7.1全概率公式 导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布学案 7.1全概率公式 导学案 【学习目标】 1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程。 2.理解全概率公式的形式并会利用全概率公式计算事件概率; 了解贝叶斯公式以及公式的简单应用. 【问题导学】 问题1 ：在上节课中，计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率，下面我们再看一个求复杂事件概率的问题. 从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．显然，第1次摸到红球的概率为．那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 【知识构建】 知识点一：全概率公式 定义：一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有 ． 我们称上面的公式为全概率公式（total probability formula）．全概率公式是概率论中最基本的公式之一． *知识点二：贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有：． 贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系。 知识点三：全概率公式求概率的方法步骤： 1.设事件：把事件B(结果事件)看作某一过程的结果, 把A1, A2, …, An 看作导致结果的若干个原因； 2.求概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai)),且每一原因对结果的影响程度(即P(B|Ai))； 3.代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B) ). 【应用举例】 【例4】某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 【详解】：设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥． 根据题意得，， 由全概率公式，得 ． 因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7． 【变式训练】学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（   ） A．0.67 B．0.58 C．0.51 D．0.37 【答案】C 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据已知条件，结合全概率公式、条件概率公式即可求出结果. 【详解】设“参加羽毛球比赛”，“参加乒乓球比赛”，“参加跳绳比赛”， 则. 设“获得冠军”，则. 由全概率公式 . 故选：C. 【例5】有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%． （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i (i＝1，2，3)台车床加工的概率． 【详解】：设“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第台车床加工”，则，且两两互斥．根据题意得，，， ，． （1）由全概率公式，得 ． （2）“如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率． 【变式训练】已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是70%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是______. 【答案】0.72/ 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】利用全概率公式求解从该地市场上买到一个合格产品的概率，需要先确定不同厂家产品的概率以及在各厂家产品条件下买到合格产品的概率，再根据全概率公式计算最终结果. 【详解】设“买到的产品是甲厂产品”为事件，“买到的产品是乙厂产品”为事件. 已知甲厂产品占，乙厂产品占，所以，. 记“从该地市场上买到一个合格产品”为事件. 因为甲厂产品的合格率是，所以在买到甲厂产品的条件下，产品合格的概率； 又因为乙厂产品的合格率是，所以在买到乙厂产品的条件下，产品合格的概率. 根据全概率公式. 将，，，代入上式可得： 故答案为：. 【例6】在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的． （1）分别求接收的信号为0和1的概率； *（2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率． 【详解】：设“发送的信号为0”，“接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”，“接收到的信号为1”．由题意得 ，，，，． （1）， ． （2）． 【随堂检测】 1．质量调查发现，某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据题意结合全概率公式，即可求解. 【详解】设分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，：是优质品， 则，，，且，，， 所以，由全概率公式可知， ． 故选：B 2．某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（   ） A．0.30 B．0.26 C．0.24 D．0.20 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】利用全概率公式进行计算即可. 【详解】利用全概率公式计算， 即现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是， 故选：B. 3.跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的，且这三个年级的教师人数之比为，现从这三个年级中随机抽取一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（   ） A．0.42 B．0.36 C．0.35 D．0.45 【答案】C 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】利用全概率公式计算即可. 【详解】设事件表示“随机抽取一名教师喜欢跑步”，事件分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”， 因为三个年级的教师人数之比为， 所以，，， 因为高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的， 所以，， 根据全概率公式可得. 故选：C 4．某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.5，则小王同学第二天去甲游乐场的概率为___________；若第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为___________； 【答案】 0.54 【知识点】条件概率性质的应用、利用全概率公式求概率 【分析】根据题意设事件：小王同学第一天去甲游乐场，事件：小王同学第二天去甲游乐场，事件：小王同学第一天去乙游乐场，事件：小王同学第二天去乙游乐场，结合条件概率的性质与全概率公式求解概率即可. 【详解】根据题意，设事件：小王同学第一天去甲游乐场， 事件：小王同学第二天去甲游乐场， 事件：小王同学第一天去乙游乐场， 事件：小王同学第二天去乙游乐场， ， 所以；， 第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为． 故答案为：0.54；. 【小结反思】本节课你有哪些收获？还有哪些疑问？ - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布学案 7.1全概率公式 导学案 【学习目标】 1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程。 2.理解全概率公式的形式并会利用全概率公式计算事件概率; 了解贝叶斯公式以及公式的简单应用. 【问题导学】 问题1 ：在上节课中，计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率，下面我们再看一个求复杂事件概率的问题. 从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．显然，第1次摸到红球的概率为．那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 【知识构建】 知识点一：全概率公式 定义：一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有 我们称上面的公式为全概率公式（total probability formula）．全概率公式是概率论中最基本的公式之一． *知识点二：贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有： ． 贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系。 知识点三：全概率公式求概率的方法步骤： 1.设事件：把事件B(结果事件)看作某一过程的结果, 把A1, A2, …, An 看作导致结果的若干个原因； 2.求概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai)),且每一原因对结果的影响程度(即P(B|Ai))； 3.代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B) ). 【应用举例】 【例4】某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 【变式训练】学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（   ） A．0.67 B．0.58 C．0.51 D．0.37 【例5】有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%． （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i (i＝1，2，3)台车床加工的概率． 【变式训练】已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是70%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是______. 【例6】在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的． （1）分别求接收的信号为0和1的概率； *（2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率． 【随堂检测】 1．质量调查发现，某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率为（    ） A． B． C． D． 2．某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（   ） A．0.30 B．0.26 C．0.24 D．0.20 3.跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的，且这三个年级的教师人数之比为，现从这三个年级中随机抽取一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（   ） A．0.42 B．0.36 C．0.35 D．0.45 4．某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.5，则小王同学第二天去甲游乐场的概率为___________；若第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为___________； 【小结反思】本节课你有哪些收获？还有哪些疑问？ - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $