第10章 三角恒等变换（高效培优单元自测·提升卷）数学苏教版高一必修第二册

第10章 三角恒等变换（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2.设，，，则有（ ） A. B. C. D. 3.已知，则（ ） A. B. C. D. 4.的值等于（ ） A. B. 1 C. D. 2 5.已知，，则（ ） A. B. C. D. 6.已知α，β为锐角，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7.已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 8.已知函数在处取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知，，下列选项正确的有（ ） A. B. C D. 10. 下列式子化简正确的是（ ） A. = B. C. D. 11.已知函数,则下列命题正确的是（ ） A. 函数的单调递增区间是； B. 函数的图象关于点对称； C. 函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是； D. 若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，则． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.，，则__________． 13.等式有意义，则的取值范围是__________． 14.人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点、，为坐标原点，余弦相似度为向量、夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知、、，若、的余弦距离为，，则、的余弦距离为_________- 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（1）已知，且，求的值； （2）已知，且及，求的值. 16.已知向量，. （1）若，求； （2）若向量与向量共线且，求的值. 17.已知函数. （1）将函数化简为的形式； （2）求函数的最小正周期及在区间上的最大值； （3）若，，求的值. 18. 某高一数学研究小组，在研究边长为1的正方形某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象．若分别为边上的动点，当的周长为2时，有最小值（图1）、为定值（图2）、到的距离为定值（图3）．请你分别解以上问题． （1）如图1，求的最小值； （2）如图2，证明：为定值； （3）如图3，证明：到的距离为定值． 19.由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 可见也可以表示成的三次多项式． （1）利用上述结论，求的值； （2）化简；并利用此结果求的值； （3）已知方程在上有三个根，记为，求证：. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 三角恒等变换（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用两角差的正弦公式，结合诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可. 【解析】 ， 故选：C 2.设，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】分别应用二倍角公式及两角和差公式化简，即可判断大小. 【解析】因为， ， ， 因为，所以. 故选：C. 3.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用二倍角的余弦公式可求得结果. 【解析】因为，则 . 故选：A. 4.的值等于（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【分析】先利用二倍角公式化简以及，再利用诱导公式化简即可代入化简. 【解析】， ， 因，则， 则. 故选：A. 5.已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据两角和（差）的余弦公式得到方程组，求出、，再根据同角三角函数的基本关系计算可得. 【解析】因为，， 所以，解得， 所以 故选：A. 6.已知α，β为锐角，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用同角的三角函数关系求得，进而利用两角各的余弦公式求得，可求的值. 【解析】∵为锐角，， ∴， ∴． 又，∴. 故选：B． 7.已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由将切化弦，再通分，结合两角差的正弦公式求出，再由两角差的余弦公式求出，即可得解. 【解析】因为，， 所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：A 8.已知函数在处取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】首先利用辅助角公式对进行化简，再根据处取得最大值，求出的值，进而求出，最后利用倍角公式求出的值即可. 【解析】由，其中为锐角，. 又因为在处取得最大值，所以，， 即，， 所以， 又， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知，，下列选项正确的有（ ） A. B. C D. 【答案】ABC 【分析】A选项，由同角三角函数平方关系及角的范围得到；B选项，根据同角三角函数平方关系得到，去掉不合要求的解；C选项，利用凑角法求解；D选项，在C选项的基础上，得到，利用正弦差角公式计算出答案. 【解析】A选项，由，得，故A正确； B选项，由及，得， 故，故B正确． C选项， ，故C正确； D选项，由，得， 因为，所以， 又，其中， 若，则，则，与矛盾， 所以，故D错误； 故选：ABC 10. 下列式子化简正确的是（ ） A. = B. C. D. 【答案】BD 【分析】根据三角恒等变换的化简求值，结合选项依次计算即可求解. 【解析】A： ，故A错误； B：，故B正确； C：，故C错误； D：，故D正确． 故选：BD 11.已知函数,则下列命题正确的是（ ） A. 函数的单调递增区间是； B. 函数的图象关于点对称； C. 函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是； D. 若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，则． 【答案】ACD 【分析】根据辅助角公式把函数的关系变形为正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质应用即可判断各选项. 【解析】由，得. 对于A，当时，， 当即时，函数单调递增， 所以函数单调递增区间为，故A正确； 对于B，当时，，故B不正确； 对于C，函数的图象向左平移个单位长度后，得到 所得的图象关于y轴对称， 所以,解得， 当时，m的最小值是，故C正确； 对于D，如图所示， 实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，， 则必有，或，此时，另一解为. 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.，，则__________． 【答案】 【分析】利用两角和的正切公式可求得结果. 【解析】由已知条件可得 . 故答案为：. 13.等式有意义，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简，由三角函数的有界性得出等式右边的范围，解不等式可得的取值范围． 【解析】，则， 即，且， 化简得，平方得，即 解得 故答案为： 14.人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点、，为坐标原点，余弦相似度为向量、夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知、、，若、的余弦距离为，，则、的余弦距离为_________- 【答案】 【分析】由平面向量数量积的坐标运算、两角和与差的余弦公式以及“余弦距离”的定义可得出，再由可得出、的值，再结合“余弦距离”的定义可求得、的余弦距离. 【解析】由，，， ， ， 由已知，可得，① 又因为，② 联立①②可得，， 因此，、的余弦距离为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（1）已知，且，求的值； （2）已知，且及，求的值. 【答案】（1），（2） 【分析】（1）根据同角关系以及余弦的和差角公式求解， （2）根据同角关系以及正弦的和角公式即可求解. 【解析】（1）由，可得， 由，可得，则， ， （2）由，可得， 由，则， ， 由于，故 16.已知向量，. （1）若，求； （2）若向量与向量共线且，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）利用二倍角余弦公式化简得，利用两角和的正弦公式结合同角三角函数的关系式及二倍角正弦公式，由求得，由此可得，即可得解； （2）利用向量共线的坐标运算确定，利用二倍角公式计算得，结合求出，再利用两角和正弦公式计算即可. 【解析】（1）由题意，， 因为，则， 两边平方可得，即， 又因为，所以，即，所以，所以. 所以，. （2）由题意，向量与向量共线，则， 因为，且，所以， 则. 由，可得， 又，所以. 故. 17.已知函数. （1）将函数化简为的形式； （2）求函数的最小正周期及在区间上的最大值； （3）若，，求的值. 【答案】（1） （2），2 （3） 【分析】（1）由恒等变换公式代入计算，即可得到结果； （2）由正弦型函数的周期性以及值域，代入计算，即可得到结果； （3）由，结合余弦的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【解析】（1）由题意得，. （2）所以函数的最小正周期为.由可知， 则当，即时，取得最大值为. （3）∵，∴.又， ∴，∴ ∴ . 18. 某高一数学研究小组，在研究边长为1的正方形某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象．若分别为边上的动点，当的周长为2时，有最小值（图1）、为定值（图2）、到的距离为定值（图3）．请你分别解以上问题． （1）如图1，求的最小值； （2）如图2，证明：为定值； （3）如图3，证明：到的距离为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【分析】（1）设，由锐角三角函数与三角形的周长得到，从而表示出，再由两角和的正弦公式及正弦函数的性质计算可得； （2）设，，则，，从而可得，，，再通过的周长为，建立等式，再由两角和的正切公式求出，即可求出； （3）由三角形的面积公式得到，再将（2）中数据代入求出，即可得证. 【解析】（1）设，，则，， 的周长为， ， 所以， 又，， ， 当，即时，取得最小值，且的最小值为； （2）设，，， 则，， ，，， 的周长为， ， ， ， ，又，， ， ， ，为定值； （3）， ， ，， ， 又，， ， ， ， 由（2）知， ， ，即到的距离的定值为 19.由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 可见也可以表示成的三次多项式． （1）利用上述结论，求的值； （2）化简；并利用此结果求的值； （3）已知方程在上有三个根，记为，求证：. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【分析】（1）根据，利用三倍角公式结合二倍角正弦公式，可得到关于的方程，即可求得答案； （2）先利用两角和差的余弦公式化简，即可利用三倍角公式得到结果； （3）根据方程的特征，令，利用三倍角公式可得，即可求得的值，继而可得的表达式，利用三角恒等变换公式化简，即可证明结论. 【解析】（1），所以， 因为， 因为，， 即， 因为，解得（舍）. （2） ， 故 ； （3）证明：因为，故可令， 故由可得：． 由题意得：，因，故， 故，或，或， 即方程（*）的三个根分别为，，， 又，故， 于是， . 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $