7.1.2 全概率公式（导学案） 数学人教A版选择性必修第三册

7.1.2 全概率公式 导学案 （1）结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程; （2）理解全概率公式的形式并会利用全概率公式计算概率;（重点、难点） （3）了解贝叶斯公式以及公式的简单应用. 1． 创设情境，引入新知 抽奖游戏 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 → 去1 号箱抽奖，反面朝上 → 去2 号箱抽奖 思考：随机一位同学参与游戏，最终抽到一等奖的概率是多少？ 追问1：抽到一等奖只和一个箱子有关吗？ 追问2：去 1 号箱、2 号箱的概率分别是多少？ 追问3：在 1 号箱、2 号箱中抽到一等奖的概率又分别是多少？ 追问4：能不能把 “抽到一等奖” 拆成:掷正面且在 1 号箱中奖 + 掷反面且在 2 号箱中奖？ 2． 探究新知 问题提出：在上节课中，计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率，下面我们再看一个求复杂事件概率的问题. 探究：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．显然，第1次摸到红球的概率为．那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 结论：因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是. 思考：思考一下，如何证明以上结论 预设：证明： 用表示事件“第次摸到红球”，表示事件“第次摸到蓝球”，．如下图所示， 事件可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即．利用概率的加法公式和乘法公式，得 ． 总结：上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率． 定义：一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有 ． 我们称上面的公式为全概率公式（total probability formula）．全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 辨析：师生共同讨论，辨析全概率公式 · 全概率公式使用条件: 1　 是一组两两互斥的事件； 2　 3　 ，，且 · 全概率公式特殊情况: · 对全概率公式的理解 1　 事件B的发生可能有多种的原因，如果B是由原因Ai(i=1,2,…,n)(Ai 两两互斥，构成一个完备事件)所引起，则B发生的概率是P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai). 2　 每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因Ai引起，BAi(i=1,2,…,n)发生概率的总和，即全概率公式. 3　 由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因求结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 牛刀小试： 练1：判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题．( ) （2）所研究的事件试验前提或前一步骤有多种可能，在这多种可能中，均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．( ) （3）全概率公式用于求复杂事件的概率，是求最后结果的概率．( ) （4）全概率公式中样本空间Ω中的事件需满足的条件为( ) （5）若，则．( ) 预设：√ √ √ × √ 3． 应用新知 例4 某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 预设：设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥． 根据题意得，， 由全概率公式，得 ． 因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7． 总结：全概率公式求概率的方法步骤： 1.设事件：把事件B(结果事件)看作某一过程的结果, 把A1, A2, …, An 看作导致结果的若干个原因； 2.求概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai)),且每一原因对结果的影响程度(即P(B|Ai))； 3.代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B) ). 牛刀小试： 练2：假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率． 预设：用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌的事件，B表示买到的是优质品的事件，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥， 依据已知可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%， 因此，由全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%. 所以买到的是优质品的概率为88.5%. 例5 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%． （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i (i＝1，2，3)台车床加工的概率． 预设：设“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第台车床加工”，则，且两两互斥．根据题意得，，， ，． （1）由全概率公式，得 ． （2）“如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率． ． 要求：用以上相同的方法，求和 预设：类似地，可得，． 牛刀小试： 练3：1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，求从2号箱取出的球是红球的概率． 预设：设A＝“从2号箱取出的球是红球”；B＝“从1号箱取出的球是红球”． 则P(B)＝＝，， P(A|B)＝＝，. 由全概率公式可得 P(A)＝P(A|B)P(B)＋＝×＋×＝. 思考：例5中，的实际意义是什么? 预设：（1）是试验之前就已知的概率，它是第台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率． （2） 当已知抽到的零件是次品(发生)，是这件次品来自第台车床加工的可能性大小，通常称为后验概率． （3） 如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么，，就分别是第1，2，3台车床操作员应承担的份额． 定义：将例5中的问题（2）一般化，可以得到贝叶斯公式． *贝叶斯公式(Bayes formula)：设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有 ． 贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯 (T. Bayes, 1702-1761)发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系． 例6 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的． （1）分别求接收的信号为0和1的概率； *（2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率． 预设：设“发送的信号为0”，“接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”，“接收到的信号为1”．由题意得 ，，，，． （1）， ． （2）． 牛刀小试： 练4：判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）事件与同时发生的概率，等于事件发生的概率与事件发生的条件下事件发生的概率的乘积．( ) （2）若，是样本空间的中的两事件，则与是互斥的．( ) （3）在贝叶斯公式中，且.( ) （4）设为样本空间的一个划分，则表示每次试验，必有一个发生．( ) 预设：× √ × √ 4． 题型强化练习 类型一：全概率公式求概率 例1 （1）某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下表所示的数据： 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志．在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率． 预设：设事件表示所取到的产品是由第家元件制造厂提供的()，事件表示取到的是一件次品．其中两两互斥，发生总是伴随着之一发生， 即，且两两互斥， 由题意可知，， 所以运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得 因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为． 题型二：贝叶斯公式求概率 例题2 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起． (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； (2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？ 预设：（1）设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥， 由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5， P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8. 由全概率公式得P(A)＝ (Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86. （2）由贝叶斯公式得 P(B1|A)＝＝＝， P(B2|A)＝＝＝， P(B3|A)＝＝＝. 由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小． 总结：应用贝叶斯公式求概率的步骤 (1)找出样本空间中所有的事件，并用字母表示各个事件； (2)求出各组相关事件的概率或条件概率； (3)代入全概率公式求得结果． 5． 小结及课后作业 作业1：完成教材：第52页 练习1，2；习题7.1第5,7,8题. 作业2：配套辅导资料对应的《全概率公式》. 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1.2 全概率公式 导学案 （1）结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程; （2）理解全概率公式的形式并会利用全概率公式计算概率;（重点、难点） （3）了解贝叶斯公式以及公式的简单应用. 1． 创设情境，引入新知 抽奖游戏 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 → 去1 号箱抽奖，反面朝上 → 去2 号箱抽奖 思考：随机一位同学参与游戏，最终抽到一等奖的概率是多少？ 追问1：抽到一等奖只和一个箱子有关吗？ 追问2：去 1 号箱、2 号箱的概率分别是多少？ 追问3：在 1 号箱、2 号箱中抽到一等奖的概率又分别是多少？ 追问4：能不能把 “抽到一等奖” 拆成:掷正面且在 1 号箱中奖 + 掷反面且在 2 号箱中奖？ 2． 探究新知 问题提出：在上节课中，计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率，下面我们再看一个求复杂事件概率的问题. 探究：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．显然，第1次摸到红球的概率为．那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 结论：因为抽签具有 ，所以第2次摸到红球的概率也应该是 . 思考：思考一下，如何证明以上结论 总结：上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个 事件的 ， 再由概率的 公式和 公式求得这个复杂事件的概率． 定义：一般地，设是一组两两 的事件，，且，，则对任意的事件，有 ____________________________ 我们称上面的公式为 （total probability formula）．全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 辨析：师生共同讨论，辨析全概率公式 · 全概率公式使用条件: 1　 是一组两两 的事件； 2　 3　 ，，且 · 全概率公式特殊情况: · 对全概率公式的理解 1　 事件B的发生可能有多种的原因，如果B是由原因Ai(i=1,2,…,n)(Ai 两两互斥，构成一个完备事件)所引起，则B发生的概率是P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai). 2　 每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因Ai引起，BAi(i=1,2,…,n)发生概率的 ，即全概率公式. 3　 由此可以形象地把全概率公式看成为“由 求 ”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 牛刀小试： 练1：判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题．( ) （2）所研究的事件试验前提或前一步骤有多种可能，在这多种可能中，均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．( ) （3）全概率公式用于求复杂事件的概率，是求最后结果的概率．( ) （4）全概率公式中样本空间Ω中的事件需满足的条件为( ) （5）若，则．( ) 3． 应用新知 例4 某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 总结：全概率公式求概率的方法步骤： 1. ：把事件B(结果事件)看作某一过程的结果, 把A1, A2, …, An 看作导致结果的若干个原因； 2. ：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai)),且每一原因对结果的影响程度(即P(B|Ai))； 3. ：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B) ). 牛刀小试： 练2：假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率． 例5 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%． （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i (i＝1，2，3)台车床加工的概率． 要求：用以上相同的方法，求和 牛刀小试： 练3：1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，求从2号箱取出的球是红球的概率． 思考：例5中，的实际意义是什么? 定义：将例5中的问题（2）一般化，可以得到贝叶斯公式． * (Bayes formula)：设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有 ___________________________ 贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯 (T. Bayes, 1702-1761)发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系． 例6 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的． （1）分别求接收的信号为0和1的概率； *（2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率． 牛刀小试： 练4：判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）事件与同时发生的概率，等于事件发生的概率与事件发生的条件下事件发生的概率的乘积．( ) （2）若，是样本空间的中的两事件，则与是互斥的．( ) （3）在贝叶斯公式中，且.( ) （4）设为样本空间的一个划分，则表示每次试验，必有一个发生．( ) 4． 题型强化练习 类型一：全概率公式求概率 例1 （1）某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下表所示的数据： 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志．在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率． 题型二：贝叶斯公式求概率 例题2 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起． (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； (2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？ 总结：应用贝叶斯公式求概率的步骤 (1)找出样本空间中所有的事件，并用 表示各个事件； (2)求出各组相关事件的 或 ； (3)代入 求得结果． 5． 小结及课后作业 作业1：完成教材：第52页 练习1，2；习题7.1第5,7,8题. 作业2：配套辅导资料对应的《全概率公式》.  学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $