方差公式、完全平方式的几何背景、求代数式的值，解决本题的关键是用不同的方法表示同一个图形的面积，得到相等关系． （1）用两种不同的方式表示大正方形的面积， （2）根据这两个面积相等列出等式即可； （3）根据（2）得结论，可得，再代入已知计算，即可求解． 【规范解答】（1）解：利用图1，可以得到等式：； 利用图2，可以得到等式：； 利用图3，可以得到等式：； （2）类比（1）可得： （3）， ， 即： ， ， 解得． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 专项复习五 高频易错题考点讲练 （第一章 整式的乘除） 【北师大版七下●新教材】 题型分类讲练 2 易错题型讲练一 同底数幂相乘与逆用 2 易错题型讲练二 幂的乘方运算与逆用 2 易错题型讲练三 积的乘方运算与逆用 3 易错题型讲练四 同底数幂的除法运算与逆用 3 易错题型讲练五 零指数冪与负整数指数冪 4 易错题型讲练六 用科学记数法表示绝对值大于1或小于1的数 4 易错题型讲练七 幂的混合运算 5 易错题型讲练八 计算单项式乘多项式及求值 5 易错题型讲练九 单项式乘多项式的应用 6 易错题型讲练十 多项式乘多项式与图形面积 7 易错题型讲练十一 (x+p)(x+q）型多项式乘法 8 易错题型讲练十二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 8 易错题型讲练十三 利用单项式乘多项式求字母的值 8 易错题型讲练十四 已知多项式乘积不含某项求字母的值 9 易错题型讲练十五 多项式乘法中的规律性问题 9 易错题型讲练十六 平方差公式与几何图形 10 易错题型讲练十七 完全平方公式在几何图形中的应用 11 易错题型讲练十八 整式乘法混合运算 12 易错题型讲练十九 多项式乘多项式一化简求值 13 易错题型讲练二十 通过对完全平方公式变形求值 13 易错题型讲练二十一 求完全平方式中的字母系数 14 易错题型讲练二十二 整式四则混合运算 14 易错题型讲练二十三 整式的混合运算 15 能力提升训练 15 易错题型讲练一 同底数幂相乘与逆用 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式训练】计算： (1)； (2)． 易错题型讲练二 幂的乘方运算与逆用 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是________． (2)若，求的值． (3)比较大小：已知，，，，则，，，的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么） 【变式训练】．（25-26七年级下·河北张家口·月考）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 易错题型讲练三 积的乘方运算与逆用 【典例精讲】（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）计算题： (1) ； (2)； 【变式训练】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知：，求的值． 易错题型讲练四 同底数幂的除法运算与逆用 【典例精讲】（25-26七年级下·河北张家口·月考）下列式子中，正确的有（   ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若，则的值为______． 易错题型讲练五 零指数冪与负整数指数冪 【典例精讲】（2026七年级下·江苏苏州·专题练习）计算： (1) ； (2)． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知，则k的值为（   ） A．2 B．2或4 C．0或2或4 D．0或4 易错题型讲练六 用科学记数法表示绝对值大于1或小于1的数 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）光年是一种距离单位，光在真空中一年内走过的路程为1光年，一般被用于计算恒星间的距离． (1)已知光的速度约为，如果按1年为365天、每天为计算，1光年约等于多少千米？（可以借助计算器计算） (2)太阳系以外离地球最近的恒星是比邻星，它与地球的距离大约为．比邻星与地球的距离约合多少光年？（可以借助计算器计算） 【变式训练】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台”是唐代诗人李白《北风行》中的诗句．据测定，新降雪的密度约为0.05，将数据“0.05”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 易错题型讲练七 幂的混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1) ； (2)． 【变式训练】（25-26七年级下·四川达州·开学考试）计算： (1) ； (2)． 易错题型讲练八 计算单项式乘多项式及求值 【典例精讲】两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积______． 【变式训练】（25-26八年级上·河北邢台·期末）已知，，． (1)先化简，再计算当时，求该式子的值； (2)若，求x的值． 易错题型讲练九 单项式乘多项式的应用 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏徐州·月考）若，，a为有理数，则的值是（　　） A．为正数 B．为负数 C．为非正数 D．不能确定 【变式训练】（2026七年级下·全国·专题练习）小亮学习多项式，研究了多项式值为的问题，发现当或时，多项式的值为，把此时的值称为多项式的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为 ； (2)小亮继续研究，及等，发现在数轴上表示这些多项式零点的两个点关于表示的点对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若多项式是“系多项式”，求的值． 易错题型讲练十 多项式乘多项式与图形面积 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）有边长分别为，（）的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含，的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的面积； (2)将一张边长为的正方形卡片和两张边长为的正方形卡片按如图放置，用含，的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的面积； (3)将两种正方形卡片各一张按如图放置在一个边长为（）的大正方形内，左下角长方形的面积为，两张卡片重叠部分的面积为．若，请直接用等式写出与的数量关系． 【变式训练】（25-26八年级上·四川乐山·期末）我们知道对于一个几何图形，可以采用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个数学等式．如图，可以得到的数学等式是（    ） A． B． C． D． 易错题型讲练十一 (x+p)(x+q）型多项式乘法 【典例精讲】（24-25七年级下·山东青岛·月考）已知，则m，n的值分别是______． 【变式训练】（24-25七年级下·广东河源·月考）解方程：． 易错题型讲练十二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 【典例精讲】先化简，再求值：，其中． 【变式训练】如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为_______ 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是_________ 平方厘米． 易错题型讲练十三 利用单项式乘多项式求字母的值 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·周测）一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是______． 【变式训练】．（24-25八年级上·河南周口·期中）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 易错题型讲练十四 已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若关于x的多项式化简后不含有x一次项，则实数k的值为________． 【变式训练】（25-26七年级上·河北沧州·期末）定义一种新运算：对任意有理数，都有．例如：． (1)求的值． (2)化简并求值：，其中，互为相反数，是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求的值． 易错题型讲练十五 多项式乘法中的规律性问题 【典例精讲】（24-25七年级下·广东深圳·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：________． (2)猜想：_______． (3)利用（2）中的结论，求的值． (4)已知，化简 【变式训练】我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（   ） A．2015 B．2016 C．435 D．436 易错题型讲练十六 平方差公式与几何图形 【典例精讲】（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，从边长为的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为_____． 易错题型讲练十七 完全平方公式在几何图形中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读材料并回答问题： 我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如就可以用图①或图②中图形的面积表示． (1)请写出图③所表示的代数恒等式． (2)试画一个几何图形，使它的面积可用表示． (3)请依照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出它对应的几何图形． 【变式训练】（25-26八年级上·福建福州·期末）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为 ． 【应用】 (2)根据图②所得的公式，若，，求的值． (3)若满足，求的值． 【拓展】 (4)如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米，求的长． 易错题型讲练十八 整式乘法混合运算 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1) ． (2)． 【变式训练】（2025七年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 易错题型讲练十九 多项式乘多项式一化简求值 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏徐州·月考）先化简，再求值：，其中，． 【变式训练】（25-26九年级上·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中，． 易错题型讲练二十 通过对完全平方公式变形求值 【典例精讲】（25-26八年级上·江西南昌·月考）已知：多项式，整式．若是关于x的一个完全平方式，请写出一个满足条件的多项式M． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于________． (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． ①________；②________． (3)观察图2你能写出三个代数式之间的等量关系________． (4)已知，求代数式的值． 易错题型讲练二十一 求完全平方式中的字母系数 【典例精讲】．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）已知代数式是一个完全平方式，则t的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．或 【变式训练】（25-26八年级上·福建泉州·期末）小明利用完全平方公式进行因式分解“ ”时，“ ”中的运算符号被墨迹染黑了，则的取值是（   ） A． B． C． D． 易错题型讲练二十二 整式四则混合运算 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期末）化简：． 【变式训练】化简求值：，其中，． 易错题型讲练二十三 整式的混合运算 【典例精讲】（24-25六年级下·全国·单元测试）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，求代数式的值． （3）先化简，再求值：，其中，． 【变式训练】先化简，再求值 (1)，其中，． (2)，其中． 1．（25-26六年级下·全国·课后作业）计算：（   ） A． B．1 C．4048 D．4050 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·四川眉山·期末）已知，则的值为（   ） A．27 B．9 C．6 D．1 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）若是正整数，且，，则________． 7．北京冬奥会短道速滑男女米混合接力决赛中，中国队在冲线时仅凭一个刀尖的距离，以秒的优势取胜，将用科学记数法表示为________． 8．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图所示，边长为的正方形边长增加b得到新正方形，新正方形的面积为；边长为a的正方形一边增加2b，另一边减小b得到的长方形，此长方形的面积为；则__________．（填“”、“”或“”） 9．（25-26八年级上·广东珠海·期末）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，给出了二项式的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）及其系数规律．如图所示： 观察这些规律，请写出展开式中项的系数为_________． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 11．先化简：，然后选取一个你喜欢的数作为的值代入求值． 12．（24-25七年级下·广西桂林·月考）[背景阅读]在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． [问题解决] （1）填空：根据图1所示图形的面积关系．可以写出的一个乘法公式是 ； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； [拓展应用] （3）如图3，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y（），且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和28．现将三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法．①比较，的大小．当时，，当底数相同时，指数越大值越大．②比较和的大小．，，，．可以将其先化为同指数，再比较大小，指数相同时，底数越大值越大．根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：________（填写“＞”“＜”或“＝”）． (2)已知，，，试比较，，的大小． 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则______． (2)如果是一个完全平方式，则的值为______． (3)若x满足，求的值． (4)如图所示，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和． ①______，______；（用含的式子表示） ②若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 15．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，体现出形与数的紧密联系．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式． (1)请你根据等积法，利用图1，图2，图3可以得到一些等式： 利用图1，可以得到等式：________________； 利用图2，可以得到等式：________________； 利用图3，可以得到等式：________________． (2)请你根据等积法，利用图4，写出你得到的一个等式__________； (3)结合用（2）中你得到的等式解决问题：若实数，，满足，，求的值； 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $