专题07 平面向量情景题、新定义以及与其他章节的融合（压轴题专项训练）高一数学苏教版必修第二册

专题07 平面向量情景题、新定义以及与其他章节的融合 （五类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、 文化背景下的平面向量问题 类型二、平面向量中的新定义问题 类型三、平面向量与函数融合 类型四、平面向量与不等式融合 类型五、平面向量与三角函数融合 压轴专练 类型一、文化背景下的平面向量问题 【技巧方法】 　文化背景下的平面向量问题的求解策略： 文化背景下的平面向量问题，应耐心读题，分析平面向量问题的特点，弄清考查平面向量中的哪一类问题，结合平面向量的相关知识进行求解，验证，使得问题得以解决。 例1．数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三点共线和长度关系可知AB正误；利用向量的线性运算可表示出，知CD正误. 【解析】 依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，，，，A错误，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D. 变式1-1．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设，由可得，再由，利用坐标表示建立方程组求解即可. 【解析】由题意建立如图所示直角坐标系 因为，，则，，，，，设，因为，所以，解得.由，得，所以解得 所以， 故选：B. 变式1-2．2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中的值为（ ） A．24 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】在图③中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由向量的运算求得的坐标，再由数量积的坐标表示计算． 【解析】在图③中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， ，， ，即， ，由分形知，所以， 所以， 所以． 故选：A． 变式1-3．伟大的法国数学家笛卡儿（Descartes1596～1650）创立了直角坐标系.他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；在正三角形中，是线段上的点，，，则（ ）. A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】以、为一组基底，表示出，再根据向量的数量积的定义及运算律计算可得； 【解析】解：在正三角形中，是线段上的点，，，所以 所以 故选：B 变式1-4．圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾．如图，是圆的一条直径，且．，是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设为圆心，连接，根据数量积的运算律得到，根据点在线段 上，即可求出的取值范围，即可得解． 【解析】解：如图，为圆心，连接， 则， 因为点在线段上且，则圆心到直线CD的距离， 所以， 所以，则， 即的取值范围是,． 故选：D． 变式1-5．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史㤵久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则的最大值为___________ 【答案】 【分析】取AB的中点O，连接MO，通过转化得，则转化为求的最大值，由图得当点M与点F或点E重合时，取得最大值，计算最值即可. 【解析】如图，取AB的中点O，连接MO，连接，分别过点，点作的垂线，垂足分别为， 所以， 当点M与点F或点E重合时，取得最大值， 易得四边形为矩形，为等腰直角三角形，则， ，则，， 取得最大值为， 所以的最大值为， 故答案为： 类型二、平面向量中的新定义问题 【技巧方法】 平面向量中的新定义问题的求解策略： 遇到与平面向量有关的新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，结合平面向量的相关知识进行求解，验证，使得问题得以解决 例2．如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条射线，，分别为与Ox，Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)若，在仿射坐标系中，，，求； (2)在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； (3)如图，在仿射坐标系中，点B，C分别在射线Ox、射线Oy上（均与点O不重合），，，E，F分别为的中点，求的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）构造直角坐标系，得出，对应的直角坐标，通过仿射坐标系的定 （2）同（1）求出的直角坐标，利用直角坐标系中向量夹角的坐标表示求解； （3）设，同（1）表示出的直角坐标，再求出的直角坐标，然后计算数量积，在中，设，由正弦定理表示出，再利用三角函数的知识求得最大值. 【解析】（1），则， 如图，以为原点构造直角坐标系， 在直角坐标系中，当时，记，则， 在仿射坐标系中，，， 则， ， 所以； （2）在直角坐标系中，记，则， 在仿射坐标系中，， ， 解得（舍去）或，所以； （3）在直角坐标系中，， 设，，，即， 则，所以， E，F分别为的中点， 则， ， 中，由正弦定理， 设，则， 所以，， ，其中为锐角，且， 因为，则， 故当时，取得最大值， 则. 变式2-1．我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设分别为的中点，结合三角形相似推出，由题意可得，确定四边形面积的最大值，根据题意结合面积公式即可得结果. 【解析】设分别为的中点，连接， 则，则∽，故, 则，故， 又因为，即， 当时，四边形面积最大，最大值为， 故的面积的最大值为， 且，所以的最大值为. 故选：D. 变式2-2．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记，则在x轴正方向和y轴正方向的夹角为的斜坐标系中，下列选项错误的是（ ） A．当时与距离为 B．点关于原点的对称点为 C．向量与平行的充要条件是 D．点到直线的距离为 【答案】D 【分析】根据“斜坐标系”的定义，结合向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解析】设轴正方向的单位向量为，轴正方向的单位向量为， 对于A选项：由已知得，所以. 由及斜坐标的定义可知， ， 故A选项正确； 对于B选项：根据“斜坐标系”的定义可知：点，则，设关于原点的对称点为，则， 由于不共线，所以， 故B选项正确； 对于C选项：， 若是零向量，则成立，同时，所以成立， 此时； 若是非零向量，则存在非零常数，使，所以. 故C选项正确； 对于D选项：设直线上的动点为,， 因为，所以， 设，则点在直线上， 所以直线过点， 因为，则， ， 由于，所以. 所以，所以， 所以点A到直线的距离为， 故D选项错误. 故选：D 变式2-3．（多选）对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量满足与的夹角，且和都在集合中．给出以下命题，其中一定正确的是（ ） A．若时，则 B．若时，则 C．若时，则的取值个数最多为7 D．若时，则的取值个数最多为 【答案】AC 【分析】由新定义可知，再对每个命题进行判断，即可得出结论. 【解析】对A，若时，， 两式相乘得，又， ，即， ，即，故A正确； 对B，若时，则，同理， 相乘得到，又， 所以，即， 则取值时符合，此时，故B错误； 对C，若时，则， 同理，相乘得，又， ，， 又，得， ， ， ， 的取值个数最多为7个，故C正确； 对D，若时，由上面推导方法可知， ，，， 的取值个数最多为，故D错误. 故选：AC. 变式2-4．对任意两个非零向量，定义.若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用给定定义结合向量夹角的运算性质求解即可. 【解析】设向量与的夹角为，由题意可知则 因为 所以 因为所以 因为是整数，所以所以 而即所以 因为 所以即 故的取值范围为. 故答案为： 变式2-5．定义：已知两个非零向量与的夹角为.我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即. (1)若向量，，求； (2)若平行四边形的面积为4，求； (3)若，，求的最小值. 【答案】(1)；(2)(3) 【分析】（1）利用向量数量积的运算求得，从而利用新定义即可得解； （2）利用平行四边形的面积公式，结合新定义即可得解； （3）利用新定义与向量数量积的定义求得的夹角，从而得到，再利用向量数量积的运算法则与基本不等式即可得解. 【解析】（1）因为，， 则， 所以， 因为是向量的夹角，所以， 因此，故. （2）因为平行四边形ABCD的面积为4， 所以，所以. （3）因为， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 类型三、平面向量与函数融合 【技巧方法】 平面向量与函数融合的求解策略： 结合题目条件和向量积的公式，将求解问题转化为函数最值处理，利用函数的单调性即可使得问题得以解决。 例3．在△ABC中，已知，，，，Q为线段CA延长线上的一点，且. (1)当且，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长； (2)若，求t的最大值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）用表示，结合向量的模公式，即可求得本题答案； （2）结合题目条件和向量积的公式，逐步化简，可得到，然后分离变量，利用函数的单调性即可求得本题答案. 【解析】（1）因为且，所以是的中点，是的中点，则M是的重心， 设， 所以， ； （2）因为，， 所以， ， ， ， 由，得：， 所以，因为，， 所以，， 令，则在单调递减，所以当时，有最大值－3. 变式3-1．已知均为单位向量，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的模的计算可得，结合二次函数可求最小值. 【解析】因为均为单位向量，且且， 所以， ， 当时，的最小值为. 故选：B. 变式3-2． 已知向量，，，向量满足，且． （1）已知，且，求的值； （2）若在上为增函数，求取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示即可求解. （2）根据向量模的求法可得，再由二次函数的单调区间可得，设，根据向量数量积的坐标表示可得，解不等式即可. 【解析】（1）由，有，； （2） 由在上为增函数，则对称轴，即， 设，则， 又，且，则 ，解得，， 于是， 即，， 即， 又，故． 变式3-3．在边长为2的等边△ABC中，D为BC边上一点，且． (1)若P为△ABC内一点（不包含边界），且PB＝1，求的取值范围； (2)若AD上一点K满足，过K作直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，△AMN的面积为，四边形BCNM的面积为，且，求实数k的最大值． 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)取的中点，则，所以，根据PB＝1，可以得到，进而求出结果； (2)根据得到，利用题干已知条件进行转化，再利用三点共线可以得出，然后将比值化为一个二次函数求最值问题即可求解. 【解析】（1）取的中点，所以， 因为为的中点，所以， 所以， 又因为PB＝1，所以，故， 故的取值范围. （2）因为，所以， 因为，，， 所以，也即， 因为点三点共线，所以① 因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以②， 由①得：，将其代入②式可得：， 所以当时，取最大值. 类型四、平面向量与不等式融合 【技巧方法】 平面向量与不等式融合的求解策略： 结合题目条件和向量积的公式，将求解问题转化为利用基本不等式模型，利用基本不等式求最值即可使得问题得以解决。 例4．已知矩形中，为中点，为边上的动点（不包括端点）. (1)求的最小值； (2)设线段与的交点为，求的最小值. 【答案】(1)0；(2) 【分析】（1）以点为原点建立直角坐标系，利用向量数量积的坐标公式求得结果； （2）根据三角形相似得出，再求出的坐标，利用向量数量积的坐标公式求得结果. 【解析】（1）设，如图建立直角坐标系： ， 当时，有最小值，最小值为0； （2）由图可得： 则 ， 当且仅当即时取等号， 的最小值为. 变式4-1．在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先根据共线向量基本定理得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解析】因为点F为线段BC上任一点（不含端点）， 所以设，故， 即， 又， 故， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：D. 变式4-2．已知平面向量满足，，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的模，通过将模进行平方得到等式，然后化简求出的余弦值，进而根据向量夹角的范围和基本不等式的性质求出的取值范围. 【解析】因为，所以，即， 因为，所以， 所以， 因为，所以． 故选：B. 变式4-3．如图，在中，.若是线段上一点，是线段上一点，其中. （1）若，线段与交于点，求的值， （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点坐标，再根据向量数量积坐标表示求得结果；（2）先用表示出坐标，再用坐标表示出向量的模，最后利用基本不等式求最小值. 【解析】（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则， 因为，所以 即， 因为，所以 从而， 联立方程组解得 因此 （2）因为是线段上一点，，所以， 又因为，所以，因此， 又即, 由第一问知， 所以 令 因此 当且仅当时取等号， 因此的最小值为. 类型五、平面向量与三角函数的融合 【技巧方法】 平面向量与三角函数融合的求解策略： 结合题目条件和向量积的公式，将求解问题转化为三角函数处理，利用三角恒等变换以及三角函数的单调性即可使得问题得以解决。 例5．在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为，，，且，其中为坐标原点. (1)若，设为线段上的动点，求的最小值； (2)若，向量，向量，求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设出点坐标，求得的表达式，结合二次函数的性质求得最小值. （2）结合向量数量积的运算、三角恒等变换、三角函数最值的求法求得的最小值. 【解析】（1）已知点的坐标为，为线段上的动点，设， 因为，且，， 则， 所以， 所以， 所以当时，最小，最小值为. （2）因为，且，的坐标为， 则，则， 又， 则， ， 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值1， 则取得最小值为. 变式5-1．已知是平面内三个非零向量，且，则当与的夹角最小时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】设，以为原点，为坐标轴建立直角坐标系，设，表示出的坐标，利用数量积关系表示出夹角即可求出. 【解析】设， 因为，所以，即是边长为1的等边三角形， 因为，则可以为原点，为坐标轴建立直角坐标系， 设，则，， ， ， 则， ， 则， 令， 则， 当且仅当时等号成立， 此时. 故选：B. 变式5-2．如图所示，边长为的正，以的中点为圆心，为直径在点的另一侧作半圆弧，点在圆弧上运动，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】连接，以点为坐标原点，、所在直线别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量数量积的坐标运算、辅助角公式以及正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【解析】连接，因为为等边三角形，且为的中点，则， 以点为坐标原点，、所在直线别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、，设点，其中， 则，， 所以，， 因为，则，所以，， 故. 因此，的取值范围为. 故答案为：. 变式5-3．已知向量，. （1）若，求； （2）若，函数 ； （ⅰ）求的值域. （ⅱ）当取最小值时，求与垂直的单位向量的坐标. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）或 【分析】（1）根据向量共线可得，结合三角恒等变换分析求解； （2）根据数量积结合三角恒等变换整理可得.（ⅰ）换元设，可知，结合二次函数求值域；（ⅱ）结合（ⅰ）可知，设，结合向量的坐标运算分析求解. 【解析】（1）因为，，且∥， 则， 即 整理得，所以. （2）因为，则，， 可得 设， 因为，则， 可得，， （ⅰ）设， 因为的图象开口向上，对称轴为， 由二次函数性质可得：， 所以的值域为； （ⅱ）当取最小值时，即，此时， 设，由题意可得，解得 或， 所以或. 变式5-4．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求的相伴特征向量； （2）记向量的相伴函数为，求当且，的值； （3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点. 【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简函数得，根据题意可可得特征向量；（2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果；（3）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可. 【解析】解：（1） 的相伴特征向量. （2）向量的相伴函数为， ，. ，，. . （3）由为的相伴特征向量知： . 所以. 设，， ，， 又，. ， ，， . 又， 当且仅当时，和同时等于，这时式成立. 在图像上存在点，使得. 变式5-5．如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；    (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果； （2）由平面向量的坐标运算表示出，然后结合三角函数的值域，即可得到结果. 【解析】（1）以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，    由可得， 又，由三角函数的定义可得， 即， 因为为圆弧的中点，所以,又， 则， 所以，，， 由可得， 即，解得. （2）设，则，所以， 由可得， 可得，解得， 所以， 因为，所以， 当时，即时，取得最大值，此时的最大值为， 当或时，即或时，取得最小值， 此时的最小值为， 所以的取值范围为. 1.在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由面积比得，再利用三角形相似得到，从而利用向量的线性运算得到的关系，进而利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【解析】根据题意，如图，连接，设与交于点， 过点作于点，过点作于点， 若面积是面积的2倍，即， 根据相似三角形的性质可知，， ， 设， ， 即，即， ， 当且仅当，即时取等号，的最小值为1. 故选：A. 2.定义.若向量 ，向量为单位向量，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先求得，再由平面向量数量积的公式代入计算，即可得到结果. 【解析】由题意可得，，，设， 则， 又，则，所以. 故选：B. 3.向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用．平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，已知平面内点，点，点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】表示出向量后，根据平面向量旋转公式可求得，由此可求得点坐标. 【解析】，，， 点绕点沿顺时针方向旋转等价于点绕点沿逆时针方向旋转， ，. 故选：C. 4.在平行四边形中，若则的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的数量积的运算律，求出的表达式，利用二次函数的最值即得. 【解析】由可得 ， 因，故时，，即的最小值为. 故选：B． 5.已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. －1 B. C. D. 【答案】C 【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果. 【解析】∵分别表示与方向的单位向量， ∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线， ∵，∴的平分线与垂直，故. 取的中点，连接，则， 由题意得，， ∴. 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，故. 设，则，∴， ∴，， ∴， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 6.已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，建立平面直角坐标系，根据题意，则 , , 所以 , 所以 令， 当时，， 当或时，， 所以， 故选：A 7.（多选）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC、BD均过点P，则下列说法正确的是（ ） A．为定值 B．的取值范围是 C．当时，为定值 D．的最大值为12 【答案】AC 【分析】根据题设中的圆幂定理可判断AC的正误，取的中点为，连接，利用向量的线性运算可判断B的正误，根据直径的大小可判断D的正误. 【解析】 如图，设直线与圆于，. 则, 故A正确. 取的中点为，连接，则 ， 而，故的取值范围是，故B错误. 当时， ，故C正确. 因为，故，故D错误. 故选：AC 8.（多选）已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当时，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的是（ ） A．线段A，B的中点的广义坐标为 B．A，B两点间的距离为 C．若向量平行于向量，则 D．若向量垂直于向量，则 【答案】AC 【分析】由题目给的定义结合向量的线性运算、向量的模长、向量的平行及垂直依次判断4个选项即可. 【解析】根据题意得，设A，B的中点为，则， 故线段A，B的中点的广义坐标为，A正确； ，故， 当向量，是相互垂直的单位向量时，A，B两点间的距离为，否则距离不为，B错误； 与平行，当与存在时，结论显然成立，当与都不为时，设， 则，即，，，所以，故C正确；，当与为相互垂直的单位向量时， 与垂直的充要条件是，故D不正确. 故选：AC． 9.若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，，则的最小值是________ 【答案】6 【分析】设，，，，，，，则即为点到，，三点的距离之和，由费马点的性质可得当点 位于的中心时，取最小值，即可求解. 【解析】设，，，，，，， 则，，， 所以， 因为为等边三角形，由题意，等边的费马点为的中心， 此时取最小值， 所以， 故答案为：6 . 10.已知平面向量， 和单位向量， 满足， ， ， 当变化时， 的最小值为， 则的最大值为 . 【答案】 【分析】不妨设 ， ，则由题知，由已知条件得，，将用坐标表示，并求模，代入及，整理得，构造函数，求出最小值， 表示出的解析式，用均值不等式求其最大值即可. 【解析】不妨设 ， ，则由题知 又 ，所以 整理得① ，所以 又 ， 所以 而 将①代入整理得： 令 ， ，有最小值， 又 ，当且仅当时等号成立 所以 ，当时有最大值 . 故答案为： . 11.设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设，，根据可得出，设，，则，根据平面向量的线性运算得出，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的最大值. 【解析】由题意可知，， 由平面向量数量积的定义可得， 设，，则， 所以， 即，即，且有， 设，，则， 因为为的中点，则， 因为为的中点，则， 同理可得， 所以， ， 因为 ， 其中为锐角，且，故的最大值为. 故答案为：. 12.定义两个向量组的运算，设为单位向量，向量组分别为的一个排列，则的最小值为_______． 【答案】## 【分析】讨论、且、且或2或3，根据的定义及向量数量积的运算律，分别求最小值，即可得结果. 【解析】当且时，； 当且、时，则，当且仅当时等号成立； 同理且、或且、时，的最小值也为； 当时，则， 由，设，则， 所以，当时等号成立. 综上，的最小值为． 故答案为：. 13.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为 (1)若在该坐标系下，，计算的大小 (2)若在该坐标系下，已知，，求的最大值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）将，用，表示，根据向量模的运算求解即可； （2）求出，然后利用换元法将转化为关于的函数，利用二次函数求最值即可. 【解析】（1）依题意，，， 由，，得， 所以， 即； （2）由题意可知， 所以， ， 所以， 令， ， 又因为， 且，所以，所以， 即， 又因为函数在单调递增， 即时，函数取到最大值3， 即，则有， 所以当时，的最大值为. 14.已知，向量，，、、是坐标平面上的三点，使得，． （1）若，的坐标为，求； （2）若，，求的最大值； （3）若存在，使得当时，△为等边三角形，求的所有可能值． 【答案】（1）；（2）12；（3）． 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，（1）可得代入，即可求的坐标；（2）可得代入，即可求其的最值；（3）求、的坐标，进而可得、，结合题设有，应用三角恒等变换及三角函数的性质，可得、，由分类讨论的方式求的所有可能值． 【解析】（1）由题意，， ∴， ， ∴由，则、，故； （2）由题意，， ∴， ， ∴由，则、，即， ∴当时，的最大值为12； （3）， ， ∴，， ∵△为等边三角形， ∴， ∴， ， 整理得：且， ∴或， 综上， 当，时，或； 当，时，或； 所以的所有可能值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 平面向量情景题、新定义以及与其他章节的融合 （五类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、 文化背景下的平面向量问题 类型二、平面向量中的新定义问题 类型三、平面向量与函数融合 类型四、平面向量与不等式融合 类型五、平面向量与三角函数融合 压轴专练 类型一、文化背景下的平面向量问题 【技巧方法】 　文化背景下的平面向量问题的求解策略： 文化背景下的平面向量问题，应耐心读题，分析平面向量问题的特点，弄清考查平面向量中的哪一类问题，结合平面向量的相关知识进行求解，验证，使得问题得以解决。 例1．数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ） A． B． C． D． 变式1-1．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为（ ） A． B． C． D．1 变式1-2．2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中的值为（ ） A．24 B．6 C． D． 变式1-3．伟大的法国数学家笛卡儿（Descartes1596～1650）创立了直角坐标系.他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；在正三角形中，是线段上的点，，，则（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 变式1-4．圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾．如图，是圆的一条直径，且．，是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式1-5．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史㤵久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则的最大值为___________ 类型二、平面向量中的新定义问题 【技巧方法】 平面向量中的新定义问题的求解策略： 遇到与平面向量有关的新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，结合平面向量的相关知识进行求解，验证，使得问题得以解决 例2．如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条射线，，分别为与Ox，Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)若，在仿射坐标系中，，，求； (2)在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； (3)如图，在仿射坐标系中，点B，C分别在射线Ox、射线Oy上（均与点O不重合），，，E，F分别为的中点，求的最大值． 变式2-1．我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 变式2-2．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记，则在x轴正方向和y轴正方向的夹角为的斜坐标系中，下列选项错误的是（ ） A．当时与距离为 B．点关于原点的对称点为 C．向量与平行的充要条件是 D．点到直线的距离为 变式2-3．（多选）对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量满足与的夹角，且和都在集合中．给出以下命题，其中一定正确的是（ ） A．若时，则 B．若时，则 C．若时，则的取值个数最多为7 D．若时，则的取值个数最多为 变式2-4．对任意两个非零向量，定义.若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，则的取值范围是 . 变式2-5．定义：已知两个非零向量与的夹角为.我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即. (1)若向量，，求； (2)若平行四边形的面积为4，求； (3)若，，求的最小值. 类型三、平面向量与函数融合 【技巧方法】 平面向量与函数融合的求解策略： 结合题目条件和向量积的公式，将求解问题转化为函数最值处理，利用函数的单调性即可使得问题得以解决。 例3．在△ABC中，已知，，，，Q为线段CA延长线上的一点，且. (1)当且，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长； (2)若，求t的最大值. 变式3-1．已知均为单位向量，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 变式3-2． 已知向量，，，向量满足，且． （1）已知，且，求的值； （2）若在上为增函数，求取值范围． 变式3-3．在边长为2的等边△ABC中，D为BC边上一点，且． (1)若P为△ABC内一点（不包含边界），且PB＝1，求的取值范围； (2)若AD上一点K满足，过K作直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，△AMN的面积为，四边形BCNM的面积为，且，求实数k的最大值． 类型四、平面向量与不等式融合 【技巧方法】 平面向量与不等式融合的求解策略： 结合题目条件和向量积的公式，将求解问题转化为利用基本不等式模型，利用基本不等式求最值即可使得问题得以解决。 例4．已知矩形中，为中点，为边上的动点（不包括端点）. (1)求的最小值； (2)设线段与的交点为，求的最小值. 变式4-1．在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C．8 D．9 变式4-2．已知平面向量满足，，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 变式4-3．如图，在中，.若是线段上一点，是线段上一点，其中. （1）若，线段与交于点，求的值， （2）若，求的最小值. 类型五、平面向量与三角函数的融合 【技巧方法】 平面向量与三角函数融合的求解策略： 结合题目条件和向量积的公式，将求解问题转化为三角函数处理，利用三角恒等变换以及三角函数的单调性即可使得问题得以解决。 例5．在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为，，，且，其中为坐标原点. (1)若，设为线段上的动点，求的最小值； (2)若，向量，向量，求的最小值. 变式5-1．已知是平面内三个非零向量，且，则当与的夹角最小时，（ ） A. B. C. D. 变式5-2．如图所示，边长为的正，以的中点为圆心，为直径在点的另一侧作半圆弧，点在圆弧上运动，则的取值范围为______. 变式5-3．已知向量，. （1）若，求； （2）若，函数 ； （ⅰ）求的值域. （ⅱ）当取最小值时，求与垂直的单位向量的坐标. 变式5-4．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求的相伴特征向量； （2）记向量的相伴函数为，求当且，的值； （3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 变式5-5．如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；    (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 1.在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.定义.若向量 ，向量为单位向量，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3.向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用．平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，已知平面内点，点，点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 4.在平行四边形中，若则的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 5.已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. －1 B. C. D. 6.已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7.（多选）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC、BD均过点P，则下列说法正确的是（ ） A．为定值 B．的取值范围是 C．当时，为定值 D．的最大值为12 8.（多选）已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当时，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的是（ ） A．线段A，B的中点的广义坐标为 B．A，B两点间的距离为 C．若向量平行于向量，则 D．若向量垂直于向量，则 9.若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，，则的最小值是________ 10.已知平面向量， 和单位向量， 满足， ， ， 当变化时， 的最小值为， 则的最大值为 . 11.设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为 . 12.定义两个向量组的运算，设为单位向量，向量组分别为的一个排列，则的最小值为_______． 13.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为 (1)若在该坐标系下，，计算的大小 (2)若在该坐标系下，已知，，求的最大值． 14.已知，向量，，、、是坐标平面上的三点，使得，． （1）若，的坐标为，求； （2）若，，求的最大值； （3）若存在，使得当时，△为等边三角形，求的所有可能值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $