专项复习三 乘法公式-2025-2026学年北师大版数学七年级下册同步培优讲义

2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 专项复习三 乘法公式（平方差公式和完全平方公式） （第一章 整式的乘除） 【北师大版七下●新教材】 题型分类讲练 1 题型讲练一 运用平方差公式进行运算 1 题型讲练二 平方差公式与几何图形 2 题型讲练三 运用完全平方公式进行运算 4 题型讲练四 完全平方公式在几何图形中的应用 6 题型讲练五 整式乘法混合运算 8 题型讲练六 多项式乘多项式化简求值 9 题型讲练七 通过对完全平方公式变形求值 10 题型讲练八 求完全平方式中的字母系数 12 能力提升训练 13 题型讲练一 运用平方差公式进行运算 【典例精讲】先化简，再求值：，其中． 【变式训练1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）计算： (1) ． (2)． 【变式训练2】简便运算： (1) (2) 题型讲练二 平方差公式与几何图形 【典例精讲】（2026七年级下·广东深圳·专题练习）如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． (1)请用含a，b的代数式表示________，________； (2)写出利用图形的面积关系所揭示的整式乘法公式：________； (3)利用这个公式说明既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 【变式训练1】（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）【实践操作】 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是_____． 【应用探究】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 【变式训练2】（25-26八年级上·广东汕尾·期末）【探究】（1）如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，我们可以得到乘法公式：______________（用含a，b的等式表示）． 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （2）已知，，则的值为_______． （3）计算：． 【拓展】（4）计算：． 题型讲练三 运用完全平方公式进行运算 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则______． (2)如果是一个完全平方式，则的值为______． (3)若x满足，求的值． (4)如图所示，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和． ①______，______；（用含的式子表示） ②若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【变式训练1】（25-26八年级上·福建福州·期末）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为 ． 【应用】 (2)根据图②所得的公式，若，，求的值． (3)若满足，求的值． 【拓展】 (4)如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米，求的长． 【变式训练2】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）将完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．试通过完全平方公式变形，解决下列问题． (1)已知，求ab的值； (2)已知，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 题型讲练四 完全平方公式在几何图形中的应用 【典例精讲】（25-26七年级下·河北张家口·月考）两个边长分别为和的正方形如图放置（图1），其阴影部分的面积为．若再在图1中大正方形的左上角摆放一个边长为的小正方形（如图2），其阴影部分的面积为． (1)________、_________．（用含有、的代数式表示） (2)若，求的值； (3)当时，求图3中阴影部分的面积． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于________． (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． ①________；②________． (3)观察图2你能写出三个代数式之间的等量关系________． (4)已知，求代数式的值． 【变式训练2】有一张边长为的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加，木工师傅设计了如图所示的三种方案： (1)小明发现这三种方案都能验证一个所学过的乘法公式： ．（用，表示） (2)请你根据三种方案分别写出这个乘法公式的三种验证过程． 题型讲练五 整式乘法混合运算 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1) ． (2)． 【变式训练1】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）老张购买了一套新房，其结构如图所示（单位：），他打算除卧室外，其余部分都铺地砖． (1)至少需要多少平方米地砖？（用含的式子表示） (2)若房子总面积为，卧室有平方米，除卧室外，地砖的均价为元，则为多少时，费用最高？最高预计为多少？ 【变式训练2】阅读以下材料：利用整式的乘法知识，我们可以证明以下有趣的结论：“将两个有理数的平方和与另两个有理数的平方和相乘，得到的乘积仍然可以表示成两个有理数的平方和” 设为有理数，则 请你解决以下问题 (1)填空：（ ） (2)根据阅读材料，仿照这个过程将820写成两个正整数的平方和 题型讲练六 多项式乘多项式化简求值 【典例精讲】先化简，再求值：，其中． 【变式训练1】（25-26七年级下·重庆·开学考试）先化简，再求值：，其中，． 【变式训练2】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5．已知关于x的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为t．若，求代数式的最小值． 题型讲练七 通过对完全平方公式变形求值 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【变式训练1】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）计算或化简 (1)先化简再求值：，其中，． (2)已知：，．求和的值． 【变式训练2】（25-26八年级上·湖北随州·期末）很多同学在学习整式乘法及乘法公式时，容易机械记忆．为了帮助同学们直观理解公式的几何意义，老师设计了一节“拼图与公式”实验课： 【知识重现】 观察图①，用等式表示图中图形面积的运算： 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分的面积为__________． 【拓展应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，则__________． （3）若实数满足，求． 【学习致用】 （4）如图③，两块完全相同的直角三角板与按图示放置，点在同一直线上．连接，已知，且，求一块直角三角板的面积． 题型讲练八 求完全平方式中的字母系数 【典例精讲】（25-26八年级上·福建泉州·期末）小明利用完全平方公式进行因式分解“ ”时，“ ”中的运算符号被墨迹染黑了，则的取值是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）若是一个完全平方式，则m的值为（    ） A． B． C．4或 D．4 【变式训练2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：．    (1)若是一个完全平方式，求常数的值为 ； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点分别在边上，连接，若，，，，求图中阴影部分的面积． 1．（23-24七年级下·贵州黔南·月考）若实数m满足，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 2．（25-26九年级下·甘肃定西·开学考试）下面运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）若式子是一个完全平方式，则m的值为（    ） A．20 B． C． D． 4．（25-26六年级下·全国·课后作业）计算：（   ） A．1 B． C． D． 5．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）已知代数式是一个完全平方式，则t的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．或 6．（25-26八年级上·山东德州·月考）已知是完全平方式，则a的值为（　　） A． B． C．3 D．6 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 8．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）已知，，则______． 9．（24-25七年级下·四川成都·期中）若，则等于______． 10．运用简便方法计算：＝______． 11．（25-26六年级下·全国·课后作业）将多项式加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则添加单项式的方法共有__________种． 12．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，从边长为的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为_____． 13．（23-24七年级下·广东佛山·月考）若，，则________． 14．（25-26七年级下·河北保定·开学考试）如图，两个正方形边长分别为，如果，则图中阴影部分的面积为________ 15．（25-26七年级下·全国·周测）观察下列等式：，，，……．利用你发现的规律回答：若，则的值是_______． 16．（21-22七年级下·江苏盐城·月考）计算 (1) (2) (2) (4) 17．（24-25七年级下·广西桂林·月考）[背景阅读]在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． [问题解决] （1）填空：根据图1所示图形的面积关系．可以写出的一个乘法公式是 ； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； [拓展应用] （3）如图3，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y（），且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和28．现将三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 18．先化简，再求值∶，其中． 19．（24-25七年级下·四川成都·期中）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如，若，，求的值． (1)简单应用：若，，求的值； (2)拓展应用：若，求的值． 20．（24-25六年级下·全国·单元测试）推理能力如图①所示，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图②所示． 【探究】 （1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为___________，图②中阴影部分的面积为___________；根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式___________． 【应用】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，求的值． ②计算：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 专项复习三 乘法公式（平方差公式和完全平方公式） （第一章 整式的乘除） 【北师大版七下●新教材】 题型分类讲练 1 题型讲练一 运用平方差公式进行运算 1 题型讲练二 平方差公式与几何图形 3 题型讲练三 运用完全平方公式进行运算 6 题型讲练四 完全平方公式在几何图形中的应用 11 题型讲练五 整式乘法混合运算 14 题型讲练六 多项式乘多项式化简求值 16 题型讲练七 通过对完全平方公式变形求值 17 题型讲练八 求完全平方式中的字母系数 20 能力提升训练 23 题型讲练一 运用平方差公式进行运算 【典例精讲】先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【思路引导】根据多项式乘多项式的乘法法则以及多项式乘以单项式乘法法则，将所求代数式变形为，根据偶次方的非负性以及绝对值的非负性，求得x与y的值，进而求得该式的值． 【规范解答】解： ； ∵，且，， ∴，， ∴，， ∴原式． 【变式训练1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练2】简便运算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）将转化为，利用完全平方公式计算； （2）将转化为，转化为，利用平方差公式计算后再进行整式的加减运算． 【规范解答】（1）解： （2）解： 题型讲练二 平方差公式与几何图形 【典例精讲】（2026七年级下·广东深圳·专题练习）如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． (1)请用含a，b的代数式表示________，________； (2)写出利用图形的面积关系所揭示的整式乘法公式：________； (3)利用这个公式说明既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 【答案】(1)，， (2) (3)见解析 【思路引导】本题考查平方差公式和图形面积． （1）将图1看成大正方形减去小正方形，将图2看成一个长方形，即可解答； （2）根据即可解答； （3）根据（2）中得出的公式，将化为含有因数3、5、17的式子即可证明． 【规范解答】（1）解：，， （2）解：∵， ∴； （3）解： ， ， ∴既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 【变式训练1】（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）【实践操作】 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是_____． 【应用探究】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 【答案】（1）；（2）①90000；② 【思路引导】（1）用代数式分别表示图①、图②中阴影部分的面积即可； （2）①先将原式变形为，然后利用（1）中结论求解即可； ②利用（1）的结论，把原式化为：，再连续利用平方差公式即可求解． 【规范解答】解：（1）图①中阴影部分的面积为：；图②中阴影部分的面积为：； 则阴影部分的面积可以验证的公式是； （2）① ； ② ． 【变式训练2】（25-26八年级上·广东汕尾·期末）【探究】（1）如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，我们可以得到乘法公式：______________（用含a，b的等式表示）． 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （2）已知，，则的值为_______． （3）计算：． 【拓展】（4）计算：． 【答案】（1）；（2）3；（3）；（4） 【思路引导】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据题意，两个图形的面积相等，得到乘法公式； （2）根据平方差公式进行计算即可求解； （3）根据平方差公式进行计算即可求解； （4）根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【规范解答】解：（1）； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3； （3） ； （4） ． 题型讲练三 运用完全平方公式进行运算 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则______． (2)如果是一个完全平方式，则的值为______． (3)若x满足，求的值． (4)如图所示，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和． ①______，______；（用含的式子表示） ②若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)①，；② 【思路引导】本题考查完全平方公式的应用，利用完全平方公式变形求值，矩形与正方形的性质，掌握好相关知识是关键． （1）利用完全平方公式变形求值即可； （2）对比完全平方公式确认与，再计算出的值即可； （3）设，，利用完全平方公式求值即可； （4）①根据线段和差关系进行填空； ②由矩形的面积为，可得，利用完全平方公式变形求得，根据正方形面积公式求出阴影面积． 【规范解答】（1）解：， ∵， ∴， ∴； （2）解：在完全平方式中，，， ∴， 当时， ， ∴， 当时， ， ∴； 综上所述，或； （3）解：设，， ∴，， ， ∴， ∴； （4）解：①∵四边形是矩形， ∴，， ∴，； ②∵长方形的面积为， ∴． ∵， ∴， ∴． 【变式训练1】（25-26八年级上·福建福州·期末）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为 ． 【应用】 (2)根据图②所得的公式，若，，求的值． (3)若满足，求的值． 【拓展】 (4)如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米，求的长． 【答案】(1) (2) (3) (4)长为米 【思路引导】本题考查完全平方公式的实际应用，利用完全平方式的变形求值是解题关键． （1）阴影面积为两个小正方形，也可以看作大正方形减去两个矩形，由此得到等式； （2）利用（1）的结论进行计算即可； （3）将看作，看作，则，，利用（1）的结论进行计算即可． （4）设，，由题意可得，，利用完全平方公式计算得． 【规范解答】（1）解：观察图②可知，阴影部分为两个小正方形，面积和为，也可以用大正方形减去两个矩形得到，即， ∴运算为：； （2）解：由（1）的结论得：， 又∵，， ∴； （3）解：设，，则， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论得：， ∴， ∴； （4）解：设，， ∵于点， ∴（平方米），（平方米），（平方米），平方米， ∵种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ∴， ∴，即米， 答：长为米． 【变式训练2】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）将完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．试通过完全平方公式变形，解决下列问题． (1)已知，求ab的值； (2)已知，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)22 (2)7 (3)2 【思路引导】本题考查了完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解题的关键． （1）利用，代入已知条件即可解答； （2）设，则，，结合，即可解答； （3）设，则，，结合，求得的值，最后根据，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：设， 则，， ∴， 即的值为7； （3）解：设，则， ∵， ∴， ， 即， ， ． 题型讲练四 完全平方公式在几何图形中的应用 【典例精讲】（25-26七年级下·河北张家口·月考）两个边长分别为和的正方形如图放置（图1），其阴影部分的面积为．若再在图1中大正方形的左上角摆放一个边长为的小正方形（如图2），其阴影部分的面积为． (1)________、_________．（用含有、的代数式表示） (2)若，求的值； (3)当时，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)48 (3)10 【思路引导】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含的代数式分别表示； （2）根据，将代入进行计算即可； （3）根据，即可得到阴影部分的面积． 【规范解答】（1）解：由图可得，， ； （2）解：， ， ． （3）解：由图可得，， ， ． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于________． (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． ①________；②________． (3)观察图2你能写出三个代数式之间的等量关系________． (4)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)； (3) (4) 【思路引导】（1）根据阴影部分正方形的边长等于小长方形的长减去宽解答； （2）①根据正方形面积公式求解，②用总面积减去四个相等的长方形面积即可． （3）阴影部分的面积相等，结合（2）可得出答案． （4）由（3）得：，再代入计算即可． 【规范解答】（1）解：由图可知，阴影部分小正方形的边长为：； （2）解：①根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为， ②还可以用总面积减去四个相等的长方形的面积，即表示为； （3）解：阴影部分的面积相等，结合（2）可得出； （4）解：由（3）得：， ∵，， ∴， ∴． 【变式训练2】有一张边长为的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加，木工师傅设计了如图所示的三种方案： (1)小明发现这三种方案都能验证一个所学过的乘法公式： ．（用，表示） (2)请你根据三种方案分别写出这个乘法公式的三种验证过程． 【答案】(1) (2)过程见解析 【思路引导】（1）符合完全平方公式； （2）结合三个方案的图形，利用割补法将大正方形分割成小正方形或长方形或梯形，由面积相等得出等式． 【规范解答】（1）解：由图可知，图形符合完全平方公式，即； （2）解：①方案一中，大正方形边长为，可分为边长为、的个小正方形，个长为、宽为的长方形， 由面积相等可得，； ②方案二中，大正方形边长为，可分为个边长为的小正方形，个长为、宽为的小长方形，个长为、宽为的大长方形， 由面积相等可得，； ③方案三中，大正方形边长为，可分为个边长为的小正方形，个上底为、下底为、高为的梯形， 由面积相等可得，． 题型讲练五 整式乘法混合运算 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得解； （2）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算加减即可得解． 【规范解答】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式训练1】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）老张购买了一套新房，其结构如图所示（单位：），他打算除卧室外，其余部分都铺地砖． (1)至少需要多少平方米地砖？（用含的式子表示） (2)若房子总面积为，卧室有平方米，除卧室外，地砖的均价为元，则为多少时，费用最高？最高预计为多少？ 【答案】(1)至少需要平方米地砖； (2)n为33时，费用最高，最高预计1089元． 【思路引导】本题主要考查了列代数式，完全平方公式的应用，能根据题意表示出需要铺地砖部分的面积是解题的关键． （1）根据题意表示出除卧室外的面积即可； （2）根据题意，表示单价面积总费用，列关系式，然后配方为完全平方公式，根据偶次方的非负性解答即可． 【规范解答】（1）解：由题知，(平方米)， 答：至少需要平方米地砖； （2）解：总费用为， ∴当时，费用最高，最高为元． 【变式训练2】阅读以下材料：利用整式的乘法知识，我们可以证明以下有趣的结论：“将两个有理数的平方和与另两个有理数的平方和相乘，得到的乘积仍然可以表示成两个有理数的平方和” 设为有理数，则 请你解决以下问题 (1)填空：（ ） (2)根据阅读材料，仿照这个过程将820写成两个正整数的平方和 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据材料的变形过程可得结论； （2）根据材料的形式依次计算可得结论． 本题考查多项式乘以多项式和完全平方公式的计算，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的式子的规律，写出相应的结论并进行验证． 【规范解答】（1）解： 故答案为：； （2）． 题型讲练六 多项式乘多项式化简求值 【典例精讲】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【思路引导】先根据多项式乘法运算法则展开原式，再合并同类项化简式子，然后根据绝对值的非负性求出 a 和 b 的值，代入化简后的式子计算即可得到最终结果； 【规范解答】解： ， ， ∴， 解得：， 将代入得，原式． 【变式训练1】（25-26七年级下·重庆·开学考试）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【思路引导】先利用平方差公式、多项式乘多项式的运算法则化简所求式子，然后将、的值代入化简后的式子计算即可． 【规范解答】解： ， 当，时，原式． 【变式训练2】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5．已知关于x的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为t．若，求代数式的最小值． 【答案】43 【思路引导】本题主要考查了多项式乘多项式、求代数式值等知识点，准确理解新定义是解题的关键． 先根据“对消多项式”和“对消值”的概念求得、，，进然后再对所求代数式进行配方变形求解即可． 【规范解答】解∵和， ∴， ∵C与D互为“对消多项式”且“对消值”为t， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴ ． 答：代数式的最小值是43． 题型讲练七 通过对完全平方公式变形求值 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据，将已知条件代入，即可求解； （2）设，根据已知可得，根据变形，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴ （2）解：设 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 即 【变式训练1】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）计算或化简 (1)先化简再求值：，其中，． (2)已知：，．求和的值． 【答案】(1)化简结果为，值为 (2)， 【思路引导】本题考查乘法公式，整式的混合运算，代数式求值，完全平方公式的变形求值，熟练掌握相关公式是关键． （1）先利用乘法公式展开，再按照整式混合运算的法则进行化简，最后代入求值即可； （2）利用完全平方公式对代数式进行变形，然后求值即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， 当，时， 原式， ， ， ； （2）解：由完全平方公式可得： ， ∴， 由完全平方公式可得： ， ∴． 【变式训练2】（25-26八年级上·湖北随州·期末）很多同学在学习整式乘法及乘法公式时，容易机械记忆．为了帮助同学们直观理解公式的几何意义，老师设计了一节“拼图与公式”实验课： 【知识重现】 观察图①，用等式表示图中图形面积的运算： 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分的面积为__________． 【拓展应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，则__________． （3）若实数满足，求． 【学习致用】 （4）如图③，两块完全相同的直角三角板与按图示放置，点在同一直线上．连接，已知，且，求一块直角三角板的面积． 【答案】（1）；（2）108；（3）15；（4）58 【思路引导】考查了完全平方公式的几何背景及应用，熟练掌握完全平方公式的变形与几何意义是解题的关键． （1）观察图②，用整体与部分的面积关系推导等式，即大正方形面积减去空白部分面积得到阴影部分面积，或者用各部分阴影小图形面积相加来表示． （2）根据类比探究得出的公式，将与的值代入计算 ． （3）把和看作整体，利用类比探究的公式，结合已知条件计算 ． （4）设出直角三角板的两条直角边，根据线段和与面积和的条件，结合完全平方公式变形求解单块三角板面积 ． 【规范解答】解：（1）大正方形边长，面积，空白是两个长宽的长方形，两个小正方形的面积分别为，， ∴阴影面积； （2）由，，， ∴； （3）设，，则， ． ， ∴； （4）设，，则 ． ，即 ． ∵， ∴， 解得 ． ∴一块直角三角板面积 ． 题型讲练八 求完全平方式中的字母系数 【典例精讲】（25-26八年级上·福建泉州·期末）小明利用完全平方公式进行因式分解“ ”时，“ ”中的运算符号被墨迹染黑了，则的取值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式分解因式即可． 【规范解答】解：， ∴， 故选D． 【变式训练1】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）若是一个完全平方式，则m的值为（    ） A． B． C．4或 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查完全平方式，形如这样的式子是完全平方式． 根据完全平方式的定义得到，进而计算即可． 【规范解答】解：∵是一个完全平方式， ∴， 整理得， 即 解得：或． 故选：C． 【变式训练2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：．    (1)若是一个完全平方式，求常数的值为 ； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点分别在边上，连接，若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)48 【思路引导】本题考查了新定义公式，完全平方式，完全平方公变形应用，式整式的混合运算，熟练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键． （1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是完全平方式， ∴， ∴； （2）∵ ∴， 去括号得：， 合并同类项得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）∵， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； ∵ ∵， ∴阴影部分的面积为：． 1．（23-24七年级下·贵州黔南·月考）若实数m满足，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【思路引导】设两个式子分别为a和b，通过已知条件结合完全平方公式计算出所求乘积的值． 【规范解答】解：设，， 由题意得， ， 根据完全平方公式， 将，代入公式得， ∴． 2．（25-26九年级下·甘肃定西·开学考试）下面运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查整式的基本运算，需运用合并同类项法则、同底数幂的除法法则、完全平方公式对各选项逐一分析判断． 【规范解答】解：∵ 合并同类项时，同类项的系数相加，字母及指数不变； ∴ A选项中，，选项原运算错误； B选项中，根据完全平方公式，，选项原运算错误； ∵ 同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴ C选项中，，选项原运算错误； D选项中，，运算正确． 故选：D 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）若式子是一个完全平方式，则m的值为（    ） A．20 B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查求完全平方式中字母的系数． 根据完全平方式的结构特征，即可得的值． 【规范解答】解：∵式子是一个完全平方式， ∴， ∴的值为． 故选：C． 4．（25-26六年级下·全国·课后作业）计算：（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．根据平方差公式解答即可． 【规范解答】解：∵ ∴原式 故选：B． 5．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）已知代数式是一个完全平方式，则t的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．或 【答案】D 【思路引导】利用完全平方公式的结构特征求解． 【规范解答】解：∵代数式是完全平方式， 又∵， ∴， ∴， 当时，解得； 当时，解得； ∴t的值为或． 6．（25-26八年级上·山东德州·月考）已知是完全平方式，则a的值为（　　） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【思路引导】根据完全平方式的结构特征，对应原式系数求解a，需考虑完全平方式的两种不同符号情况． 【规范解答】解：∵=，=，是完全平方式， ∴ 原式可写成的形式， 展开得， ∴ ． 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了平方差公式．利用平方差公式，通过凑出的形式逐步化简连乘式，进而计算出的值． 【规范解答】解：∵， ∴ 则． 故选：D． 8．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）已知，，则______． 【答案】/ 【思路引导】完全平方公式，则． 【规范解答】解：∵，， ∴． 9．（24-25七年级下·四川成都·期中）若，则等于______． 【答案】1 【思路引导】利用完全平方公式对已知条件变形，将和的值代入变形后的式子，即可求出的值． 【规范解答】根据完全平方公式，可得：， 对公式变形得：， 将，代入上式得：． 10．运用简便方法计算：＝______． 【答案】 【思路引导】根据平方差公式计算即可； 【规范解答】原式 ． 11．（25-26六年级下·全国·课后作业）将多项式加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则添加单项式的方法共有__________种． 【答案】5 【思路引导】本题考查了完全平方公式，考虑添加单项式后多项式成为完全平方的几种形式：二项式的平方或单项式的平方． 【规范解答】解：添加单项式后，能使多项式成为完全平方的情况如下： 1．添加，得到． 2．添加，得到． 3．添加，得到． 4．添加，得到． 5．添加，得到．故共有5种方法， 故答案为：5． 12．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，从边长为的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为_____． 【答案】 【思路引导】观察图形，根据面积的和差，可得大长方形的面积，根据大长方形的面积公式，可得大长方形的长． 【规范解答】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， 拼成的大长方形的面积为， 大长方形的宽为4， 大长方形的长为． 13．（23-24七年级下·广东佛山·月考）若，，则________． 【答案】 【思路引导】根据题意可得，再结合完全平方公式计算即可． 【规范解答】解： ，， ， ∴，即， ． 14．（25-26七年级下·河北保定·开学考试）如图，两个正方形边长分别为，如果，则图中阴影部分的面积为________ 【答案】72 【思路引导】将阴影部分的面积表示为两个正方形的面积之和减去和的面积，再利用完全平方公式将多项式变形后，整体代入即可求解． 【规范解答】解：阴影部分的面积 ． ∵， ∴阴影部分的面积． 15．（25-26七年级下·全国·周测）观察下列等式：，，，……．利用你发现的规律回答：若，则的值是_______． 【答案】1 【思路引导】根据等式规律，推导出 ，再计算 的值； 本题考查了利用乘法公式进行推导，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【规范解答】解：由已知等式规律可得 ， ∵ ， ∴ ， 解得 即， 因此 故答案为 ：1． 16．（21-22七年级下·江苏盐城·月考）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【规范解答】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 17．（24-25七年级下·广西桂林·月考）[背景阅读]在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． [问题解决] （1）填空：根据图1所示图形的面积关系．可以写出的一个乘法公式是 ； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； [拓展应用] （3）如图3，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y（），且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和28．现将三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）62 【思路引导】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图1的面积即可； （2）根据图2可得，再将，代入计算即可； （3）由图甲和乙中阴影部分的面积分别为6和28得到，，再根据代入计算即可． 【规范解答】解：（1）图1中大正方形的边长为，因此面积为， 拼成图1的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）图2中，大正方形的边长为，因此面积为， 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为， 所以有， ∵图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和28，即，， ∴， ∴ ． 18．先化简，再求值∶，其中． 【答案】，2． 【规范解答】本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．根据平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项把原式化简，把a的值代入计算得到答案． 【解答】解： ， 当时，原式． 19．（24-25七年级下·四川成都·期中）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如，若，，求的值． (1)简单应用：若，，求的值； (2)拓展应用：若，求的值． 【答案】(1)20 (2)18 【思路引导】（1）根据完全平方公式可得，再根据，即可计算出xy的值； （2）由计算可得，把和看作整体，根据完全平方公式可得，再根据，即可计算出的值． 【规范解答】（1）解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 20．（24-25六年级下·全国·单元测试）推理能力如图①所示，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图②所示． 【探究】 （1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为___________，图②中阴影部分的面积为___________；根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式___________． 【应用】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，求的值． ②计算：． 【答案】（1），，；（2）①8，② 【思路引导】本题主要考查了列代数式，平方差公式的几何背景及应用，熟练掌握平方差公式的推导过程和构造使用条件是解题的关键． （1）图①阴影部分的面积用大正方形面积减去小正方形面积表示；图②阴影部分的面积用长方形面积公式表示；根据面积相等推导出平方差公式； （2）①直接代入（1）中得到的平方差公式计算；②先在算式前乘以构造平方差公式的使用条件，再连续应用平方差公式逐步化简计算． 【规范解答】解：（1）由题意得，图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为， 根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式． 故答案为：，，． （2）①因为，，且， 所以，即． ② ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $