专题05 数量积的定义及运算律七大题型（高效培优专项训练）数学人教B版高一必修第三册

专题05 数量积的定义及运算律七大题型 题型一：数量积的定义及运算律 题型二：向量的垂直 题型三：向量的模 题型四：向量的夹角 题型五：投影向量 题型六：利用数量积判断多边形形状 题型七：取值范围最值问题 题型一：数量积的定义及运算律 1．已知平面内的非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知是等边三角形，边长为4，则（   ） A． B．8 C． D． 3．已知正方形ABCD的边长为6，点满足，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A． B． C． D．2 5．如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长到点，使得，则______. 6．在中，，，，D为BC中点，则_______． 题型二：向量的垂直 7．已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，求与的夹角大小． 9．在平行四边形中，已知，且，则向量与的夹角的余弦值为（    ） A． B．0 C． D． 10．在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为______． 11．在空间中，若三个非零向量满足，则的形状一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 12．已知为的高，且，则（    ） A． B．2 C． D． 题型三：向量的模 13．已知，，均为单位向量，且，则（    ） A． B． C． D． 14．设和的夹角为，则是为锐角的（    ）条件 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知向量，满足，且，则的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D． 16．已知向量，，均为单位向量，且，则（     ） A．0 B． C．2 D． 17．已知平面向量与非零向量满足，，，则________. 18．若向量满足，则______. 题型四：向量的夹角 19．已知平面向量为单位向量，且，若，则（   ） A． B． C． D．2 20．已知非零向量，满足，则，角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 21．已知非零向量满足，则向量与的夹角为_____. 22．已知向量，且的夹角为．若与的夹角为锐角，则的取值范围是_____． 23．两个非零向量，，满足，则向量与向量夹角的余弦值的最小值为________． 24．已知平面内两个非零向量、相互垂直，，若，则实数k的值为________． 题型五：投影向量 25．已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 26．已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 27．已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 28．在中，已知，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 29．在三角形中，，，向量在向量上的投影向量为，为上一点，且，则（    ） A．4 B． C． D．5 30．已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（    ） A．2 B．0 C． D． 题型六：利用数量积判断多边形形状 31．在中，满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 32．中，设，若，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 33．在中，分别为边的中点，与相交于点的垂直平分线与交于点，且，则的形状是（    ）． A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形 34．在中，若，，，且．试确定的形状． 35．（1）若，试判断三角形的形状； （2）若M为所在平面内一点，且满足，试判断的形状． 题型七：取值范围最值问题 36．由六个边长为的正六边形构成如图所示的图形，若两两不重合的三点均为正六边形的顶点，且的位置如图所示，则最小值、最大值分别为（   ） A． B． C． D． 37．在等腰梯形中，已知，，，.动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 38．在中，，在线段上，满足，在线段上，满足，为线段的中点，则的最大值为____________________． 39．已知正内接于半径为2的圆，为线段上一动点，延长，交圆于点，则的取值范围为______． 40．在平行四边形中，已知，，，为的中点，点在与上运动（包括端点），则的取值范围是______． 41．在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则____________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为____________． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数量积的定义及运算律七大题型 题型一：数量积的定义及运算律 题型二：向量的垂直 题型三：向量的模 题型四：向量的夹角 题型五：投影向量 题型六：利用数量积判断多边形形状 题型七：取值范围最值问题 题型一：数量积的定义及运算律 1．已知平面内的非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，且， 若，则，可得， 所以，即充分性成立； 若，例如，则，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．已知是等边三角形，边长为4，则（   ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【详解】因为是等边三角形，边长为4， 所以. 故选：A. 3．已知正方形ABCD的边长为6，点满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，可知为BC的中点， 因为正方形ABCD的边长为6，则，， 可得，， 所以. 故选：B. 4．已知，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】已知， 因为， 所以. 故选：A. 5．如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长到点，使得，则______. 【答案】/0.125 【详解】因为点D，E分别是边AB，BC的中点，所以， 因为，所以， 所以. 因为，，， 所以 . 故答案为： 6．在中，，，，D为BC中点，则_______． 【答案】 【详解】∵D为BC中点，∴， ∵，∴，即，∴， ∴. 故答案为：. 题型二：向量的垂直 7．已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 解得，因，则. 故选：C. 8．已知，，，求与的夹角大小． 【答案】 【详解】， ． 即． ，， 设向量与的夹角为， ． ． 又． 与的夹角为． 9．在平行四边形中，已知，且，则向量与的夹角的余弦值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【详解】在平行四边形中，，则，， 所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以 ，所以，故向量与的夹角的余弦值为， 故选：B. 10．在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为______． 【答案】6 【详解】因为，为单位向量，且，所以，，， 因为，所以，即， 化简得，代入数据可得，解得. 故答案为：6 11．在空间中，若三个非零向量满足，则的形状一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】A 【详解】， ， , 所以，即知为锐角． 同理可知也为锐角． 故为锐角三角形． 故选：． 12．已知为的高，且，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】 因为为的高，所以 , 故选：A. 题型三：向量的模 13．已知，，均为单位向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 两边取平方，， 因，，均为单位向量，则得， 故. 故选：A. 14．设和的夹角为，则是为锐角的（    ）条件 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为， 则由，可得， 可得， 即， 所以，则，所以， 因为，可得，所以为锐角或零度角， 所以是为锐角的必要不充分条件. 15．已知向量，满足，且，则的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D． 【答案】A 【详解】由， 所以， 所以，， 所以，又， 所以． 16．已知向量，，均为单位向量，且，则（     ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由，，，有， 又由，，，有， 故. 故选：D 17．已知平面向量与非零向量满足，，，则________. 【答案】2 【详解】， 即，解得或， 因为是非零向量，则. 18．若向量满足，则______. 【答案】9 【详解】由题意， 解得. 题型四：向量的夹角 19．已知平面向量为单位向量，且，若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为为单位向量，且，所以， ，所以， ， ，， . 20．已知非零向量，满足，则，角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，则， 所以. 21．已知非零向量满足，则向量与的夹角为_____. 【答案】/ 【详解】因为，所以，展开整理得， 由得，所以， 所以，则， 设向量与的夹角为，则， 又，所以． 22．已知向量，且的夹角为．若与的夹角为锐角，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】因 ，且的夹角为，则， 由 ，解得 又由可得，即， 解得，因， 的取值范围是． 故答案为：． 23．两个非零向量，，满足，则向量与向量夹角的余弦值的最小值为________． 【答案】/ 【详解】因为，两边平方得：， 即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以向量与向量夹角的余弦值的最小值为． 故答案为：. 24．已知平面内两个非零向量、相互垂直，，若，则实数k的值为________． 【答案】 【详解】由两个非零向量、相互垂直，得，而， 则，， 因此， 解得，经验证符合题意， 所以实数k的值为. 故答案为： 题型五：投影向量 25．已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以，即； 设向量与向量的夹角为，则， 因为，所以. 26．已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，且， ∴， ∴. 故选：D. 27．已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 向量在向量上的投影向量为， 故选：A. 28．在中，已知，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】两边平方得，即， 又两边平方得， 即，即， 如图，，向量与的夹角为， 所以向量在上的投影向量为. 29．在三角形中，，，向量在向量上的投影向量为，为上一点，且，则（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【详解】由题得向量在向量上的投影向量为， 所以，又，故， 因为，所以， 所以， 所以 ， 所以. 故选：B. 30．已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，则 .∵，∴，即，∴，解得. 故选：C 题型六：利用数量积判断多边形形状 31．在中，满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】取的中点，则，所以． 又，故，即为等腰三角形. 故选：C． 32．中，设，若，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【详解】因为， 所以， 即，可得， 又因为，所以， 所以角A为钝角. 故选：A． 33．在中，分别为边的中点，与相交于点的垂直平分线与交于点，且，则的形状是（    ）． A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形 【答案】B 【详解】如图1，，则， 依题意，是的重心，过作于，则，， 且，则， 作（或其延长线）于点，如图2，则， 从而，所以为钝角. 故选：B    34．在中，若，，，且．试确定的形状． 【答案】为等边三角形． 【详解】， ， ． 因为，所以， 即，由此可知，均为锐角． 同理可得也为锐角，即为锐角三角形． 作出如图所示，作于（点必在线段上）， 则，，所以， 所以为的中点，所以． 同理可证，故为等边三角形． 35．（1）若，试判断三角形的形状； （2）若M为所在平面内一点，且满足，试判断的形状． 【答案】（1）直角三角形（2）等腰三角形 【分析】 【详解】（1）， ，即， ∴三角形是直角三角形． （2）由，可得． 又． ， 即． 所以，由此可得是等腰三角形． 题型七：取值范围最值问题 36．由六个边长为的正六边形构成如图所示的图形，若两两不重合的三点均为正六边形的顶点，且的位置如图所示，则最小值、最大值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示，由正六边形的性质可得： 正六边形边长为，则，，正三角形任意底边上的高为， 以中点为原点，建立平面直角坐标系，如下图所示， 则，，， 设与的夹角为，， 其中表示在方向上的投影， 由图可知，当点取时，在方向上的投影长度最短， 点取时，在方向上的投影长度最长， 故点取时，，此时，为最小值； 点取时，，此时，为最大值； 故的最小值、最大值分别为. 37．在等腰梯形中，已知，，，.动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在等腰梯形中，已知，且， 所以，，， 因为，，由题意知， 则，， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 38．在中，，在线段上，满足，在线段上，满足，为线段的中点，则的最大值为____________________． 【答案】/0.375 【详解】设， ，， ， ， 即，故， ， ， 由基本不等式得， ，故，当且仅当时取等号， ，故的最大值为． 39．已知正内接于半径为2的圆，为线段上一动点，延长，交圆于点，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】如图，取中点为，连结． 由条件可知， ． 因为点在劣弧上，当点在点处时取最小值，当点在点处时取最大值， 所以，所以． 故答案为： 40．在平行四边形中，已知，，，为的中点，点在与上运动（包括端点），则的取值范围是______． 【答案】 【详解】当点在上时，如图1，，，，为的中点， 所以为等边三角形，即， 所以，又， 所以． 当点在上时，如图2， 此时，所以， 又，所以． 综上，． 故答案为： 41．在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则____________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为____________． 【答案】 【详解】因为，即，则， 又因为，可得，，所以； 因为正方形的边长为1，可得，且， 又因为为线段上的动点，设，且， 则， 因为为中点，则， 可得 又因为，所以当时，取到最小值． 故答案为：；． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $