第九章 平面向量（复习讲义，12大题型精讲）高一数学苏教版必修第二册

第九章 平面向量（复习讲义） 1、通过向量的实际背景理解向量的概念；掌握向量的表示方法,理解向量的模的概念；理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量等概念. 2、理解向量加减法的概念以及向量加减法的几何意义；掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,会进行向量的加法运算；能熟练地进行向量的加、减综合运算. 3、理解向量数乘的定义及几何意义；掌握向量数乘的运算律,能够用已知向量表示未知向量；掌握共线向量定理,会判断或证明两个向量共线. 4、理解平面向量数量积的含义及其物理意义.掌握数量积公式及投影向量的意义.掌握平面向量数量积的性质及其运算律. 5、会求向量的模、夹角,能运用数量积解决向量的垂直问题. 6、理解基底的定义,并能判断两个向量能否构成一组基底.理解并掌握平面向量基本定理,会用基底表示平面向量.会应用平面向量基本定理解决关于平面向量的综合问题. 7、借助平面直角坐标系掌握平面向量的坐标表示.会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算. 8、掌握平面向量数量积的坐标表示,会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角.掌握向量垂直条件的坐标形式,并能灵活运用. 9、理解用坐标表示平面向量共线的条件.掌握三点共线的判定方法. 10、能运用平面向量的知识解决一些简单的平面几何问题和物理问题.掌握用向量法解决平面几何问题的两种基本方法——选择基底法和建系坐标法. 一、向量的有关概念 知识点1　向量的定义与表示 1.定义:既有大小又有方向的量叫作向量. 2.表示: (1)有向线段:具有方向的线段.它包含三个要素:起点、方向、长度. (2)向量的表示: 知识点2　向量的有关概念 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量,记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量.向量a与b平行,记作a∥b.规定:零向量与任一向量平行,即对于任一向量a,都有0∥a 相等向量 长度相等且方向相同的向量.向量a与b相等,记作a=b 相反向量 把与向量a长度相等,方向相反的向量叫作a的相反向量,记作-a,并规定零向量的相反向量仍是零向量 知识点3　向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角； (2)夹角的大小与向量共线、垂直的关系： θ＝0°⇔a与b同向；θ＝180°⇔a与b反向；θ＝90°⇔a⊥b，规定：零向量与任一向量垂直． 二、向量的运算 知识点1　向量加法的定义 求两个向量和的运算叫作向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量. 知识点2　向量加法的运算法则 类别 图示 几何意义 向量 求和 的法 则 三角 形法 则 已知不共线向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＝ 平行 四边 形法 则 已知不共线向量a，b，作＝a，＝b，再作平行的＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形，向量叫作向量a与b的和，表示为＝a＋b 知识点3　多个向量相加 已知n个向量,依次把这n个向量首尾相连,以第一个向量的起点为起点,第n个向量的终点为终点的向量叫作这n个向量的和向量,这个法则叫作向量求和的多边形法则.如图,⃗ 知识点四　向量加法的运算律 1.交换律:a+b=b+a. 2.结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 知识点4　向量减法 (1)定义 向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b)，求两个向量差的运算，叫作向量的减法． (2)几何意义 如图，设＝b，则＝a－b，即a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 知识点5　数乘运算的定义 (1)实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa． (2)|λa|＝|λ||a|． (3)λa的方向 (4)几何意义：当λ>0时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的λ倍； 当λ<0时，表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍． 知识点6　数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，a，b为向量，则 (1)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (2)λ(μa)＝(λμ)a； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb． 向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)． 知识点7　向量的线性运算 1.向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算. 2.向量线性运算的结果仍是向量. 3.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b. 知识点8　向量共线定理 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得a＝λb． [特别提示]当a≠0，b＝0时，λ不存在；当a＝0，b＝0时，λ不唯一． 三、向量的数量积 知识点1　平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角记为〈a，b〉或θ(0°≤θ≤180°)，我们把|a||b|cos 〈a，b〉称为a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝|a|·|b|cos θ． 规定：零向量与任一向量的数量积为零． 知识点2　投影向量和投影数量 (1)如图，已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′，投影γ＝，γ称为a在b上的投影向量． (2)如图，|a|cos 〈a，b〉称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为a·． (3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos 〈a，b〉的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos 〈a，b〉的乘积(如图)． (4)数量积的物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s． 知识点3　数量积的运算律 交换律：a·b＝b·a． 与数乘的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． 关于加法的分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 知识点4　数量积的性质 (1)若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos 〈a，e〉； (2)a⊥b⇔a·b＝0(其中a，b为非零向量)； (3)|a|＝； (4)cos 〈a，b〉＝(|a||b|≠0)； (5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立． 四、平面向量基本定理及坐标表示 知识点1　平面向量基本定理 (1)定义：如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． (2)基底：把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}． 知识点2　向量的正交分解 对于分解a＝λ1e1＋λ2e2,当e1,e2所在直线互相垂直时,这种分解也称为向量a的正交分解.． 知识点3　平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a(通常称为位置向量)．由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝xi＋yj．因此，a＝xi＋yj．我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝(x，y)． 知识点4　平面向量的坐标运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 数学公式 文字语言表述 向量 加、减法 a±b＝(x1±x2，y1±y2) 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 向量 数乘 λa＝(λx1，λy1)λ∈R 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积 向量 坐标 ＝(x2－x1，y2－y1) 一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标 知识点5　中点坐标公式 若点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，线段AB的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段AB的中点坐标公式． 知识点6　平面向量平行的坐标表示 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0．若a∥b，则存在实数λ，使得a＝λb，用坐标表示为x1y2－x2y1＝0． 若y1≠0且y2≠0，则上式可变形为＝． (2)文字语言描述向量平行的坐标表示 定理1：若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例． 定理2：若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行． 知识点7　平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示 (1)数量积的坐标表示： 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． (2)模、夹角、垂直的坐标表示： 知识点8　平面直角坐标系中两点间的距离公式 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别是A，B，那么a＝(x2－x1，y2－y1)． 则|a|＝＝． 五、平面向量的应用 知识点1　用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 1.建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题. 2.通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题. 3.把运算结果“翻译”成几何关系. 知识点2　向量在物理中的应用 1.物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. 2.向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中. 3.动量mv是向量的数乘运算. 4.功是力F与位移s的数量积. 题型一 平面向量概念的理解 1．（2026高一下·北京·专题练习）下列命题中正确的是（   ）。 A．若，则与的方向相同或相反 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点 D．若，则 【答案】D 【详解】若，则与的模长相等，但未说明方向，故A错误； 若，则，成立，但不一定成立，故B错误； 若，则四点可能共线，故C错误； 由相等向量的定义可知，D正确. 2．（25-26高一下·江苏盐城·开学考试）（多选）下列选项中，错误的是（    ） A．若，则A，B，C，D一定能构成平行四边形 B．在平行四边形中， C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与相等，则B，C重合 【答案】ABC 【分析】根据相等向量的定义即可判断选项A；根据平行四边形的定义与向量的定义即可判断选项B；由向量的定义即可判断选项C；根据相等向量的定义即可判断选项D. 【详解】若，四点可能共线，故选项A错误； 在平行四边形中，方向相同、模相等，则，故选项B错误； 由向量的定义可得向量，满足时，向量，的方向不确定，故选项C错误； 若非零向量与相等，因为起点相同，则终点，重合，故选项D正确. 3．（25-26高一下·广东·月考）（多选）关于向量，，下列命题中，正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据向量的定义可判断A、B的正误；根据零向量的定义可判断C的正误；根据平行向量的定义可判断D的正误． 【详解】向量的长度相等，方向不同时也不是相等向量，A错误； 向量相等，长度一定相等，B正确； 长度为0的向量是零向量，C正确； 相反向量一定是平行向量，D正确． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法中正确的有________．（填序号） ①温度有零上温度，有零下温度，所以温度是向量； ②作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量； ③向量可以比较大小； ④体积、面积和时间都不是向量． 【答案】②④ 【分析】根据向量的定义结合温度没有方向判断命题①，根据作用力与反作用力的关系判断命题②，根据向量定义可得向量不能比较大小，判断命题③，根据向量的定义判断命题④. 【详解】对于命题①，虽然温度有零上、零下之分，但不表示方向，故温度不是向量，①错误； 对于命题②，作用力与反作用力是大小相等、方向相反的两个力，而力是向量，②正确； 对于命题③，向量既有大小又有方向，而方向没有大小之分，所以向量不能比较大小，③错误； 对于命题④，体积、面积和时间都只有大小，没有方向，④正确．故说法正确的有②④． 故答案为：②④. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）给出下列命题： ①若，则或； ②向量的模一定是正数； ③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是___________． 【答案】③ 【分析】根据向量、相等向量、共线向量的定义逐一判断. 【详解】①错误．由仅说明与模相等，但不能说明它们方向的关系． ②错误．的模为零． ③正确．对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的． ④错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上． 故答案为：③ 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形． (1)写出与相等的向量； (2)写出与共线的向量； (3)向量与是否相等？ 【答案】(1)，， (2)，，，，，，，， (3)不相等 【分析】（1）根据向量相等的定义结合图象判断即可； （2）根据共线向量的定义结合图象判断即可； （3）根据向量相等的定义判断. 【详解】（1）与相等的向量：，，． （2）与共线的向量：，，，，，，，，． （3）向量与不相等．因为与的方向相反，所以它们不相等． 题型二 加法、减法、数乘运算 1．（2026高一下·北京·专题练习）化简：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列各式计算正确的有（   ） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据向量加法、数乘向量的运算律化简即可. 【详解】，故①正确； ，故②错误； ，故③正确； ，故④正确. 故选：C 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，则在下列各命题中，正确的命题有（   ） ①，时，与的方向一定相反； ②，时，与的方向一定相同； ③，时，与的方向一定相同； ④，时，与的方向一定相反． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据数乘向量的定义和性质进行判断. 【详解】由与向量的积的方向规定，易知①②正确， 对于命题③④，当时，，同正或同负，与或者都与同向，或者都与反向．与同向， 当时．则与异号，与中，一个与同向，一个与反向，与反向，故③④也正确． 故选：D 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列各式计算正确的个数是（    ） ①；②；③. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据向量数乘的运算律可验证①②正确；因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数，所以③错误. 【详解】①，故①正确； ②,故②正确； ③，故③不正确； 故选：B 5．（2026高一·全国·专题练习）化简______． 【答案】 【分析】利用向量的加法法则化简即得. 【详解】. 故答案为：. 49．（2026高一·全国·专题练习）化简__________． 【答案】 【详解】. 6．（2026高一·全国·专题练习）化简： (1)； (2). 【答案】(1). (2) 【分析】（1）（2）利用向量减法法则化简即得. 【详解】（1） . （2）. 7．（2026高一·全国·专题练习）化简． 【答案】 【分析】由向量的加法和减法运算求解即可. 【详解】法一： . 法二： . 题型三 平面向量的线性运算 1．（25-26高三下·北京·开学考试）已知为所在平面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算求解. 【详解】 . 2．（2026·江苏镇江·模拟预测）在中，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算求解即可. 【详解】设交于， 因为，，    所以，， 则, 故选：A 3．（25-26高一上·北京房山·期末）在平行四边形中，为边的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量的线性运算法则求解即可. 【详解】. 故选：B. 4．（2025·四川资阳·一模）如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意， . 故选：D 5．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算法则计算. 【详解】因为， 所以，又， 所以. 故选：A. 6．（25-26高二上·湖南邵阳·开学考试）已知在平行四边形中，，，记，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法计算，再由平行四边形对边相等得解. 【详解】因为在平行四边形中， 所以， 又因为， 所以. 故选：D 7．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）如图，在中，，E是CD的中点.设，.则_________. 【答案】 【分析】根据题意结合向量的线性运算求解即可，注意比例关系. 【详解】因为，且E是CD的中点， 则， 且，，所以. 故答案为：. 8．（2026·湖南怀化·一模）在平行四边形中，与交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共线定理和向量的平行四边形定则求解即可. 【详解】 . 因为，，三点共线，根据向量共线定理可知， ，解得. 9．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）在中，若，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由得到是中点，且可以得到为的三等分点，再由，，求解即可. 【详解】设，，因为得是中点，所以，由得分为，可得， 设，则， 设，则， 所以，，解得. 故选：B. 题型四 共线向量基本定理 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】由题意得，方法一：设，化简得到，列出方程组求解即可；方法二：利用三点共线的性质定理直接计算求解即可. 【详解】因为，，所以， 方法一：设（）， 则， 所以， 所以，解得； 方法二：因为三点共线， 由三点共线的性质定理可知，所以． 故选：A 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，不共线，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】利用三点共线满足的向量关系求解即可. 【详解】因为，，， 选项A，，， 若，，三点共线，则，即， 解得，故该选项正确； 选项B，，， 若，，三点共线，则， 即，解得不存在，故该选项错误； 选项C，，，若，，三点共线， 则，即，解得不存在，故该选项错误； 选项D，， ，若，，三点共线，则， 即，解得不存在，故该选项错误； 故选：A. 3．（24-25高一下·四川资阳·月考）已知平面向量且，则一定共线的三点是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项， ，所以三点共线，A正确； 对于B选项，设  ，则 ，即 无解，B错误； 对于C选项，设  ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 故选：A 4．（2026高一·全国·专题练习）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为_____. 【答案】 【分析】由题意得，根据共线定理得出，结合基本不等式即可求解最小值． 【详解】由可得，即， 因为，，（，）， 所以， 因为点是线段的中点， 所以，则， 又因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 5．（2026高一·全国·专题练习）在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是______. 【答案】2 【分析】结合图形，利用三点共线，推出，再根据基本不等式求解即可. 【详解】如图， 因为点O是BC的中点，则， 且三点共线，则，，， 可得， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2. 6．（25-26高一上·山东日照·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 【答案】/0.25 【分析】由题意，可根据向量运算法则得到，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值． 【详解】由题意及图，， 又，所以， 所以， 又，所以，解得m，t． 故答案为：． 7．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段上一个靠近点B的三等分点，设，． (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：C，D，E三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解， （2）根据向量的线性运算表示，即可根据倍数关系判断共线，即可求证. 【详解】（1）由题意得． ，，， ． （2）证明： ， 与平行，又与有公共点C， ，D，E三点共线． 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）设，是不共线的两个非零向量.若，，，求证：，，三点共线； （2）设，是两个不共线向量，已知，，，若有，，三点共线，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）利用向量加减运算可得，结合三点共线的判定即可得到结论； （2）根据三点共线可得存在实数使，结合向量的加减运算求解即可. 【详解】（1）证明：因为， ， 所以与共线，又它们有公共点，所以，，三点共线. （2）， 因为，，三点共线，所以，共线， 所以存在实数使，所以， 所以解得. 9．（25-26高一上·云南昆明·期末）如图，在中，是的中点，，设． (1)用向量与表示向量； (2)若，求证：三点共线． 【答案】(1)，； (2)证明过程见解析 【分析】（1）由向量基本定理可得，； （2）由向量基本定理可得，故，，而有公共点，所以三点共线. 【详解】（1），是的中点， 故， ，故； （2） ， 即，， 所以，， 故，而有公共点，所以三点共线. 题型五 向量的数量积计算 1．（2026·山东济宁·一模）已知中，若，且点在上，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】中，由，得， ，又，且点在上，则， 所以. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，与的夹角为，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由数量积公式求解即可. 【详解】由题意得. 故选：A． 3．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知平面向量满足与的夹角为，则（   ） A．18 B．-18 C． D． 【答案】A 【详解】由与的夹角为，得， 所以. 4．（24-25高一下·四川资阳·期中）已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________． 【答案】 【详解】因为，，平面向量，的夹角为，且， 所以 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）在平行四边形中，，是的中点，求的值. 【答案】 【详解】 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知与的夹角为，求. 【答案】 【详解】 题型六 平面向量基本定理的应用（含基底和坐标） 1．（23-24高一下·重庆渝中·月考）设，是平面内的一组基底，则下列能作为该平面内一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由平面向量基本定理可知，非零、不共线的一组向量可作为平面向量的基底，由此即可选出答案. 【详解】对于A：不存在实数，使得，即它们不共线，故可以作为基底，A正确； 对于B：，即它们共线，故不能作为一组基底，B错误； 对于C：，即它们共线，故不能作为一组基底，C错误； 对于D：，即它们共线，故不能作为一组基底，D错误， 故选：A. 2．（2026高一·全国·专题练习）如果是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是（ ） A．已知实数，则向量不一定在平面α内 B．对平面α内任一向量，使的实数可以不唯一 C．若有实数使，则 D．对平面α内任一向量，使的实数不一定存在 【答案】C 【详解】选项A中，由平面向量基本定理知与共面，所以A项不正确； 选项B中，由平面向量基本定理知实数有且仅有一对，所以B项不正确； 选项C中，根据基底的定义知，不共线，若，则，所以C正确； 选项D中，由平面向量基本定理知实数一定存在，所以D项不正确． 3．（2026·广东佛山·二模）已知平面上两点，若，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点的坐标，再应用向量的坐标运算求解. 【详解】设的坐标为 且平面上两点，又， 则，且， 所以，即得 则的坐标为. 4．（25-26高三下·北京西城·月考）已知向量，，则（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【详解】由，得， 所以. 5．（2026高一·全国·专题练习）（多选）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据共线向量定理逐项判定向量是否共线即可. 【详解】对于A，，则，为共线向量，故不能作为平面向量的基底； 对于B，若存在实数使得，则，无解， 所以可以作为平面向量的基底； 对于C，，则，为共线向量，故不能作为平面向量的基底； 对于D，若存在实数使得，则，无解， 所以可以作为平面向量的基底； 6．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为___________． 【答案】 【分析】由中点坐标以及向量坐标，可得答案. 【详解】点P为线段AB的中点，所以，则， 故答案为：. 题型七 向量中模长的问题 1．（2026·四川成都·二模）已知向量满足，，且与的夹角为 ，则为（   ） A． B． C．7 D．21 【答案】A 【详解】由向量，可得， 因为，且与夹角为，所以， 则，所以. 2．（2026高一下·江苏南京·专题练习）已知向量，满足，且，则的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D． 【答案】A 【分析】由两边平方可得，，由此可求结论, 【详解】由， 所以， 所以，， 所以，又， 所以． 3．（2026·山西朔州·一模）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，由可得，最后应用模长公式即可求解. 【详解】因为，所以，展开整理得， 由得，即， 所以，即 所以. 4．（25-26高三下·安徽·月考）若向量满足，则______. 【答案】9 【分析】将左右同时平方，展开整理，即可得答案. 【详解】由题意， 解得. 5．（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）已知向量，满足，，则________． 【答案】 【分析】由，两边平方并整理得，由，平方得，展开求解即可. 【详解】因为， 所以， 即， 整理得， 又因为， 所以， 则， 所以． 题型八 向量中夹角的问题 1．（2026·陕西铜川·一模）已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直的计算公式和向量数量积的定义求出，结合两向量夹角的范围即可求得答案. 【详解】由可得， 解得，因，则. 故选：C. 2．（25-26高三下·天津河西·开学考试）设、为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】设、的夹角为，根据求出的取值范围，利用区间的包含关系判断即可. 【详解】设、的夹角为，则， 因为、为非零向量，由可得，所以， 因为，所以“”“与的夹角为锐角”， 且“”“与的夹角为锐角”， 所以“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（25-26高三下·云南怒江·开学考试）已知非零向量，满足，则，角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，则， 所以. 4．（25-26高三上·广东·月考）记向量，设甲：向量与向量的夹角为锐角；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据向量夹角为锐角的条件求出甲成立时的取值范围，再分析甲与乙之间的充分性和必要性关系. 【详解】, 由向量与向量的夹角为锐角，故，且与不共线， 所以， 解得， 又与不共线，则可得，解得. 故向量与向量的夹角为锐角，可得且. 故若且，则可得，即充分性成立； 反之，若，则推不出且，即必要性不成立； 故甲是乙的充分不必要条件, 故选：. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知平面向量满足：，记向量与向量的夹角为，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据数量积的运算律求，，，再结合向量夹角公式求结论. 【详解】， ， ， 所以． 故答案为：. 6．（2026·湖北武汉·模拟预测）平面向量，满足：，，，则与的夹角的余弦值是__________. 【答案】/ 【分析】利用向量点积运算展开条件式，代入已知模长求出数量积，再通过数量积公式得到夹角余弦值. 【详解】， 解得. 7．（25-26高三上·上海·月考）若，，与的夹角是钝角，那么实数m的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据与的夹角为钝角可得且与不共线，分别求解不等式即得. 【详解】由于与的夹角是钝角，则且与不共线 由，可得， 由与共线，可得，即. 故实数m的取值范围是且. 故答案为：且. 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，，求与的夹角大小． 【答案】 【分析】通过向量垂直，数量积为0，列出等式，结合向量数量积的定义即可求解. 【详解】， ． 即． ，， 设向量与的夹角为， ． ． 又． 与的夹角为． 题型九 向量中投影的问题 1．（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知非零向量的夹角为，若在上的投影向量为，且，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据非零向量的夹角为，在上的投影向量为，得出，然后利用化简计算即可得出. 【详解】因为非零向量的夹角为， 所以， 又在上的投影向量为， 所以， 由，得 即， 所以， 故选：A. 2．（25-26高三上·安徽滁州·期末）已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量模，求出，然后利用向量数量积和运算律计算，最后根据投影向量求解的方法求解即可. 【详解】因为，， 所以，即， 也即， 解得：， 所以， 由向量在向量上的投影向量为： ， 故选：A. 3．（2026·重庆·一模）已知平面向量，满足，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因，. 则向量在方向上的投影向量为. 4．（25-26高三上·内蒙古包头·期末）已知向量，，则在方向上的投影向量的模为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出投影向量的坐标，结合向量的模长公式可得答案. 【详解】由题意可知在方向上的投影向量为 ， 故在方向上的投影向量的模为. 故选：C. 5．（25-26高三上·江苏·月考）在平面直角坐标系 中，已知点 ，，，若向量，在上的投影向量相等，则 的值是（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据数量积的坐标表示，代入投影向量公式，即可求解. 【详解】，，， 由条件可知， 所以，即，即. 故选：A 题型十 向量中平行、垂直的问题 1．（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知，，若与共线，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【详解】由与共线，可得：，解得：, 所以，则. 2．（2026·陕西商洛·二模）已知向量，若，则实数的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 解得． 3．（四川内江市高中2026届高三第二次模拟考试数学试题）已知向量，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先求出向量，再根据向量垂直的坐标关系列式求解即可. 【详解】因为向量，，所以， 因为，所以，即，解得 所以 4．（24-25高三上·河北衡水·月考）已知向量，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】计算出，，根据垂直得到方程，求出实数的值. 【详解】由题意得，，则，， 因为，所以，解得. 故选：B 5．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知向量，，若，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】根据两个垂直向量的数量积为0，以及向量数量积的坐标运算公式，即可得解. 【详解】解法一：因为，所以， ，，， 故，解得； 解法二：因为，， 由得，解得. 故选：B. 6．（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，．若向量满足，，则_____________，_____________． 【答案】 【分析】由向量平行和垂直的坐标表示列代数式即可求解. 【详解】，则， 又，①， 又，，②， 由①②解得，． 故答案为：； 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）向量，，，当为何值时，A，B，C三点共线？ 【答案】或11 【分析】求出，，由A，B，C三点共线得到与共线，利用向量共线的公式求解即可. 【详解】， ． 若A，B，C三点共线，则与共线． 则，即． 解得或． 故当的值为或11时，A，B，C三点共线． 题型十一 向量应用问题 1．（2011·黑龙江·三模）若M为所在平面内一点，且满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据向量线性运算法则化简条件等式可得，两边平方化简可得，结合数量积的性质可得，由此可得结论. 【详解】由，得 所以，即， 两边平方并化简得，则，即，故， 所以是直角三角形. 故选：A 2．（2026高一·全国·专题练习）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为______. 【答案】 【分析】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模即可求解. 【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为， 则，，且， 设，由船需要准确到达正北方向的点，得， 则，解得， 而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河的这一边的码头处出发，航行到位于河对岸（与河的方向垂直）的正西方向并且与相距的码头处卸货．若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小为多少？ 【答案】 【分析】根据平行向量的几何性质，结合向量数量积的运算性质，即可求解. 【详解】如图所示：， 设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为，则有， 所以有. 所以此时小货船航行速度为. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图．在同一平面内，一个质点O受三个力，，的作用保持平衡，其中与的夹角为，与的夹角为． (1)若，，，求，的大小； (2)若，求与的余弦值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据受力平衡可知三个力的和为零向量，由平面向量的数量积运算法则，结合题意可得，解三角形即可求得，的大小； （2）根据边长的比值，可知由三个力的大小构成的三角形为直角三角形。根据锐角三角函数，即可求得与的余弦值． 【详解】（1）因为质点在，，的作用下保持平衡， 所以，所以， 又，，所以与的夹角为，所以， ， 因为，所以． 如图．易得， 所以， ． （2）因为，且质点处于平衡状态， 所以以为边长的三角形为直角三角形，如图所示， 则，， 所以， ． 题型十二 平面向量中最值的问题 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量中点公式，得到，把原式化简为，根据向量的数量积运算确定最小时点的位置，再利用均值不等式求出最小值. 【详解】（为的中点）， 则，要使最小， 则，的方向相反，即点在线段上， 则，即求的最大值， 因为， 所以， 当且仅当，即是的中点时，取等号． 故． 故选：B． 2．（2027高三·全国·专题练习）在菱形中，，，为边上的动点（包括端点），为的中点，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】先设出动点位置的比例参数，用基底表示出两个向量，再根据已知几何条件求出基底的数量积，最后将数量积表示为参数的函数，利用参数范围求出值域. 【详解】设，， 则， 由为的中点，得， 在菱形中，，，所以，，， 所以， 因为，所以的取值范围为． 故答案为：. 3．（2026高一下·全国·专题练习）已知都是平面向量，且，若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】设，则，结合两点间线段最短进行即可求解． 【详解】如图设， 点在以为圆心，半径为的圆上， 点在以为圆心，半径为1的圆上，， 所以在射线上， 所以， 作点关于射线的对称点，则，且， 所以，（当且仅当共线时取等号）， 的最小值为． 故答案为：． 4．（2026·福建福州·模拟预测）已知向量，，，.若（其中表示不超过的最大整数，如：，，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为，所以 ， 当时，，显然不成立； 当时，，显然成立， 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 所以，，， ， ， 因为， 所以. 所以的取值范围为. 5．（25-26高一下·全国·单元测试）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则____________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】利用平面向量的基本定理，求得，求得的值，再由，且，设，得到和，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为，即，则， 又因为，可得，，所以； 因为正方形的边长为1，可得，且， 又因为为线段上的动点，设，且， 则， 因为为中点，则， 可得 又因为，所以当时，取到最小值． 故答案为：；． 6．（24-25高一下·江苏常州·月考）如图所示，是中点. (1)求； (2)以B点为坐标原点建立平面直角坐标系，若点满足，求： ①点P的轨迹方程； ②的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由，通过平方即可求解； （2）①建系，设，结合向量垂直的坐标表示即可求解；②设，结合向量数量积的坐标表示和辅助角公式即可求解. 【详解】（1）由题可知：， 则 ， 把代入解得：； （2）①以B点建立坐标系如下图： 由条件知：， 设，则， 则 ， 即， 即P点的轨迹方程是； ②设，，则， 由（1）易知， 则 ， ， 即. 基础巩固通关测 1．（25-26高一下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．若向量与是平行向量，则，，，四点不一定在同一直线上； B．若向量与平行，且，则或 C．向量的长度与向量的长度相等； D．单位向量都相等． 【答案】D 【分析】根据平行向量，相反向量，单位向量的定义，即可判断选项. 【详解】对于A，向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以重合或平行，故A正确． 对于B，，，都是非零向量，，与方向相同或相反，或．故B正确． 对于C，向量与向量方向相反，但长度相等．故C正确． 对于D，向量相等需要长度相等且方向相同，单位向量的长度都为1，但是方向不一定相同，故D错误． 故选：D 2．（25-26高一上·湖北武汉·期末）“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由相等向量与相反向量的概念，以及向量共线的概念，结合充分必要条件的判定即可求解. 【详解】若“”则“且”成立，即充分性成立； 反之若与反向共线时，满足“且”，但不满足“”，故必要性不成立， 故“”是“且”的充分不必要条件， 故选：A. 3．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相等向量的概念一一判断. 【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，所以互相平分. 对于A：与不平行，不可能相等，故A错误； 对于B：与大小相同，方向相反，故B错误； 对于C：与不平行，不可能相等，故C错误； 对于D：大小相等，方向相同．即与是相等的向量． 故选：D 4．（24-25高一下·陕西西安·期末）（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算法则，进行化简，即可求解. 【详解】由向量的线性运算法则，可得. 故选：A. 5．（2026高一下·江苏南京·专题练习）已知向量，满足，且，则的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D． 【答案】A 【分析】由两边平方可得，，由此可求结论, 【详解】由， 所以， 所以，， 所以，又， 所以． 6．（2026·广东广州·二模）在中，已知，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据数量积公式确定的形状，再代入投影向量的公式. 【详解】两边平方得，即， 又两边平方得， 即，即， 如图，，向量与的夹角为， 所以向量在上的投影向量为. 7．（25-26高三下·天津河西·开学考试）设、为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】设、的夹角为，根据求出的取值范围，利用区间的包含关系判断即可. 【详解】设、的夹角为，则， 因为、为非零向量，由可得，所以， 因为，所以“”“与的夹角为锐角”， 且“”“与的夹角为锐角”， 所以“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件. 故选：B. 8．（四川省德阳市2025-2026学年高三第二次诊断考试数学试卷）已知向量，，若“”，则x＝（   ） A．0或 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】由向量平行的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】由平面向量平行的坐标充要条件可得：， 整理为：，解得或. 9．（2026·福建龙岩·一模）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在该坐标系中，，，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】由平面向量数量积的定义可得， 由题意可知，， 所以. 10．（2027高三·全国·专题练习）（多选）已知，，，，那么（    ） A． B．若，则， C．若是中点，则，两点重合 D．若，，三点不重合且共线，则 【答案】ACD 【分析】利用向量坐标运算分别对每个选项进行计算或推理：A直接作差验证；B根据平行条件列方程，举反例排除；C由中点条件建立方程组求解；D利用三点共线的向量条件列式讨论，排除重合情形后得到结果. 【详解】因为，，，所以，，所以，故A正确； 若，则，当，时也符合，故B错误； 因为，是中点， 所以， 所以解得，所以，，两点重合，故C正确； 若，，三点共线，则存在实数，使得，而，，所以， 所以，且，则或，而时，，此时，重合，所以， 故D正确． 故选：ACD. 11．（25-26高三下·浙江·开学考试）（多选）已知向量，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则在上投影向量的模为 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据共线，垂直以及模长公式的坐标公式，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A选项，当时，，故A选项正确； 对于B选项，当时，，故B选项不正确； 对于C选项，若，在上的投影向量为， 于是在上的投影向量的模为，故C选项正确； 对于D选项，若，则，所以，所以D选项正确． 12．（20-21高一·江苏·课后作业）（多选）（多选）已知，是不共线的向量，下列向量，共线的有（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【分析】根据向量共线定理，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 由于，是不共线的向量，故，不共线，故A错误， 对于B, ,故，共线，B正确， 对于C, ,故，共线，C正确， 对于D, 若存在实数，使得，则，结合，是不共线的向量， 故且，此时无解，故不存在使得，故，不共线，故D错误， 故选：BC 13．（2026·福建莆田·二模）已知向量，，若，则_____. 【答案】 【分析】求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算可得答案. 【详解】向量，，所以， 若，则， 解得. 14．（25-26高二上·云南保山·期末）已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________． 【答案】 【详解】因为，所以，解得：, 则在方向上的投影向量的坐标为 15．（25-26高三下·重庆·月考）已知平面向量和，若，则 _____. 【答案】 【详解】由题意得，，得. 16．（18-19高一上·天津滨海新区·期末）已知平面直角坐标系中，，，． (1)若A，B，P三点共线，求实数t的值． (2)若，求实数t的值． (3)若是锐角，求实数t的取值范围． 【答案】(1)-2 (2) (3)，且． 【分析】（1）由A，B，P三点共线得到，利用向量平行的坐标公式求解； （2）利用向量垂直的坐标公式求解； （3）由是锐角得到且，不共线，由利用向量的数量积求解，由，不共线利用向量共线的坐标公式求解. 【详解】（1），B，P三点共线，． ，，，． （2），，． （3）若是锐角，则，且，不共线． ，，， 且，解得，且． 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知三点，，，试求向量；的坐标． 【答案】； 【分析】根据向量线性运算的坐标表示计算即得. 【详解】，，． ， ， ， ， ． 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，是一个梯形，，且，，分别是和的中点，已知，，试用，表示和. 【答案】， 【分析】结合平面向量基本定理，用基底表示所给向量即可. 【详解】法一：连接，因且，则四边形是平行四边形. 所以， 又因为， 所以， . 法二：因为，则， 所以； 又因为在四边形中，有， 即：，所以. 19．（2026·河北·一模）已知平面向量，，，且， (1)求在方向上的投影向量； (2)求与的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行及垂直的坐标表示及投影向量的定义可得； （2）根据向量的坐标运算分别求得与的坐标，利用向量数量积的定义及其坐标表示求得与夹角的余弦值，即可求得与的夹角. 【详解】（1），，解得. . ，，. . ， . 所以在方向上的投影向量为． （2）由（1）知，，， ，，. 设，的夹角为，则：. ， 即向量与向量的夹角为． 20．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，若与垂直，求的值． 【答案】 【分析】先求出与的坐标，结合向量垂直可得实数的值. 【详解】， 又与垂直，故． 即得． 能力提升进阶练 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，，，为的中点，点满足，则（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【详解】设， 因为为的中点，，，所以， 又，所以，， 又因为，所以，所以， 所以，解得，所以，所以， 所以. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）某广场地面上有一条直线轨道与两个固定反光点和（为灯光照射的角度参数），一移动激光灯P沿轨道l移动，激光灯P发出的光线会同时照射到A和B，形成两个光斑.为了让光斑的亮度达到最佳效果，需要计算激光灯与两个反光点之间的能量耦合值W，W定义为与的数量积.则激光灯在轨道上滑行时能量耦合值W的最小值为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积求出，几何意义为点P与原点的距离的平方减1，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】设，坐标原点为 ， 则，， 即 即，当最小时W最小， 原点到直线的距离为， 所以， 所以. 3．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知向量，且，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的坐标运算，可得到动点轨迹，然后借助几何意义求出最大值. 【详解】设，则， 即点B的轨迹为以为圆心，4为半径的圆． 故的最大值为． 4．（2026·山东·模拟预测）已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，以为邻边作平行四边形，利用可得答案. 【详解】过点作， 则， 以为邻边作平行四边形， 所以，， 可得， 所以. 故选：B. 5．（2026·山西晋中·模拟预测）在平面内，某质点在三个力的作用下恰好处于平衡状态，其中，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为三个力的作用下恰好处于平衡状态，所以， 设，根据向量的坐标运算，，所以，所以. 因为，所以在上的投影向量的坐标为. 6．（2026·四川·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在边长为2的正方形中，， 设，， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 7．（24-25高一下·江苏常州·月考）（多选）如图，是半径为1的圆的两条不同的直径，，则（    ） A． B． C．满足的实数与的和为定值4 D． 【答案】BCD 【分析】根据所给线段长度关系判断A，建立平面直角坐标系，利用坐标运算判断B，根据三点共线判断C，利用向量的坐标运算求向量夹角判断D. 【详解】， ，故A错误； 以为原点，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 则，设，则， 则， ，故B正确； ， 三点共线，，即，故C正确. ， ， ， ， ， ，故D正确. 8．（2026·湖北荆门·模拟预测）（多选）如图，已知等腰梯形中，，，点，分别为线段，上的动点且，点、为线段、的中点，则以下结论正确的是（    ）    A． B． C．若为的外心，则 D． 【答案】ABC 【分析】解法一（代数法）：根据向量线性运算计算可判断A；建立平面直角坐标系，由题意设出，，根据向量夹角计算公式计算即可判断B；设，得平行四边形PMEN为菱形，即点E为的外心，计算可判断C；结合C计算可判断D.解法二（几何法）：根据向量线性运算计算可判断A；由几何关系可得，进而可得，计算可判断B；作的平分线交DC于E，由几何关系可得四边形PMEN为菱形，可判断C；由可判断D. 【详解】解法一（代数法）：点，为线段，的中点， ，， 两式相加得：，故A正确； 以为原点，所在直线为轴，过点作垂直的直线为轴建立如图所示平面直角坐标系：    则，， 所以，， 所以，故B正确； 设，则，即点坐标为， 因为，， 所以，， 所以平行四边形为菱形，所以， 所以点为的外心，即点与重合， 此时，，即点在直线上，所以，故C正确．   ，则， 当且仅当时等号成立，故D错误； 解法二（几何法）：点，为线段，的中点， ，， 两式相加得：，故A正确； 因为，点为线段的中点， 且， 所以，故四边形，为平行四边形， 所以，故是等边三角形， 则，， 所以， 故，故， 故，故B正确； 作的平分线交于， 因为，所以， 由，，故，，，四点共圆， 故，故为正三角形， 所以四边形为菱形，故即为的外心， 即与重合，故，故C正确； ，故D错误．    故选：ABC 9．（25-26高一下·北京·月考）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的有_________. ①若，则    ②若，则 ③    ④ 【答案】②④ 【分析】建立平面直角坐标系，求得，，，的坐标，设，根据建立等量关系，然后对4个说法进行分析，结合三角恒等变换、向量数量积运算、三角函数的最值等知识确定正确答案. 【详解】 如图，作，分别以为x，y轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设，则 由可得 ，，且， 对于①，若，则， 解得（负值舍去），故，①错误； 对于②，若，则，于是，故②正确； 对于③， 由于，故，故，故③错误； 对于④，由于， 则 ， 而，则，故，故④正确. 10．（25-26高一下·浙江·开学考试）已知，满足，且，则在上的投影向量的模的最小值为______. 【答案】/ 【分析】利用向量的模、数量积等性质建立关于的不等式，进而求解投影向量的模的最小值. 【详解】解法1：已知，则， 又，满足， 则， 则， 又，即， 即，又， 即， 则在上投影向量为， 所以， 即在上投影向量的模的最小值为. 解法2：由， 又，故， 在上投影向量的模为， 由，得， 故投影向量的模为， 当时，在上的投影向量的模最小，最小值为， 所以在上投影向量的模的最小值为. 11．（2025高三·全国·专题练习）在中，分别是线段上的点，且，是线段上的三个动点，且，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算，以及向量共线的基本性质，求出参数之间的关系，再根据基本不等式，求出结果即可. 【详解】 如图所示，设，可知， 设，可知， 设，可知， 则，即， 因为，所以， 可得，所以， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最小值是． 故答案为：． 12．（2026高一下·北京·专题练习）如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点、）．若，则的取值范围是________ 【答案】 【分析】设半圆的圆心为，分析可知，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量模长的坐标公式可求得的取值范围. 【详解】设半圆的圆心为，因为点为的中点，为半圆的直径，所以， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则、、，设点，其中， 则，，所以， 因为，所以，则， 故，即的取值范围是. 13．（25-26高一下·全国·单元测试）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则____________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】利用平面向量的基本定理，求得，求得的值，再由，且，设，得到和，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为，即，则， 又因为，可得，，所以； 因为正方形的边长为1，可得，且， 又因为为线段上的动点，设，且， 则， 因为为中点，则， 可得 又因为，所以当时，取到最小值． 故答案为：；． 14．（25-26高一上·江苏南京·期末）设，已知是平面内两个不共线的向量，，且，，三点共线． (1)求的值： (2)若， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形．求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）求出，根据，，三点共线满足的关系求解即可； （2）①利用平面向量夹角的余弦公式求解即可.②由平行四边形得，利用相等向量满足的关系即可求解． 【详解】（1）由已知得， 因为三点共线，所以，即. （2）由已知得， ； ②由平行四边形得，又， 所以，解得，即 15．（25-26高三上·河北·月考）平面上的两个非零向量，满足. (1)当时，求正实数t的值； (2)用表示，夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1)1； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据已知及向量数量积的运算律化简得，即可得求参数； （2）设，，与的夹角为，应用向量数量积的定义和运算律得，讨论参数及基本不等式求余弦值的范围. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以正实数t的值为1. （2）设，，与的夹角为， 由得，， 则有， 则有，即①， 若，由①式得，， 若，由①式得，当且仅当时等号成立，则（当向量，同向时可取1）， 若，由①式得，当且仅当时等号成立，故（当向量，反向时可取），. 综上， 当时，； 当时，； 当时，. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 平面向量（复习讲义） 1、通过向量的实际背景理解向量的概念；掌握向量的表示方法,理解向量的模的概念；理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量等概念. 2、理解向量加减法的概念以及向量加减法的几何意义；掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,会进行向量的加法运算；能熟练地进行向量的加、减综合运算. 3、理解向量数乘的定义及几何意义；掌握向量数乘的运算律,能够用已知向量表示未知向量；掌握共线向量定理,会判断或证明两个向量共线. 4、理解平面向量数量积的含义及其物理意义.掌握数量积公式及投影向量的意义.掌握平面向量数量积的性质及其运算律. 5、会求向量的模、夹角,能运用数量积解决向量的垂直问题. 6、理解基底的定义,并能判断两个向量能否构成一组基底.理解并掌握平面向量基本定理,会用基底表示平面向量.会应用平面向量基本定理解决关于平面向量的综合问题. 7、借助平面直角坐标系掌握平面向量的坐标表示.会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算. 8、掌握平面向量数量积的坐标表示,会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角.掌握向量垂直条件的坐标形式,并能灵活运用. 9、理解用坐标表示平面向量共线的条件.掌握三点共线的判定方法. 10、能运用平面向量的知识解决一些简单的平面几何问题和物理问题.掌握用向量法解决平面几何问题的两种基本方法——选择基底法和建系坐标法. 一、向量的有关概念 知识点1　向量的定义与表示 1.定义:既有大小又有方向的量叫作向量. 2.表示: (1)有向线段:具有方向的线段.它包含三个要素:起点、方向、长度. (2)向量的表示: 知识点2　向量的有关概念 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量,记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量.向量a与b平行,记作a∥b.规定:零向量与任一向量平行,即对于任一向量a,都有0∥a 相等向量 长度相等且方向相同的向量.向量a与b相等,记作a=b 相反向量 把与向量a长度相等,方向相反的向量叫作a的相反向量,记作-a,并规定零向量的相反向量仍是零向量 知识点3　向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角； (2)夹角的大小与向量共线、垂直的关系： θ＝0°⇔a与b同向；θ＝180°⇔a与b反向；θ＝90°⇔a⊥b，规定：零向量与任一向量垂直． 二、向量的运算 知识点1　向量加法的定义 求两个向量和的运算叫作向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量. 知识点2　向量加法的运算法则 类别 图示 几何意义 向量 求和 的法 则 三角 形法 则 已知不共线向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＝ 平行 四边 形法 则 已知不共线向量a，b，作＝a，＝b，再作平行的＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形，向量叫作向量a与b的和，表示为＝a＋b 知识点3　多个向量相加 已知n个向量,依次把这n个向量首尾相连,以第一个向量的起点为起点,第n个向量的终点为终点的向量叫作这n个向量的和向量,这个法则叫作向量求和的多边形法则.如图,⃗ 知识点四　向量加法的运算律 1.交换律:a+b=b+a. 2.结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 知识点4　向量减法 (1)定义 向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b)，求两个向量差的运算，叫作向量的减法． (2)几何意义 如图，设＝b，则＝a－b，即a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 知识点5　数乘运算的定义 (1)实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa． (2)|λa|＝|λ||a|． (3)λa的方向 (4)几何意义：当λ>0时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的λ倍； 当λ<0时，表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍． 知识点6　数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，a，b为向量，则 (1)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (2)λ(μa)＝(λμ)a； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb． 向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)． 知识点7　向量的线性运算 1.向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算. 2.向量线性运算的结果仍是向量. 3.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b. 知识点8　向量共线定理 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得a＝λb． [特别提示]当a≠0，b＝0时，λ不存在；当a＝0，b＝0时，λ不唯一． 三、向量的数量积 知识点1　平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角记为〈a，b〉或θ(0°≤θ≤180°)，我们把|a||b|cos 〈a，b〉称为a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝|a|·|b|cos θ． 规定：零向量与任一向量的数量积为零． 知识点2　投影向量和投影数量 (1)如图，已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′，投影γ＝，γ称为a在b上的投影向量． (2)如图，|a|cos 〈a，b〉称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为a·． (3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos 〈a，b〉的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos 〈a，b〉的乘积(如图)． (4)数量积的物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s． 知识点3　数量积的运算律 交换律：a·b＝b·a． 与数乘的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． 关于加法的分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 知识点4　数量积的性质 (1)若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos 〈a，e〉； (2)a⊥b⇔a·b＝0(其中a，b为非零向量)； (3)|a|＝； (4)cos 〈a，b〉＝(|a||b|≠0)； (5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立． 四、平面向量基本定理及坐标表示 知识点1　平面向量基本定理 (1)定义：如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． (2)基底：把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}． 知识点2　向量的正交分解 对于分解a＝λ1e1＋λ2e2,当e1,e2所在直线互相垂直时,这种分解也称为向量a的正交分解.． 知识点3　平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a(通常称为位置向量)．由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝xi＋yj．因此，a＝xi＋yj．我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝(x，y)． 知识点4　平面向量的坐标运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 数学公式 文字语言表述 向量 加、减法 a±b＝(x1±x2，y1±y2) 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 向量 数乘 λa＝(λx1，λy1)λ∈R 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积 向量 坐标 ＝(x2－x1，y2－y1) 一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标 知识点5　中点坐标公式 若点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，线段AB的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段AB的中点坐标公式． 知识点6　平面向量平行的坐标表示 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0．若a∥b，则存在实数λ，使得a＝λb，用坐标表示为x1y2－x2y1＝0． 若y1≠0且y2≠0，则上式可变形为＝． (2)文字语言描述向量平行的坐标表示 定理1：若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例． 定理2：若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行． 知识点7　平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示 (1)数量积的坐标表示： 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． (2)模、夹角、垂直的坐标表示： 知识点8　平面直角坐标系中两点间的距离公式 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别是A，B，那么a＝(x2－x1，y2－y1)． 则|a|＝＝． 五、平面向量的应用 知识点1　用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 1.建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题. 2.通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题. 3.把运算结果“翻译”成几何关系. 知识点2　向量在物理中的应用 1.物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. 2.向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中. 3.动量mv是向量的数乘运算. 4.功是力F与位移s的数量积. 题型一 平面向量概念的理解 1．（2026高一下·北京·专题练习）下列命题中正确的是（   ）。 A．若，则与的方向相同或相反 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点 D．若，则 2．（25-26高一下·江苏盐城·开学考试）（多选）下列选项中，错误的是（    ） A．若，则A，B，C，D一定能构成平行四边形 B．在平行四边形中， C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与相等，则B，C重合 3．（25-26高一下·广东·月考）（多选）关于向量，，下列命题中，正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法中正确的有________．（填序号） ①温度有零上温度，有零下温度，所以温度是向量； ②作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量； ③向量可以比较大小； ④体积、面积和时间都不是向量． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）给出下列命题： ①若，则或； ②向量的模一定是正数； ③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是___________． 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形． (1)写出与相等的向量； (2)写出与共线的向量； (3)向量与是否相等？ 题型二 加法、减法、数乘运算 1．（2026高一下·北京·专题练习）化简：等于（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列各式计算正确的有（   ） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，则在下列各命题中，正确的命题有（   ） ①，时，与的方向一定相反； ②，时，与的方向一定相同； ③，时，与的方向一定相同； ④，时，与的方向一定相反． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列各式计算正确的个数是（    ） ①；②；③. A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026高一·全国·专题练习）化简______． 49．（2026高一·全国·专题练习）化简__________． 6．（2026高一·全国·专题练习）化简： (1)； (2). 7．（2026高一·全国·专题练习）化简． 题型三 平面向量的线性运算 1．（25-26高三下·北京·开学考试）已知为所在平面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏镇江·模拟预测）在中，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·北京房山·期末）在平行四边形中，为边的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川资阳·一模）如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 5．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记，则＝（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖南邵阳·开学考试）已知在平行四边形中，，，记，，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）如图，在中，，E是CD的中点.设，.则_________. 8．（2026·湖南怀化·一模）在平行四边形中，与交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）在中，若，设，则（   ） A． B． C． D． 题型四 共线向量基本定理 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，不共线，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25高一下·四川资阳·月考）已知平面向量且，则一定共线的三点是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（2026高一·全国·专题练习）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为_____. 5．（2026高一·全国·专题练习）在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是______. 6．（25-26高一上·山东日照·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 7．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段上一个靠近点B的三等分点，设，． (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：C，D，E三点共线． 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）设，是不共线的两个非零向量.若，，，求证：，，三点共线； （2）设，是两个不共线向量，已知，，，若有，，三点共线，求的值. 9．（25-26高一上·云南昆明·期末）如图，在中，是的中点，，设． (1)用向量与表示向量； (2)若，求证：三点共线． 题型五 向量的数量积计算 1．（2026·山东济宁·一模）已知中，若，且点在上，则（    ） A． B． C． D．1 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，与的夹角为，则（   ） A． B．2 C． D． 3．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知平面向量满足与的夹角为，则（   ） A．18 B．-18 C． D． 4．（24-25高一下·四川资阳·期中）已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）在平行四边形中，，是的中点，求的值. 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知与的夹角为，求. 题型六 平面向量基本定理的应用（含基底和坐标） 1．（23-24高一下·重庆渝中·月考）设，是平面内的一组基底，则下列能作为该平面内一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2026高一·全国·专题练习）如果是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是（ ） A．已知实数，则向量不一定在平面α内 B．对平面α内任一向量，使的实数可以不唯一 C．若有实数使，则 D．对平面α内任一向量，使的实数不一定存在 3．（2026·广东佛山·二模）已知平面上两点，若，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·北京西城·月考）已知向量，，则（   ） A． B．1 C．3 D． 5．（2026高一·全国·专题练习）（多选）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为___________． 题型七 向量中模长的问题 1．（2026·四川成都·二模）已知向量满足，，且与的夹角为 ，则为（   ） A． B． C．7 D．21 2．（2026高一下·江苏南京·专题练习）已知向量，满足，且，则的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D． 3．（2026·山西朔州·一模）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·安徽·月考）若向量满足，则______. 5．（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）已知向量，满足，，则________． 题型八 向量中夹角的问题 1．（2026·陕西铜川·一模）已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·天津河西·开学考试）设、为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高三下·云南怒江·开学考试）已知非零向量，满足，则，角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·广东·月考）记向量，设甲：向量与向量的夹角为锐角；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025高三·全国·专题练习）已知平面向量满足：，记向量与向量的夹角为，则的值为_____． 6．（2026·湖北武汉·模拟预测）平面向量，满足：，，，则与的夹角的余弦值是__________. 7．（25-26高三上·上海·月考）若，，与的夹角是钝角，那么实数m的取值范围是________． 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，，求与的夹角大小． 题型九 向量中投影的问题 1．（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知非零向量的夹角为，若在上的投影向量为，且，则（    ） A． B．2 C．3 D． 2．（25-26高三上·安徽滁州·期末）已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆·一模）已知平面向量，满足，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·内蒙古包头·期末）已知向量，，则在方向上的投影向量的模为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·江苏·月考）在平面直角坐标系 中，已知点 ，，，若向量，在上的投影向量相等，则 的值是（    ） A．0 B． C． D．3 题型十 向量中平行、垂直的问题 1．（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知，，若与共线，则（   ） A． B． C．1 D．5 2．（2026·陕西商洛·二模）已知向量，若，则实数的值为（     ） A．2 B． C． D． 3．（四川内江市高中2026届高三第二次模拟考试数学试题）已知向量，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 4．（24-25高三上·河北衡水·月考）已知向量，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 5．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知向量，，若，则（    ） A．1 B．0 C． D． 6．（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，．若向量满足，，则_____________，_____________． 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）向量，，，当为何值时，A，B，C三点共线？ 题型十一 向量应用问题 1．（2011·黑龙江·三模）若M为所在平面内一点，且满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（2026高一·全国·专题练习）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为______. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河的这一边的码头处出发，航行到位于河对岸（与河的方向垂直）的正西方向并且与相距的码头处卸货．若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小为多少？ 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图．在同一平面内，一个质点O受三个力，，的作用保持平衡，其中与的夹角为，与的夹角为． (1)若，，，求，的大小； (2)若，求与的余弦值． 题型十二 平面向量中最值的问题 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2027高三·全国·专题练习）在菱形中，，，为边上的动点（包括端点），为的中点，则的取值范围为________． 3．（2026高一下·全国·专题练习）已知都是平面向量，且，若，则的最小值为________． 4．（2026·福建福州·模拟预测）已知向量，，，.若（其中表示不超过的最大整数，如：，，则的取值范围为______. 5．（25-26高一下·全国·单元测试）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则____________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为____________． 6．（24-25高一下·江苏常州·月考）如图所示，是中点. (1)求； (2)以B点为坐标原点建立平面直角坐标系，若点满足，求： ①点P的轨迹方程； ②的取值范围. 基础巩固通关测 1．（25-26高一下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．若向量与是平行向量，则，，，四点不一定在同一直线上； B．若向量与平行，且，则或 C．向量的长度与向量的长度相等； D．单位向量都相等． 2．（25-26高一上·湖北武汉·期末）“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（24-25高一下·陕西西安·期末）（ ） A． B． C． D． 5．（2026高一下·江苏南京·专题练习）已知向量，满足，且，则的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D． 6．（2026·广东广州·二模）在中，已知，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·天津河西·开学考试）设、为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（四川省德阳市2025-2026学年高三第二次诊断考试数学试卷）已知向量，，若“”，则x＝（   ） A．0或 B．0 C． D． 9．（2026·福建龙岩·一模）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在该坐标系中，，，则（    ） A． B． C． D．0 10．（2027高三·全国·专题练习）（多选）已知，，，，那么（    ） A． B．若，则， C．若是中点，则，两点重合 D．若，，三点不重合且共线，则 11．（25-26高三下·浙江·开学考试）（多选）已知向量，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则在上投影向量的模为 D．若，则 12．（20-21高一·江苏·课后作业）（多选）（多选）已知，是不共线的向量，下列向量，共线的有（   ） A．， B．， C．， D．， 13．（2026·福建莆田·二模）已知向量，，若，则_____. 14．（25-26高二上·云南保山·期末）已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________． 15．（25-26高三下·重庆·月考）已知平面向量和，若，则 _____. 16．（18-19高一上·天津滨海新区·期末）已知平面直角坐标系中，，，． (1)若A，B，P三点共线，求实数t的值． (2)若，求实数t的值． (3)若是锐角，求实数t的取值范围． 17． （25-26高一下·全国·课堂例题）已知三点，，，试求向量；的坐标． 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，是一个梯形，，且，，分别是和的中点，已知，，试用，表示和. 19．（2026·河北·一模）已知平面向量，，，且， (1)求在方向上的投影向量； (2)求与的夹角. 20．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，若与垂直，求的值． 能力提升进阶练 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，，，为的中点，点满足，则（   ） A． B． C．5 D． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）某广场地面上有一条直线轨道与两个固定反光点和（为灯光照射的角度参数），一移动激光灯P沿轨道l移动，激光灯P发出的光线会同时照射到A和B，形成两个光斑.为了让光斑的亮度达到最佳效果，需要计算激光灯与两个反光点之间的能量耦合值W，W定义为与的数量积.则激光灯在轨道上滑行时能量耦合值W的最小值为（   ） A．12 B． C． D． 3．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知向量，且，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C． D． 4．（2026·山东·模拟预测）已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 5．（2026·山西晋中·模拟预测）在平面内，某质点在三个力的作用下恰好处于平衡状态，其中，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·四川·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江苏常州·月考）（多选）如图，是半径为1的圆的两条不同的直径，，则（    ） A． B． C．满足的实数与的和为定值4 D． 8．（2026·湖北荆门·模拟预测）（多选）如图，已知等腰梯形中，，，点，分别为线段，上的动点且，点、为线段、的中点，则以下结论正确的是（    ）    A． B． C．若为的外心，则 D． 9．（25-26高一下·北京·月考）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的有_________. ①若，则    ②若，则 ③    ④ 10．（25-26高一下·浙江·开学考试）已知，满足，且，则在上的投影向量的模的最小值为______. 11．（2025高三·全国·专题练习）在中，分别是线段上的点，且，是线段上的三个动点，且，则的最小值是_____． 12．（2026高一下·北京·专题练习）如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点、）．若，则的取值范围是________ 13．（25-26高一下·全国·单元测试）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则____________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为____________． 14．（25-26高一上·江苏南京·期末）设，已知是平面内两个不共线的向量，，且，，三点共线． (1)求的值： (2)若， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形．求点的坐标． 15．（25-26高三上·河北·月考）平面上的两个非零向量，满足. (1)当时，求正实数t的值； (2)用表示，夹角余弦值的取值范围. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $