第10章 三角恒等变换（高效培优单元自测·强化卷）数学苏教版高一必修第二册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第10章三角恒等变换（高效培优单元自测·强化卷） (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.c0s15°cos45°+sin15°sin45°=() A B.② C. √3 D. 3 2 2 2 【答案】C 【分析】根据给定条件，逆用差角的余弦公式求解 【解折】c0s15c0s45°+sin15°sin45°=c0s(450-159=c0s30°= 2 故选：C 2.已知c0sx= ,则cos2x的值为() 7 A.- 8、7 25 c 41 D. 41 25 50 50 【答案】B 【分析】根据二倍角公式cos2x=2cos2x-1即可求解 4 【解析】根据已知有：c0s2x=2cos2x-1=2× 故选：B 3.已矩aa=-25,则ama+) A.-3V3 B.-3V5 c、3 D.3V5 1 5 1 5 【答案】C 【分析】应用两角和正切公式计算即可. 【解析】因为tana=-23,则tana+3 tana+√3-23+5_-√3 1-tana×V31+2v3×√57 故选：C 1/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.已知a∈0 2且cosa+ )V6 则sina=() 3 3 A.V5-3V2 B.3-V6 c.3+V6 D.5+3V2 6 6 6 6 【答案】D 【分析】利用同角基本关系式求出sina+马=y5 利用a=a+孕)一骨结合和然角公式可解 36 又+} 3 3 而sina=sinf(a 3 )sin 5x1+6xV55+3W2 3232 6 故选：D. 5设1ma,a8是方程r产+6V5x+7=0的两限.且a,Be（22 则a+B=() A. 3 8.、2 2π 3 C. 或 3 3 02 3 【答案】B 【分析】利用韦达定理求出tana+tanB,tana tanB,再利用两角和的正切公式求出tana+B),即可得 解 【解析】因为tana,tanB是方程x2+6√3x+7=0的两根， 所以tana+tanβ=-6V3,tandtanβ=7， 所以tana<0,tanf<0, 所以a,B∈(-元，0)， 则tan(a+B)= tanc+tanA_63=. 1-tangtanβ1-7 2/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以a+B=- 2π 3 故选：B 1 6.己知cosa+B)= 3,tanatanB ,则cosa-B)=() 5 A、1 1 B. .1 2 3 5 D. 【答案】D 【分析】利用两角和差的正余弦公式展开化简即可. cos+B)cosa cos-sina sin B sina sin B 1 tana tanB= cosa cos B 5' 5 1 可得cosa cos B= 12,sina sin B=. 12 cosaB)=cosa cos p+sin a sin B= 故选：D 7.己知cos 的值是() 5 A.、2V5 B.23 C. 0.、4 5 5 5 【答案】D 4 【分析】利用两角差的余弦展开后再利用两角和的正弦可得sin + 6 5 的值最后利用诱导公式可求 5π sin a- 的值 6 【解析】cos 9-a+sina三cos元cosa+sin2sina+sind 6 6 V3 3 故选：D. 3/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 1 8.已知sin2a+B)=3,cosa cosa+B)=2,则tana+iana+B)=（） A. 4 2 C. D. 3 4 【答案】A 【分析】利用和角的正弦公式将sin(2a+B)展开，再用商数关系弦化切即可求解 【解折】因为sin(2a+B)=sin(a+a+B)=s(a+B)+cosasim(a+B)= 3 将式子的左右两侧同时除以cosa cos(a+阝)，可得 sina cos(a+B)+cosa sin(a+B)2 1 cosa cos(a+B) 3 cosa cos(a+β) tana+tan(a+B)=2x2-4 3 3 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列各式的值为1的是() A.tan20°+tan25 tan20°tan25°-1 B.l1og27+log68-(月)3 P C.sin72°cos18°-cosl08sin18 D.2c0s222.5°-1 【答案】BC 【分析】利用三角变换公式计算判断ACD;利用指数、对数运算计算判断B. 【解析】对于A,tan20+tan25° =-tan(20°+25)=-tan45°=-1，A不是； tan20°tan25°-1 对于B.1og,27+1oe8-(令5=bg。216-(25=3-2=1.B是： 对于C,sin72cosl8°-cos108°sin18°=sin72cosl8°+cos72sinl8°=sin90°=1，C是； 对于D,2c0S222.5-1=c0s45=5,D错误 故选：BC 4/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 l0.已知o,B为锐角，cosa+B)=÷,tana+tanB=1,则() 3 A.sinacosβ= 10 B.cosa-β)=1 C.tanatanB=4 D.an2(a+B)=-24 【答案】BCD 5·sinasin=5可对BCD作出判断，从B出发可得到 4 【分析】由已知得到cosacosB= a-B=2kπ，k∈Z，,以此，可判断A. 【解1a,B、osa+l-号aa+-看-mo+-V得号0 3 tana+tanB =1,sina sinB_sin(a+B) =1,② "cosa cosβcosacosβ 4 3 O2 cosacos又cosa+BB得sinasin子 5 则cosa-B)=cosacosβ+sinasinβ=1，B正确； tangtanβ= sinasinβ1 cosacosB=4,C正确； 又 casa+l-号 ， sma+)-音， tan(a+β)= sin(a+B)4 cos(a+B)3 从 而 P 2amia+月6Da 9 由B知cosa-B)=1，则有a-B=2km,(k∈Z),B=a-2km,k∈Z), sinacosB sinacos(a-2km)=sinacosa = sin2a 又sna+倒-手sn口+a-2a-手，则n2a=；所以n2a-号，则A错关 4 故选：BCD 11.已知函数fx)=2cos0cos2x+p)+sin2x-cos2x+20,则() A.f(x)的图象关于点 3弧，0中心对称 5/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.f(x)的值域为[-2,2] C满足f)在区-m,m(m>0)上单润递塔的m的最大信为令 元11π 5π D.f(x)=1在区间 上的所有实根之和为 8’8 2 【答案】ACD 【分析】利用两角和差公式、二倍角和辅助角公式可化简得到f(x)=√2sin2x+ 利用代入检验法 4 可知A正确；根据正弦型函数值域可知B错误；根据函数单调递增，利用整体代换法可求得m范围，知C 正确；将问题转化为y=sin 2x+ 与)y=巨交点横坐标之和的向题，由对称性可求得D正稀 【解析】fx=2 cosp cos2 r coso-sin2 x sin+sin2x-cos2xcos2p+sin2xsin20 cos 2x(1+cos 20)-sin 2x sin 2 sin 2x-cos 2x cos 2 sin 2x sin 20 =cos2x+sin 2x=v2sin π 2x+ 4 对于A,当x 3江时，2x+及-3弧+=元，此时fx=V2sin元=0， 444 :f(x)的图象关于点 3 二，0中心对称，A正确： 对于B,sin 2x+到-，八的信城为[-5]，B错误 -2m+- _L+2k 对于C,若f(x)在-m,m上单调递增，则 42 (kEZ), +T≤T+2km 21m+- 42 [m≤3π-km 8 3π-km>0 解得： (k∈Z,又m>0,. ,解得： msth 8下k3 8 8 +km>0 8 k=0,0<m≤贺，则m的最大值为冬C正确： 8 6/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对FD令f-1,则2r+引-是 时， 2x+∈(0,3m, 作出)=m2x+)与y=号的图象如下围所示。 y-sin(2x+) 元O匹 5π 8 8 69虹元衣 8 88 y=Sm2x+牙》与y=2的交点，，k,即为方程f=1的表， 4 π 由对称性可知：X+名=4，方+x=4 元9元_5π，D正确 :x+x+西+4=4+4=2 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.计算 √3-tanl5°」 1+3 tan 15 【答案】1 【分析】将式中的√5用tan60°代换，然后利用两角差的正切公式可得答案 【解析】 √5-tanl5 tan60°-tanl5 .=tan45°=1. 1+√3tanl5 1+tan60°tan15 故答案为：1 13.已知sin 子则o2a+月 a+ 【答案】 -9 【分析】利用二倍角的余弦公式可求得结果。 【标1医为ma+}号则eo2a+引=ora+引1-2ama+8 7/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -2 故答案为：g 14.已知sin(a+2B)=2sina,其中B+行+m且a+B≠+ka,其中keZ,则ana+月的值为 tanB 2 1 【答案】 3 【分析】将角度拆则分Q+2B=(a+B)+B,B=(a+B)-a,利用两角和差的正弦公式展开整理后， 结合商数关系即可得 【解析】：sina+2β)=2sina, ..sin(a+B)+B =2sin(+B)-B, sina+β)cosB+cosa+β)sinβ=-2sinβcosa+β)+2 cos B sin(a+β)， 整理得：3cosa+B)sinB=cos B sin(a+B), 由于a+B≠+km,B≠+km,所以c0sB≠0，cosa+B)≠0， 2 tan B 1 左右同时乘以 osa+B)cosB,则tan(a+B)=3tanB,即ana+B-j 故答案为： 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤， 15.已知sina= ,cosa+B=D,其中u,Be0, 10 (1)求tan2a; (2)求B 【答案】(1) 4 3 (2)B= 4 【分析】(1)先根据同角三角函数的基本关系求tana,再利用二倍角的正切求tan2a的值 (2)结合B=(+B)-α，利用两角差的正弦公式求值 8/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】(1) sina= 25 5 2tana 1 1.∴.tan2a= ∴.tana= 2 1-tan2a 1- 13 4 )ue0引Be0引所以a+e0,刘 10 sin(a+p)=1-10 310 10 ..sin B =sin(a+B)-a=sin(a+B)cosa-cos(a+B)sina 30x25_0x5-2 1051052 B- 16.化简与证明： （1）sim(2a+B）-2cosa+B). sina (2)cos(a+β)cos(a-β)=cos2B-sina. 【答案】(1)sinB (2)证明见解析 sin a 【分析】(1)将sin(2a+B)变成sin[a+(a+B)],利用两角和差的正弦公式化简得解； (2)利用两角和与差的余弦公式，平方关系从左向右证化简证明 【解析】(1) m2a,d-2eaa+fCl-2oa+ sina sina sinacos(B)+cosasin(B)2cos(+B) sina cos(a+B)+ cosa sin(+B)-2cos(a+B) sina _sin(a+B)cosa-cos(a+B)sina sina =sin[(a+B)-a]_sinB sina sina 9/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)左边=cos(a+B)cos(a-B) =cosa cos B-sina sinβ)(cosa cosβ+sina sinβ) cos2 a cos2 B-sin2 a sin2 B =(1-sin2a)cos2 B-sin2a(1-cos2B) =cos2β-sin2 a cos2β-sin2o+sin2 a cos2β =cos2β-sin2a .左边=右边，得证 17.在平面直角坐标系x0y中，向量a=(cosa,sina,b=cosa-sina+l,cosa+sina+V3),其中 0<0<π (1)若ā∥b,求角0的值： (2记fa)=a6,若fa)=3求/2a-的值 3 【答案】(1)a=乃 (2》-4 【分析】(1)根据向量平行的坐标关系列出等式，通过三角函数公式化简求解的值；(2)先求出f()的 表达式，再根据已知条件求出sin(a+的值，最后通过换元法求出f(2a-)的值 【解析】(1)因a∥6，则cosa(cosa+sina+V3=sina(cosa-sina+1 化商：加a-ca=1:厚sa-哥引}-月 又0<a<元，即- 2π <a- 3 33 所以a-刀=刀，即a=及 3-6 (2)f(a)=a.b=cosa(cosa-sina+1)+sina(cosa+sina+3)=cosa+3sina+1 =2sin a++1, 6 10/15 第10章 三角恒等变换（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.（ ） A. B. C. D. 2.已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3.已知，则（ ） A. B. C. D. 4.已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5.设是方程的两根，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 6.已知，则（ ） A. B. C. D. 7.已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 8.已知，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列各式的值为1的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 11.已知函数，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 的值域为 C. 满足在区间上单调递增的的最大值为 D. 在区间上的所有实根之和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.计算＝________. 13.已知，则_________ 14.已知，其中且，其中，则的值为___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知，，其中，. （1）求； （2）求. 16.化简与证明： （1）． （2）． 17.在平面直角坐标系中，向量，其中. （1）若，求角的值； （2）记，若，求的值. 18.如图，某企业的两座建筑物AB，CD的高度分别为20m和40m，其底部BD之间距离为20m．为响应创建文明城市号召，进行亮化改造，现欲在建筑物AB的顶部A处安装一投影设备，投影到建筑物CD上形成投影幕墙，既达到亮化目的又可以进行广告宣传．已知投影设备的投影张角∠EAF为，投影幕墙的高度EF越小，投影的图像越清晰．设投影光线的上边沿AE与水平线AG所成角为α，幕墙的高度EF为y（m）． （1）求y关于α的函数关系式，并求出定义域； （2）当投影的图像最清晰时，求幕墙EF的高度． 1 9.已知函数的最小正周期为. （1）求的解析式； （2）若关于x的方程在区间上有相异两解，. ①求实数m的取值范围； ②当时，函数取最大值，设，求. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $