第四单元 认识多边形（知识清单）数学青岛版四年级下册

第四单元 认识多边形 知识清单 知识点一：三角形的认识和特性 1.三角形的定义 ：由三条线段首尾相连围成的封闭图形叫做三角形。三角形有3个顶点、3条边、3个角。 2.三角形的稳定性 ：三角形具有稳定性，不容易变形，这个特性在生活中应用广泛。 3.三角形的高和底 ：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 应用场景 ：例如：自行车的三角架、房屋的人字梁等都利用了三角形的稳定性。 知识点二：三角形的分类 1.按角分类 ： 2. 按边分类 ： （1）等腰三角形：两条边相等的三角形叫作等腰三角形。 （2）等边三角形：三条边都相等的三角形叫作等边三角形,又叫作正三角形。 （3） 应用场景 ：例如：等腰三角形的两个底角相等；等边三角形的三个角都是60°。 知识点三：三角形三边关系 1.三边关系定理 ：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 2.判断方法 ：如果三根小棒的长度分别为a、b、c（a≤b≤c），那么a+b>c时，这三根小棒能围成三角形；否则，不能围成三角形。 应用场景 ：例如：长度为3cm、4cm、5cm的三根小棒能围成三角形，因为3+4=7>5。 知识点四：三角形的内角和 1.内角和定理 ：三角形的内角和是180°。 2.应用方法 ：在一个三角形中，已知两个角的度数，可以用180°减去这两个角的度数，求出第三个角的度数。 3.特殊情况 ： •直角三角形的两个锐角之和是90° •等腰三角形的两个底角相等 •等边三角形的三个角都是60° 应用场景 ：例如：在一个三角形中，已知两个角分别是50°和80°，则第三个角=180°-50°-80°=50°。 知识点五：平行四边形的认识 1.平行四边形的定义 ：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的特征 ：对边平行且相等，对角相等，具有不稳定性，容易变形。 3.平行四边形的高和底 ：从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，这条对边叫做平行四边形的底。 应用场景 ：例如：推拉门、升降架等都利用了平行四边形的不稳定性。 知识点六：梯形的认识 1.梯形的定义 ：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2.梯形各部分的名称 ： •互相平行的一组对边叫做梯形的底（较短的叫上底，较长的叫下底） •不平行的一组对边叫做梯形的腰 •从上底的一点到下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高 3.梯形的分类 ： 等腰梯形：两腰相等的梯形； 直角梯形：有一个角是直角的梯形。 应用场景 ：例如：水坝的横截面、梯子等都是梯形。 题型一：三角形的认识和特性 【例1】想一想，填一填。 照相机支架、太阳能支架、钢架桥等为了坚固，都采用了( )形结构，依据是( )的特性。请再举出两个这样的例子( )和( )。 【练1】画出每个三角形指定底边上的高。 题型二：三角形的分类 【例2】下面三个三角形都被盖住了两个角，你能确定它们各是什么三角形吗？选择正确答案的序号填在括号里。 ( )            ( )              ( ) ①锐角三角形    ②直角三角形    ③钝角三角形    ④无法确定 【练2】量一量，把序号填在相应的括号里。 等腰三角形有( )，等边三角形是( )，直角三角形是( )，锐角三角形有( )，钝角三角形是( )。 题型三：三角形三边关系 【例3】一个等腰三角形，一条边长10厘米，另一条边长5厘米，要围成这样一个三角形至少要( )厘米铁丝。 【练3】 数学课上，第二小组同学把一根吸管平均分成11份，并作上标记。如图，如果在M处剪下第一段，那么接下来他们在（    ）处剪，就可以使剪出的三段围成一个三角形。 A．① B．② C．③ D．④ 题型四：三角形的内角和 【例4】如图，一块三角形玻璃破了一部分，那破了的那个角是( )°，这块三角形玻璃是( )三角形。 【练4】．用手工课上，同学们制作一个三角形摆件。其中一个角是36°，另一个角是这个角的2倍，第三个角是多少度？ 题型五：平行四边形和梯形的高 【例5】分别画出三角形、平行四边形和梯形指定底边上的高。 【练5】按要求在下面图形中各画一条线段。 一、填空题 1．在三角形、平行四边形和圆中，( )和( )能单独密铺，( )不能单独密铺。 2．∠1，∠2，∠3是一个三角形的三个内角，已知∠1＝25°，∠2＝55°，则∠3＝( )°，这是一个( )三角形。 3．一个等腰三角形的一条边长4cm，另一条边长8.5cm，这个三角形的周长是( )cm。 4．在一个三角形中，一条边长8厘米，一条边长3厘米，另一条边的范围在( )厘米到( )厘米之间。 5．如图，两个长方形叠在一起，如果∠2＝54°，那么∠1＝( )°，∠3＝( )°。 6．现有3cm，4cm长的小棒各1根，请你再选1根长度是整厘米的小棒，围成的三角形的周长最长是( )cm，最短是( )cm。 7．知识之间有着密切的关系。如图，若A表示长方形，B可以表示正方形。在四年级的新知识中，也有这样的关系：若B表示梯形，则A可以表示( )；若A表示等腰三角形，则B可以表示( )。 8．如图，用一条74厘米的铁丝围成平行四边形ABCD，已知其中边AB的长是16厘米，与它相邻的边BC的长是( )厘米；底边BC对应的高是( )。 二、选择题 9．在平行四边形框架上钉一根木条进行加固，加固效果最差的是（    ）。 A． B． C． D． 10．把下图用一条直线分开，不能分成（    ）。 A．两个平行四边形 B．两个长方形 C．一个梯形和一个三角形 11．下面三组小棒中，能摆成三角形的一组是（    ）。 A．1厘米、2厘米、4厘米 B．2厘米、2厘米、5厘米 C．4厘米、5厘米、9厘米 D．3厘米、4厘米、5厘米 12．如下图，在三角形ABC中，∠B＝70°。若沿图中的虚线剪出∠B，则∠1＋∠2等于（    ）。 A．250° B．270˚ C．225˚ 13．已知有两根小棒，长度分别是6cm和15cm，如果想再准备一根小棒用来围成一个三角形，下面关于第三根小棒的长度（取整厘米数）描述正确的是（    ）。 A．小棒最短10cm，最长20cm B．小棒最短9cm，最长21cm C．小棒长6cm可以围成等腰三角形 D．小棒长15cm可以围成等边三角形 14．拉动一个平行四边形框架，使它的四个角都变成直角，在这个过程中（     ）。 A．周长变短，高变大 B．周长变短，高不变 C．周长不变，高变小 D．周长不变，高变大 三、判断题 15．任意三条长度的边都能围成一个三角形。( ) 16．锐角三角形任意两个锐角的和一定大于90°。( ) 17．等腰三角形都是锐角三角形。( ) 18．四边形中，两组对边分别平行的是平行四边形，只有一组对边平行的是梯形。( ) 19．一个平行四边形的高可以画无数条，但过一个顶点到指定的底只能画一条高。( ) 四、作图题 20．画出下面三角形指定底边上的高。 21．在点子图上按要求画图。 五、解答题 22．动物王国正在进行赛跑，哪只动物最先从图形的一个顶点跑到它的对边，就获得胜利。小兔和小猪已经站到自己图形的顶点上了（如下图）。 （1）怎样跑的路线最短？请你帮它们画一画。 （2）你认为这样的比赛公平吗？为什么？ 23．有两根长20分米和两根50分米的木条，用其中的三根围成一个等腰三角形，所得等腰三角形的周长是多少分米？ 24．在一个三角形中，有两个角的度数相等，第三个角比这两个角的度数和大20度，这个三角形的三个内角分别是多少度？ 25．探究三角形的内角和时，同学们想到了不同的“拼”法。 (1)像下面这样，把三角形的3个内角拼在一起，可以发现拼成的角是( )角，由此可知三角形的内角和是( )°。 拼法1         拼法2 (2)也可以像下面这样，把六个完全一样的三角形拼在一起，中间的6个角拼成了( )角。 拼法3： 用算式表达推算过程： ∠1＋∠2＋∠3＋∠1＋∠2＋∠3＝( )°。 ∠1＋∠2＋∠3＝( )°÷( )＝( )°。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 认识多边形 知识清单 知识点一：三角形的认识和特性 1.三角形的定义 ：由三条线段首尾相连围成的封闭图形叫做三角形。三角形有3个顶点、3条边、3个角。 2.三角形的稳定性 ：三角形具有稳定性，不容易变形，这个特性在生活中应用广泛。 3.三角形的高和底 ：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 应用场景 ：例如：自行车的三角架、房屋的人字梁等都利用了三角形的稳定性。 知识点二：三角形的分类 1.按角分类 ： 2. 按边分类 ： （1）等腰三角形：两条边相等的三角形叫作等腰三角形。 （2）等边三角形：三条边都相等的三角形叫作等边三角形,又叫作正三角形。 （3） 应用场景 ：例如：等腰三角形的两个底角相等；等边三角形的三个角都是60°。 知识点三：三角形三边关系 1.三边关系定理 ：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 2.判断方法 ：如果三根小棒的长度分别为a、b、c（a≤b≤c），那么a+b>c时，这三根小棒能围成三角形；否则，不能围成三角形。 应用场景 ：例如：长度为3cm、4cm、5cm的三根小棒能围成三角形，因为3+4=7>5。 知识点四：三角形的内角和 1.内角和定理 ：三角形的内角和是180°。 2.应用方法 ：在一个三角形中，已知两个角的度数，可以用180°减去这两个角的度数，求出第三个角的度数。 3.特殊情况 ： •直角三角形的两个锐角之和是90° •等腰三角形的两个底角相等 •等边三角形的三个角都是60° 应用场景 ：例如：在一个三角形中，已知两个角分别是50°和80°，则第三个角=180°-50°-80°=50°。 知识点五：平行四边形的认识 1.平行四边形的定义 ：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的特征 ：对边平行且相等，对角相等，具有不稳定性，容易变形。 3.平行四边形的高和底 ：从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，这条对边叫做平行四边形的底。 应用场景 ：例如：推拉门、升降架等都利用了平行四边形的不稳定性。 知识点六：梯形的认识 1.梯形的定义 ：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2.梯形各部分的名称 ： •互相平行的一组对边叫做梯形的底（较短的叫上底，较长的叫下底） •不平行的一组对边叫做梯形的腰 •从上底的一点到下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高 3.梯形的分类 ： 等腰梯形：两腰相等的梯形； 直角梯形：有一个角是直角的梯形。 应用场景 ：例如：水坝的横截面、梯子等都是梯形。 题型一：三角形的认识和特性 【例1】想一想，填一填。 照相机支架、太阳能支架、钢架桥等为了坚固，都采用了( )形结构，依据是( )的特性。请再举出两个这样的例子( )和( )。 【答案】 三角 三角形具有稳定性 起重机 篮球架 【分析】从所给的例子（照相机支架、太阳能支架、钢架桥）来看，这些结构通常采用的形状是三角形，这是因为三角形具有稳定性，即在受到外力作用时不易发生变形。这种稳定性是由于三角形的三个顶点固定后，整个形状不会因外力而改变。还可以举例空调外机支架等，答案合理即可。 【详解】照相机支架、太阳能支架、钢架桥等为了坚固，都采用了三角形结构，依据是三角形具有稳定性的特性。请再举出两个这样的例子：起重机和篮球架。 【练1】画出每个三角形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】画三角形指定底边上的高，步骤是：找到对应底边的顶点，从该顶点向底边（或底边的延长线）作垂线段，用虚线绘制，并标注直角符号。 【详解】 题型二：三角形的分类 【例2】下面三个三角形都被盖住了两个角，你能确定它们各是什么三角形吗？选择正确答案的序号填在括号里。 ( )            ( )              ( ) ①锐角三角形    ②直角三角形    ③钝角三角形    ④无法确定 【答案】 ② ③ ④ 【分析】大于0度小于90度的角是锐角，等于90度的角为直角，大于90度小于180度的角为钝角；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；据此分析解答。 【详解】根据分析： 第一个三角形，没被盖住的角为直角，所以这个三角形是直角三角形； 第二个三角形，没被盖住的角为钝角，所以这个三角形是钝角三角形； 第三个三角形，没被盖住的角为锐角，其余两个盖住的角可能都是锐角，也可能有一个直角，或者可能有一个钝角；所以无法确定该三角形类型。 综上可知，填写序号如下： 【练2】量一量，把序号填在相应的括号里。 等腰三角形有( )，等边三角形是( )，直角三角形是( )，锐角三角形有( )，钝角三角形是( )。 【答案】 ①②③ ④ ② ①④ ③ 【分析】等腰三角形两条腰长相等；等边三角形三条边都相等；直角三角形有一个角是直角；锐角三角形三个角都是锐角；钝角三角形有一个角是钝角，据此填空即可。 【详解】 该图形是等腰三角形，也是锐角三角形； 该图形是等腰三角形，也是直角三角形； 该图形是等腰三角形，也是钝角三角形； 该图形是等边三角形，也是锐角三角形。 等腰三角形有①②③，等边三角形是④，直角三角形是②，锐角三角形有①④，钝角三角形是③。 题型三：三角形三边关系 【例3】一个等腰三角形，一条边长10厘米，另一条边长5厘米，要围成这样一个三角形至少要( )厘米铁丝。 【答案】 25 【分析】根据等腰三角形的定义，两条边相等。题目给出两条边分别为10厘米和5厘米，需确定哪条边为腰。若10厘米为腰，则三边为10、10、5厘米，此时周长为25厘米；若5厘米为腰，则三边为5、5、10厘米，但5＋5＝10，不满足三角形三边关系，无法构成三角形。因此最小周长为25厘米。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 当10厘米为腰时，三边分别为10厘米、10厘米、5厘米。 验证三角形三边关系： 10＋10＝20＞5（成立） 10＋5＝15＞10（成立） 10＋5＝15＞10（成立） 10＋10＋5 ＝20＋5 ＝25（厘米） 当5厘米为腰时，三边分别为5厘米、5厘米、10厘米。 验证三角形三边关系：5＋5＝10（不成立） 因此无法构成三角形。   一个等腰三角形，一条边长10厘米，另一条边长5厘米，要围成这样一个三角形至少要25厘米铁丝。 【练3】 数学课上，第二小组同学把一根吸管平均分成11份，并作上标记。如图，如果在M处剪下第一段，那么接下来他们在（    ）处剪，就可以使剪出的三段围成一个三角形。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边（较短两边之和大于第三边）。由题意得，第二小组同学把一根吸管平均分成11份，并作上标记。我们可以假设这根吸管的长度就为11厘米，那么每份是1厘米。如果在M处剪下第一段，那么第一段的长度就为2厘米。然后根据选项中的剪法来分析剪出来的三段吸管能否围成三角形即可。 【详解】A．如果在①处剪，三段吸管的长度分别是2厘米，1厘米，8厘米。2＋1＝3（厘米），3厘米＜8厘米，即这三段不能围成三角形。 B．如果在②处剪，三段吸管的长度分别是2厘米，3厘米，6厘米。2＋3＝5（厘米），5厘米＜6厘米，即这三段不能围成三角形。 C．如果在③处剪，三段吸管的长度分别是2厘米，5厘米，4厘米。2＋4＝6（厘米），6厘米＞5厘米，即这三段可以围成三角形。 D．如果在④处剪，三段吸管的长度分别是2厘米，7厘米，2厘米。2＋2＝4（厘米），4厘米＜7厘米，即这三段不能围成三角形。 故答案为：C 题型四：三角形的内角和 【例4】如图，一块三角形玻璃破了一部分，那破了的那个角是( )°，这块三角形玻璃是( )三角形。 【答案】 68 锐角 【分析】根据三角形内角和是180°，已知另两个角分别是47°和65°，用180°减去47°，再减去65°，就是破损的角的度数；按角分类： 三角形按角分为锐角三角形（三个角均小于90°）、直角三角形（一个角为90°）和钝角三角形（一个角大于90°）。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 180°－47°－65° ＝133°－65° ＝68° 47°、65°、68°都小于90°，所以这是一个锐角三角形。 如图，一块三角形玻璃破了一部分，那破了的那个角是68°，这块三角形玻璃是锐角三角形。 【练4】．用手工课上，同学们制作一个三角形摆件。其中一个角是36°，另一个角是这个角的2倍，第三个角是多少度？ 【答案】72° 【分析】根据三角形内角和定理来求解第三个角的度数，三角形内角和定理为三角形的内角和等于180°。已知其中一个角是36°，另一个角是这个角的2倍，则另一个角的度数为36°×2＝72°，再用180°减去这两个角的度数，即可得到第三个角的度数，据此解答即可。 【详解】36°×2＝72° 180°－36°－72°＝72° 答：第三个角是72°。 题型五：平行四边形和梯形的高 【例5】分别画出三角形、平行四边形和梯形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】从三角形底边所对的顶点向底边或者底边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高，然后再画上垂足符号。 从平行四边形指定底边所对的对边上的任意一点都可以向底边作垂直线段，即是平行四边形的高，然后再画上垂足符号。 从梯形指定底边所对的对边上的任意一点都可以向底边作垂直线段，即梯形的高，然后再画上垂足符号。 【详解】根据分析可得：作图如下 （后两条高答案不唯一） 【练5】按要求在下面图形中各画一条线段。 【答案】见详解 【分析】从梯形上底上一点作下底的垂线段，即为梯形的高；把平行四边形的两个锐角的顶点用线段连接起来即可把它分成两个完全相同的钝角三角形。 【详解】 一、填空题 1．在三角形、平行四边形和圆中，( )和( )能单独密铺，( )不能单独密铺。 【答案】 平行四边形 三角形 圆 【分析】图形的密铺是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角；因此判断图形能否单独进行密铺的关键是看这个图形的内角和能否整除360°或被360°整除，依此解答。 【详解】三角形的三个角的度数之和是180°，360°÷180°＝2，因此三角形可以单独进行密铺。平行四边形的内角和是360°，360°÷360°＝1，因此平行四边形可以单独进行密铺。 圆是由一条封闭的曲线围成的，圆与圆之间有间隙，因此圆不能密铺。 由此可知，三角形、平行四边形和圆中，平行四边形和三角形能单独密铺，圆不能单独密铺。 2．∠1，∠2，∠3是一个三角形的三个内角，已知∠1＝25°，∠2＝55°，则∠3＝( )°，这是一个( )三角形。 【答案】 100 钝角 【分析】三角形的内角和为180°，∠3＝180°－∠1－∠2。根据∠3是100°可知∠3是钝角。根据“有一个钝角的三角形叫做钝角三角形”，可知这是一个钝角三角形。据此解答。 【详解】180°－25°－55° ＝155°－55° ＝100° 因为100°＞90°，∠3是钝角，所以这个三角形是钝角三角形。 所以，∠1，∠2，∠3是一个三角形的三个内角，已知∠1＝25°，∠2＝55°，∠3＝100°，这是一个钝角三角形。 3．一个等腰三角形的一条边长4cm，另一条边长8.5cm，这个三角形的周长是( )cm。 【答案】21 【分析】因为等腰三角形的两边分别为4cm和8.5cm，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，排除无法构成三角形的情况，确定符合条件的边长组合。 【详解】当4cm为腰时，另外两边为4cm和8.5cm，4＋4＝8（cm），8＜8.5，所以不能构成三角形，故舍去。 当4cm为底时，另外两边都为8.5cm，8.5＋4＝12.5（cm），12.5＞8.5，4cm、8.5cm、8.5cm可以构成三角形，周长为： 4＋8.5＋8.5 ＝12.5＋8.5 ＝21（cm） 即这个三角形的周长是21cm。 4．在一个三角形中，一条边长8厘米，一条边长3厘米，另一条边的范围在( )厘米到( )厘米之间。 【答案】 5 11 【分析】三角形三边关系是：第三条边小于两边之和，大于两边之差。先算出已知的两条边8厘米和3厘米的和以及它们的差，再判断第三条边的范围。 【详解】8＋3＝11（厘米） 8－3＝5（厘米） 第三条边要小于11厘米，大于5厘米。 所以，第三条边的范围在5厘米到11厘米之间。 5．如图，两个长方形叠在一起，如果∠2＝54°，那么∠1＝( )°，∠3＝( )°。 【答案】 36 54 【分析】由图可知，∠1，∠2和90°的角组成了一个平角，∠2＝54°，直接用180°减去90°再减去∠2的度数即可算出∠1的度数。 三角形的内角和为180°。由图可知，∠2，∠4和右下角的直角是三角形的三个内角，直接用180°减去90°再减去∠2的度数即可算出∠4的度数；∠4，∠3和一个直角组成了一个平角，直接用180°减去90°再减去∠4的度数即可算出∠3的度数。 【详解】∠1＝180°－90°－∠2 ＝90°－∠2 ＝90°－54° ＝36° ∠4＝180°－90°－∠2 ＝90°－∠2 ＝36° ∠3＝180°－90°－∠4 ＝90°－36° ＝54° 故∠1＝36°，∠3＝54°。 6．现有3cm，4cm长的小棒各1根，请你再选1根长度是整厘米的小棒，围成的三角形的周长最长是( )cm，最短是( )cm。 【答案】 13 9 【分析】根据三角形的三条边的关系“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，求出第三条边的长度，进而求出周长。据此解答。 【详解】（cm） （cm） 所以第三条边的长度大于1cm小于7cm，又因为长度是整厘米数所以第三条边最长是6cm，最短是2cm。 第三条边最长时，围成的三角形的周长也最长是（cm）； 第三条边最短时，围成的三角形的周长也最短是（cm）。 7．知识之间有着密切的关系。如图，若A表示长方形，B可以表示正方形。在四年级的新知识中，也有这样的关系：若B表示梯形，则A可以表示( )；若A表示等腰三角形，则B可以表示( )。 【答案】 四边形 等边三角形 【分析】只有一组对边平行的四边形是梯形，梯形也是四边形；等腰三角形有2条边相等，等边三角形有3条边相等，等边三角形是特殊的等腰三角形；据此解答。 【详解】由分析可知，若B表示梯形，则A可以表示四边形；若A表示等腰三角形，则B可以表示等边三角形。 8．如图，用一条74厘米的铁丝围成平行四边形ABCD，已知其中边AB的长是16厘米，与它相邻的边BC的长是( )厘米；底边BC对应的高是( )。 【答案】 21 CF/FC 【分析】平行四边形对边相等，AB的长是16厘米，则CD＝16厘米，BC的长度就是铁丝总长度减去AB和CD，再除以2即可； 从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。以BC为底，对应的高是CF，据此解答。 【详解】（74－16×2）÷2 ＝（74－32）÷2 ＝42÷2 ＝21（厘米） 与它相邻的边BC的长是（21）厘米；底边BC对应的高是（CF）。 二、选择题 9．在平行四边形框架上钉一根木条进行加固，加固效果最差的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为三角形具有稳定性，当钉的一根木条能与平行四边形中的边围成三角形稳定，加固效果好，否则加固效果差。 【详解】 A．，在平行四边形框架上钉一根木条进行加固构成三角形，加固效果好； B．，在平行四边形框架上钉一根木条进行加固右边构成三角形，加固效果好； C．，在平行四边形框架上钉一根木条进行加固左下角构成三角形，加固效果好； D．，在平行四边形框架上钉一根木条进行加固没有构成三角形，加固效果最差。 故答案为：D 10．把下图用一条直线分开，不能分成（    ）。 A．两个平行四边形 B．两个长方形 C．一个梯形和一个三角形 【答案】B 【分析】梯形是只有一组对边平行的四边形； 平行四边形是两组对边分别平行的四边形； 长方形的四个角都是直角，对边相等且平行； 三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形； 将平行四边形剪成两个图形，需要考虑剪切线的位置和方向；据此逐项分析并解答。 【详解】 A．能分成两个平行四边形； B．不能分成两个长方形； C．能分成一个梯形和一个三角形。 故答案为：B 11．下面三组小棒中，能摆成三角形的一组是（    ）。 A．1厘米、2厘米、4厘米 B．2厘米、2厘米、5厘米 C．4厘米、5厘米、9厘米 D．3厘米、4厘米、5厘米 【答案】D 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，将每个选项中较短的两条边相加，与第三边比较来判断是否能摆成三角形。 【详解】A．1＋2＝3（厘米）3厘米＜4厘米，不能摆成三角形； B．2＋2＝4（厘米）4厘米＜5厘米，不能摆成三角形； C．4＋5＝9（厘米）9厘米＝9厘米，不能摆成三角形； D．3＋4＝7（厘米），7厘米＞5厘米，可以摆成三角形。 故答案为：D 12．如下图，在三角形ABC中，∠B＝70°。若沿图中的虚线剪出∠B，则∠1＋∠2等于（    ）。 A．250° B．270˚ C．225˚ 【答案】A 【分析】如图，在三角形ABC中，∠B＝70˚，根据三角形内角和为180˚，用180˚减去∠B即可求出∠A和∠C的和；再根据四边形内角和为360°，用360˚减去∠A和∠C的和，即可得到∠1＋∠2的度数。 【详解】∠A＋∠C： ∠1＋∠2： 故答案为：A 13．已知有两根小棒，长度分别是6cm和15cm，如果想再准备一根小棒用来围成一个三角形，下面关于第三根小棒的长度（取整厘米数）描述正确的是（    ）。 A．小棒最短10cm，最长20cm B．小棒最短9cm，最长21cm C．小棒长6cm可以围成等腰三角形 D．小棒长15cm可以围成等边三角形 【答案】A 【分析】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边；据此可知，6＋15＝21（cm），15－6＝9（cm），则第三根小棒的长度要小于21cm，大于9cm；等边三角形三边相等，据此即可解答。 【详解】A．小棒长度应该小于21cm，大于9cm，由于取整厘米数，所以小棒最短10cm，最长20cm，该选项正确； B．小棒长度应该小于21cm，大于9cm，不能等于21cm或者9cm，该选项错误； C．小棒长度应该小于21cm，大于9cm，6＜9，该选项错误； D．等边三角形是三边相等，小棒长15cm和原有的两根6cm和15cm的小棒只能形成等腰三角形，该选项错误。 故答案为：A 14．拉动一个平行四边形框架，使它的四个角都变成直角，在这个过程中（     ）。 A．周长变短，高变大 B．周长变短，高不变 C．周长不变，高变小 D．周长不变，高变大 【答案】D 【分析】长方形的周长和平行四边形的周长都是由4条边的长度和，据此分析木框拉动过程中，周长的变化。从平行四边形拉成长方形的过程中，平行四边形的高会比长方形的高短。据此分析解答。 【详解】拉动一个平行四边形框架，使它的四个角都变成直角，故把平行四边形框架变成长方形。在拉动过程中，构成框架的边没有变化，所以无论是长方形还是平行四边形，它们周长不改变。从平行四边形拉成长方形，长方形的高会变长，所以在这个过程中周长不变，高变大。 故答案为：D 三、判断题 15．任意三条长度的边都能围成一个三角形。( ) 【答案】× 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；只有符合这些条件的三条线段才能围成一个三角形。 【详解】只有当两条较小的线段的和大于最大的线段时，才能围成一个三角形； 如3厘米、4厘米、5厘米就能围成三角形；而3厘米、4厘米、8厘米就不能围成三角形； 即不是任意三条长度的边都能围成一个三角形，故原题说法错误。 故答案为：× 16．锐角三角形任意两个锐角的和一定大于90°。( ) 【答案】√ 【分析】锐角三角形的意义：三个角都小于90°的三角形。三角形内角和是180°；由此可知，任意两个锐角的度数和加第3个角的度数和是180°，由于第3个角是锐角，所以第3个角的度数小于90°，那么任意两个锐角的和一定大于90°，据此解答。 【详解】根据分析可知，锐角三角形任意两个锐角的和一定大于90°，原题干说法正确。 故答案为：√ 17．等腰三角形都是锐角三角形。( ) 【答案】× 【分析】等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，因此等腰三角形不一定是锐角三角形。据此解答。 【详解】等腰三角形有两条边相等，两个底角相等。三角形内角和为180度，两个底角都是锐角，但顶角可以是锐角、直角或钝角。当顶角是直角时，三角形是直角三角形；当顶角是钝角时，三角形是钝角三角形。因此，“等腰三角形都是锐角三角形”的说法不正确。 故答案为：× 18．四边形中，两组对边分别平行的是平行四边形，只有一组对边平行的是梯形。( ) 【答案】√ 【分析】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 根据梯形的定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 根据平行四边形和梯形的含义进行判断。 【详解】根据平行四边形和梯形的含义，在四边形中，两组对边分别平行的是平行四边形，只有一组对边平行的是梯形。 故答案为：√ 19．一个平行四边形的高可以画无数条，但过一个顶点到指定的底只能画一条高。( ) 【答案】√ 【分析】从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段，是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。所以平行四边形高有无数条，但是从从一个顶点到底边只能画一条高，因为过一点向平行的对边画垂线只能画一条。 【详解】一个平行四边形的高可以画无数条，但过一个顶点到指定的底只能画一条高。这句话正确。 故答案为：√ 四、作图题 20．画出下面三角形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高；据此画图。 【详解】如图： 21．在点子图上按要求画图。 【答案】见详解 【分析】有一个角大于90度的三角形是钝角三角形；据此画出钝角三角形。 梯形是只有一组对边平行的四边形，在同一水平线上选两个点作上边，再在与其平行的另一水平线上选两个点作下边，但让上、下两条边的长度不同，最后连成四边形即成梯形。 平行四边形是两组对边平行的四边形，先在同一水平线上选两个点作一条边，再从这两个点分别向同一方向（例如向上方）移动相同的水平和垂直“步数”选点，最后连接这些点，即可形成两组对边分别平行的四边形。据此解答。 【详解】如图所示： 五、解答题 22．动物王国正在进行赛跑，哪只动物最先从图形的一个顶点跑到它的对边，就获得胜利。小兔和小猪已经站到自己图形的顶点上了（如下图）。 （1）怎样跑的路线最短？请你帮它们画一画。 （2）你认为这样的比赛公平吗？为什么？ 【答案】（1）图见详解；（2）公平；原因见详解 【分析】（1）要想跑到对面的路线最短，即从小兔现在所在的位置，向其对面的边作垂线段，垂线段即为最短路线，借助直角三角尺，把直角三角尺的一条直角边与小兔对面的边重合，使得小兔所在的点在另一条直角边上，过这一点沿着这条直角边向其对面的边画线段，即为最短路线，再按照同样的方法，画出小猪的最短路线图。 （2）由（1）中的图可知，小兔的路线图占小正方形的4条边，小猪的路线图也占小正方形的4条边，两条线段一样长，所以这个比赛是公平的。 【详解】 （1） （2）答：比赛公平，因为小兔与小猪所跑的路程是一样长的。 23．有两根长20分米和两根50分米的木条，用其中的三根围成一个等腰三角形，所得等腰三角形的周长是多少分米？ 【答案】120分米 【分析】三角形的三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。要围成等腰三角形，那么三角形的两条腰长相等。 据此从两根长20分米和两根50分米的木条中选出三根木条（其中有两条要一样长），如果符合三角形的三边关系，即可围成一个等腰三角形，再把三条边的长度相加，求出这个等腰三角形的周长。 【详解】①三根木条分别长20分米、20分米、50分米； 20＋20＝40（分米），40＜50，不符合三角形的三边关系； 所以，20分米、20分米、50分米的三根木条不能围成一个等腰三角形。 ②三根木条分别长20分米、50分米、50分米； 50＋20＝70（分米），70＞50，符合三角形的三边关系； 所以，20分米、50分米、50分米的三根木条能围成一个等腰三角形。 周长：20＋50＋50＝120（分米） 答：所得等腰三角形的周长是120分米。 24．在一个三角形中，有两个角的度数相等，第三个角比这两个角的度数和大20度，这个三角形的三个内角分别是多少度？ 【答案】40度；40度；100度 【分析】根据题意可知，相等的角的度数看作1份，则第三个角就是2份加20度，三个角加起来就是（1＋1＋2）份加20度，又因为三角形的内角和等于180度，所以180度减去20度等于（1＋1＋2）份的度数，再除以（1＋1＋2），即是1份的度数，也就是相等两个角的度数；相等的角的度数乘2后加20度，即是第三个角的度数，据此即可解答。 【详解】（180－20）÷（1＋1＋2） ＝160÷4 ＝40（度） 40×2＋20 ＝80＋20 ＝100（度） 答：这个三角形的三个内角分别是40度、40度、100度。 25．探究三角形的内角和时，同学们想到了不同的“拼”法。 (1)像下面这样，把三角形的3个内角拼在一起，可以发现拼成的角是( )角，由此可知三角形的内角和是( )°。 拼法1         拼法2 (2)也可以像下面这样，把六个完全一样的三角形拼在一起，中间的6个角拼成了( )角。 拼法3： 用算式表达推算过程： ∠1＋∠2＋∠3＋∠1＋∠2＋∠3＝( )°。 ∠1＋∠2＋∠3＝( )°÷( )＝( )°。 【答案】(1) 平 180 (2) 周 360 360 2 180 【分析】（1）一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫做平角；平角不是直线，而是两条边在同一条直线上的角；平角是180°角；据此解答。 （2）一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫做周角。根据周角为360°角可知，∠1＋∠2＋∠3＋∠1＋∠2＋∠3是一个周角的度数，然后用一个周角的度数除以2，即可得到∠1＋∠2＋∠3的度数，也就是三角形内角和的度数；据此解答。 【详解】（1）由分析可知，把三角形的3个内角拼在一起，可以发现拼成的角是平角；由此可知三角形的内角和是180°。 （2）由分析可知，把六个完全一样的三角形拼在一起，中间的6个角拼成了平角。 ∠1＋∠2＋∠3＋∠1＋∠2＋∠3＝360° ∠1＋∠2＋∠3 ＝360°÷2 ＝180° 所以三角形内角和为180°。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $